4.1.2 相交直线所成的角课件2025-2026学年湘教版数学七年级下册

湘教版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 4.1.2 相交直线所成的角 第4章 平面内的两条直线 湘教版数学七年级下册4.1.2 相交直线所成的角练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕4.1.2 相交直线所成的角知识点设计，涵盖对顶角、邻补角的深化应用，以及同位角、内错角、同旁内角的识别与辨析，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们熟练掌握相交直线所成角的各类概念，能准确区分不同类型的角，灵活运用其性质解题，时长建议25分钟。 一、基础巩固题（每题10分，共40分） 1. 判断下列说法是否正确，错误的请改正。 （1）对顶角相等，邻补角互补，且对顶角一定是邻补角 （ ） 改正：________ （2）两条直线相交，形成的四个角中，有2对对顶角，4对邻补角 （ ） 改正：________ （3）同位角、内错角、同旁内角都有公共顶点 （ ） 改正：________ （4）内错角的位置关系是“在两条被截直线之间，且在截线两侧” （ ） 改正：________ 2. 填空：（1）两条直线相交，相对的两个角叫做________，它们的大小________；相邻的两个角叫做________，它们的和为________； （2）两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截直线同一方向的两个角叫做________； （3）两条直线被第三条直线所截，在截线两侧，且在被截直线之间的两个角叫做________； （4）两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，且在被截直线之间的两个角叫做________。 3. 如图（无图，结合概念答题），直线AB与CD相交于点O，∠AOC = 75°，求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数（写出简要解题步骤）。 4. 选择题：下列关于相交直线所成角的说法，正确的是（ ） A. 邻补角一定相等 B. 对顶角的邻补角一定相等 C. 内错角一定互补 D. 同位角一定相等 二、能力提升题（每题15分，共30分） 1. 直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠BOC = 100°，求∠BOE的度数（写出完整解题步骤，提示：结合对顶角、邻补角和角平分线性质）。 2. 如图（无图，结合题意答题），直线l₁、l₂被直线l₃所截，已知∠1与∠2是同位角，∠1 = 55°，∠2与∠3是对顶角，∠3与∠4是邻补角，求∠4的度数（写出完整解题步骤）。 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 如图（无图，结合题意答题），直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOF = 40°，∠BOD = 50°，求∠COE的度数，并说明∠COE与哪些角是对顶角、邻补角。 2. 直线AB与CD相交于点O，∠AOC : ∠BOC = 2 : 3，求∠AOD、∠BOD的度数（写出完整解题步骤，提示：利用邻补角的和为180°求解）。 参考答案 一、基础巩固题 1. （1）×，对顶角相等，邻补角互补，对顶角一定不是邻补角；（2）√；（3）×，同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点；（4）√ 2. （1）对顶角；相等；邻补角；180°；（2）同位角；（3）内错角；（4）同旁内角 3. 解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠BOD = ∠AOC = 75°；∵∠AOC与∠AOD、∠BOC均为邻补角，∴∠AOD = 180° - 75° = 105°，∠BOC = 180° - 75° = 105° 4. B（解析：A错误，邻补角互补不一定相等；C错误，内错角不一定互补；D错误，同位角不一定相等，只有两直线平行时才相等） 二、能力提升题 1. 解：∵∠AOD与∠BOC是对顶角，∠BOC = 100°，∴∠AOD = 100°；∵OE平分∠AOD，∴∠AOE = ∠DOE = $$\frac{1}{2}$$∠AOD = 50°；∵∠AOB是平角，∠AOB = 180°，∴∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = 180° - 50° = 130°；答：∠BOE = 130° 2. 解：∵∠1与∠2是同位角，∠1 = 55°（题目未说明两直线平行，此处结合对顶角性质推导）；∵∠2与∠3是对顶角，∴∠2 = ∠3 = 55°；∵∠3与∠4是邻补角，∴∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 55° = 125°；答：∠4 = 125° 三、拓展应用题 1. 解：∵∠AOF与∠BOE是对顶角，∠AOF = 40°，∴∠BOE = 40°；∵∠BOD = 50°，∴∠DOE = ∠BOD - ∠BOE = 50° - 40° = 10°；∵∠COE与∠DOF是对顶角，∴∠COE = ∠DOF（或结合平角推导：∠COE = 180° - ∠AOC - ∠AOF，∠AOC = ∠BOD = 50°，故∠COE = 180° - 50° - 40° = 90°，此处以平角推导为准）；修正：∠AOC与∠BOD是对顶角，∠AOC = 50°，∠AOF = 40°，∠COF = 180° - 50° - 40° = 90°，∠COE与∠COF是邻补角，∠COE = 90°；答：∠COE = 90°；∠COE的对顶角是∠DOF，邻补角是∠COF和∠DOE。 2. 解：设∠AOC = 2x，∠BOC = 3x；∵∠AOC与∠BOC是邻补角，∴2x + 3x = 180°；合并同类项得5x = 180°，解得x = 36°；∴∠AOC = 2×36° = 72°，∠BOC = 3×36° = 108°；∵∠AOD与∠BOC是对顶角，∴∠AOD = 108°；∵∠BOD与∠AOC是对顶角，∴∠BOD = 72°；答：∠AOD = 108°，∠BOD = 72° 温馨提示：本章核心知识点是相交直线所成的对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角的定义及性质，解题时需重点区分各类角的位置特征：对顶角相对、邻补角相邻且互补，同位角“同旁同向”、内错角“两侧之间”、同旁内角“同旁之间”；易错点为混淆内错角与同旁内角的位置，或忽略对顶角、邻补角的性质应用，解题时可结合图形（无图时可简单画图）辅助判断，确保角的类型识别准确。 1. 理解对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念； 2. 掌握对顶角的性质，能运用它的性质进行角的运算并解决一些实际问题.（重点、难点） 学习目标 活动：握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题. 对顶角的概念 1 1 2 3 4 A B C D O 对顶角：两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的 ，这样的一对角叫作对顶角. 图中∠1 的对顶角是______. 反向延长线 ∠3 知识要点 猜想：对顶角相等. C O A B D 4 3 2 1 问题：对顶角∠1 与∠3 在数量上又有什么关系呢？ 对顶角的性质 思考：你能利用有关知识来推导∠1 与∠3 的数量关系吗？ 我们已经知道平角为 180°，因而∠1 与∠2，∠2 与∠3，∠3 与∠4，∠4 与∠1 的和均为 180°. 2 O A B C D 4 3 2 1 已知：直线 AB 与 CD 相交于 O 点(如图)， 试说明：∠1 =∠3，∠2 =∠4. 解：因为 直线 AB 与 CD 相交于 O 点， 所以∠1 +∠2 = 180°， ∠2 +∠3 = 180°. 所以∠1 =∠3(同角的补角相等). 同理可得∠2 =∠4. 应用格式：因为 直线 AB 与 CD 相交于 O 点， 所以∠1 =∠3，∠2 =∠4. 想一想：图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？ 对顶角相等 ∠2 = 180°－∠1 = 140°. a b ） （ 1 3 4 2 ） （ 例2 如图，直线 a，b 相交，∠1 = 40°，求∠2，∠3，∠4 的度数. 因为直线 a 与 b 相交于一点， ∠1 = 40°， 所以∠3 =∠1 = 40°， 解： 所以∠4 =∠2 = 140°. 掌握对顶角的性质是解题的关键! 方法 例3 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O， ∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2 的度数. 解：因为∠1＝40°， ∠BOC＝110° (已知)， 所以∠BOF＝∠BOC －∠1 ＝110°－40°＝70°. 因为∠BOF＝∠2 (对顶角相等)， 所以∠2＝70° (等量代换)． 注意：隐含条件“对顶角相等”. F 活动1 观察∠1 与∠5 的位置关系： ① 在直线 EF 的同旁（右边） ② 在直线 AB，CD 的同一侧（上方） A C B D E 1 2 3 4 5 6 7 8 1 5 ∠2 和∠6；∠3 和∠7；∠4 和∠8. 图中的同位角还有哪些？ 同位角 一、同位角的概念 例4 下列图形中，∠1和∠2 是同位角的有（ ） A A. (1)，(2) B. (3)，(4) C. (1)，(2)，(3) D. (2)，(3)，(4) 1 2 1 2 1 2 1 2 （1） （2） （3） （4） 图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角. 变式图形：图中的 ∠1 与∠2 都是同位角. 1 2 1 2 1 2 1 2 归纳总结 A C B D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 活动2 观察∠3与∠5的位置关系： ① 在直线 EF 的两侧 ② 在直线 AB，CD 之间 3 5 ∠4 和∠6 图中的内错角还有哪些？ 内错角 二、内错角的概念 例5 如图，与∠1 是内错角关系的是（ ） 1 3 2 4 5 A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 B A C B D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 活动3 观察∠4 与∠5 的位置关系： ① 在直线 EF 的同旁 ② 在直线 AB，CD 之间 4 5 ∠3 和∠6 图中还有哪些同旁内角？ 同旁内角 三、同旁内角的概念 例6 下列图形中，∠1 和∠2 是同旁内角的是（ ） 1 1 A B C D 1 2 2 2 1 2 A 变式图形：图中的 ∠1 与∠2 都是同旁内角. 图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角.　 1 1 1 1 2 2 2 2 归纳总结 角的名称 角的特征 基本 图形 形象记法 相同点 共同特征 同位角 同旁内角 内错角 F Z U 截线:同侧 被截线:同旁 截线:同侧 被截线:之间 截线:两侧 被截线:之间 1 2 1 2 1 2 都在截线同侧 都在被截线之间 ①必有三条直线； ②这三类角都没有公共顶点； ③都表示角之间的位置关系 归纳总结 例7 如图，直线 DE 截 AB ，AC，构成 8 个角，指出所有的同位角，内错角，同旁内角. 解：两条直线 AB，AC 被直线 DE 所截，所以 8 个角中，同位角有：∠1 与∠8，∠2 与∠5，∠3 与∠6，∠4 与∠7；内错角有：∠1 与∠6，∠4 与∠5；同旁内角有：∠1 与∠5，∠4 与∠6. E D C B A 8 7 6 5 4 3 2 1 典例精析 例8 如图，直线 AB，CD 被直线 MN 所截，同位角∠1 与∠2 相等，那么内错角∠2 与∠3 相等吗? 1 2 3 A B C D M N 解：因为∠1 =∠3(对顶角相等)， ∠1 = ∠2(已知)， 所以∠2 = ∠3(等量代换). 两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，则内错角相等. [选自教材P95] 学而时习之 填空: 在同一平面内的两条直线，若相交，则有______个公共点; 若平行，则有______个公共点; (2) 在同一平面内，如果直线 a 与 b 相交，且直线 a 与 c 平行，则这三条直线中所有交点的个数为______. 1 2 1 0 随堂练习 [选自教材P95] 如图，三条直线 AB，CD，EF 相交于点O，分别写出∠DOB，∠DOF，∠DOA的对顶角. 2 解：∠DOB 的对顶角为∠AOC. ∠DOF 的对顶角为∠EOC . ∠DOA 的对顶角为∠BOC. 随堂练习 [选自教材P95] 如图，三条直线 AB，CD，EF 相交于点 O，已知∠BOC=90°，OF是∠BOC 的平分线，求∠AOE， ∠EOB 的度数. 3 解：因为∠BOC = 90°，OF是∠BOC 的平分线， 所以∠BOF = ∠COF = 45°. 所以∠AOE = ∠BOF= 45°(对顶角相等) 又因为∠BOE +∠AOE =180°， 所以∠BOE = 180°-45°= 135°. 随堂练习 [选自教材P96] 如图，指出下列各对角分别是什么角，它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的. (1) ∠1与∠2 (2)∠ABC与∠C 4 解：(1) ∠1与∠2 是内错角，它们是直线 AD 和直线 BC 被直线 BD 所截得到的. (2)∠ABC与∠C是同旁内角，它们是直线AB 和直线 DC 被直线 BC 所截得到的. 随堂练习 [选自教材P96] 如图，在括号内填写理由： 已知∠1=∠2， 因为∠2=∠4 ( )， 所以∠1=∠4 ( ) . 5 对顶角相等 等量代换 随堂练习 如图，在图中分别找出一个角与∠α配对，使两个角成为： 同位角； (2)内错角； (3)同旁内角. 并指出它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的. K I J L 解：(1)∠α与∠AIF是同位角，它们是直线GH 和直线 EF 被直线 AB 所截得到的. ∠α 与∠CLH是同位角，它们是直线 AB 和直线 CD 被直线 GH 所截得到的. [选自教材P96] 6 温故而知新 随堂练习 如图，在图中分别找出一个角与∠α配对，使两个角成为： 同位角； (2)内错角； (3)同旁内角. 并指出它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的. K I J L (2) ∠α与∠BIE是内错角，它们是直线GH 和直线 EF 被直线 AB 所截得到的. ∠α 与∠GLD 是内错角，它们是直线 AB 和直线 CD 被直线 GH 所截得到的. [选自教材P96] 6 随堂练习 如图，在图中分别找出一个角与∠α配对，使两个角成为： 同位角； (2)内错角； (3)同旁内角. 并指出它们分别是由哪两条直线被哪一条直线所截得到的. K I J L (3) ∠α与∠BIF是同旁内角，它们是直线GH 和直线 EF 被直线 AB 所截得到的. ∠α 与∠GLC 是同旁内角，它们是直线 AB 和直线 CD 被直线 GH 所截得到的. [选自教材P96] 6 随堂练习 1. 下列图形中，与 互为对顶角的是( ) C A. B. C. D. （第2题） 2. [河南中考] 如图所示，有一个六边形零件， 利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数， 则所量内角的度数为( ) C A. B. C. D. 中考考法 29 （第3题） 3. 如图，取两根木条, ,将它们钉在 一起，得到一个相交线的模型，固定 木条,转动木条,当减小 时，下 列说法正确的是( ) A A. 增大 B. 增大 C. 减小 D. 与的和增大 中考考法 30 4. 如图，直线,相交于点，如果 ，那么 ______. （第4题） 中考考法 31 5. 看图填空： （第5题） （1）和 是直线_________被 直线____所截得的________； 和 同位角 （2）和 是直线_________被 直线____所截得的________； 和 内错角 （3）和 是直线_________被直 线____所截得的__________. 和 同旁内角 中考考法 32 6. 如图，把一根筷子的 一端放在水里，一端露出水面，筷子 变弯了？其实没有，这是光的折射现 象，光从空气中射入水中，光的传播 方向发生了改变. （1）请指出的同旁内角与 的内错角. 【解】的同旁内角是，，， 的内错 角是， . 中考考法 33 （2）若测得 ， ，从水面上看斜插入 水中的筷子，水下部分向上折了多少度？ 请说明理由. 水下部分向上折了 .理由： 因为 ， 所以 . 所以 . 所以水下部分向上折了 . 中考考法 34 （第7题） 7. 两张长方形卡片按如图所示的方式叠放 在一起，则图中相等的角是( ) B A. 与 B. 与 C. 与 D. 三个角都相等 中考考法 35 （第8题） 8. 在如图所示的6个角中，同位角有 对， 内错角有对，同旁内角有 对，则 的值为___. 0 【点拨】在题图的6个角中，同位角有 与，与，共2对，即 ,内错角 有与，与,共2对，即,同旁内角有与 ， 与，与，与,共4对，即 ,所以 . 中考考法 36 9. 如图，已知与相交于点， 平分.若 ，则 的度数为______. 【点拨】因为，所以设 ，则 .因为平分 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，所以 . 中考考法 37 10. 如图是一个跳棋棋 盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起 始角开始，经过若干步跳动以后，到达终 点角.跳动时，每一步只能跳到它的同位 角或内错角或同旁内角的位置上. 例如：写出从起始位置跳到终点位置 的两种不同路径: 路径 ;路径 . 中考考法 38 试一试： （1）写出从起始位置跳到终点位置 的一种路径. 【解】 （答案不唯一） 中考考法 39 （2）从起始位置 依次按同位角、内错角、同旁内角的顺 序跳，能否跳到终点位置 ？若能，请写出其路径. 能.其路径为： . 中考考法 40 相交直线 所成的角 对顶角 对顶角相等 三线八角 同位角、内错角、同旁内角 课堂小结 $