2.5 不等式恒成立（三） 课件-2026届高考数学二轮复习

专题二 导数 专题2.5 不等式恒成立（三） 典例剖析 方法讲解 变式训练 1 专题二 导数 专题2.5 不等式恒成立（三） 题型 必要性探路 典例剖析 方法讲解 变式训练 2 例题 1. 不等式 在 上恒成立,求实数 的取值范围. ,解得 证明的充分性 典例剖析 3 解析: 原不等式等价于 ,设函数 ,由 ,解得 ,当 时, ,设函数 ,令 ,解得 0 ,令 ,解得 . 故函数 在(0,1) 上单调递减,在 上单调递增, , 因此 ,所以实数 的取值范围是 . 例题 1.不等式 在 上恒成立,求实数 的取值范围. 典例剖析 4 例题2.不等式 在 上恒成立,求实数 的取值范围. 设函数 解得 的充分性 典例剖析 5 解析: 原不等式等价于 ,设函数 ,由 解得 ,当 时, ,下证 ,即证: ,设函数 ,令 0,解得 或 令 ,解得 ,故 ,又 ,即 因此 . 实数 的取值范围是 . 例题 2.不等式在 上恒成立,求实数 的取值范围. 典例剖析 6 方法：必要性探路 1.代入特殊点得到参数的必要性范围,常见的探路点有： ①函数含时,通常选择令 ②函数含,通常选择令 ③函数含三角函数时,常见探路点有: ④区间端点或 2.证明探得参数的范围的充分性或根据其必要性范围缩小讨论范围. 方法讲解 解析: 原不等式等价于 , 设函数 , ,解得 ,当 时, ,设函数 ,函数 在 上单调递增, ,因此 ,综上所述实数 的取值范围为 . 练习 1. 不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 典例剖析 8 解析: 设函数 , ,解得 , ,当 时, 在 上单调递增,在(-2, a)上单调递减,所以 即解得 , 即,因此当 时, 在 上单调递增,故 ,则 符合题意,当 时, 在 , (-2,0)上单调递增,在(, - 2)上单调递减,故 且 ,即 解得 ,综上所述 的取值范围 练习 2. 不等式 ,在 上恒成立, 求实数 的取值范围. 典例剖析 9 专题二 导数 专题2.5 不等式恒成立(三） 题型 构造函数技巧 典例剖析 方法讲解 变式训练 10 原不等式等价于 构造函数 例题 1. 不等式 在 上恒成立,求实数 的取值范围. 研究函数及最值 典例剖析 11 解析: 原不等式等价于 ,在 上恒成立,设函数 ,当 时, 恒成立,当 时 ,设函数 , 当 即 时, 在 上单调递增, ,符合题意,当 时, ,令 ,解得 ,令 ,解得 ,故函数 在 上单调递减, ,不符合题意.综上所述实数 的取值范围是 例题 1. 不等式 在 上恒成立,求实数 的取值范围. 典例剖析 12 例题. 不等式 在 上恒成立,求实数 的取值集合. 原不等式等价于 函数及最值 典例剖析 13 解析: 原不等式等价于 ,设函数 ,当 时 ,不符合题意,舍去. 当 时, ,设函数 ,当 时, 在 上单调递增,当 时, ,不符合题意,舍去. 例题 2. 不等式 在 上恒成立,求实数 的取值集合. 典例剖析 14 解析: 当 时,设函数 的两个零点分别为 , 若 ,则 在 上单调递减,在 上单调递增,又 0,所以 ,当 时, ,不符合题意,舍去. 若 ,则函数 在 上单调递减,在 上单调递增,若 ,则 ,不符合题意,若 ,当 时, ,不符合题意,若 ,则函数 ,符合题意,此时 . 综上所述实数 的取值集合为 . 例题 2. 不等式 在 上恒成立,求实数 的取值集合. 典例剖析 15 方法：构造函数技巧 1.对数单身狗：将不等式中的出来 2.指数找朋友 ：其他函数相乘或相除. 3.构造形如的新函数. 方法讲解 解析: 原不等式等价于 ,设函数 ,设 ,因为 ,所以 , 即 在 上单调递增, 3, 若 ,即 时, 在 上单调递增,又 ,则当 时, ,不符合题意,舍去. 练习 1. 不等式 在 上恒成立,求实数 的取值集合. 典例剖析 17 解析: 若 ,若 时, 在 上有唯一零点 ,因此函数 在 上单调递减, ,故 ,不符合题意,舍去. 若 0 时,函数 在 上单调递减,在 上单调递增,若 ,则 ,不符合题意,若 ,则 ,不符合题意, 若 ,即 时, ,符合题意. 综上所述 的取值集合为 . 练习 1. 不等式 在 上恒成立,求实数 的取值集合. 典例剖析 18 解析: 原不等式等价于 ,设函数 ,令 0,解得 ,若 , 函数 在 上单调递减在 上单调递增, 即 若 ,不符合题意,舍去, 故实数 的取值范围是 . 练习 2. 若不等式 在 上恒成立,求 的取值范围. 典例剖析 19 专题二 导数 专题2.5 不等式恒成立(三） 题型 最值函数问题 典例剖析 方法讲解 变式训练 20 例题 1. 设函数 设函数 表示 中的较小值),若 ,求 的取值范围. 判断大小 时, 时, 典例剖析 21 解析:设 ,当 时, ,而 ,所以 在(1,2)存在零点. 因为 ,当 时, ,所以 ,则 在 上单调递减, 在(1,2)上存在唯一零点 时, 时, 例题 1. 设函数 设函数 表示 中的较小值),若 ,求 的取值范围. 典例剖析 22 解析:时,由于 时, ,于是 在 单调递增,则 ,所以当 时, . 当 时,因为 时, ,则 在 单调递增; 时, ,则 在 单调递减,于是当 时, ,所以函数 的最大值为 , 所以 的取值范围为 . 例题 1. 设函数 设函数 表示 中的较小值),若 ,求 的取值范围. 典例剖析 23 例题 2. 已知函数 ,其中 .用 表示 中的最大值,记 . 是否存在实数 ,对任意的 恒成立. 若存在,求出 ,若不存在,请说明理由. 当 时, 当 时, 典例剖析 24 解析: .当 时, ,则 ; 当 时, ,则 ,当 时, ,所以当 时, , 在 上是增函数,又 ,所以当 时, ;当 时, . 函数 的定义域为 ,由 (1) 知,当 时, ,又 ,所以当 时, 恒成立, 例题 2. 已知函数 ,其中 .用 表示 中的最大值,记 . 是否存在实数 ,对任意的 恒成立. 若存在,求出 ,若不存在,请说明理由. 典例剖析 25 解析: 由于当 时, 恒成立,所以 等价于: 当 时, . ①若 ,当 时, ,故 递增,此时 ,不合题意; ② 若 ,当 时,由 知, 存在 ,使得 ,根据余弦函数的单调性可知, 在 上递增,故当 递增,此时 ,不合题意; 例题 2. 已知函数 ,其中 .用 表示 中的最大值,记 . 是否存在实数 ,对任意的 恒成立. 若存在,求出 ,若不存在,请说明理由. 典例剖析 26 解析: ③若 ,当 时,由 知, 对任意 , , 递减,此时 ,符合题意. 综上可知: 存在实数 满足题意, 的取值范围是 . 例题 2. 已知函数 ,其中 .用 表示 中的最大值,记 . 是否存在实数 ,对任意的 恒成立. 若存在,求出 ,若不存在,请说明理由. 典例剖析 27 方法：讨论与的大小关系 1.研究函数和单调性和极值. 2.讨论函数与大小关系. 3.掌握最值函数的性质：或 方法讲解 解析: (1) 由题得 的定义域为 ,则 在 上恒成立等价于 在 上恒成立,记 ,则 ,当 时, 时, ,故 在(0,1)上单调递减, 上单调递增,所以 ,即 恒成立. 练习 1. 已知函数 . 证明 恒成立; (2) 用 表示 中的最大值. 已知函数 ,记函数 ,若函数 在 上恰有 2 个零点,求实数 的取值范围. 典例剖析 29 解析: (2) 由题得 , ① 当 时, ,此时无零点. ② 当 时, . 当 ,即 时, 是 的一个零点; . 当 ,即 时, 不是 的一个零点; 练习 1. 已知函数 . 证明 恒成立; (2) 用 表示 中的最大值. 已知函数 ,记函数 ,若函数 在 上恰有 2 个零点,求实数 的取值范围. 典例剖析 30 解析:③ 当 时, 恒成立,因此只需考虑 在 上的零点情况.由 , . 当 时, 在 上单调递增,且 , 当 时, ,则 在 上无零点,故 在 上无零点;当 时, ,则 在 上无零点,故 在 上有 1 个零点;当 时,由 ,得 在 上仅有一个零点,故 在 上有 2 个零点;所以 , 练习 1. 已知函数 . (2)用 表示 中的最大值. 已知函数 ,记函数 ,若函数 在 上恰有 2 个零点,求实数 的取值范围. 典例剖析 31 解析:b. 当 时,由 得 , 由 时, ; 当 时 , 故 在 上单调递减, 在 上单调递增; 由 ,得 在 上仅有一个零点,故 在 上有 2 个零点; 所以 .综上所述, 时, 在 上恰有两个零点. 练习 1. 已知函数 . (2)用 表示 中的最大值. 已知函数 ,记函数 ,若函数 在 上恰有 2 个零点,求实数 的取值范围. 典例剖析 32 解析: 故 必然存在零点 ,且 又因为 ,当 时, 当 时,令 故 故 在 上是减函数. 综上分析, 只有一个零点 ,且 . 练习 2. 函数 , . (1) 判断 的零点个数; 典例剖析 33 解析:当 时, 递增,当 时, 递减; ,在 时 递增;设的交点为 , 当 时, ,由题意得: 在 时恒成立,即有 ; 在 上最值为 ,故 练习 2. 函数 , . (2) 定义 函数 在 上单调递增. 求实数 的取值范围. 典例剖析 34 解析: 当 时, 由题意得: 在 时恒成立,即有 , 令 ,则 可得函数在 递增,在 上递减,即可知在 处取得极小值,且为最小值 ;综上所述: ,即 . 练习 2. 函数 , . (2) 定义 函数 在 上单调递增. 求实数 的取值范围. 典例剖析 35 $