5.2 分式的运算 分式的乘除（课件） 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

5.3 分式方程 分式方程的解法 复习导入 1.还记得什么是方程的解吗？ 使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解. 2.还记得求解一元一次方程的基本步骤吗？ 二元一次方程组 转化 一元一次方程 3.二元一次方程组呢？ 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1. 加减消元法、代入消元法 复习导入 解：去分母得 2×(2＋3x)－6×2＝x＋2 4＋6x－6×2＝x＋2 5x＝10 去括号得 移项合并得 解得 x＝2 （1）你能找出这一情境中的所有等量关系吗？ ①甲列车的平均行驶速度 = 乙列车的平均行驶速度×2 （2）如果设乙列车的平均行驶速度是 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？ 路程(km) 速度(km/h) 时间(h) 甲列车 乙列车 174 174 2x x 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召学生们自愿捐款。已知七年级学生捐款总额为 4800 元，八年级学生捐款总额为 5000 元，八年级捐款人数比七年级多20 人，而且两个年级人均捐款额恰好相等。如果设七年级捐款人数为 x 人，那么 x 满足怎样的方程？ 捐款总额 捐款人数 人均捐款额 七年级 八年级 4800 5000 x x+20 观察·交流 观察这些方程，它们有什么共同特点？ 分母中含未知数的方程叫作分式方程。 是等式 方程中含有分母 分母中含有未知数 练一练 下列式子中，属于分式方程的是________，属于整式方程的是________(填序号)。 ②⑤⑦ ①④ 例2：一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 列分式方程的步骤： （1）审清题意，明确题目中的未知数； （2）根据题意找等量关系，列出分式方程。 一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？ v顺流 = v静水 + v水流 v逆流 = v静水 – v水流 解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得 = 顺流航行100千米所用时间 = 逆流航行60千米所用时间 新知探究 思考：你能求出上一节课列出的分式方程 (1) 如何把它转化为熟知的整式方程呢？ “去分母” 的解吗？ 探究点：分式方程的解法 新知探究 3x 解：方程两边同乘 2.8 x，得 检验：将 x = 58 代入原分式方程中，左边 = 右边， 因此 x = 58 是原分式方程的解. 174×3 - 174 = 2×3x 解得 x = 58. (2) 方程各分母最简公分母是： x = 58 是原分式方程的解吗？ 探究点：分式方程的解法 新知探究 【归纳总结】 解分式方程的基本思路： 整式方程 去分母 分式方程 (方程两边同乘 最简公分母) 探究点：分式方程的解法 新知探究 例1 解方程： 解：方程两边都乘最简公分母 x(x - 2)，得 解这个方程，得 x = -3. 检验：把 x = -3 代入原方程的左边和右边，得 所以 x = -3 是原方程的解． 5x = 3(x - 2). 探究点：分式方程的解法 新知探究 在解方程 时，小亮的解法如下： 方程两边同乘 (x - 2)，得 1 - x = -1 - 2(x - 2)， 解这个方程，得 x = 2. x = 2 是原分式方程的解吗？ 【思考·交流】 探究点：分式方程的解法 新知探究 检验： x = 2 代入 分式无意义 x - 2 = 0 2 - x = 0 分母 分式方程无解 x = 2 是整式方程的解 不是分式方程的解 探究点：分式方程的解法 新知探究 想一想：为什么 去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解呢？ x = 2 使得原分式方程的分母为 0 . 使得原分式方程的分母为 0 的根，我们称为原方程的增根. 探究点：分式方程的解法 新知探究 用图框的方式总结为： 当 x = m 时 最简公分母是 否为零 x = m 检验 x = m 是分式 方程的解 否 x = m 不是 分式方程的解 是 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验. 【归纳总结】 探究点：分式方程的解法 新知探究 1. 在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； 简记为：“一化二解三检验”. 解分式方程一般需要经过哪几个步骤 ? 4. 写出原方程的根. 3. 检验整式方程的解，判断是否存在增根； 2. 解这个整式方程； 探究点：分式方程的解法 新知探究 例2 解方程： 解： 方程两边同乘 x(x - 3)，得 2x = 3x - 9. 解得 x = 9. 检验：当 x = 9 时， x(x - 3)≠0， 所以，原分式方程的解为 x = 9. ①将分式方程转化为整式方程 ②求整式方程的解 ③把解代入到最简公分母中，看是否为零 探究点：分式方程的解法 新知探究 例3 解方程： 解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 2)，得 x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3. 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 2) = 0， 因此 x = 1 不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. ①化整式方程 ②求解 ③检验 探究点：分式方程的解法 新知探究 1. 解方程： . 解：方程两边都乘最简公分母 2x，得 解这个一元一次方程，得 x = 4. 经检验：x = 4 是原方程的根.且不存在增根． 【练一练】 探究点：分式方程的解法 新知探究 解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 1)，得 4(x + 1) = 2x + 6. 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 1) = 0， 因此 x = 1 不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 2. 解方程： . 探究点：分式方程的解法 新知探究 3. 如果关于 x 的方程 的解是无解， 则 a 的值为_______. 解：将方程两边同乘 (x－2) 得 ax－4＝x－2，即 (a－1)x＝2. 因为方程无解，此时 a－1＝0 或 ＝2， 所以 a＝1 或 2. 1 或 2 探究点：分式方程的解法 课堂小结 分式 方程的解法 步骤 基本思路 将分式方程化为整式方程 . 具体做法：去分母 (即方程两边同乘最简公分母.) 一化 (分式方程转化为整式方程)； 二解 (整式方程)； 三检验 (把解代入到最简公分母，看是否为零) 当堂反馈 A. 2＋(x＋2)＝3(x－1) B. 2－x＋2＝3(x－1) C. 2－(x＋2)＝3 D. 2－(x＋2)＝3(x－1) D 当堂反馈 A. x＝2 B. x＝5 C. x＝1 D. x＝－2 A. x＝－1 B. x＝1 C. x＝±1 D. x＝0 C B 当堂反馈 3　 1　 3　 当堂反馈 解：方程两边同乘 ，得2－x＝x－3＋1， 解得x＝ . 经检验，当x 时， ≠0， ∴原方程的解为 . 易错通关：解分式方程时，容易遗忘“检验增根” 的关键步骤. x－3　 2　 ＝2　 x－3　 x＝2　 当堂反馈 解：解得x＝1.经检验，x＝1是方程的增根， ∴原方程无解. $