2025-2026学年高一下学期数学5月期中模拟练习(一)人教B版

**基本信息** 高一数学期中模拟卷聚焦必修三与解三角形，以筒车文化情境和“可平衡”函数新定义题突出数学应用，梯度覆盖三角函数、向量等核心知识，考查数学眼光、思维与表达。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|扇形弧长、三角函数定义、向量夹角、函数图像变换、解三角形|筒车文化情境题（第6题）考查数学建模，多选题分层设题| |填空题|3/15|三角函数值、向量投影、解三角形|向量投影题（第13题）考查数学语言表达| |解答题|5/77|向量运算、解三角形（面积/周长）、角平分线长度、三角函数性质、“可平衡”函数新定义|第19题新定义题考查创新思维，角平分线问题（第17题）体现逻辑推理|

2025-2026学年高一数学下学期5月期中考试模拟(一)（原卷版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修三+必修四解三角形。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一个扇形的弧长和面积的数值都是6，则这个扇形圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（    ） A． B． C． D． 5．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（   ） A． B． C． D． 6．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 7. 已知A是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数x，总有成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知的内角，，的对边分别为，，，△ABC的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在△ABC中，角的对边分别为，且△ABC的面积满足，为△ABC的外心．若，下列结论中正确的有（   ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．设是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则 B．设，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 C．设，且∥，则 D．若是△ABC内的一点，满足，则 11．已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的值等于____________ ． 13．已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则______． 14．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知向量，． （1）若，求； （2）若，求． 16．（本小题满分15分） 已知在△ABC中，内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求△ABC的周长． 17．（本小题满分15分） 已知△ABC的内角的对边分别为，已知． （1）求A； （2）若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）求函数的解析式和最小正周期； （2）若，求的值； （3）若对于任意均有恒成立，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． （1）若，求函数的“平衡”数对； （2）若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （3）若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期5月期中考试模拟(一)（解析版） 一、单选题 1．一个扇形的弧长和面积的数值都是6，则这个扇形圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆心角为，则面积，弧长，联立解得. 故选：B. 2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由三角函数的定义有：，所以； 故选：D. 3．已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设向量的夹角为，因为，可得， 又因为，， 可得 ，解得， 因为，可得. 故选：B. 4．将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数向左平移个单位长度， 得到， 横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 向上平移1个单位长度，得到， 纵坐标变为原来的3倍，得到， 则，又，解得， 则. 故选：A. 5．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】， ∴，，∴； 又知，平方可得， ∴，∴. 故选：C 6．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 【答案】B 【详解】    如图，以为原点，以射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为， 由题意得， ∴，解得，故， 设函数的最小正周期为，则，故， ∴， ∵盛水筒的初始位置为点， ∴当时，，即，故， 由点在第四象限可得初相，∴， ∴， ∴分钟时，以射线为始边，为终边的角为，该盛水筒距水面距离为米，故选项A正确，选项B错误. 当时，，当时，，故C正确. 由得， 当时，，故，解得，有分钟， ∵1个小时有个周期， ∴1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米，故D正确. 故选：B. 7. 已知A是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数x，总有成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 根据题意，A=3 又因为存在实数使得对任意实数x，总有成立 所以 ，所以。故选：C 8．已知△ABC的内角，，的对边分别为，，，△ABC的面积为，，，则（   ） A．120° B．135° C．150° D．165° 【答案】A 【详解】在△ABC中，，又， 则，而， 则，即，又，则， 而， 由，得，即， 由正弦定理得，由余弦定理 因此，即，则， 由余弦定理，又， 所以. 故选：A 二、多选题 9．在△ABC中，角的对边分别为，且△ABC的面积满足，为△ABC的外心．若，下列结论中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，由，得， 由余弦定理得，即， 得，又，故， ∴，即，所以A正确； 对于B，，所以B正确； 对于D，如图，分别取的中点，连接，， 所以， ， ，所以D错误；    对于C，， 由，可知， 得，解得：，，故，所以C错误．故选：AB. 10．下列说法正确的是（    ） A．设是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则 B．设，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 C．设，且∥，则 D．若是△ABC内的一点，满足，则 【答案】AC 【详解】对于A，因为向量与向量共线， 所以存在实数，使， 因为是两个不共线的向量，所以，解得，所以A正确， 对于B，因为，与的夹角为锐角， 所以且与不共线，所以，解得，且，所以B错误， 对于C，因为，所以，， 因为∥，所以，解得，所以C正确， 对于D，由，得, 即， 设的中点为，的中点为，则， 所以，所以三点共线，且，所以， 因为，∥，所以，所以到的距离与到的距离的比为， 所以，所以D错误. 故选：AC 11．已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．若恒成立，则满足条件的有且仅有1个 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 【答案】ABD 【详解】对于A，由及在上单调递减， 得的图象关于点对称，因此，A正确； 对于B，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数， 即，解得，，而周期，则， 又，即，因此，即满足条件的有且仅有1个，B正确； 对于C，，取，函数在上单调递减， 即也满足要求，C错误； 对于D，依题意，为单调递减区间的子集， 则，其中，解得，， 当时，，当时，， 所以的取值范围是，D正确. 故选：ABD 3、 填空题 12．的值等于____________ ． 【答案】2 【详解】 故答案为：2 13．已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则______． 【答案】 【详解】由题意得，在上的投影向量为， ∵，∴，∴， ∴. 故答案为：. 14．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则为______. 【答案】 【详解】由正弦定理得，因此可知， 代入余弦定理，得， 同除以得，即，其中， 当且仅当，即时，等号成立； 故，即，因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知向量，． （1）若，求； （2）若，求． 【详解】（1） （2）已知，．且 16．（本小题满分15分） 在△ABC中，内角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求△ABC的周长． 【详解】（1）设△ABC的外接圆半径为，由正弦定理可得，， 所以可化为，因为，所以，又， 所以，所以， 又，所以， 所以， 所以 （2） 因为，所以， 又，所以，， 由余弦定理可得，所以． 所以△ABC的周长为． 17．（本小题满分15分） 已知△ABC的内角的对边分别为，已知． （1）求A； （2）若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【详解】（1）由题设及正弦边角关系可得：，则，而，且，则． （2）因为，所以由余弦定理得，即， 所以，即（当且仅当时，等号成立）， 因为，所以， 解得，因为（当且仅当时，等号成立）， 所以（当且仅当时，等号成立），所以长度的最大值为． 18．（本小题满分17分） 已知函数． （1）求函数的解析式和最小正周期； （2）若，求的值； （3）若对于任意均有恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）由题意可得： 可得函数的最小正周期． （2）因为，，所以． 因为，所以，所以， 所以 ． （3）由（1）知，函数，可得asin，因为对于任意均有恒成立，即对于任意均有恒成立，即对于任意均有恒成立， 又因为，因为，可得， 又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减， 可得，则，所以的取值范围为 19．（本小题满分17分） 已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对． （1）若，求函数的“平衡”数对； （2）若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由； （3）若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围． 【详解】（1）根据题意可知,对于任意实数,, 即,即对于任意实数恒成立, 只有,,故函数的“平衡”数对为, （2）若,则, , 要使得为“可平衡”函数,需使对于任意实数均成立,只有, 此时,,故存在,所以是“可平衡”函数． （3）假设存在实数，对于定义域内的任意均有 则 均为函数的“平衡”数对， ，函数单调递增， 即的取范围为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $