列联表与独立性检验课件-2027届高三数学一轮复习

　列联表与独立性检验考点分类 01 PART 考点一 分类变量与列联表 目 录 1. 分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象 或性质，这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示. 2.2×2列联表 列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y， X表示相互对立的两个事件{X＝0}和{X＝1}，Y表示相互对立的两个事件 {Y＝0}和{Y＝1}，其中a，b，c，d是事件{X＝x，Y＝y}（x，y＝ 0，1）的频数，n是样本容量，其样本频数列联表（称为2×2列联表）如 下表所示： 高中总复习·数学（创新版） 目 录 X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. 等高堆积条形图 （1）等高堆积条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是 否相互影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征； （2）如果通过直接计算或等高堆积条形图发现 和 相差很大，就 判断两个分类变量之间有关系. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 题组练透 1. 假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}， 其2×2列联表如下： X Y 合计 y1 y2 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 高中总复习·数学（创新版） 目 录 A. a＝9，b＝3，c＝2，d＝1 B. a＝9，b＝2，c＝3，d＝1 C. a＝2，b＝3，c＝1，d＝9 D. a＝3，b＝1，c＝2，d＝9 解析：根据χ2的计算公式及n＝a＋b＋c＋d＝15可得，当n相等时，｜ad－bc｜越小，说明X与Y之间的关系越弱；｜ad－bc｜越大，说明X与Y之间的关系越强，经过逐一验证，可知选D. 对同一样本，以下数据能说明X与Y有关联关系可能性最大的一组为（　） √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. 〔多选〕根据如图所示的等高堆积条形图，下列叙述正确的是（　　） A. 吸烟患肺病的频率约为0.2 B. 吸烟不患肺病的频率约为0.8 C. 不吸烟患肺病的频率小于0.05 D. 吸烟与患肺病无关系 解析：从等高堆积条形图中可以明显地看出，吸烟患肺病的频率远远大于不吸烟患肺病的频率.所以吸烟与患肺病有关，D错误；由题图得，A、B、C都正确. √ √ √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. （2026·山东济宁期中）博鳌亚洲论坛2025年年会于3月25日至28日在 海南博鳌举行.为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外 翻译工作，在“性别与会俄语”的2×2列联表中，a－b＋d＝ ⁠. 会俄语 不会俄语 合计 男 a b 20 女 6 d 合计 18 50 28 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：由题得 解得a＝12，b＝8，d＝24.所以a－b＋d＝ 28. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练后悟通 分类变量的两种统计表示形式 （1）等高堆积条形图：根据等高堆积条形图的高度差判断两分类变量是 否有关联及关联性的强弱； （2）2×2列联表：直接利用2×2列联表中的数据进行计算分析，用定量 的方式判断两分类变量是否有关联及关联性的强弱. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 02 PART 考点二 独立性检验 目 录 1. 概念：利用随机变量χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为 χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. 2. χ2的计算公式：χ2＝ ⁠. 3. 基于小概率值α的检验规则：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认 为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充 分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立（其中xα为α的临界值）. 　 高中总复习·数学（创新版） 目 录 4. 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 高中总复习·数学（创新版） 目 录 角度1　分类变量关联性的判断 根据分类变量Ⅰ与Ⅱ的统计数据，计算得到χ2＝2.954，则（　　） α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 变量Ⅰ和Ⅱ不独立 B. 变量Ⅰ和Ⅱ不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 C. 变量Ⅰ和Ⅱ独立 D. 变量Ⅰ和Ⅱ独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：　零假设为H0：变量Ⅰ与Ⅱ独立，因为χ2＝2.954＞2.706，依据α＝ 0.1的独立性检验可知，推断H0不成立，即认为变量Ⅰ和Ⅱ不独立，这个结 论犯错误的概率不超过0.1，故选B. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 分类变量关联性的判断 　　判断两个分类变量是否具有关联性的最有效方法就是进行独立性检 验，但用此方法得到的结论也可能犯错误，但犯错误的概率的上界为α， 是一个小概率事件. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 角度2　独立性检验的应用 （2025·全国Ⅰ卷15题）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做 过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表： 组别 超声波检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； 解：由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查结果不正常者中患有 该疾病的有180人， 所以由样本估计总体得p＝ ＝0.9. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与 患该疾病有关. 解：零假设为H0：超声波检查结果与是否患该疾病无关. χ2＝ ＝ ＞10.828， 所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超 声波检查结果与是否患该疾病有关. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 规律方法 独立性检验的具体步骤 （1）提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据样本数据整理出2×2列联表，利用公式计算χ2的值； （3）根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误 概率的上界α，然后查表确定临界值xα； （4）当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断 犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立， 可以认为X和Y独立. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 练 （2024·全国甲卷17题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级 改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验， 数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99 ％的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解：填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 则完整的2×2列联表如下： 优级品 非优级品 总计 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 总计 96 54 150 高中总复习·数学（创新版） 目 录 χ2＝ ＝4.687 5. 因为χ2＝4.687 5＞3.841，所以有95％的把握认为甲、乙两车间产品的优 级品率存在差异； 因为χ2＝4.687 5＜6.635，所以没有99％的把握认为甲、乙两车间产品的 优级品率存在差异. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，设 为升级改造后 抽取的n件产品的优级品率.如果 ＞p＋1.65 ，则认为该工厂 产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线 智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ ≈12.247） 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解：由题意可知 ＝ ＝0.64， 又p＋1.65 ＝0.5＋1.65× ≈0.5＋1.65× ≈0.57， 所以 ＞p＋1.65 ， 所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 高中总复习·数学（创新版） 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：72分） 　[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. （2026·上海浦东模拟）已知一项统计结果表明有99％的把握认为“吸 烟与患肺癌有关”是正确的，则（　　） A. 吸烟者一定会患肺癌 B. 吸烟者患肺癌的概率为99％ C. 100个吸烟者大约有99个会患肺癌 D. 认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1％ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：　根据独立性检验思想可知，有99％的把握认为“吸烟与患肺癌 有关”是正确的，也可认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1％. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 2. （2026·江苏苏州模拟）设研究某两个属性变量时，作出零假设H0并得 到2×2列联表，计算得χ2＞x0.05，则下列说法正确的是（　　） A. 有99.5％的把握认为H0不成立 B. 有5％的把握认为H0的反面正确 C. 有95％的把握能反驳H0 D. 有95％的把握判断H0正确 解析：　依题意，χ2＞x0.05，因此有95％的把握反驳H0，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 3. 为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到 如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则 ＝ （　　） 性别 羽毛球 喜欢 不喜欢 女生 m n 男生 50 100 附：χ2＝ ，其中n＝a＋b＋c＋d. A. 4 B. 2 C. 1 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：　要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则χ2＝0， 所以100m＝50n，所以 ＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 4. 〔多选〕某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名 男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到 如下所示的列联表，经计算χ2≈4.762，则可以推断出（　　） 性别 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 A. 该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 B. 调查结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C. 认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，此推断犯错误的概率不超过 0.05 D. 认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，此推断犯错误的概率不超 过0.01 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：对于A，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 ＝ ，故A正确；对于B，该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为 ＝ ＞ ，故B错误；因为χ2≈4.762＞3.841＝x0.05，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，此推断犯错误的概率不超过0.05，故C正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 5. 如图是调查某学校高一、高二年级学生参加社团活动的等高堆积条形 图，阴影部分的高表示参加社团的频率.已知该校高一、高二年级学生人 数均为600（所有学生都参加了调查），现从参加社团的同学中按分层随 机抽样的方式抽取45人，则抽取的高二学生人数为 ⁠. 27 解析：根据等高堆积条形图可知，参加社团的高一和高二的人数比为2∶3，由分层随机抽样的性质可得，抽取的高二学生人数为45× ＝27. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 6. 随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼 时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体 育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学 生进行问卷调查，得到如下数据（10≤m≤20，m∈N*） 支持 不支持 男生 70－m 10＋m 女生 50＋m 30－m 若通过计算得，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为支持增加中学 生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加 中学生体育锻炼时间的人数的最小值为 ⁠. 66 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：因为根据小概率值α＝0.05的独立性检验认为“支持增加中学生体 育锻炼时间的政策与性别有关”，所以 ≥3.841，即（m－10）2≥28.807 5，因为函数y＝（m－10）2在10≤m≤20时单调递增，且m∈N*，而（15－10）2＜28.807 5，（16－10）2≥28.807 5，所以m的最小值为16，所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为50＋16＝66. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 7. （15分）〔一题多解〕（2026·四川宜宾模拟）某地为调查年龄在 35―50岁段人群每周的运动情况，从年龄在35―50岁段人群中随机抽取了 200人进行问卷调查，将调查结果整理如下： 女性 男性 每周运动超过2小时 60 80 每周运动不超过2小时 40 20 （1）根据以上信息，能否有99％把握认为该地年龄在35―50岁段人群每 周运动超过2小时与性别有关？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解：由题意可得 女性 男性 合计 每周运动超过2小时 60 80 140 每周运动不超过2小时 40 20 60 合计 100 100 200 由表中数据得χ2＝ ＝ ≈9.524＞6.635. 所以有99％把握认为该地35－50岁年龄段人群每周运动超过2小时与性别 有关. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层随机 抽样，共抽6人.再从这6人中随机抽取2人进行访谈，求这2人中至少有1人 是女性的概率. 解：法一　在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层随机抽样，共抽6人，则女性抽取4人，记为：A1，A2，A3，A4，男性抽取2人，记为：B1，B2，从这6人中随机抽取2人，抽法有： ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 这2人中至少有1人是女性的抽法有： A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A3A4， A3B1，A3B2，A4B1，A4B2共14种，故2人中至少有1人是女性的概率P＝ . 法二　在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层随 机抽样，共抽6人，则女性抽4人，男性抽2人，总的抽法有 ＝15种. 由于2人中至少有1人是女性的对立事件是抽取的2人全是男性，而全是男 性的概率P1＝ ＝ ， 从而这2人中至少有1人是女性的概率P＝1－P1＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 8. 〔多选〕针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性 别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜 欢航天的人数占男生人数的 ，女生中喜欢航天的人数占女生人数的 ，若 依据α＝0.05的独立性检验，认为是否喜欢航天与学生性别有关，则被调 查的学生中男生的人数可能为（　　） A. 25 B. 45 C. 60 D. 75 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：设男生的人数为5n（n∈N*），根据题意列出2×2列联表如下所示： 是否喜欢航天 性别 合计 男生 女生 喜欢航天 4n 3n 7n 不喜欢航天 n 2n 3n 合计 5n 5n 10n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 则χ2＝ ＝ ，∵依据α＝0.05的独立性检验，认 为是否喜欢航天与学生性别有关，∴χ2≥3.841，即 ≥3.841，得 n≥8.066 1，∴5n≥40.330 5，又n∈N*，∴结合选项知B、C、D正 确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 9. 为了了解空气质量指数（AQI）与参加户外健身运动的人数之间的关 系，某校环保小组在暑假期间（60天）进行了一项统计活动：每天记录到 体育公园参加户外健身运动的人数，并与当天AQI值（从气象部门获取） 构成60组成对数据（xi，yi）（i＝1，2，…，60），其中xi为当天参加户 外健身运动的人数，yi为当天的AQI值，并制作了如下散点图： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 环保小组发现散点有分区聚集的特点，尝试作聚类分析.用直线x＝100与y ＝100将散点图分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（如图），统计得到各区域的 点数分别为5，10，10，35，并初步认定“参加户外健身运动的人数不少 于100与AQI值不大于100有关联”，则该“初步认定”犯错误的概率范围 是 ⁠. （0.001，0.005） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解析：根据散点图，建立2×2列联表为 AQI值 参加户外健身运动人数 合计 人数＜100 人数≥100 AQI＞100 10 5 15 AQI≤100 10 35 45 合计 20 40 60 则χ2＝ ＝10.因为7.879＜10＜10.828，故犯错率在0.001与0.005之间，所以该“初步认定”犯错误的概率范围是（0.001，0.005）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 10. （15分）（2026·云南昆明模拟）某地区为了 检测某种农业有机肥料的效果，农业专家播撒肥料 到200块试验田中，一段时间后测量土地的某项肥 力指标，按[0，20），[20，40），[40，60）， [60，80），[80，100]分组，绘制成如下频率分布 直方图.试验后发现，产生土地肥力的为160块，其中该项指标不小于60的有110块.假设各块试验田播撒肥料后是否产生肥力相互独立. （1）列出2×2列联表，根据α＝0.01的独立性检验，判断能否认为播撒肥 料试验田产生肥力与指标值不小于60有关； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 解：在[0，20）指标内的有0.002 50×20×200＝10块， 同理：[20，40）内的有25块，[40，60）内的有35块， [60，80）内的有100块，[80，100]内的有30块， 指标值 合计 小于60 不小于60 产生肥力 50 110 160 未产生肥力 20 20 40 合计 70 130 200 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 零假设H0：播撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60无关， 则χ2＝ ≈4.945＜6.635， 依据小概率值α＝0.01的独立性检验，不能推断H0不成立，即不能认为播 撒肥料试验田产生肥力与指标值不小于60有关. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 （2）为了检验有机肥第二次播撒的有效性，对第一次播撒有机肥后没有 产生肥力的试验田进行第二次播撒，结果又有20块试验田产生肥力.用频 率估计概率，求一块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的概率P. 解：由题意，第一次播撒后产生肥力的频数为160， 第一次播撒有机肥后没有产生肥力的试验田进行 第二次播撒后产生肥力的频数为20， 则一块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的频率为 ＝ ，以频率估计概率，这块试验田播撒2次有机肥料产生肥力的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 高中总复习·数学（创新版） 目 录 $