精品解析：陕西榆林市靖边县靖边中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题

靖边中学2027届高一第二学期期中考试题 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点线面的关系即可求解. 【详解】由点、线、面关系的表示方式知A、B、D错误，C正确. 故选:C. 2. 若，则（ ） A. 6 B. 5 C. -6 D. -5 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数相等得出，计算求值. 【详解】因为，所以，，. 故选:A. 3. 在平行四边形中，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的概念及加法运算即可求解. 【详解】. 故选：B. 4. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义及向量的数量积、模长的坐标运算求投影向量. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：D 5. 已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（ ） A. l至多与m，n中的一条相交 B. l与m，n均相交 C. l与m，n均平行 D. l至少与m，n中的一条相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线之间的位置关系分析即可. 【详解】由题意知m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线l与m，n不能同时平行， 若直线l与m，n同时平行，则m与n平行，与两直线异面矛盾， 所以l与m，n中的一条相交或与m，n都相交. 故选：D. 6. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用台体的体积公式直接计算即可． 【详解】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为，， 故该香料收纳罐的容积为． 故选：C． 7. 如图，在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知这是一个正四面体，即各面都是等边三角形，通过平移，就可作出异面直线所成的角，再进行解三角形计算,就可得到结果. 【详解】 取线段的中点G，连接由点是棱的中点，可得， 所以为直线与所成角或其补角． 不妨设，由等边三角形可得，，所以， 在中，由余弦定理得， 所以．在中，由余弦定理得， 即直线PD与CE所成角的余弦值为． 故选：C． 8. 为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶48海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿之间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，由题意可知，，，在中，利用正弦定理求出，再由为等腰直角三角形，求出，再在中利用余弦定理可求得结果. 【详解】根据题意画出图形，如图所示： 由题意知，，，所以， 在中，由正弦定理得：解得， 又，，所以，， 又， 在中，由余弦定理得：， 解得，所以、两岛屿之间的距离为海里． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】向量不能比较大小，A错误； 表示向量大小相等，方向相同，所以，B正确； 若，则不能推出，C错误； 根据平面向量相等的定义，D正确． 10. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数运算公式，以及概念，即可判断选项. 【详解】因为，又，所以，A正确； 设，则，所以为实数，B正确； 设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确； 若，，则满足，而，D错误. 故选：ABC. 11. 已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，是等边三角形，，，点D是棱PB的中点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 点D到平面ABC的距离为 D. 球O的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，证明，即可用勾股定理求解； 对于B选项，证明线面垂直即可求解； 对于C选项，过点D作AB的垂线，垂足为E，证明，求出长度即可； 对于D选项，结合正弦定理，求外接圆半径r，外接球半径R与r构造直角三角形，利用勾股定理即可求出外接球的半径，从而得表面积. 【详解】如图， 对于A选项，因为点D是棱PB的中点，所以，又，， 所以，所以，所以，故A正确； 对于B选项，因为，， 所以，，又，， 所以，又，所以，故B正确； 对于C选项，在平面PAB内，过点D作AB的垂线，垂足为E，又，， 所以，又，，， 所以，所以点D到平面ABC的距离为DE， 又，故C错误； 对于D选项，设球O的半径为R，的外接圆的半径为r， 所以 ，解得，所以， 所以球O的表面积，故D正确, 故选：ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数为纯虚数，则实数的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【详解】因为为纯虚数，则，解得. 故答案为：. 13. 在边长为2的菱形中，分别为的中点，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积定义结合余弦定理求出，再由余弦定理求得，然后建立平面直角坐标系，利用坐标计算可得. 【详解】记与交于点O，， 由题知，①， 在中，由余弦定理有②， 联立①②解得， 所以， 因为，所以. 所以， 以O为原点，所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系， 则， 所以， 所以. 故答案为： 14. 如图，在棱长为3的正方体中，点M，N分别为棱AB，上的点，且，点P是正方体表面上的一点，若平面，则点P的轨迹长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件分别在棱取点，证明平面，同理平面，进而可得平面平面，从而P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为，进一步即可得解. 【详解】在棱上取一点E，使得，连接，EM，如图所示，易得，， 所以四边形是平行四边形，所以，又平面， 平面，所以平面． 在棱上取一点F，使得，连接FN，FE，， 如图所示．同理可得平面， 又，平面，所以平面平面． 所以P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为． 因为正方体的棱长为3，所以， ， 所以点P的轨迹长度为． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求实数的值； （2）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据，可得，然后求解即可； （2）与垂直，则，结合数量积的坐标运算，求解即可. 【小问1详解】 因为，且， 所以，即，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得或. 16. 如图所示，为四边形的直观图，其中，，，. （1）画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； （2）若该四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. 【答案】（1）画图见解析，面积为 （2）体积；表面积 【解析】 【分析】（1）将直观图还原为原图，根据斜二测画法的概念计算出四边形的边长即可求解； （2）根据旋转体的概念可知该几何体为圆锥和圆柱的组合体，结合圆锥和圆柱的体积和表面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 在直观图中，，，， 则在平面图形中，，，，， 于是， 所以平面四边形的平面图形如下图所示： 由上图可知，平面四边形为直角梯形，所以面积为. 【小问2详解】 直角梯形以为轴，旋转一周而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥， 由（1）可知几何体底面圆半径为，圆柱母线长和高都为1，即； 圆锥的高为，母线长为， 所以体积； 所以表面积. 17. 在中，内角的对边分别为的面积为，且． （1）证明：； （2）若，求． 【答案】（1） 因为的面积，又． 所以， 又．所以．所以． 所以，又，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式化简可得，解之即可求解； （2）由（1）并根据余弦定理可得，再次利用余弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为．所以， 所以．所以， 所以． 18. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：四点共面； （2）求证：平面； （3）已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，即可证明，，从而得证； （2）连接、分别交、于点、，连接，即可证明，从而得到，即可得证； （3）根据面面平行的性质得到，即可得到，从而得解. 【小问1详解】 连接，因为点分别为棱的中点， 所以， 又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以四点共面； 【小问2详解】 连接、分别交、于点、，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问3详解】 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以， 又，所以，因为，所以. 19. 如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图，易知，根据面面垂直的性质、线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理与性质可得，结合和线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，确定为与平面所成的角.在中，利用勾股定理和余弦定理计算即可求解； （3）由（1），根据线面垂直的性质与判定定理确定为二面角的平面角，利用等面积法和正弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 取中点，连接. 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以. 又因为，，、平面， 所以平面，而平面，所以. 因为为的中点，所以， 又，，平面， 所以平面. 【小问2详解】 过点作，垂足为. 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以为与平面所成的角. 因为，，， 所以，， 在中，由余弦定理得， 所以与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 取的中点，连接，易知，， 过点作，垂足为，连接. 由（1）知，平面，所以平面. 又，平面，所以，. 因为，，平面，所以平面. 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 由（1）知平面，平面，所以， 所以在中，， 由（2）知，平面，又平面，所以. 在中，， 即，解得， 在中，， 所以二面角的平面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖边中学2027届高一第二学期期中考试题 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若点A在直线m上，直线m在平面内，则下列关系表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 6 B. 5 C. -6 D. -5 3. 在平行四边形中，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（ ） A. l至多与m，n中的一条相交 B. l与m，n均相交 C. l与m，n均平行 D. l至少与m，n中的一条相交 6. 某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶48海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿之间的距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则是纯虚数 D. 若，则 11. 已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，是等边三角形，，，点D是棱PB的中点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 点D到平面ABC的距离为 D. 球O的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数为纯虚数，则实数的值为_______． 13. 在边长为2的菱形中，分别为的中点，，则__________. 14. 如图，在棱长为3的正方体中，点M，N分别为棱AB，上的点，且，点P是正方体表面上的一点，若平面，则点P的轨迹长度为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）若，求实数的值； （2）若与垂直，求实数的值. 16. 如图所示，为四边形的直观图，其中，，，. （1）画出四边形的平面图并标出边长，并求平面四边形的面积； （2）若该四边形以为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积. 17. 在中，内角的对边分别为的面积为，且． （1）证明：； （2）若，求． 18. 如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． （1）求证：四点共面； （2）求证：平面； （3）已知点是棱上的一点，且平面平面，求的值． 19. 如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的余弦值； （3）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $