2.5 不等式恒成立（二）课件-2026届高考数学二轮复习

专题二 导数 专题2.5 不等式恒成立（二） 典例剖析 方法讲解 变式训练 1 专题二 导数 专题2.5 不等式恒成立（二） 分离参数 典例剖析 方法讲解 变式训练 2 分离参数 例题 1 . 若不等式 恒成立,则实数的取值范围是_______. 构造函数 典例剖析 3 解析: 等价于 ,设函数 ,令 ,解得 ,令 解得 或 ,故函数 在 上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减, 当 时, 所以 ,因此 ,综上所述实数 的取值范围是 例题 1 . 若不等式 恒成立,则实数的取值范围是_______. 典例剖析 4 例题.若不等式恒成立,求实数的取值范围是_______. 分离参数 典例剖析 5 解析: 等价于 , 设函数 , 设函数 ,因此函数 即 在 上单调递增,令 ,解得 ,令 ,解得 , 故函数 所以 . 综上所述 的取值范围是 例题.若不等式恒成立,求实数的取值范围是_______. 典例剖析 6 方法：分离参数 1.将参数与变量分离通过对不等式进行变形将含有参数的项移到不等式的一边将含有变量的项移到不等式的另一边使不等式转化为形如或的形式. 2. 将问题转化为或. 3.求出函数最值从而确定参数范围. 方法讲解 解析: 等价于 设函数 由切线不等式 知 ,令 ,解得 ,令 ,解得 ,故函数 在上单调递减,在 上单调递增,因此 , 综上所述实数 的取值范围为 . 练习 1.已知函数恒成立,求实数的取值范围. 典例剖析 8 解析: 等价于 ,设函数 令 ,解得 ,令 ,解得 1,故函数 在(0,1)上单调递减,在 上单调递增,因此 ,则 ,综上所述, 实数 的取值范围是 . 练习 2. 若不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 典例剖析 9 专题二 导数 专题 2.5 不等式恒成立(二） 洛必达法则 典例剖析 方法讲解 变式训练 10 例题 1.若不等式对于恒成立求的取值范围． 单调递减 分离参数 设 由洛必达法则 典例剖析 11 解析:设 ,设 , ,设 ,设 ,因为在 上 ,所以 即 在 上单调递减,在 上 ,所以函数 即 在 上单调递减, ,所以 在 上单调递减, ,故函数 在 单调递减,所以 ,故 例题 1.若不等式对于恒成立求的取值范围． 典例剖析 12 例题.设函数 ,若 ,恒成立,求实数的取值范围. 分离参数 单调递减 设函数 由洛必达法则 典例剖析 13 解析: 当 时,不等式恒成立,当时, 问题等价于 ,设 , ,因此函数 单调递减, ,所以函数 在 上单调递减,所以 ,因此 例题.设函数 ,若 ,恒成立,求实数的取值范围. 典例剖析 14 方法：洛必达法则 1.将题设不等式转化为或的形式. 2.研究函数的单调性. 3. 根据型洛必达法则:求出函数极限，得到参数取值范围. 方法讲解 解析:当 时,不等式恒成立,当时, 原不等式等价于 ,设函数 ,设函数 ,设函数 ,故 即 在 上单调递递增,因此 ,所以 在 上单调递增,因此 ,所以 在 上单调递增,所以 ,因此 . 综上所述实数 的取值范围是 . 练习. 不等式 在 上恒成立,求实数 的取值范围. 典例剖析 16 解析: 当 时,题设不等式恒成立,当 时原不等式等 价于 ,设函数 设函数 0,故函数 在 上单调递增, 0,故函数 在 上单调递增,故 综上所述实数 的取值范围是 . 练习. 不等式 在 上恒成立,求实数 的取值范围. 典例剖析 17 专题二 导数 专题2.5 不等式恒成立(二） 同构法 典例剖析 方法讲解 变式训练 18 例题 1. 若不等式恒成立,求实数 的最大值. 问题等价于 构造函数 典例剖析 19 解析: 等价于 ,构造函数 即 令 ,解得 ,令 ,解得 ,因此函数 在 上单调递减,在 上单调递增,因为 ,所以 ,当 时, . 当 时 等价于 即 ,因为 ,所以 ,故 即 ,综上所述实数 的最大值为 . 例题 1. 若不等式恒成立,求实数 的最大值. 典例剖析 20 例题 2.若不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 问题等价于 设 典例剖析 21 解析: 等价于 ,设 ,则 即 ,设函数 ,令 ,解得 ,令 0,解得 ,得函数 在 上单调递增, 故 ,综上所述实数 的取值范围为 . 例题 2.若不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 典例剖析 22 方法：同构法 1.观察不等式结构尝试将不等式两边的式子变形为具有相同结构的形式通常是构造一个函数使得不等式两边可以看作是该函数在不同自变量处的取值 2.利用函数单调性根据构造的函数的单调性将不等式转化为自变量之间的大小关系 3.求解参数范围通过对自变量大小关系的分析求解出参数的取值范围 方法讲解 解析: 等价于 ,设函数 ,即 , 因为函数 单调递增,所以 ,即 ,设函数 令 ,解得 ,令 ,解得 1,函数 在(0,1)上单调递增,在 上单调递减,因此 ,解得 ,综上所述实数 的取值范围是 . 练习 1. 若不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 典例剖析 24 解析: 等价于 即 ,设 ,构造函数 ,令 0,解得 ,令 ,解得 ,函数 在 上单调递减,在 上单调递增,因此 ,故 ,当 时, ,则 . 综上所述,实数 的取值范围为 . 练习 2. 若不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 典例剖析 25 $