题号猜题13 中考数学24题 二次函数综合压轴题（解答题）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜题13 中考数学24题 二次函数综合压轴题（解答题） 考点1线段与周长问题 1．（2026年天津市北辰区中考二模考试数学题）已知抛物线（，，为常数，），，抛物线与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)若，点的坐标为，点的坐标为． ①求该抛物线的解析式和顶点坐标； ②过点作交抛物线于点，点为轴下方对称轴上一动点，当为等腰三角形时，求点的坐标： (2) 若，，连接，点和点为直线上的两个动点（点在点的右侧），，点为直线下方抛物线上的一个点，点的横坐标为，连接，，当的最小值等于时，求的值． 2．（湖北省恩施市2026年中考第一次适应性考试数学试题卷）二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点． (1)如图1，求二次函数的表达式； (2)如图2，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接． ①过点作轴垂线交于，求的长； ②若，求点的坐标； (3)定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“5阶融合点”．如图3，将二次函数在轴左侧部分的图象沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数在第四象限内的图象沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有2个“阶融合点”，请求出的取值范围． 3．（2026·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的对称轴与顶点纵坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，轴左侧部分保持不变，组成新图形． ①若，过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点．若线段的长度随的长度增大而增大，求的取值范围； ②点在图形上，点在抛物线上．（点、不与原点重合）当，若为与无关的定值，求的值． 4．（2026·湖北·模拟预测）已知抛物线过点和． (1)抛物线的对称轴是__________； (2)若直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，过点作轴的平行线，直线与抛物线交于，两点，点在点的左边． ①求点的坐标； ②设的面积为，求的最小值及此时抛物线的解析式； ③点在②中所求抛物线上，横坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．当为直角三角形时，直接写出的值． 5．（25-26九年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P向x轴作垂线，交线段于点Q，求线段的最大值； (3)连接，将线段沿x轴向右平移个单位长度，若线段与抛物线无交点，请直接写出m的取值范围． 考点2面积最值问题 6．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2026·湖北黄冈·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点，点P在该抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果点P是抛物线的顶点，求的面积； (3)点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m，以点A为对称中心构造矩形，轴． ①当时，如果该抛物线的顶点在矩形的边上时，求m的值； ②记矩形的周长为l，当时，直接写出l关于m的函数解析式． 8．（2026·黑龙江牡丹江·一模）如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式并直接写出顶点的坐标； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2026·安徽六安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点，为该抛物线与轴的两个交点（在的左侧），求的值； (3)是该抛物线上任意一点，点也在该抛物线上（，与不重合），（为常数，且）：令，若的值为定值，求此定值是多少？ 10．（2026·四川绵阳·二模）如图1，抛物线过点，，与轴交于点，将沿直线平移得到，点分别对应点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点落在抛物线上时，，求的值； (3)如图2，抛物线平移得到抛物线，图象经过点，抛物线与直线交于另一点，与对称轴右侧的轴交于点，其中点与图象上的对应，当时，若，求的顶点坐标． 考点3角度相等或倍角问题 11．（2026·山东济南·二模）抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)点N在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点N的坐标； (3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一点，当满足时，求点D坐标． 12．（2026·重庆渝中·二模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一点，连接交直线于点，点是直线上一点，点是轴上一点，连接，当取最大值时，求点的坐标及的最小值． (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 13．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方对称轴左侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，过点作轴，且垂足为，点，为线段上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，连接交线段于点，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，记点平移后的对应点为点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 14．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方该抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，交轴于点．点、是轴上两动点，点在点上方，且，连接，．当的周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，是新抛物线对称轴上纵坐标为2的点，是新抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 15．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标小1，那么我们把这样的点称为“一步点”，例如点、都是“一步点”． 在平面直角坐标系中（如图），如果某条抛物线的顶点是“一步点”，当它的顶点的横坐标为时，该抛物线与轴的交点为． (1)求这条抛物线的表达式和抛物线上的另一个“一步点”； (2)已知直线与轴、轴分别交于点、．将（1）中的抛物线平移得到一条新抛物线，如果新抛物线的顶点还是“一步点”．设点的横坐标为． ①当点在的内部时，求的取值范围； ②设新抛物线与轴的交点为，当时，求新抛物线的表达式． 考点4特殊三角形存在问题 16．（2026·四川宜宾·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点；与轴交于点，，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上一动点，过点且与轴垂直的直线交线段于，交轴于点．若，求点的横坐标； (3)点是轴上一动点，将顶点绕点旋转后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 17．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2026·辽宁盘锦·一模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，顶点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)直线：经过点，将直线a绕点C旋转，旋转后的直线记为l， ①已知l与抛物线交于第一象限内的点E，当时，求点E的坐标； ②当直线l与x轴交于时，在直线l下方抛物线上取一点M，过点M作直线l，垂足为H，是否存在一点M使得？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由； ③设抛物线上一点，点是点T关于直线l的对称点，当落在抛物线上时，判断位于抛物线的对称轴左侧还是对称轴右侧，并说明理由． 19．（2022·湖北十堰·模拟预测）如图，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．A点的坐标是，对称轴是直线，抛物线顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)若E为线段上的一点，其横坐标为m，过点E作轴于点F，求当m为何值时，四边形的面积最大？ (3)点P在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在一点，使，，若存在，求出点P和点的坐标，若不存在，请说明理由． 20．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 考点5特殊四边形存在问题 21．（2026·湖北随州·二模）定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“关联对称二次函数”．例如：的“关联对称二次函数”为． (1)的“关联对称二次函数”为________，的“关联对称二次函数”为________； (2)关于“关联对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“关联对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“关联对称二次函数”是它本身； ③的“关联对称二次函数”为； ④任意两个“关联对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． (3)如图，二次函数与其“关联对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，求出的值． 22．（2026·安徽马鞍山·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点P在抛物线上，点P的横坐标为m，作轴于点Q，将线段绕点O旋转得到线段，作四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当M，N两点关于该抛物线的对称轴对称时，求四边形的面积； (3)当，抛物线在四边形内部的图象（包括边界）记为G，若图象G的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8，求m的值． 23．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2026·湖南长沙·模拟预测）《镜花缘》是我国清代的长篇小说，其中“镜”有映照、对称的意象．我们把两个图象关于直线对称的函数互称为“镜花缘对”函数． (1)求函数的“镜花缘对”函数； (2)已知函数的“镜花缘对”函数为，它们的图象交于点，函数与函数的交于点，（点在的右侧），，当时，求的取值范围； (3)二次函数与它的“镜花缘对”函数的顶点分别为，（点，不重合），两函数交于点，若在函数图象上还存在一点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，请求出此菱形的面积． 25．（2026·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线对称轴为直线，与y轴交于点．点A，B是该抛物线上不重合的两点（点A，B均不与点M重合），横坐标分别为m，，连接，以为边，以点M为对称中心作． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当的一条边与坐标轴平行时，求m的值； (3)当点A在点B的右侧，且的边与抛物线交于点N（点N不与点A，D重合），若的面积等于的面积的3倍，求m的值； (4)当的顶点C，D恰好落在同一象限内时，直接写出m的取值范围． 考点6相似三角形存在问题 26．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线（是常数，且），交轴于、两点，在的左侧，交轴于点，连接，点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，设点的坐标为． (1)求点、的坐标（用含的式子表示）； (2)如图2，连接交于点，当取最小值时，求代数式的值； (3)若是钝角，求的取值范围． 27．（2026·江苏宿迁·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若点P是抛物线上在直线上方一点，连接，当直线把分成面积比为的两部分时，求点P的坐标； (3)将射线绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D，再将抛物线沿射线方向平移，得到一条新的抛物线（其顶点为M）．设这两条抛物线的交点为Q． ①求旋转角度的正弦值； ②当时，请直接写出原抛物线平移的距离． 28．（2026·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．直线经过点，且． (1)求直线的表达式； (2)已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，连接、、，当四边形是梯形时，求抛物线的表达式． 29．（2026·四川南充·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，点D是上方抛物线上一点，连接交于点E，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标． (3)如图2，已知点，与抛物线有唯一交点F（点F在y轴左侧），点P在第一象限的抛物线上，射线与抛物线另一个交点为Q，连接、，分别交y轴于M、N．当时，探究与的数量关系，并说明理由． 30．（2026·湖南永州·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点C，连接． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图象上的一点，且，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点P在x轴下方时，在直线上任取一点D（不与点B重合），当直线与直线相交于点E时，过点E作交x轴于点F． ①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时的长； ②随着点D位置的变化，试探究，和三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由． 考点7纯代数二次函数问题 31．（2026·山东临沂·一模）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求该二次函数的解析式，并写出其图形的顶点坐标； (2)若点、在该函数图象上，且，求实数的取值范围； (3)若当时，该函数的最大值为，最小值为，且满足，求实数的值． 32．（2026·山东德州·一模）已知抛物线过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，当时，的最大值为，求的值； (3)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．当线段随着的增大而减小时，求的取值范围． 33．（2026·山东德州·一模）已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． (3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线、之间．若直线、之间的距离为16，求的最大值． 34．（2026·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图像与x轴有两个公共点，我们将这两个公共点之间的距离记为d． (1)当，，时． ①______； ②将该函数图像沿着y轴向上平移个单位长度得到一个新的函数图像． i）用含k的代数式表示d；（要求：写出求解过程．） ii）新图像上恰有3个点到x轴的距离等于d，求k的值． (2)下列说法：①当a，b确定时，d随着c的增大而减小；②当a，c确定时，d随着b的增大而减小；③当b，c确定时，d随着a的增大而减小．其中，正确的是______．（填序号） 35．（2026·福建南平·二模）二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4． (1)求a，b应满足的数量关系； (2)已知二次函数的图象上任意两点，满足：若，则总有． ①求该二次函数的表达式； ②试说明：对于该二次函数图象上两点，（其中且），都有． 1．（湖南郴州市2026年中考第二次模拟监测数学）已知抛物线与抛物线交于，两点． (1)求b，c的值； (2)如图1，直线分别与两条抛物线相交，交点从左到右依次为A，B，C，D．设点A，B，C，D的横坐标分别为，，，．求证：； (3)如图2，当时，直线与两条抛物线分别相交于点M，N，试问四边形的面积是否存在最大值为？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由． 2．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且是等腰直角三角形． (1)求证：； (2)已知，过抛物线位于第一象限的点，且抛物线上的点均不在内． ①求抛物线的函数表达式及点P的坐标； ②若直线：过点P，且抛物线在的部分与有公共点，求实数的取值范围． 3．（福建省南平市2026年初中毕业班第二次适应性练习数学）已知抛物线（m为常数）过点，与x轴交于，点是直线上方的抛物线上任意一点，过点P作垂直于x轴的直线交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)命题一：如果，那么；命题二：如果，那么； 判断命题一、二是否正确，若不正确；请举一个反例；若正确，请证明． 4．（2026年四川成都市初中学业水平模拟测试（模拟一））在平面直角坐标系中，已知图象P对应的解析式（其中m为常数），且P经过点． (1)求P的解析式（整理为y关于x的函数形式，并写出自变量x的取值范围）； (2)如图，记点，，动点Q在P上，若以A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，且，求所有满足题意的Q点坐标； (3)设S是直线上一点，过S分别作直线、交P于点、与点、（四个点互不重合），试探究：在点S和两条直线变化的过程中，是否存在？若存在，求出直线与直线的斜率和；若不存在，请说明理由． 5．（2026·河北保定·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点A，顶点为P，抛物线的顶点为Q． (1)求抛物线的对称轴及顶点P的坐标； (2)若抛物线与关于直线对称，求m的值； (3)若抛物线与直线交于点C和D（点C在点D的左侧），当线段的长度在时，求a的取值范围； (4)连接，过点A作交抛物线于点E，连接．当时，直接写出此时点E的坐标． 6．（2026·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点，，与y轴交于点C，抛物线：（）经过A，B两点，与y轴交于点D． (1)求m与n的值； (2)若抛物线的顶点为E，连接，当直线恰好经过点C时，求b的值； (3)点P在线段上（不与点A，B重合），过点P作垂直于x轴的直线，分别交抛物线，于点M，N，且M是的中点． ①求的最大值； ②设，，若实数d满足关于t的方程在内有实数根，求d的取值范围． 7．（2026·湖北孝感·一模）已知抛物线交轴于点，点，交轴于点，点为抛物线的顶点，为抛物线上第四象限的一动点． (1)直接写出抛物线的表达式____________；及顶点的坐标_____． (2)如图（1）当在对称轴右侧抛物线上，连接交于，若， ①求此时点坐标； ②如图（2）在线段上运动，直接写出的最小值_____． (3)如图（3）已知在抛物线上，且坐标为，在线段上运动，作射线．点是射线上一动点，且满足，记的最小值为； ①求的值； ②设的面积记为，若，请直接写出的取值范围_____． 8．（2026·辽宁大连·二模）定义；如果二次函数图象的顶点在直线上，我们称这样的二次函数为“双正二次函数”．如图，二次函数的顶点为A，二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A（点A与点B不重合）． (1)判断二次函数是否为“双正二次函数”，并说明理由； (2)求二次函数的解析式； (3)点M在二次函数的图象上，过点M作轴交二次函数的图象于点N（点M与点N不重合），直线交直线于点Q，设点M的横坐标为m． ①求证：点Q是线段的中点； ②当时，求线段的最大值． (4)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值为，最小值为，求n的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜题13 中考数学24题 二次函数综合压轴题（解答题） 考点1线段与周长问题 1．（2026年天津市北辰区中考二模考试数学题）已知抛物线（，，为常数，），，抛物线与轴相交于点和点（点在点的左侧），与轴相交于点． (1)若，点的坐标为，点的坐标为． ①求该抛物线的解析式和顶点坐标； ②过点作交抛物线于点，点为轴下方对称轴上一动点，当为等腰三角形时，求点的坐标： (2)若，，连接，点和点为直线上的两个动点（点在点的右侧），，点为直线下方抛物线上的一个点，点的横坐标为，连接，，当的最小值等于时，求的值． 【答案】(1)①，顶点坐标为；②，， (2) 【分析】（1）①用待定系数法求出抛物线的解析式； ②延长交轴于点，用待定系数法求出直线的解析式，求出抛物线与直线的交点的坐标，设，其中，当为等腰三角形时，分情况求出点的坐标； （2）设点的坐标为，点的坐标为，把和代入，把点的坐标用含的代数式表示出来，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得：，可知当，，三点共线时,的 值最小，由勾股定理可得：，解方程即可求出此时的值． 【详解】（1）①解：当时，抛物线的解析式为， 抛物线经过点和， ，， 解得：， 抛物线的解析式为，               ， 抛物线的顶点坐标为；                       ②如图，延长交轴于点， ，， ，， ， ，， ， 设直线的解析式为：（，为常数，）， 把和代入， 可得解得， 直线的解析式为：， 解方程组：， 解得：，， ，                         为轴下方对称轴上一动点， 设，其中， 由抛物线的解析式，令， 可得：， 解得：，（与点重合，舍去）， 点的坐标为， ，，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述：，，；                        （2）解：设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ，， 点的坐标为， ， 把和代入， 可得：， 点的横坐标为， ， 即，                           如下图所示，过点作，且，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ． ，此时，，三点共线， 过点作轴，交轴于点， 为等腰直角三角形， ． ， ， ， 解得：． 2．（湖北省恩施市2026年中考第一次适应性考试数学试题卷）二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点． (1)如图1，求二次函数的表达式； (2)如图2，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接． ①过点作轴垂线交于，求的长； ②若，求点的坐标； (3)定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“5阶融合点”．如图3，将二次函数在轴左侧部分的图象沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数在第四象限内的图象沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有2个“阶融合点”，请求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②或； (3)或． 【分析】（1）利用对称轴公式和待定系数法求解即可； （2）①先求出点坐标及直线的解析式，再把点A的横坐标代入直线的解析式中求出对应的函数值即可得到点E的坐标，进而可得答案；②由可推出；过点分别作轴的平行线，分别交直线于两点，证明 ，得到，进而推出；设出点的坐标，并表示出点的坐标，进而表示出的长度，进而建立方程求解即可； （3）根据题意可得所有的“阶融合点”都在直线上，求出直线过点和点时t的值，以及当与只有一个交点时t的值，进而函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数对称轴为直线，且过点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①在中，当时，，则， ∵二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点， ∴由对称性可知点B的坐标为； 设直线的解析式为，则， 解得， 直线的解析式为， 在中，当时，， ， ； ②∵，和同高（到直线的高）， ∴，即 如图，过点分别作轴的平行线，分别交直线于两点， ∴， ∴， 由（1）得， ∴ 设，则 ∴， ∴， 解得， 当时，； 当时，； ∴点的坐标为或； （3）解：“阶融合点”，满足， ， ∴所有的“阶融合点”都在直线上 当直线过点时，； 当直线过时，， 由图可得：当时，直线与的交点只有2个； 当与只有一个交点时， 联立得， 整理，得， ， 解得， 由函数图象可知，当时，直线与的交点只有2个； 综上，若函数图象上有且只有2个“阶融合点”，的取值范围为或． 3．（2026·江苏淮安·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的对称轴与顶点纵坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，轴左侧部分保持不变，组成新图形． ①若，过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点．若线段的长度随的长度增大而增大，求的取值范围； ②点在图形上，点在抛物线上．（点、不与原点重合）当，若为与无关的定值，求的值． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点纵坐标为 (2)①或；② 【分析】（1）代入点得，消元后用对称轴公式求对称轴，再将对称轴代入抛物线方程，结合化简求顶点纵坐标即可； （2）①确定图形表达式，写出、坐标，得到的长度，分类讨论的正负性，结合函数图像解答即可； ②由得 ，设，则 ，那么，当时，代入，得到，那么可得，同理讨论当的情况即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入可得：， 整理可得：， ∵抛物线的对称轴为：， ∴把代入可得：， ∴抛物线的对称轴为：； 把和代入可得：， ∴对称轴为直线，顶点纵坐标为； （2）解：①当时，则， ∴， 由（1）可得：对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， ∴把抛物线沿轴翻折后的顶点坐标为， 又∵翻折后图象和抛物线的开口大小相等，方向相反，且， ∴翻折后图象为：， ∵过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点， ∴在翻折后图象上，即；点直线上，即； ∴线段的长度， 当时，得， ∵， ∴，即， 此时，开口向上，对称轴为， ∵在上随的增大而增大， ∴， 解得：，符合题意； 当时，得， ∵， ∴，解得， 此时，开口向下，对称轴为， ∵在上增大而增大， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 综上，的取值范围为：或； ②由得 ， 设，则 ， ∵点在上， ∴， 分两种情况讨论： 当时，点在原抛物线上，代入得 ： ， ∵，两边同除以整理得 ：， ∵是与无关的定值， ∴等式对任意成立时，需满足， 化简得：， 解得，； 当时，点在翻折后的图形上， 代入得： ， ∵ ，两边同除以整理得 ：， ∵是与无关的定值， ∴等式对任意成立时，需满足， 化简得：， 解得：，， 综上，． 4．（2026·湖北·模拟预测）已知抛物线过点和． (1)抛物线的对称轴是__________； (2)若直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，过点作轴的平行线，直线与抛物线交于，两点，点在点的左边． ①求点的坐标； ②设的面积为，求的最小值及此时抛物线的解析式； ③点在②中所求抛物线上，横坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②；；③，，， 【分析】（1）根据对称轴公式进行计算即可求解； （2）①根据题意得出，设，根据根与系数的关系得 ，又 ，得出，即可求解； ②根据题意得出 ，联立抛物线： ，设 ，由根与系数的关系得 得出，根据二次函数的性质求得最值，即可求解； ③由题意得：，，，根据勾股定理分别表示出，分三种直角情况讨论，列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 对称轴为直线 （2）解：①∵ 在对称轴 上，关于对称轴对称， ∴ ∵ ，，且 两式相减得 设， 令，则， 由根与系数的关系得 ， 又 ， 代入得： ， 解得 ​ 即 ②轴且过 ， 故 ， 联立抛物线： 整理得 设 ， 由根与系数的关系得 则： 的高为 ，故面积 ∵，， 当 时，根号内取最小值5， 故， 此时抛物线解析式为 ③∵点在②中所求抛物线上，横坐标为，则纵坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为． ∴，，，分三种直角情况讨论： ，， 点为直角顶点时：， ∴，即 解得：​ 点为直角顶点时：， ∴，即 解得： ​ 点为直角顶点时：， ∴，即 解得： ​​ 综上所述，的值为，，，． 5．（25-26九年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P向x轴作垂线，交线段于点Q，求线段的最大值； (3)连接，将线段沿x轴向右平移个单位长度，若线段与抛物线无交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法直线解析式为，设，则，可求出，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）利用待定系数法求出平移前线段的解析式为，可得平移后线段的解析式为，由二次函数的对称性可得点的对称点为，再分别求出当线段经过和时对应的值，结合图象即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， ∵轴， ∴设，则， ∴ ， ∴当时，取最大值为； （3）解：设平移前线段的解析式为， 代入得， 解得：， 平移前线段的解析式为， ， 抛物线对称轴为， 点关于对称轴的对称点， 线段向右平移个单位长度， 平移后线段的解析式为， 当平移后线段经过，则， 解得：， 当平移后线段经过，则， 解得：， 结合图象得，若线段与抛物线无交点，的取值范围为或． 考点2面积最值问题 6．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点E的坐标为，； (3)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； ∴； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 7．（2026·湖北黄冈·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中b、c为常数）的图象经过和两点，点P在该抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)如果点P是抛物线的顶点，求的面积； (3)点P在该抛物线上，其横坐标为，点A在x轴上，其横坐标为m，以点A为对称中心构造矩形，轴． ①当时，如果该抛物线的顶点在矩形的边上时，求m的值； ②记矩形的周长为l，当时，直接写出l关于m的函数解析式． 【答案】(1) (2)3 (3)①；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点P的坐标，再利用割补法即可求解； （3）①先可得，，则可得，即可求解； ②先由时，可得，再分，两种情况即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过和， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，顶点为， ∵，， ∴． （3）解：①∵点P在该抛物线上，其横坐标为， 当时，，即， ∵点A在x轴上，其横坐标为m， ∴． ∵点A为对称中心构造矩形PQMN， ∴， ∴， 当该抛物线的顶点在矩形的边上时，如图1，， 解得，， ∵， ∴， ∴当该抛物线的顶点在矩形的边上时，． ②当时，点M和点N重合， 化简得，解得：，， ∵， ∴， 当时，如图2所示， ∵，， ∴； 当时，如图3所示， ∵，， ∴； 综上所述，．     8．（2026·黑龙江牡丹江·一模）如图，二次函数的图像与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式并直接写出顶点的坐标； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入二次函数，利用待定系数法解得该函数解析式，并将其转化为顶点式，即可确定顶点的坐标； （2）首先确定点坐标，进一步利用待定系数法确定直线的解析式，证明为直角三角形，且；过点作轴，交直线于点，过点作于点，作轴，交直线于点，证明，由相似三角形的性质可得，结合，且与同底（底为），可知，即，进一步可得；设点，确定点坐标，可得，整理并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点，代入二次函数， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）存在． 对于二次函数，当时，可得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且， 如下图，过点作轴，交直线于点，过点作于点，作轴，交直线于点， 则，， ∴， ∴， ∴， ∵，且与同底（底为）， ∴点到直线的距离等于点到直线的距离的一半，即， ∴， ∵，轴， ∴，将其代入直线， 可得，即， ∴， ∴， 设点， ∵轴， ∴，将其代入直线， 可得，即， ∴，整理可得， 当时，即， 解得， ∴； 当时，即， ∵， ∴该方程无解． 综上所述，点的坐标为或． 9．（2026·安徽六安·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点，为该抛物线与轴的两个交点（在的左侧），求的值； (3)是该抛物线上任意一点，点也在该抛物线上（，与不重合），（为常数，且）：令，若的值为定值，求此定值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)此定值是4 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，将代入，可得，即可得抛物线的函数表达式； （2）令，可得，，记与相交于点，可得，根据三角形的面积公式求解即可； （3）将，代入抛物线的函数表达式，可得，，结合已知可得，可得，根据题意可得的值与无关，可得，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为， ∵抛物线与轴交于点， ∴，得， ∴抛物线的函数表达式为，即； （2）解：令，解得，， ∴，， 记与相交于点， ∴ ； （3）解：∵，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∵，的值为定值，且点是抛物线上任意的一点， ∴的值与无关， ∴， ∴， ∴，即此定值是． 10．（2026·四川绵阳·二模）如图1，抛物线过点，，与轴交于点，将沿直线平移得到，点分别对应点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点落在抛物线上时，，求的值； (3)如图2，抛物线平移得到抛物线，图象经过点，抛物线与直线交于另一点，与对称轴右侧的轴交于点，其中点与图象上的对应，当时，若，求的顶点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）设，过点作轴交于点，则可得，利用面积公式，再结合得，，从而可以求出，利用的平移的性质即可求解； （3）根据平移的性质可得，，根据二次函数的对称性得，利用平移的性质得直线的解析式为，从而得到，设，则是由向右平移个单位，再上平移个单位而得，可得设的解析式为，再根据和得是等腰直角三角形，即可列式求解． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， 即． （2）解：点在抛物线上， 设， 过点作轴交于点， ， ， 直线的解析式为：， ， ， ． ， ， 即， ， 解得（舍去）， ． 由平移性质得，且， ， ， ． （3）解：由平移性质知：， ， 又的对称轴， ， ， ，， 设直线的解析式为， 将代入得，， 直线的解析式为：， 令， 解得：， ， 在的图象上，又， 设， 则是由向右平移个单位，再上平移个单位而得， 的顶点坐标是， 的顶点坐标为， 设的解析式为：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 将点代入解析式得： ， 即， 解得或（此时点重合，舍去）， 顶点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和图像，待定系数法求二次函数解析式，三角形面积与抛物线的平移，能够熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 考点3角度相等或倍角问题 11．（2026·山东济南·二模）抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)点N在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点N的坐标； (3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一点，当满足时，求点D坐标． 【答案】(1)， (2)或或或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令，求出x的值，从而求得点B的坐标； （2）先求出抛物线的对称轴，设，由勾股定理和两点间距离公式得出的长度，和的表达式，此时分情况讨论：①当A为直角顶点时；②当C为直角顶点时；③当N为直角顶点时，利用勾股定理求得t的值，即可求得点N的坐标； （3）延长交y轴于F，在上取点E，使，设，则， 利用勾股定理列出方程求得t的值，即可得到，，通过角度和差关系及等边对等角可得到点F的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，最后联立抛物线解析式即可得到点D的坐标． 【详解】（1）解：将代入得， 将代入得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，，解得：（舍），， ∴． （2）解：∵对称轴， ∴设， ∵，， ∴，，， ①当A为直角顶点时，， ∴， ∴， ∴； ②当C为直角顶点时，， ∴， ∴， ∴； ③当N为直角顶点时，， ∴， 解得：，， ∴或， 综上所述，点的坐标为或或或． （3）解：如图，延长交y轴于F，在上取点E，使， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标是， 点A的坐标是、点F的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：，解得：， ∴直线的解析式是， 联立，解得：（舍），， ∴点D的坐标是． 12．（2026·重庆渝中·二模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上一点，连接交直线于点，点是直线上一点，点是轴上一点，连接，当取最大值时，求点的坐标及的最小值． (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线上一点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)； (2)，； (3)或，过程见解析． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）过点作轴交直线于点，令，则的横坐标为，证明，则，所以，根据二次函数的性质可得，当，取得最大值，求出，然后求得，然后求出直线解析式为，直线解析式为，联立得，作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，分别过作轴垂线，垂足分别为，连接，，证明四点共线，然后利用两点间的距离求出，则，同理可得，故有，从而求出，又，所以当点四点共线时，最小，为的长，然后利用两点间的距离求得从而得解； （）由抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，可得抛物线向下平移个单位，再向左平移个单位，所以平移后新抛物线，然后分如图，过点作交新抛物线于点，交轴于点，由，，则，先求直线解析式，联立，然后解方程组即可；连接交新抛物线于点，如图，由知直线解析式为，当时，，证明，在求出直线解析式为，联立，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴交直线于点， 令，则的横坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，当，取得最大值， ∴， ∴， 联立，解得：或， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 同理可得：直线解析式为， 联立，解得：， ∴， 作点关于直线的对称点，关于轴的对称点，分别过作轴垂线，垂足分别为，连接，， ∴，，，，，， ∴，， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴四点共线， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点四点共线时，最小，为的长，如图， ∴的最小值为； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线向下平移个单位，再向左平移个单位， 由， ∴平移后新抛物线， 如图，过点作交新抛物线于点，交轴于点， ∵，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：（舍去），， ∴， 连接交新抛物线于点，如图， 由知直线解析式为，当时，， ∴， ∴， 由得当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：直线解析式为， 联立， 解得：，（舍去）， 综上所述：符合条件的点或． 13．（2026·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方对称轴左侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，过点作轴，且垂足为，点，为线段上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，连接交线段于点，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，记点平移后的对应点为点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据二次函数的性质以及待定系数法求解即可； （2）先说明，如图：过P作轴交于G，易得∴，即，则；运用待定系数法可得直线的解析式为，设点，则、，易得，，然后代入后运用二次函数的性质求最值可得；如图：将向下得到，即，作B关于的对称点，即连接，利用轴对称的性质、三角形三边关系、两点间距离公式求解即可； （3）先说明，平移后的函数关系式为，；再运用待定系数法求得直线的解析式，再与直线的解析式联立可求得点；如图：过K作轴于M，过P作轴于N，过H作轴于J，则，，利用等腰直角三角形的判定与性质、正切的定义、角的和差可得，即；如图：当在下方时，作于I，则，，即，设且，利用正切的定义、勾股定理、一次函数的图像的交点坐标可求得，运用待定系数法可求得直线的解析式为，再与平移后的抛物线解析式联立即可求得点T的坐标；同理可求得在上方的情况． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴①， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即②． ①②联立可得：， ∴抛物线表达式：． （2）解：令，，解得，即，故， 令，可得，即，故， ∴， ∴， 如图：过P作轴交于G， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵抛物线的对称轴是直线，轴交抛物线于点， ∴， ∵轴 ∴点G的横坐标为，即， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值， ∴直线的解析式为，， 如图：将向下得到，即，作B关于的对称点，即连接， ∴ ∴， ∴的最小值为， ∴． （3）解：∵ ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将向右平移8个单位，向上平移4个单位， ∴平移后的函数关系式为， ∵点平移后的对应点为点，， ∴， 设直线的解析式为，由（2）可得，， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 由（2）可得直线的解析式为， 联立，解得：， ∴， 如图：过K作轴于M，过P作轴于N，过H作轴于J，则，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：当在下方时，作于I，则，，即， ∵，， ∴， ∴，解得：，， 设且，则， 联立，解得：或（不合题意舍去）， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（与K重合舍去）； ∴； 如图：当在上方时，作交延长线于， 同理可得， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（与K重合舍去）； ∴． 综上，点的坐标为或． 14．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方该抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，交轴于点．点、是轴上两动点，点在点上方，且，连接，．当的周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，是新抛物线对称轴上纵坐标为2的点，是新抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)符合条件的点的坐标为或，见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式可得，进而得出是等腰直角三角形，求出，可知当取最大值时，的周长取最大值，然后利用二次根式的性质求出取最大值时点的坐标即可，然后将点向下平移1个单位长度得到点，利用轴对称求最短路径的方法进行解答即可； （3）首先求出直线的表达式，然后分情况讨论：①当点N在下方时，②当点在上方时，分别求出直线及的解析式，再与新抛物线进行联立求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中， 得， 解得， 该抛物线的表达式为； （2）在中，令 解得， 直线过点，， 直线的表达式为，且 轴，， ， 在中，， 的周长为： 设（），则 ， 当时，取得最大值，则的周长取得最大值 此时点的坐标为 如图1，将点向下平移1个单位长度得到点，则点的坐标为，连接 ， 四边形是平行四边形 即 作点关于轴的对称点，连接，则 当，，三点共线时，取最小值为 的最小值为 又， 的最小值为 点的坐标为，的最小值为； （3）由（2）知是等腰直角三角形， ∴， ∴将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将该抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴平移后新抛物线的表达式为， ，，， 设直线的表达式为， 代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为 ①当点N在下方时， ， 如图2，过点作交新抛物线于点 设直线的表达式为， 代入得： 解得： ∴直线的表达式为 由，得， （不合题意，舍去） 当时，， ； ②当点在上方时， 如图3，当时，交于L， ∵， ∴， 设， 则， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 由，得， （不合题意，舍去）， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 15．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标小1，那么我们把这样的点称为“一步点”，例如点、都是“一步点”． 在平面直角坐标系中（如图），如果某条抛物线的顶点是“一步点”，当它的顶点的横坐标为时，该抛物线与轴的交点为． (1)求这条抛物线的表达式和抛物线上的另一个“一步点”； (2)已知直线与轴、轴分别交于点、．将（1）中的抛物线平移得到一条新抛物线，如果新抛物线的顶点还是“一步点”．设点的横坐标为． ①当点在的内部时，求的取值范围； ②设新抛物线与轴的交点为，当时，求新抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据“一步点”的定义，抛物线的顶点的横坐标为时，顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将代入求解即可；设抛物线上的“一步点”坐标为，则，联立，，求解即可； （2）①先确定点、的坐标，根据顶点是“一步点”， 且点的横坐标为，得到，当点在的内部时，则点在第一象限且在直线下方，据此求解；②由平移性质可知，新抛物线的表达式为，令，得，求出，，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“一步点”的定义，抛物线的顶点的横坐标为时，顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入得， ， 解得， 抛物线的表达式为，即， 设抛物线上的“一步点”坐标为，则， 将代入抛物线表达式得，， 解得，， 当时，，点为， 当时，，点为； （2）①对于， 令，得，， 令，得，， 顶点是“一步点”， 且点的横坐标为， ， 若点在的内部，则点在第一象限且在直线下方， ， 解得， 的取值范围是； ②由平移性质可知，新抛物线的表达式为， 令，得 ，， 过点作轴于点，则， ，， 在中，， 在中，， ， ，解得， 当时，，与原抛物线重合，不合题意，舍去， 当时，， 新抛物线的表达式为． 考点4特殊三角形存在问题 16．（2026·四川宜宾·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点；与轴交于点，，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上一动点，过点且与轴垂直的直线交线段于，交轴于点．若，求点的横坐标； (3)点是轴上一动点，将顶点绕点旋转后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）先求出，解直角三角形得到，则；再利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式为；设，则，则，，根据t的取值范围和，建立方程求解即可； （3）求出，设，由旋转得，当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴； ∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴，， 当时，， ∵， ∴， 解得或（舍去）； ∴点M的横坐标为； （3）解：∵， ∴； 设， 由旋转得， 当时， 过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入得， 整理得， 解得， ∴或； 当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得， 解得， ∴或， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为或或或． 17．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 18．（2026·辽宁盘锦·一模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，顶点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)直线：经过点，将直线a绕点C旋转，旋转后的直线记为l， ①已知l与抛物线交于第一象限内的点E，当时，求点E的坐标； ②当直线l与x轴交于时，在直线l下方抛物线上取一点M，过点M作直线l，垂足为H，是否存在一点M使得？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由； ③设抛物线上一点，点是点T关于直线l的对称点，当落在抛物线上时，判断位于抛物线的对称轴左侧还是对称轴右侧，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，②存在，或，③位于对称轴左侧，理由见解析 【分析】（1）用待定系数法可求出a，从而得出二次函数的解析式； （2）①构造一线三垂直模型，得到三角形相似，利用相似三角形对应边成比例，可以得到关于点横坐的方程，从而可求出的坐标； ②延长交直线于点，可以证得恰好是，的中点，继而可以得出关于，横坐标的方程组，求出的横坐标即可获解； ③由对称性可知，，只要求出的长度，然后与比较，即可判断与对称轴的位置关系． 【详解】（1）解：∵顶点的坐标为， ∴设所求抛物线的解析式为， 把代入，得 ， ， ∴所求抛物线的解析式为； （2）①如图，过D作垂直于y轴，垂足为Q，过E作的垂线，垂足为P， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，，，， ， 解得(舍去)， ， ②如图，延长交直线l于点N， 把代入得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 为 的中点， ， 设 ，则， 设，则 ， ，， ， 化简得：， 解得， 当时，， 当时，， 的坐标为或， ③ 与关于直线对称， ， 当时， ， ，   ， ， ， 在对称轴左侧． 【点睛】本题是二次函数和几何的综合题，考查了二次函数图象上点的特征，二次函数的顶点式，对称轴，三角形的相似，等腰三角形的判定等知识，关键是要将所求结论转化具体的线段关系，寻找合适等量关系列出方程． 19．（2022·湖北十堰·模拟预测）如图，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．A点的坐标是，对称轴是直线，抛物线顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)若E为线段上的一点，其横坐标为m，过点E作轴于点F，求当m为何值时，四边形的面积最大？ (3)点P在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在一点，使，，若存在，求出点P和点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，； (3)点或，点或． 【分析】（1）把代入，得，由对称轴方程得，联立方程组，解方程组可得出答案； （2）点的横坐标为，则点的纵坐标为，点，由题意可知，，，根据面积公式及二次函数的性质可得出答案； （3）抛物线的对称轴为，当P点在x轴上方时，过点作于G，证明，则，求得；当P点在x轴下方时，为等腰直角三角形，则． 【详解】（1）解：把代入，得， 又对称轴是直线， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）解：对于，令，得， ； 当时，， ∴， ∵，对称轴是直线， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入解析式得， 解得 ∴直线的表达式为：， 连接， ∵点的横坐标为，则点的纵坐标为，点， 由题意可知：，，， ∴， ∵，点E在线段上，， ∴当时，； （3）解：抛物线对称轴与轴交于H，过作于G， ∵，， ∴，°， ∴ 在和△中， ， ∴， ∴，， ∵，对称轴， ∴， 设， ∴点， ∵点在抛物线上， , 整理得， 解得或, 当，，点与点C重合，在抛物线上，满足条件， 当，，点与点B重合，在抛物线上，满足条件， ∴点或，点或． 20．（2026·山西吕梁·一模）综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 【答案】(1) (2) (3)这两盏路灯的坐标分别为 【分析】（1）根据题意，得出点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的解析式为，将代入，求出的值，即可得出结果； （2）令，求解对应自变量的值即可； （3）假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且，可得垂直于轴，垂足为，且，设点的横坐标为，得，求解出的值，即可得出最终结果． 【详解】（1）解：据题意，可得， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点，点到的距离均为， ∴令， 解得， ∴． （3）解：如图，假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且， 可得垂直于轴，垂足为，且， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 可得， 解（舍去）． 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 即这两盏路灯的坐标分别为或． 考点5特殊四边形存在问题 21．（2026·湖北随州·二模）定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，且对称轴相同的二次函数互为“关联对称二次函数”．例如：的“关联对称二次函数”为． (1)的“关联对称二次函数”为________，的“关联对称二次函数”为________； (2)关于“关联对称二次函数”，下列结论正确的是________；（填序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“关联对称二次函数”； ②二次项系数为的二次函数的“关联对称二次函数”是它本身； ③的“关联对称二次函数”为； ④任意两个“关联对称二次函数”与轴一定有交点，与轴至少有一个二次函数有交点． (3)如图，二次函数与其“关联对称二次函数”都与轴交于点，点，分别在，上，点，的横坐标均为，它们关于的对称轴的对称点分别为点，，连接，，，．若，且四边形的邻边之比为，求出的值． 【答案】(1)； (2)①②③ (3)或或或 【分析】（1）根据“关联对称二次函数”的定义分别求出二次项系数、常数项和对称轴，再根据二次函数的对称轴公式求出一次项系数，由此即可得； （2）根据“关联对称二次函数”的定义即可判断①②③正确；举例二次函数，根据一元二次方程根的判别式可得其函数图象与轴没有交点，由此即可判断④错误； （3）先根据“关联对称二次函数”的定义可求出二次函数的解析式，再分别求出点的坐标，从而可得的长，然后根据四边形的邻边之比为建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：由题意得：的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为0，对称轴也为直线， 所以的“关联对称二次函数”为； 二次函数的对称轴为直线， 则二次函数的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴也为直线， 设二次函数的“关联对称二次函数”的一次项系数为， 所以，解得， 所以的“关联对称二次函数”为； （2）解：∵， ∴二次项系数为1的二次函数没有“关联对称二次函数”，则结论①正确； ∵，互为“关联对称二次函数”的两个二次函数的常数项相同，对称轴也相同， ∴此时这两个二次函数的一次项系数也相同， ∴二次项系数为的二次函数的“关联对称二次函数”是它本身，则结论②正确； 的对称轴为直线， 则的“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为3，对称轴为直线， 设的“关联对称二次函数”的一次项系数为， 则，解得， ∴的“关联对称二次函数”为，则结论③正确； 若二次函数为，则其“关联对称二次函数”为， ∵方程的根的判别式为没有实数根， ∴二次函数的图象与轴没有交点，则结论④错误； 综上，结论正确的是①②③； （3）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴其“关联对称二次函数”的二次项系数为，常数项为1，对称轴为直线， 设二次函数的一次项系数为， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， 将代入二次函数得：， 将代入二次函数得：， ∴，， ∵点关于直线的对称点分别为，， ∴，，即，， ∴，， ∵四边形的邻边之比为， ∴或， ∴或， 解得或或或， 所以的值为或或或． 22．（2026·安徽马鞍山·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点P在抛物线上，点P的横坐标为m，作轴于点Q，将线段绕点O旋转得到线段，作四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当M，N两点关于该抛物线的对称轴对称时，求四边形的面积； (3)当，抛物线在四边形内部的图象（包括边界）记为G，若图象G的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8，求m的值． 【答案】(1) (2)24 (3) 【分析】（1）将点代入求出a的值即可； （2）由旋转得点P和点M，点Q和点N分别关于原点O对称，推出四边形为平行四边形，且．根据M，N两点关于该抛物线的对称轴对称，推出m的值，进而得出四边形各顶点坐标，进而即可求解； （3）先求出抛物线的顶点坐标为，根据y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，可得图象G一定包含抛物线的顶点部分，再根据最高点与最低点的纵坐标之差为8，求出最高点的纵坐标，进而即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得． ∴该抛物线所对应的函数表达式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点P在抛物线上，横坐标为m，作轴于点Q， ∴，． ∵将线段绕点O旋转得到线段， ∴点P和点M，点Q和点N分别关于原点O对称，且，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，且． 又∵M，N两点关于该抛物线的对称轴对称，且点N在y轴上， ∴点M在对称轴的右侧， ∴， 解得， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积． （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为． ∵抛物线在四边形内部的图象（包括边界）记为G，图象G的点的纵坐标y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大， ∴图象G一定包含抛物线的顶点部分，即图象G的最低点的纵坐标为，如图． 又∵图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为8． ∴图象G的最高点的纵坐标为， ∴点P的纵坐标为5， ∴， 解得． ∵， ∴． 23．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2) (3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； （3）解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 24．（2026·湖南长沙·模拟预测）《镜花缘》是我国清代的长篇小说，其中“镜”有映照、对称的意象．我们把两个图象关于直线对称的函数互称为“镜花缘对”函数． (1)求函数的“镜花缘对”函数； (2)已知函数的“镜花缘对”函数为，它们的图象交于点，函数与函数的交于点，（点在的右侧），，当时，求的取值范围； (3)二次函数与它的“镜花缘对”函数的顶点分别为，（点，不重合），两函数交于点，若在函数图象上还存在一点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，请求出此菱形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先确定函数与、轴的交点坐标，再确定两交点坐标关于直线对称的点坐标，利用待定系数法即可求得“镜花缘对”函数的解析式； （2）先根据“镜花缘对”函数的定义确定的解析式，进而确定点的坐标，联立和的解析式，表示出、两点的坐标，根据，可知点是的中点，根据中点坐标公式列式计算可确定、两点的坐标，再结合函数图象，即可确定当时，的取值范围； （3）先根据“镜花缘对”函数的定义表示出点、的坐标，从而可表示出，，根据菱形的性质可知，，根据列方程即可求得点、的坐标，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：对于函数， 当时，， 当时，即，解得， 函数经过点，， 点关于直线对称的点为， 点关于直线对称的点为， 设函数的“镜花缘对”函数为， 将点，代入得， ，解得， 函数的“镜花缘对”函数为； （2）解：对于函数， 当时，， 当时，即，解得， 函数经过点，， 点关于直线对称的点为， 点关于直线对称的点为， 设函数的“镜花缘对”函数为， 将点，代入得， ，解得， 函数的“镜花缘对”函数为； 两个函数图象关于直线对称，当时，， ， 联立， 即， 整理得， ， 解得， ，， ， 点是的中点， ，解得， ，，， 观察图象可知，当时，的取值范围为或； （3）解：二次函数的顶点为，则与它的“镜花缘对”函数的顶点为， ，且轴， 两个函数图象关于直线对称，当时，， ， ， 要使以，，，为顶点的四边形是菱形，则有， ， 即， 整理得，， 即， 解得或， 当时，、重合，故舍去， ， 当时，，， ，， 此菱形的面积为：； 当时，，， ，， 此菱形的面积为：； 综上，此菱形的面积． 25．（2026·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线对称轴为直线，与y轴交于点．点A，B是该抛物线上不重合的两点（点A，B均不与点M重合），横坐标分别为m，，连接，以为边，以点M为对称中心作． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)当的一条边与坐标轴平行时，求m的值； (3)当点A在点B的右侧，且的边与抛物线交于点N（点N不与点A，D重合），若的面积等于的面积的3倍，求m的值； (4)当的顶点C，D恰好落在同一象限内时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为 (2)，或 (3)，或 (4)，或 【分析】（1）直接根据二次函数的性质以及待定系数法即可解答； （2）分轴和轴两种情况，分别根据平行线性质和对称点的性质求解即可； （3）由（2）可得：，，如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F，由的面积是的面积的倍可得，再证明可得，如图：过D作轴的平行线交过A作x的垂线与点G，过作，即，则；再证明，易得 ，进而得到，最后代入抛物线求得m的值即可； （4）根据点A在轴右侧，横坐标为，可知排除在一、四象限的可能性，然后分在第二、三象限两种情况，分别列不等式组解得即可． 【详解】（1）解：由题意得，，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为； （2）解：当轴时，点A的纵坐标等于点的纵坐标， ∵点A的横坐标为，点的横坐标为， ∴，，即， ∴，解得，此时点重合，不合题意； 当轴时，点与点的纵坐标相等， ∵点C是点A关于点的对称点，设点， ∴，解得： ∴，同理可得： ∴，整理得：， 解得或； 当轴时，点A的横坐标等于点的横坐标， ∵点A的横坐标为，点的横坐标为， ∴，解得，此时点重合，不合题意； 当轴时，点与点的横坐标相等，即点C的横坐标为， ∵点C是点A关于点的对称点， ∴，解得：，此时点重合，不合题意； 综上所述，或； （3）解：由（2）可得：，， 如图：连接，M为的交点，连接，M为平行四边形的对称中心，分别过作的垂线，垂足为E，F， ∴， ∵的面积是的面积的倍， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图：过D作轴的平行线，过A作x的垂线，两线交于点G，过作， 即，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点N的横坐标为：，点N的纵坐标为：，即， ∵点N在抛物线上， ∴， 整理得：， 解得：或． ∴m的值为或． （4）解：∵点A是该抛物线上一点，点A在轴右侧，横坐标为， ∴， 由（2）可得：，，， ∵， ∴，即点C、D不可能在第一、四象限， 当在第二象限时， 有，解得：； 当在第三象限时， 有，解得该不等式无解； 综上，或． 考点6相似三角形存在问题 26．（2026·江苏泰州·一模）如图1，已知抛物线（是常数，且），交轴于、两点，在的左侧，交轴于点，连接，点是直线下方抛物线上一个动点，连接、，设点的坐标为． (1)求点、的坐标（用含的式子表示）； (2)如图2，连接交于点，当取最小值时，求代数式的值； (3)若是钝角，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）令，解一元二次方程，即可求解； （2）作轴，轴，证明，根据，进而根据二次函数的性质，得出时，原式最小取最小值，即可求解； （3）取的中点，以长为半径作圆，根据当在圆上时，，得出，代入抛物线求得，结合是钝角以及函数图象，即可确定的范围 【详解】（1）解：令，则 ， 在左侧 ， （2）解：如图，作轴，轴 轴，轴 ， ， 当时，， ∴， ， 直线 是常数 当时，原式最小 （3）解：取的中点，以长为半径作圆 当在圆上时， ， 将代入抛物线表达式 得到 （舍）， 是钝角 27．（2026·江苏宿迁·一模）如图，已知抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)若点P是抛物线上在直线上方一点，连接，当直线把分成面积比为的两部分时，求点P的坐标； (3)将射线绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D，再将抛物线沿射线方向平移，得到一条新的抛物线（其顶点为M）．设这两条抛物线的交点为Q． ①求旋转角度的正弦值； ②当时，请直接写出原抛物线平移的距离． 【答案】(1)； (2)或； (3)①，② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式，令与的交点为，根据题意分两种情况求解：①当时；②当时，利用同底等高三角形面积比等于高之比，得出点的纵坐标，再代入直线得出点的坐标，从而求出直线的表达式，再求出直线与抛物线的交点坐标，即可得解； （3）①先求出顶点的坐标，从而得出直线的表达式，过点作交轴于点，过点作于点，则，求出直线的解析式，则，利用等面积法，求出，再根据坐标两点距离公式，求出，即可得出旋转角度的正弦值； ②分别过点、作轴和轴的垂线交于点，根据抛物线沿射线方向平移，设抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度，则新的抛物线解析式为，进而得到顶点，再求出两个抛物线的交点，过点作轴于点，过点作的延长线于点，证明，得到，解方程即可得解． 【详解】（1）解：将点和代入得， ，解得：， 抛物线对应的函数表达式为； （2）解：， 令，则， 解得：，， ， 设直线的表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为， 令与的交点为，直线把分成面积比为的两部分， ①如图，当时，则， ， ， 令，解得：， ， 设直线表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为， 联立，解得：，（舍）， ， 点P的坐标为； ②如图，当时，则， ， ， 令，解得：， ， 同法可得，直线的表达式为， 联立，解得：，（舍）， ， 点P的坐标为； 综上可知，点P的坐标为或； （3）解：①， ， ， 同法可得，直线的表达式为， 由旋转的性质可知，为旋转角， 如图，过点作交轴于点，过点作于点， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ，， ， ， ， ， 即旋转角度的正弦值； ②如图，分别过点、作轴和轴的垂线交于点， ，， ，， 抛物线沿射线方向平移， 设抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度， 新的抛物线解析式为， ， 联立，解得：， ， 如图，过点作轴于点，过点作的延长线于点， ，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，（舍）， 抛物线向上平移个单位长度，向右平移个单位长度， 原抛物线平移的距离为． 28．（2026·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，顶点为．直线经过点，且． (1)求直线的表达式； (2)已知抛物线也经过、两点，且开口向下，顶点为．设为抛物线与直线的交点，连接、、，当四边形是梯形时，求抛物线的表达式． 【答案】(1)直线的表达式 (2)抛物线或 【分析】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及待定系数法求解析式，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，两点之间的距离，以及梯形的性质，解题的关键是应用分类讨论思想． （1）根据待定系数法求得抛物线，即可知点，过点M作轴，交x轴于点C，交直线l于点N，可证明，有，结合两点之间距离求得，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）根据题意的，利用待定系数法求得抛物线，则点，联立方程求得点，结合梯形的性质若，过点N作轴于点C，过点M作平行于x轴的直线与过点D作轴于点C，线段与x轴交于点F，则点，且，有，两点之间距离公式求得a（当a值接近0时不满足题干要求的梯形字母顺序，故舍去）；若，过点M作轴于点G，过点D作平行于x轴的直线与过点N作轴于点H，同理可得，点，求得a即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， 解得， 则抛物线， ∴点， 如图，过点M作轴，交x轴于点C，交直线l于点N， 则，， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∵点和点， ∴，， 则，解得， ∴点 ∴设直线l的解析式为， ∵直线经过点和点N， ∴， 解得 则直线的表达式； （2）解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线经过、两点， ∴， 解得， 则抛物线， ∵抛物线顶点为， ∴， 联立， 解得，， 则点， ∵四边形是梯形， ∴，或， ①如图，若，过点N作轴于点C，过点M作平行于x轴的直线与过点D作轴于点C，线段与x轴交于点F， 则，，点，点， ∴， ∴， ∵点，点，点，点，点， ∴，，，， 则， 解得，（构不成梯形，舍去）， 那么，抛物线； ②若，过点M作轴于点G，过点D作平行于x轴的直线与过点N作轴于点H， 同理可得，点，点， ∴，，，，， 则， 解得，（构不成梯形，舍去）， 那么，抛物线． 29．（2026·四川南充·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，点D是上方抛物线上一点，连接交于点E，设的面积为，的面积为，当时，求点D的坐标． (3)如图2，已知点，与抛物线有唯一交点F（点F在y轴左侧），点P在第一象限的抛物线上，射线与抛物线另一个交点为Q，连接、，分别交y轴于M、N．当时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为： (2)点D的坐标为或 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）过点D作于H，根据抛物线的对称性求出，设，根据，得出，则，解方程得，，即可求解； （3）结合可求直线的解析式，联立直线与抛物线可得，结合与抛物线有唯一交点F，可求出，同法求出直线的解析式为，联立直线与抛物线可得，进而，得出，过点P作轴于I，过点F作轴于J，过点Q作轴于K，证明，得出，进而求出，同理得出，进而求出，即可求解. 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：过点D作于H， 抛物线交y轴于点， ∵、B关于直线对称， ∴． 设． ∵， ∴，即 ∴ ∴， 整理得：， 解得：，， ∴点D的坐标为或． （3）解：与的数量关系为：． 理由如下：设直线的解析式为：， 把代入可得，， ∴ 联立直线与抛物线得，． ∴， 整理得． ∵与抛物线有唯一交点F， ∴． ∵， ∴． 设直线的解析式为：， 把代入可得，， ∴． 联立直线与抛物线得，． ∴， 整理得． ∴，即， ∴， ∴． 过点P作轴于I，过点F作轴于J，过点Q作轴于K， 则， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得：， ∴， ∴． 30．（2026·湖南永州·一模）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点．与y轴交于点C，连接． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图象上的一点，且，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，点P在x轴下方时，在直线上任取一点D（不与点B重合），当直线与直线相交于点E时，过点E作交x轴于点F． ①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时的长； ②随着点D位置的变化，试探究，和三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)①；②当在之间时，；当在右边时，；当在左边时，，证明见解析 【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴交于点，利用交点式求解析式即可； （2）∵先求出直线解析式为，当在轴上方时，点在直线上， 即为直线与抛物线的交点，求出直线解析式与抛物线联立解得；当在轴下方时，由，得到，求出直线解析式与抛物线联立解得； （3）①在（2）的条件下，点P在x轴下方时，，由，得到，求出直线解析式为，设，过作轴于，过作轴于，先由，得到，再证明，求出，得到，代入直线解析式解得，最后根据求解即可； ②由得到，由可得，再根据当点与、之间的位置关系分情况讨论，得到的关系，即可得到与的关系． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵与y轴交于点C， ∴， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴直线与对称轴交点坐标为， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴关于对称轴对称， ∴， 当在轴上方时， ∵，， ∴点在直线上， 即为直线与抛物线的交点， 设直线解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 当在轴下方时， ∵， ∴， ∵直线解析式为， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上所述，当时，点P的坐标为或； （3）解：在（2）的条件下，点P在x轴下方时，， ∵， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设， ∵， ∴， ①过作轴于，过作轴于，则， ∵点F恰好与原点O重合， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上任取一点D，直线解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理由可得， 当在、之间时，， ∴； 当在右边时，， ∴； 当在左边时，， ∴． 考点7纯代数二次函数问题 31．（2026·山东临沂·一模）已知二次函数的图象经过点和点． (1)求该二次函数的解析式，并写出其图形的顶点坐标； (2)若点、在该函数图象上，且，求实数的取值范围； (3)若当时，该函数的最大值为，最小值为，且满足，求实数的值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)或 【分析】（1）使用待定系数法求出函数的解析式，再转化为顶点式，求出顶点坐标； （2）根据二次函数的图象与性质可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，因此抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小，从而得到不等式，求解即可； （3）分类讨论，当时，随的增大而减小，则，，结合，求出的值；当时，同理，，并求出的值；当时，在顶点处取到最小值，再分为和两类，对应的或，解方程并删去不符合题意的根即可． 【详解】（1）解：将点，代入，得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越小， ∵， ∴，即， ∴或， 解得或； （3）解：①当，即时，区间在对称轴的左侧， ∴当时，随的增大而减小， ∴在处，取得最大值，即；在处，取得最小值，即， ∵， ∴， 解得，与题设矛盾，故舍去； ②当时，区间在对称轴的右侧， ∴当时，随的增大而增大， ∴在处，取得最小值，即；在处，取得最大值，即， ∴， 解得，与题设矛盾，故舍去； ③当，即时，此时区间包含对称轴， ∴在处，取得最小值，即， 由（2）可知，离直线越近，函数值越小， 当时， ∵， ∴在处，取得最大值，即， ∴， 解得或（不符题意，舍去）； 当时， ∵。 ∴在处，取得最大值，即， ∴， 解得或（不符题意，舍去）； 综上所述，的值或． 32．（2026·山东德州·一模）已知抛物线过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，当时，的最大值为，求的值； (3)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．当线段随着的增大而减小时，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为 (2) (3)或 【分析】（1）将已知点代入抛物线解析式求出，再代入对称轴公式​直接计算即可得对称轴； （2）代入得抛物线顶点式，分情况讨论的最大值和对称轴的位置，代入最大值点解方程并舍去不合理的解即可； （3）写出、两点坐标求出的绝对值表达式，分两种情况去绝对值，根据二次函数开口和对称轴，找出随增大而减小的的取值范围即可． 【详解】（1）解：把点代入得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：当时，由（1）可知，则， ∴抛物线的解析式为， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， 当，即时，在上，随的增大而减小， ∴当时，取最大值，（舍去）， ∴最大值必在时取得， 当，即时，令时， 即，解得，（舍去）， 综上可知； （3）解：由题意知，， ∴， 当，即， 此时或， ，   ∵，对称轴为， ∴当时随的增大而减小， 又∵或， ∴， 当，即，此时， ， ∵，对称轴为， ∴当时随的增大而减小， 又∵， ∴， 综上可知，或时，随的增大而减小． 33．（2026·山东德州·一模）已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． (3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线、之间．若直线、之间的距离为16，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意可知关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线、之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定、的值，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：； （2）解：由（1）知：， ∴对称轴为直线， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于B、C两点， ∴B、C两点关于对称轴对称，B、C的纵坐标均为， 又∵点B为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴代入，得：， ∴； （3）解：∵ ， ∴抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线、之间时，、为直线与抛物线的交点， ∴要使最大，则、为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称， 又∵直线、之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点时，即： 时，最大，此时另一条直线的解析式为， 如图： ∴当时， 解得：， 即：，， ∴的最大值为：． 34．（2026·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图像与x轴有两个公共点，我们将这两个公共点之间的距离记为d． (1)当，，时． ①______； ②将该函数图像沿着y轴向上平移个单位长度得到一个新的函数图像． i）用含k的代数式表示d；（要求：写出求解过程．） ii）新图像上恰有3个点到x轴的距离等于d，求k的值． (2)下列说法：①当a，b确定时，d随着c的增大而减小；②当a，c确定时，d随着b的增大而减小；③当b，c确定时，d随着a的增大而减小．其中，正确的是______．（填序号） 【答案】(1)①6；②i），ii） (2)①③ 【分析】（1）①由题意易得二次函数的解析式为，然后令得出二次函数与x轴的两个交点坐标，进而问题可求解； ②i）由题意易得平移后的函数解析式为，然后令得出二次函数与x轴的两个交点坐标，进而问题可求解；ii）由题意易得该二次函数的顶点到x轴的距离等于，然后可得新函数的顶点坐标为，进而可得，则问题可求解； （2）由题意易得，然后根据二次函数与一次函数的图像与性质进行排除选项即可． 【详解】（1）解：①由，，可知：， ∴令时，则有，解得：， ∴二次函数与x轴的两个交点坐标分别为， ∴； ②i）将该函数图像沿着y轴向上平移个单位长度得到一个新的函数图像，可得平移后的函数解析式为， ∴令时，则有，解得：， ∴二次函数与x轴的两个交点坐标分别为， ∴； ii）∵新图像上恰有3个点到x轴的距离等于d， ∴该二次函数的顶点到x轴的距离等于， ∵， ∴该函数的顶点坐标为， ∵， ∴， 解得：； （2）解：令时，则有，解得：， ∴， ①当a，b确定时，则根据可知：令，则可把此函数看作是关于t与c的一次函数，显然t的值随c的增大而减小，根据二次根式的值是随被开方数的增大而增大可知：d随c的增大而减小，故原说法正确； ②当a，c确定时，则根据及二次根式的值是随被开方数的增大而增大可知：d随的增大而增大，故原说法不正确； ③当b，c确定时，则根据可令，则有， ∴当时，则，因为，所以d随t的增大而增大，由于，所以d随a的增大而减小； 当时，则随a的增大而减小，随a的增大而增大，所以的值随a的增大而减小，即d随a的增大而减小，故原说法正确； 综上所述：正确的有①③． 35．（2026·福建南平·二模）二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4． (1)求a，b应满足的数量关系； (2)已知二次函数的图象上任意两点，满足：若，则总有． ①求该二次函数的表达式； ②试说明：对于该二次函数图象上两点，（其中且），都有． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）先确定轴下方的抛物线上必有2个点到x轴的距离为，那么轴上方的抛物线上只有1个点到x轴的距离为，令，则，即，那么该方程有2个相等的实数根，据此即可求解； （2）①先确定出抛物线的对称轴为直线，则，那么，再结合即可求解； ②根据二次函数的对称性可得，则，由点在图象上，得到，故，再代入证明即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵ ∴，抛物线开口向下， ∴抛物线与轴有2个交点， ∴轴下方的抛物线上必有2个点到x轴的距离为， ∵二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4 ∴轴上方的抛物线上只有1个点到x轴的距离为， 令，则，即 故， ∴； （2）解：①若，则总有 ∴都大于2或者都小于2时，， 而 说明函数在范围内随着的增大而减小，在的范围内，随着的增大而增大，这样才能保证 ∴对称轴为直线， ∴，则， 而， ∴， 又 ∴解得， ∴抛物线表达式为； ②∵点，均在二次函数的图象上，且纵坐标相同， ∴由二次函数的对称性得这两点关于对称轴直线对称，则， ∴， ∴， ∵点在图象上， ∴， ∴， 等式左边 ∴． 1．（湖南郴州市2026年中考第二次模拟监测数学）已知抛物线与抛物线交于，两点． (1)求b，c的值； (2)如图1，直线分别与两条抛物线相交，交点从左到右依次为A，B，C，D．设点A，B，C，D的横坐标分别为，，，．求证：； (3)如图2，当时，直线与两条抛物线分别相交于点M，N，试问四边形的面积是否存在最大值为？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)存在；或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）由与抛物线相交可得，，可得，，即可证明结论； （3）由条件可得，再由，可得，可得当时，四边形的面积最大值是，再分在对称轴的左边和右边两种情况即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得． （2）证明：由（1）可知，抛物线为， 当时，，即， ∴， 抛物线，当时，，即， ∴， ∴，即． （3）解：存在． ∵直线与两条抛物线分别相交于点M，N， ∴，， ∴， 如图，过点作于点，设交轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大值是， ∵， ∴四边形的面积存在最大值为， 当时，在对称轴的左边， ∴时，，即， 解得，， ∵， ∴； 当，即时，在对称轴的右边， ∴时，，即， 解得，， ∵， ∴； 综上所述，a的值为或． 2．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且是等腰直角三角形． (1)求证：； (2)已知，过抛物线位于第一象限的点，且抛物线上的点均不在内． ①求抛物线的函数表达式及点P的坐标； ②若直线：过点P，且抛物线在的部分与有公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①，；② 【分析】（1）先得到，，则只能，由等腰直角三角形得到，结合，得到，即抛物线的对称轴为y轴，； （2）①由（1）知，，，得到，，代入解方程即可求出解析式；设为抛物线上一点． 依题意，的最小值为．根据勾股定理，，得到当，即时，取得最小值．结合点P位于第一象限，得到． ②代入得到，与抛物线联立得到．根据是方程的一个根，求得．再根据列不等式计算即可； 【详解】（1）证明：∵是直角三角形， ∴，或，或， 如果，则， 此时，但，，，与函数的定义不符， ∴， 同理，， ∴， ∵是直角三角形， ∴， 又∵，所以，即抛物线的对称轴为y轴， ∴； （2）解：①由（1）知，，， 所以． 因为，所以， 因为C在y轴正半轴上，所以． 又因为，所以解得 所以抛物线的函数表达式为． 设为抛物线第一象限图象上一点． ∵过抛物线位于第一象限的点，且抛物线上的点均不在内， ∴的最小值为． 根据勾股定理，． 当，即时，取得最小值． 因为点P位于第一象限，所以，所以． ②因为直线过点， 所以，所以． 由（2）知，抛物线的函数表达式为． 由，，得， 整理得， 将代入方程得． 因为直线过点，且在抛物线上， 所以是方程的一个根． 设方程的另一个根为． 因为函数的图象关于直线对称， 所以， 所以． 依题意，，即． 解得． 即实数m的取值范围是． 3．（福建省南平市2026年初中毕业班第二次适应性练习数学）已知抛物线（m为常数）过点，与x轴交于，点是直线上方的抛物线上任意一点，过点P作垂直于x轴的直线交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)命题一：如果，那么；命题二：如果，那么； 判断命题一、二是否正确，若不正确；请举一个反例；若正确，请证明． 【答案】(1) (2)命题一正确，证明见解析，命题二不正确，反例见解析 【分析】（1）把代入抛物线求出m的值，即可得出答案； （2）先求出点，再求出直线的解析式为：，过点P作垂直于x轴的直线交于点，得出，， 求出，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线得： ， 解得：， 所以函数的解析式为； （2）解：命题一正确；理由如下： 当时，则， 解得：，， 因为抛物线与x轴交于， 所以， 又因为， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得：， 所以直线的解析式为：， 由（1）得，抛物线的解析式为：， 又因为点是直线上方的抛物线上任意一点，过点P作垂直于x轴的直线交于点， 所以，， 所以 ， 线段的长是关于p的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线， 所以，当时，随p的增大而减小， 所以，当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 如果，则此时， 所以，命题一正确； 命题二不正确； 反例：当时，此时． 4．（2026年四川成都市初中学业水平模拟测试（模拟一））在平面直角坐标系中，已知图象P对应的解析式（其中m为常数），且P经过点． (1)求P的解析式（整理为y关于x的函数形式，并写出自变量x的取值范围）； (2)如图，记点，，动点Q在P上，若以A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，且，求所有满足题意的Q点坐标； (3)设S是直线上一点，过S分别作直线、交P于点、与点、（四个点互不重合），试探究：在点S和两条直线变化的过程中，是否存在？若存在，求出直线与直线的斜率和；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）代入点到P的解析式，求出的值，再将解析式整理为y关于x的函数形式，结合算术平方根的非负性即可写出自变量x的取值范围； （2）设点Q的坐标为，其中，分两种情况讨论：①当时，过点作轴的垂线交于点，通过证明，得到，进而列出关于的方程，求出的值即可得到一个Q点坐标；②当时，过点作轴的垂线交于点，通过证明，得到，进而列出关于的方程，求出的值即可得到另一个Q点坐标； （3）设点S的坐标为，利用待定系数法可得直线的解析式为，联立直线与图象P的解析式，整理可得，设点，，利用韦达定理以及一次函数的性质可得，，，，进而得出；设直线的解析式为，同理可得，再根据列出方程，解得或或，再分情况讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：代入点到，得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴P的解析式为； （2）解：设点Q的坐标为，其中， ①当时，如图1，过点作轴的垂线交于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ∴， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； ②当时，如图2，过点作轴的垂线交于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ∴， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或； （3）解：不存在，理由如下： 设点S的坐标为，直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 消去整理得：， 设点，， 则，，，， ∴， ， ∴ ， 设直线的解析式为， 同理可得：， ∵， ∴， 即， 解得或或， 当时，点恰好在图象P上，此时点、、、至少有两个点重合，不符合题意； 当时，直线与重合，此时点、与点、重合，不符合题意； 当时，不妨假设，， ∴直线中随着的增大而减小， ∵图象P：， ∴图象P中随着的增大而增大， ∴直线与图象P最多有1个交点，不符合题意； 综上，在点S和两条直线变化的过程中，不存在． 5．（2026·河北保定·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点A，顶点为P，抛物线的顶点为Q． (1)求抛物线的对称轴及顶点P的坐标； (2)若抛物线与关于直线对称，求m的值； (3)若抛物线与直线交于点C和D（点C在点D的左侧），当线段的长度在时，求a的取值范围； (4)连接，过点A作交抛物线于点E，连接．当时，直接写出此时点E的坐标． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点P的坐标为 (2) (3) (4) 【分析】（1）直接利用二次函数 的顶点坐标公式得出对称轴方程及顶点 的坐标． （2）先求出原抛物线的顶点坐标，求出变换后抛物线的顶点坐标，再根据两点关于直线 对称，得出结论． （3）先利用抛物线与直线交点的横坐标差来表示线段长度．根据 的长度范围，建立关于 的不等式． （4）过点 作垂线，构造矩形．结合 及角度关系，推导出边角关系（）．再设 点坐标，利用几何关系表示相关线段．将 点坐标代入抛物线解析式，解一元二次方程，舍去不符合题意的解，得出最终坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，顶点P的坐标为． （2）解：∵抛物线与关于直线对称，且抛物线， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， ∵点与点是关于的对称点， ∴． （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线与直线交于点C和D，且点C在点D的左侧， ∴当时，，， ∴，， 将点代入中，解得， 当时，，， ∴，． 将点代入中，解得， ∴． （4）解：点E的坐标为． 如解图，连接交x轴于点F， 过点E分别作于点G，轴于点H， ∴． ∵抛物线，的对称轴均为直线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵抛物线， ∴． ∵当时，，解得，， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则，， ∴， ∴， ∴点E的坐标是． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点E在抛物线上， ∴， 整理可得． ∵， ∴， ∴， 整理可得，解得（不符合题意，舍去），， ∴，， ∴点E的坐标是． 【点睛】解题关键：1．数形结合：第(2)、(3)问将几何变换（对称）和几何量（线段长）转化为代数运算（中点公式、解方程/不等式）． 2．方程思想（设参法）：第(4)问是典型难点，核心在于“设点求线”．通过设点 的坐标，利用（垂直、相似）转化线段关系，将线段用参数表示，最后代回解析式建立方程求解． 6．（2026·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点，，与y轴交于点C，抛物线：（）经过A，B两点，与y轴交于点D． (1)求m与n的值； (2)若抛物线的顶点为E，连接，当直线恰好经过点C时，求b的值； (3)点P在线段上（不与点A，B重合），过点P作垂直于x轴的直线，分别交抛物线，于点M，N，且M是的中点． ①求的最大值； ②设，，若实数d满足关于t的方程在内有实数根，求d的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①的最大值是2；② 【分析】（1）将，代入求解； （2）首先求出，得到直线的解析式为，求出，然后利用待定系数法求解； （3）①首先求出抛物线的顶点坐标为，得到的最大值是2，然后结合M是的中点求解即可； ②根据题意得到点，点，点，然后根据点M是的中点求出，得到，然后表示出d，得到当时，，然后利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：与x轴交于点，， ∴ 解得； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， ∵抛物线：与y轴交于点C，当时， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得 ∴直线的解析式为， ∵抛物线：（）经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点， ∵点E在直线上， ∴， ∴ ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴； （3）解：①∵抛物线：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴的最大值是2， ∵点M是的中点， ∴的最大值是2； ②∵设，， ∴点，点， ∵抛物线：（）经过点，， ∴抛物线的解析式为， ∴点， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当或时，， ∴当时，， ∵关于t的方程，即，在内有实数根， ∴， 解得， ∴d的取值范围为． 7．（2026·湖北孝感·一模）已知抛物线交轴于点，点，交轴于点，点为抛物线的顶点，为抛物线上第四象限的一动点． (1)直接写出抛物线的表达式____________；及顶点的坐标_____． (2)如图（1）当在对称轴右侧抛物线上，连接交于，若， ①求此时点坐标； ②如图（2）在线段上运动，直接写出的最小值_____． (3)如图（3）已知在抛物线上，且坐标为，在线段上运动，作射线．点是射线上一动点，且满足，记的最小值为； ①求的值； ②设的面积记为，若，请直接写出的取值范围_____． 【答案】(1)， (2)①；② (3)①；② 【分析】（1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式，即可求解； （2）①如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明得出，求得直线的解析式为；设，则，，分别表示出，根据建立方程，解方程，即可求解； ②如图，取点，作射线，过点作，连接，过点作轴并延长交于点，得出，则，再解直角三角形，即可求解； （3）①如图，在上截取，在轴上取点，则，根据中位线的性质可得，。证明得出，则，进而勾股定理求得，即可求解； ②过点作轴交于点，设，则，，根据三角形的面积公式得出，结合①的结论可得，则，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为； （2）解：①如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得：， ∴， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为； 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：或， 当在对称轴右侧抛物线上， ∴， 当时，，则， 综上所述，； ②如图，取点，作射线，过点作，连接，，过点作轴并延长交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的最小值为的长， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴； （3）解：①如图，在上截取，在轴上取点，则， ∴， ∴， 在射线上取一点，使得，连接， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∵， 在中，， ∴； ②设的面积记为， 如图，过点作轴交于点， 设，则， ， ∵为抛物线上第四象限的一动点，； ∴的横坐标， 又∵， ∴， ∵， ∴，           ∴， 解得：． 8．（2026·辽宁大连·二模）定义；如果二次函数图象的顶点在直线上，我们称这样的二次函数为“双正二次函数”．如图，二次函数的顶点为A，二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A（点A与点B不重合）． (1)判断二次函数是否为“双正二次函数”，并说明理由； (2)求二次函数的解析式； (3)点M在二次函数的图象上，过点M作轴交二次函数的图象于点N（点M与点N不重合），直线交直线于点Q，设点M的横坐标为m． ①求证：点Q是线段的中点； ②当时，求线段的最大值． (4)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值为，最小值为，求n的取值范围． 【答案】(1)二次函数是“双正二次函数”，理由见解析 (2) (3)①见解析；②5 (4) 【分析】（1）求出二次函数的顶点A的坐标，再判断点A是否在直线上，即可求解； （2）求出点B的坐标，再利用待定系数法解答即可； （3）①用m表示出点M，N，Q的坐标，可得到的长，即可解答；②用m表示出的长度，再结合二次函数的性质解答即可； （4）根据题意可得当时，二次函数的最大值为12，可得到当时，函数的最大值为22，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：二次函数是“双正二次函数”，理由如下： ∵， ∴点A的坐标为， 对于，当时，， ∴点A在直线上，即二次函数是“双正二次函数”； （2）解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为点， ∵二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A， ∴，解得：或（舍去）， ∴二次函数的解析式为； （3）解：①∵点M的横坐标为m， ∴点， ∵轴， ∴点，， ∴，， ∴，即点Q是线段的中点； ② 当时，随m的增大而减小，当时，随m的增大而增大，当时，随m的增大而减小， ∵当时，，当时，，当时，， ∴当时，线段的最大值为5； （4）解：如图， 由（2）得二次函数的图象的顶点坐标为， 即当时，二次函数的最大值为12， 对于，当时，y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，函数的最大值为22， ∵函数的最大值为， ∴，即， ∴此时函数的最小值为， 对于，当时， ，解得：， ∴，即， ∴n的取值范围为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $