精品解析：黑龙江哈尔滨市德强中学校2025-2026学年度下学期八年级期中测试数学试卷

德强学校2025—2026（下）期中学科素养测评 8年级数学试卷 （总分：120分 总时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，我们把形如其中的式子叫二次根式，解决本题的关键是根据二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A．∵中的，∴二次根式无意义，∴不是二次根式，故A选项不符合题意； B．是二次根式，故B选项符合题意； C．不是二次根式，是三次根式，故C选项不符合题意； D．是分式不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选： B． 2. 关于x的一元二次方程中，二次项系数是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将给定一元二次方程整理为一般形式 ，其中 即为二次项系数，整理后即可得到结果 【详解】解：原方程为 移项得 根据一元二次方程一般形式定义，二次项为，其系数为 3. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，掌握直角三角形的判定是解题的关键．根据直角三角形的判定方法，即可逐步判断答案． 【详解】A、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； B、设，则，， ， 解得， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、，， ， 解得， 是直角三角形，不符合题意； D、设，则，， ， 是直角三角形，不符合题意； 故选B． 4. 如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（　　） A. AB∥CD B. AC=BD C. AB=CD D. OA=OC 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据平行四边形的性质推出即可． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD，OA=OC， 但是AC和BD不一定相等， 故选B． 5. 下列几组数，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：、∵， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意． 6. 《九章算术》有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，直接利用勾股定理得出方程即可，正确应用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设门的宽为尺，那么这个门的高为尺， 根据题意得：， 故选：． 7. 如图，四边形中，为上一点，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定以及性质，平行四边形的判定和性质，先证明，且，再证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：B． 8. 在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，对角线互相垂直 C. ③，有一组邻边相等 D. ④，有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选：A． 9. 若是整数，则正整数n的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】解题思路为先分解质因数化简二次根式，根据二次根式为整数的条件，即被开方数需为完全平方数，即可求出最小正整数n，用到二次根式的化简性质 【详解】解：先对进行变形化简： ∵ ∴ ∵ 是整数，是正整数 ∴ 必须是整数，即为完全平方数 ∴ 正整数的最小值为 10. 如图，菱形中，，，于H，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：设线段和线段相交于点， ∵菱形，，， ∴，，． ∵，， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴， 解得． 二、填空题：（每题3分，共30分） 11. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为__． 【答案】 4 【解析】 【分析】直接利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由勾股定理，得. 13. 比较大小：________．（填“>”，“<”或“=”号） 【答案】＜ 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：， 又， ， ， 故答案为： 14. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，，则的长是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半．连接，由题意得，由垂直平分线的性质得到，推出，由即可求． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 故答案为：6． 15. 若是方程的根，则代数式的值为_____________． 【答案】 2026 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可． 【详解】解：是方程的根， ， ． 16. 对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中给出的运算规则，将转化为常规的一元二次方程，再求解方程． 【详解】解：根据定义的运算规则，将转化为方程： ， 解得． 17. 小明用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，是的中点，点，对应的刻度分别是1，8，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线定理，熟悉掌握斜边上的中点等于斜边的一半是解题的关键． 根据刻度尺得出的距离，再由直角三角形斜边上的中线定理即可解答． 【详解】解：∵，，是的中点， ∴， 故答案为：． 18. 如图在矩形中，，，点E是边的中点，点F是矩形左侧的一个动点，且，连接，线段的最大长度_____________． 【答案】 【解析】 【分析】使用勾股定理计算出，由“三角形的两边之和大于第三边”可知，，因此当，，三点共线时，最大． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当，，三点共线时，取得最大值． 19. 已知平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴于点C，则点C的横坐标是_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】求出、，根据勾股定理求出，即可得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴点C的横坐标是或． 20. 如图，正方形中，E、F分别为、的中点，、交于点P，连接、．则下列结论中：①；②；③；④，⑤所有正确的结论是（只需填写序号）_____________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据正方形性质得出；，证明，推出，求出即可判断①；取的中点，的中点，连接，证明是的垂直平分线，推出是等腰三角形，即可判断②；由②知：得到，又根据，得到，又根据，得到，就可以得到③正确；延长至N，使得，证，推出，求出是等腰直角三角形，即可判断④；设正方形边长为，根据勾股定理求出，根据等积法求，再根据勾股定理分别表示，即可判断⑤． 【详解】解：如图， ∵正方形，E，F均为中点， ∴；， ∵在和中，  ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确； 如图，取的中点，的中点，连接， 则：，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴是等腰三角形， ∴， ∴②正确； 由②知： ∴ 又∵ ∴ 又∵， ∴ 又 ∴；故③正确； 如图，延长至N，使得，连接， ∵ ∴ 又∵E，F分别是的中点， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴，故④正确； 设正方形的边长为，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．故⑤错误， ∴故答案为：①②③④． 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】化简所求的代数式，首先计算括号内的式子，然后把除转化成乘法，再计算乘法即可化简，然后代入数值即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 22. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先将不是一般式的方程化为一般式，再进行因式分解，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ． 23. 如图在正方形网格中，每个小方格的边长为单位1，且每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． （1）在图①中，画一个斜边长为的等腰直角三角形； （2）在图②中，画一个面积为10的正方形，并直接写出正方形对角线的长． 【答案】（1） 如图所示，斜边长为的等腰直角三角形即为所求： （2） 如图所示，面积为10的正方形即为所求． 对角线的长度为： 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，如果斜边长为，那么两条直角边长为2，据此即可画出符合题意的等腰直角三角形； （2）面积为10的正方形边长为，在网格中画出四条长度为的线段，再首尾相连即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：对角线的长度为： 24. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接； （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于面积的一半． 【答案】（1） 证明：， ， ∵E是的中点， ∴， ∵， ， ∴， ∵D是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，再利用等量代换得出，结合平行四边形的判定即可证明； （2）利用三角形中线的性质和平行线间的距离处处相等，结合平行四边形的性质即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：．理由如下： ∵， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴． 25. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，问题随之得解； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， 答：居民从点A到点C将少走路程． 【小问2详解】 ∵，．， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴， 答：这片绿地的面积是． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键． 26. 阅读材料：若一个三角形中有两个内角成倍数关系，则该三角形具有特殊性质．在三角形中，若一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，我们称这样的三角形为2倍角三角形．小德同学通过作辅助线探究其相关性质，并进行如下证明． 在上取一点E，使，连接， ，，，， ，，， ，，即 请根据小德发现的规律，解决下列问题： （1）如图1，已知：在中，，，，，_____________ （2）如图2，已知：在中，，，E为的中点，若，求的长． （3）如图3，在平行四边形中，对角线、相交于点O，于点H，交于点P，，，，求的面积． 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，再由勾股定理求解即可； （2）根据题意得：，得出，，即可求解； （3）根据平行四边形得出，满足题中条件，确定，设，则，结合图形得出，，取的中点E，连接，根据直角三角形斜边中线的性质得出，再由等角对等边得出即，确定，结合图形利用勾股定理及三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴根据题意得：，， ∴； 【小问2详解】 根据题意得：， ∴ ∵E为的中点， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 取的中点E，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得：， ∴， ∴， ∴． 27. 已知：在平面直角坐标系中，，点，点A在y轴正半轴，点C在x轴正半轴，，的面积为30． （1）如图1，求点C坐标； （2）如图2，过点A作x轴的平行线与过点C作的平行线交于点D，点E为线段上一点连接交y轴于点F，若点E的横坐标为t，面积为S，求S与t之间的关系式；（不要求写t的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，点P为对角线上一点，连接交y轴于点N，过点F作交x轴于点M，，过点B作，，连接交于点G，点K为上一点，，连接，当时，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，根据的面积为30，求出，即可得出点C的坐标； （2）根据，即可解答； （3）先根据题意，求出点E的坐标，进而得出点H的坐标；根据半角模型，得出，求出；延长交y轴于点I，通过证明，求出点P的坐标，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为30， ∴，即， 解得：， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：∵点E的横坐标为t，轴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解∵，， ∴，则， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴轴， ∴，，，， 将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，则 设，则， ，解得：， 延长交y轴于点I， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P为中点， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德强学校2025—2026（下）期中学科素养测评 8年级数学试卷 （总分：120分 总时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程中，二次项系数是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 3. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，下列结论错误的是（　　） A. AB∥CD B. AC=BD C. AB=CD D. OA=OC 5. 下列几组数，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 《九章算术》有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长丈（丈尺），那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为尺，则下列方程中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形中，为上一点，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长等于（ ） A. B. C. D. 8. 在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，对角线互相垂直 C. ③，有一组邻边相等 D. ④，有一个角是直角 9. 若是整数，则正整数n的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，菱形中，，，于H，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每题3分，共30分） 11. 计算：_____________． 12. 如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为__． 13. 比较大小：________．（填“>”，“<”或“=”号） 14. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，，则的长是_____． 15. 若是方程的根，则代数式的值为_____________． 16. 对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为_____________． 17. 小明用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，是的中点，点，对应的刻度分别是1，8，则______． 18. 如图在矩形中，，，点E是边的中点，点F是矩形左侧的一个动点，且，连接，线段的最大长度_____________． 19. 已知平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴于点C，则点C的横坐标是_____________． 20. 如图，正方形中，E、F分别为、的中点，、交于点P，连接、．则下列结论中：①；②；③；④，⑤所有正确的结论是（只需填写序号）_____________． 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 解方程： （1） （2） 23. 如图在正方形网格中，每个小方格的边长为单位1，且每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形． （1）在图①中，画一个斜边长为的等腰直角三角形； （2）在图②中，画一个面积为10的正方形，并直接写出正方形对角线的长． 24. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接； （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请写出四个图中的三角形，并且每个三角形的面积都等于面积的一半． 25. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，．技术人员通过测量确定了． （1）小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？ （2）这片绿地的面积是多少？ 26. 阅读材料：若一个三角形中有两个内角成倍数关系，则该三角形具有特殊性质．在三角形中，若一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，我们称这样的三角形为2倍角三角形．小德同学通过作辅助线探究其相关性质，并进行如下证明． 在上取一点E，使，连接， ，，，， ，，， ，，即 请根据小德发现的规律，解决下列问题： （1）如图1，已知：在中，，，，，_____________ （2）如图2，已知：在中，，，E为的中点，若，求的长． （3）如图3，在平行四边形中，对角线、相交于点O，于点H，交于点P，，，，求的面积． 27. 已知：在平面直角坐标系中，，点，点A在y轴正半轴，点C在x轴正半轴，，的面积为30． （1）如图1，求点C坐标； （2）如图2，过点A作x轴的平行线与过点C作的平行线交于点D，点E为线段上一点连接交y轴于点F，若点E的横坐标为t，面积为S，求S与t之间的关系式；（不要求写t的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，点P为对角线上一点，连接交y轴于点N，过点F作交x轴于点M，，过点B作，，连接交于点G，点K为上一点，，连接，当时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $