2.8对数函数 课件-2027届高三数学一轮复习

第一章 1.1　集合 同步讲义（解析版） 2027高考数学一轮总复习 第二章　函数的概念与基本初等函数 2.8　对数函数 2027高考数学一轮总复习 1 内容索引 必备知识　回顾 课时作业 关键能力　提升 考试要求 三年考情 1.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 2.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1). 2023 2024 2025 新课标Ⅰ卷T10       新课标Ⅱ卷T8   必备知识　回顾 1.对数函数的概念 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是_________. 2.对数函数的图象和性质 知识梳理 项目 a>1 0<a<1 图象 (0,+∞) 必备知识 回顾 返回 项目 a>1 0<a<1 性质 定义域:____________ 值域:R 过定点__________ 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是______ 在(0,+∞)上是______ (0,+∞) (1,0) 增函数 减函数 必备知识 回顾 返回 　y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过第一、四象限,即在直线x=0的右侧. 3.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数____________(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,它们的图象关于直线______对称. y=logax y=x 必备知识 回顾 返回 对数函数图象的特点 (1)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),,依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象. (2)函数y=logax与y=lox(a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)如图给出4个对数函数的图象, 则b>a>1>d>c>0,即在第一象限,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 知识拓展 必备知识 回顾 返回 1.判断(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)函数y=log2(x+1)是对数函数. (　 　) (2)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.(　 　) (3)当x>1时,若logax>logbx,则a<b. (　 　) (4)函数y=log2x与y=lo的图象重合. (　 　) 基础检测 × √ × √ 必备知识 回顾 返回 2.(一题多解)(人教A版必修第一册P141习题4.4T13(1)改编)设a=log0.26,b=log0.36,c=log0.46,则 (　 　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a A 必备知识 回顾 返回 解析:方法一　如图,作出函数y1=log0.2x,y2=log0.3x,y3=log0.4x的图象, 由图可知,当x=6时,log0.26>log0.36>log0.46,即a>b>c.故选A. 方法二　易知0>log60.4>log60.3>log60.2,所以,即log0.46<log0.36<log0.26,即a>b>c.故选A. 必备知识 回顾 返回 3.(人教B版必修第二册P27例2改编)不等式log2(2x)>log2(x-1)的解集为(　 　) A.(0,1) B.(0,+∞) C.(-1,+∞) D.(1,+∞) 解析:由已知得解得x>1.故选D. D 必备知识 回顾 返回 4.(人教B版必修第二册P28练习A T5改编)已知函数f(x)=2+log3x的定义域为[1,9],则函数f(x)的值域为______. 解析:∵1≤x≤9,∴log31≤log3x≤log39,即0≤log3x≤2,即2≤f(x)≤4,则函数f(x)的值域为[2,4]. [2,4] 必备知识 回顾 返回 关键能力　提升 考点1 对数函数的图象及应用 【例1】　(1)设a>0且a≠1,b∈R,函数f(x)=ax-b,g(x)=loga(x+b),则函数f(x),g(x)在同一平面直角坐标系内的图象可能为(　 　) B 关键能力 提升 返回 【解析】函数f(x)=ax-b,g(x)=loga(x+b)单调性相同,故A错误.①若0<a<1,则f(x)=ax-b,g(x)=loga(x+b)在定义域内单调递减,f(0)=a-b,令g(x)=loga(x+b)=0,得x=1-b.如选项C,若1-b>1,则b<0,此时g(x)=loga(x+b)图象的渐近线为x=-b,由题图可得,0<-b<1,解得-1<b<0,但此时f(0)=a-b<1,这与f(x)的图象与y轴交点矛盾,故C错误.如选项D,f(0)=a-b<1,解得b<0,g(0)=logab无意义,故D错误.②若a>1,则f(x)= ax-b,g(x)=loga(x+b)在定义域内单调递增,当0<b<1时,f(0)= a-b<1,g(0)=logab<0,且g(x)=loga(x+b)=0时,x=1-b∈(0,1),此时B符合.故选B. 关键能力 提升 返回 (2)已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是 (　 　) A.(1,10) B.(2,8) C.(10,12) D.(20,24) C 关键能力 提升 返回 【解析】　令解得1<x≤10,令解得0<x≤1,则f(x)=如图,作出f(x)的图象,不妨设a<b<c, 因为f(a)=f(b),所以-lg a=lg b,所以lg a+lg b=0,即lg(ab)=0,解得ab=1,由图象得f(c)∈(0,1),则-c+6∈(0,1),解得c∈(10,12),所以abc=c∈(10,12).故选C. 关键能力 提升 返回 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在研究对数函数图象时,一定要注意其定义域,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练1】　(1)已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是 (　 　) A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 解析:由题图易得a>1,∴0<a-1<1.取特殊点x=0⇒-1<y=logab<0⇒ -1=loga<logab<loga1=0,∴0<a-1<b<1.故选A. A 关键能力 提升 返回 (2)(人教A版必修第一册P126习题4.3T1改编)若实数x,y,z互不相等,且满足2x=3y=log4z,则下列式子一定成立的是 (　 　) A.z>x>y B.z>y>x C.x>y>z D.z>x,z>y 解析:设2x=3y=log4z=k>0,则x=log2k,y=log3k,z=4k,分别作出t=log2k,t=log3k,t=4k的图象如图所示,由图可知,当k>0时,4k>log2k,4k>log3k,即z>x,z>y.故选D. D 关键能力 提升 返回 考点2 对数函数的性质及应用 命题角度1　比较大小 【例2】　(2026·辽宁辽阳一模)若a=-log0.220,b=log624,c=log312,则(　 　) A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.c>b>a A 关键能力 提升 返回 【解析】　因为a=-log0.220=log520=1+log54,b=log624=1+log64,c=log312 =1+log34(提示:底数不同,真数也不同,则化为同底对数或同真数对数),0=log41<log43<log45<log46,所以log34>log54>log64,则c>a>b.故选A. 关键能力 提升 返回 比较对数值大小的方法 规律总结 底数相同,真数不同 若底数为同一常数,则由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论 底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底,或找0,1作为中间量,再进行比较 底数与真数都不同 常借助0,1等中间量进行比较 关键能力 提升 返回 命题角度2　解对数不等式 【例3】　(1)不等式log2(x-1)<1的解集为______. 【解析】　因为log2(x-1)<1,所以log2(x-1)<log22,即0<x-1<2,解得1<x<3. (1,3) 关键能力 提升 返回 (2)不等式lo(2x+3)<lo(5x-6)3的解集为. 【解析】　易知lo(5x-6)3=lo(5x-6)3=lo(5x-6),由lo(2x+3)< lo(5x-6)3可得lo(2x+3)<lo(5x-6),又函数y=lox在(0,+∞)上单调递减,所以<x<3. 关键能力 提升 返回 对数不等式的两种类型及解法 (1)logax>logab:借助y=logax(a>0,且a≠1)的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论. (2)logax>b:需先将b化为以a为底的对数的形式,再借助y=logax(a>0,且a≠1)的单调性求解. 规律总结 关键能力 提升 返回 命题角度3　对数函数性质的综合应用 【例4】　已知f(x)=log2是一个奇函数. (1)求f(x)的解析式和定义域; 【解】因为函数f(x)=log2为奇函数,所以其定义域关于原点对称,又>0,所以a=2, 当a=2时,f(x)=log2,符合题意, 由>0可得-2<x<2,即函数f(x)的定义域为(-2,2). 关键能力 提升 返回 (2)试判断f(x)的单调性并求出f(x)的值域. 【解】f(x)=log2= log2, 因为内层函数u=-1在(-2,2)上为减函数,外层函数y=log2u为增函数, 故函数f(x)在(-2,2)上为减函数, 当-2<x<2时,0<x+2<4,则u=-1>0, 所以函数f(x)的值域为R. 关键能力 提升 返回 解决对数型复合函数单调性问题的关注点 (1)遵循定义域优先的原则,所有问题都必须在定义域内讨论. (2)底数与1的大小关系. (3)复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的,判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则确定函数的单调性. 规律总结 关键能力 提升 返回 【对点训练2】　(1)(人教B版必修第二册P28练习AT3改编)已知a=log52,b=log5(log52),c=(log52)2,则a,b,c的大小关系为(　 　) A.a<c<b B.b<a<c C.c<b<a D.b<c<a 解析:0=log51<log52<log55=1,所以0<a<1,log5(log52)<log51=0,所以b<0,又c=a2,0<a<1,故c-a=a2-a=a(a-1)<0,所以0<c<a.综上,b<c<a.故选D. D 关键能力 提升 返回 (2)(多选)(2026·贵州安顺模拟)已知函数f(x)=ln,则 (　 　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)≥0 C.f(x)在(-2,2)上单调递减 D.f(x)在(2,+∞)上单调递增 ACD 关键能力 提升 返回 解析:对于A,要使得函数f(x)有意义,则>0,解得x≠2且x≠-2,所以f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)+f(x)=ln=ln 1=0,从而f(x)是奇函数,故A正确;对于B,f(1)=ln<ln 1=0,故B错误;对于C,当x∈(-2,2)时,f(x)=ln=ln(2-x)-ln(2+x),y=ln(2-x)在(-2,2)上单调递减,y=ln(2+x)在(-2,2)上单调递增,所以f(x)在(-2,2)上单调递减,故C正确;对于D,当x∈(2,+∞)时,f(x)=ln,y=1-在(2,+∞)上单调递增,y=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(2,+∞)上单调递增,故D正确.故选ACD. 关键能力 提升 返回 糖水不等式 1.链接教材:(人教A版必修第一册P43习题2.1T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立. 本题得到的不等式称为糖水不等式: ①设b>a>0,m>0,则有. ②糖水不等式的倒数形式:设a>b>0,m>0,则有. 教材深研 关键能力 提升 返回 2.对数型糖水不等式 (1)设n∈N*,且n>1,则有log(n+1)n<log(n+2)(n+1); (2)设a>b>1,m>0,则有logab<log(a+m)(b+m); (3)上式的倒数形式:设a>b>1,m>0,则有logba>log(b+m)(a+m). 关键能力 提升 返回 【典例】　(一题多解)已知a=3log83,b=-16,c=log45,则a,b,c的大小关系为 (　 　) A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a A 关键能力 提升 返回 【解析】　方法一　a=3log83=log827=lo33=log23,b=-log316=log34.对任意x>y>0,m>0,>0,即>log34,即a>b, b=log34=>log45,即b>c,所以a>b>c.故选A. 关键能力 提升 返回 方法二　a=3log83=log827=lo33=log23,b=-log316=log34, c=log45,利用对数型糖水不等式得log23>log34>log45,即a>b>c.故选A. 关键能力 提升 返回 高考真题 教材典题 (2024·天津卷)设a=4.2-0.2,b=4.20.2,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 (　 　) A.a<b<c　　　　 B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b (人教A版必修第一册P133例3)比较下列各题中两个值的大小: (1)log23.4,log28.5; (2)log0.31.8,log0.32.7; (3)loga5.1,loga5.9(a>0,且a≠1). 考教衔接 解析:因为y=4.2x在R上单调递增,且-0.2<0<0.2,所以0<4.2-0.2<4.20<4.20.2,所以0<4.2-0.2<1< 4.20.2,即0<a<1<b,因为y=log4.2x在(0,+∞)上单调递增,且0<0.2<1,所以log4.20.2<log4.21=0,即c<0,所以c<a<b.故选D. D 关键能力 提升 返回 课时作业13 1.(5分)若函数f(x)=4+log2x在区间[1,a]上的最大值为6,则a=(　 　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:因为函数f(x)=4+log2x在(0,+∞)上单调递增,函数f(x)在区间[1,a]上的最大值为6,所以f(a)=4+log2a=6,即log2a=2,所以a=22=4.故选B. 基础巩固 B 返回 课时作业 2.(5分)函数y=|lg(x+1)|的单调递增区间是(　 　) A.(-1,0] B.[1,+∞) C.(-1,+∞) D.[0,+∞) 解析:y=|lg(x+1)|=的图象如图: 显然y=|lg (x+1)|的单调递增区间为[0,+∞).故选D. D 返回 课时作业 3.(5分)已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(3)·g(3)<0,则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (　 　) C 返回 课时作业 解析:因为f(3)·g(3)<0,所以可排除B,D,当0<a<1时,f(x)与g(x)同为减函数,当a>1时,f(x)与g(x)同为增函数,排除A.故选C. 返回 课时作业 4.(5分)已知a=log23,b=log46,c=log49,则 (　 　) A.a=b<c B.a<b<c C.a=c>b D.a>c>b 解析:因为a=log23=lo32=log49=c,且y=log4x在(0,+∞)上单调递增,6<9,所以log46<log49,所以a=c>b.故选C. C 返回 课时作业 5.(5分)已知不等式logx(2x2+1)<logx(3x)<0成立,则实数x的取值范围是(　 　) A. C. 解析:当x>1时,不等式即为0<2x2+1<3x<1,所以x∈⌀.当0<x<1时,不等式即为2x2+1>3x>1,所以.综上,实数x的取值范围为.故选B. B 返回 课时作业 6.(5分)已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),若m+n=,则f(x)在区间[m2,n]上的最大值为(　 　) A.2　　 B. A 返回 课时作业 解析:根据题意作y=f(x)的图象如图: 由f(m)=f(n),0<m<n可得-log2m=log2n,则=n,由m+n=,解得则区间[m2,n]即,易知函数f(x)在上单调递减,在(1,2]上单调递增,又f=2,f(2)=|log22|=1,则函数f(x)在上的最大值为2.故选A. 返回 课时作业 7.(6分,多选)已知m>0且m≠1,则函数f(x)=lo+3的图象一定经过(　 　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:由f(x)=lo+3,m>0且m≠1,得f(0)=2logm+3=-2+3=1,即函数f(x)的图象过点(0,1),当m>1时,函数f(x)单调递增,图象过第一、二、三象限;当0<m<1时,函数f(x)单调递减,图象过第一、二、四象限.故选AB. AB 返回 课时作业 8.(6分,多选)(人教A版必修第一册P161复习参考题4T11改编)已知函数f(x)=ln,下列说法正确的是 (　 　) A.f(x)的定义域为(-1,1) B.f(x)为奇函数 C.f(x)在定义域上为增函数 D.f(x)的值域为(0,+∞) AB 返回 课时作业 解析:对于A,由>0,解得-1<x<1,即f(x)的定义域为(-1,1),故A正确;对于B,f(-x)=ln=-f(x),又f(x)的定义域关于原点对称,所以f(x)为奇函数,故B正确;对于C,f(x)=ln, 在(-1,1)上,y=-1+单调递减,根据复合函数的单调性可知,f(x)在定义域上为减函数,故C错误;对于D,因为f(x)的定义域为(-1,1),所以-1+∈ (0,+∞),所以ln∈(-∞,+∞),故D错误.故选AB. 返回 课时作业 9.(5分)函数f(x)=ln x+ln(4-x)的单调递增区间为__________. 解析:令4-x>0且x>0,解得0<x<4,可知函数的定义域为(0,4),因为f(x)= ln x+ln(4-x)=ln(-x2+4x),且u=-x2+4x在(0,2]上单调递增,在(2,4)上单调递减,y=ln u在定义域上单调递增,根据复合函数的单调性知,函数f(x)在(0,2]上单调递增,在(2,4)上单调递减,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2]. (0,2] 返回 课时作业 10.(5分)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为__. 解析:由已知得f(x)=1+,因为ln(+x)+ ln[+(-x)]=ln 1=0,所以ln[+(-x)]=-ln(+x), 易知函数y=ln(+x)的定义域为R,因此函数y=ln(+x)是奇函数.令g(x)=,则g(-x)==-g(x),故g(x)为奇函数,则g(x)的最大值M1和最小值N1满足M1+N1=0.因为M=M1+1,N=N1+1,所以M+N=2. 2 返回 课时作业 11.(19分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=log2x. (1)求函数f(x)的解析式; 解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0. ∵当x>0时,f(x)=log2x, ∴当x<0时,f(x)=-f(-x)=-log2(-x), ∴f(x)= 返回 课时作业 (2)若g(x)=f(x)·f,x∈[1,8],求函数g(x)的值域. 解:由题意得g(x)=log2x·log2=log2x·(log2x-2)=(log2x)2-2log2x,x∈[1,8],令log2x=t,t∈[0,3],问题等价于求h(t)=t2-2t,t∈[0,3]的值域, ∵函数h(t)=t2-2t的图象开口向上,对称轴为直线t=1, ∴h(t)在[0,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增, ∵h(1)=1-2=-1,h(0)=0,h(3)=9-6=3, ∴h(t)min=-1,h(t)max=3, ∴函数g(x)的值域为[-1,3]. 返回 课时作业 12.(19分)已知函数f(x)=logm+1(m>0,且m≠1)的图象恒经过与m无关的定点A. (1)求点A的坐标; 解:当=1,即x=1时,由对数函数的性质可知,f(1)=logm1+1=1,所以函数图象过定点A(1,1). 返回 课时作业 (2)若偶函数g(x)=ax2+bx-c,x∈[1-2c,c]的图象过点A,求a,b,c的值; 解:因为偶函数g(x)=ax2+bx-c,x∈[1-2c,c], 所以 又函数图象过点A(1,1),所以g(1)=a-1=1,解得a=2. 返回 课时作业 (3)在(2)的条件下,若对任意的x1∈[1,2],总存在x2∈[2,4],使得g(x1)≥f(x2)-1成立,求m的取值范围. 解:由(2)知,g(x)=2x2-1, 因为对任意的x1∈[1,2],总存在x2∈[2,4],使得g(x1)≥f(x2)-1成立,所以g(x1)min≥ [f(x2)-1]min, 当x1∈[1,2]时,g(x1)min=g(1)=1,当x2∈[2,4]时,f(x2)-1=logm. 当m>1时,f(x2)-1有最小值f(2)-1=logm,所以logm≤1=logmm,解得m≥; 当0<m<1时,f(x2)-1有最小值f(4)-1=logm, 所以logm≤1=logmm,解得m≤,所以0<m<1. 综上,m的取值范围为(0,1)∪. 返回 课时作业 13.(5分)若a=ln ,b=,c=ln,则a,b,c的大小关系是(　 　) A.c<a<b B.a<b<c C.c<b<a D.b<a<c 解析:a2=(ln)2===b2,又a>0,b>0,则a>b,因为函数y=ln x在(0,+∞)上单调递增,,所以ln,故a<c.综上所述,b<a<c.故选D. 素养提升 D 返回 课时作业 14.(5分)已知函数y=f(x),若在定义域内存在实数x,使得f(-x)=-f(x),则称函数y=f(x)为定义域上的局部奇函数.若函数f(x)=log3(x+m)是[-2,2]上的局部奇函数,则实数m的取值范围是______. 解析:因为f(x)=log3(x+m)是[-2,2]上的局部奇函数,所以x+m>0在[-2,2]上恒成立,所以m-2>0,即m>2,由局部奇函数的定义,存在x∈[-2,2],使得log3(-x+m)=-log3(x+m),即log3(-x+m)+log3(x+m)=log3(m2-x2)=0,所以存在x∈[-2,2],使得m2-x2=1,即m2=x2+1,又因为x∈[-2,2],所以x2+1∈[1,5],所以m2∈[1,5],即m∈[-,-1]∪[1,].综上,m∈(2,]. (2,] 返回 课时作业 本课结束 $