2026年上海市中考数学押题卷（培优）

**基本信息** 2026年上海中考数学培优押题卷，覆盖6-9年级核心知识，通过基础题巩固抽象能力、综合题发展推理能力，适配中考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|代数运算（如幂运算）、函数概念（正比例函数）|基础巩固，考查符号意识| |填空题|12/48|因式分解、方程（一元二次方程根的判别式）、概率（路径问题）|梯度设计，体现数据意识| |解答题|7/78|二次函数与几何综合（24题）、圆与切线证明（25题）|创新应用，发展推理能力与几何直观|

2026年上海市中考数学押题卷（培优） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C B D C C 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）下列运算中正确的是（　　） A．（﹣ab）5＝a5b B．（a3）2＝a5 C．3a3+3a3＝6a6 D．a2•a6＝a8 【答案】D 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法和合并同类项，对每个选项，先识别它属于哪种运算类型，逐一验证每个选项即可． 【解答】解：∵（﹣ab）5＝（﹣1）5a5b5＝﹣a5b5≠a5b， ∴选项A错误，不符合题意； ∵（a3）2＝a3×2＝a6≠a5， ∴选项B错误，不符合题意； ∵3a3+3a3＝（3+3）a3＝6a3≠6a6， ∴选项C错误，不符合题意； ∵a2•a6＝a2+6＝a8， ∴选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题综合考查了幂的运算，熟练掌握运算法则是关键． 2．（4分）用代数式表示“a与b平方和的一半”，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要明确给出文字语言中的运算关系，平方的和，先平方后和． 【解答】解：a与b平方和的一半可表示为：． 故选：C． 【点评】本题考查了列代数式，找出a，b之间的关系，列出关系式是解题的关键． 3．（4分）下列是正比例函数的是（　　） A．y＝x+1 B．y＝5x C． D．y2＝3x 【答案】B 【分析】形如y＝kx（k≠0），则该函数就是正比例函数，据此求解即可． 【解答】解：A、y＝x+1，不是正比例函数，故不符合题意； B、y＝5x，是正比例函数，故符合题意； C、y，不是正比例函数，故不符合题意； D、y2＝3x，不是正比例函数，故不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，关键是正比例函数定义的熟练掌握． 4．（4分）如图为在某居民小区中随机调查的10户家庭一年的月均用水量（单位：t）的条形统计图，则这10户家庭月均用水量的众数和中位数分别是（　　） A．6.5，7 B．7，6.5 C．7，7 D．6.5，6.5 【答案】D 【分析】根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量，然后根据中位数和众数的概念进行求解． 【解答】解：∵在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是6.5， ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5， ∴这组数据的中位数是6.5， 故选：D． 【点评】本题主要考查了条形统计图的运用及中位数和众数的计算方法，关键是掌握中位数的定义． 5．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，设，那么的模为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先得出，然后计算其模即可． 【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝1，∠B＝90°，则由勾股定理，得AC． 所以． 故选：C． 【点评】本题考查了平面向量的知识，先计算出是解答本题的关键． 6．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AB经过圆心O，过点O作OD∥AC，交⊙O于点D，交BC于点E．若BC＝6，DE＝1，则OA的长是（　　） A．3 B．2 C．5 D．4 【答案】C 【分析】由OD∥AC，得1，则EB＝ECBC＝3，所以OD⊥BC，则∠OEB＝90°，由OE2+EB2＝OB2，得（OA﹣1）2+32＝OA2，求得OA＝5，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴OB＝OA， ∵OD∥AC，交BC于点E，交⊙O于点D，BC＝6，DE＝1， ∴1，OD＝OA， ∴EB＝ECBC＝3，OE＝OD﹣DE＝OA﹣1， ∴OD⊥BC， ∴∠OEB＝90°， ∴OE2+EB2＝OB2， ∴（OA﹣1）2+32＝OA2， 解得OA＝5， 故选：C． 【点评】此题重点考查平行线分线段成比例定理、垂径定理、勾股定理等知识，求得EB＝EC＝3，并且证明OD⊥BC是解题的关键． 二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）把多项式12ab2﹣8a2bc分解因式的结果是　4ab（3b﹣2ac）　 ． 【答案】4ab（3b﹣2ac）． 【分析】先确定公因式，再提取即可． 【解答】解：12ab2﹣8a2bc＝4ab（3b﹣2ac）， 故答案为：4ab（3b﹣2ac）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 8．（4分）关于x的一元一次不等式组的解为x＞m，则m的取值范围为m≥2　 ． 【答案】m≥2． 【分析】先求出不等式3x﹣4＞2的解集，再与已知不等式组的解集相比较即可得出m的取值范围． 【解答】解：解不等式3x﹣4＞2，得x＞2， ∵不等式组的解集为x＞m， ∴m≥2． 故答案为：m≥2． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次不等式，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键． 9．（4分）方程的解是 x＝2　 ． 【答案】x＝2． 【分析】由题意易得x﹣2＝0或x﹣1＝0，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：∵方程， ∴x﹣2＝0或x﹣1＝0， 解得：x＝2或x＝1， 经检验，x＝2是原方程的解，x＝1不是原方程的解， 故答案为：x＝2． 【点评】本题考查无理方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 10．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，可得出4k+4＝0，解之即可得出k的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k+3＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣k+3）＝4k+4＝0， 解得：k＝﹣1， ∴k的值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 11．（4分）将抛物线y＝5x2向左平移2个单位，向下平移1个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是y＝5（x+2）2﹣1　 ． 【答案】y＝5（x+2）2﹣1． 【分析】根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝5x2先向左平移2个单位可得到抛物线y＝5（x+2）2； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝5（x+2）2先向下平移1个单位可得到抛物线y＝5（x+2）2﹣1． 故答案为：y＝5（x+2）2﹣1． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 12．（4分）对于反比例函数，当x＞0时，y＜0；当x＜0时，y＞0，则k的值可以是 　﹣1　 （只需写出一个符合条件的实数）． 【答案】﹣1． 【分析】先判断出函数图象所在的象限，即可得k的取值范围，即可得到答案． 【解答】解：∵当x＞0时，y＜0；当x＜0时，y＞0， ∴反比例函数的图象在第二和第四象限， ∴k＜0， 故答案为：﹣1（答案不唯一）． 【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的相关知识． 13．（4分）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从E出口落出的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】画树状图得出所有等可能的结果和小球从E出口落出的结果，利用概率公式解答即可． 【解答】解：画树状图如下： 由图可知，共4种等可能的结果，其中小球从E出口落出的结果有1种， ∴小球从E出口落出的概率是． 【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14．（4分）在物理实验课上，教师指导学生进行一次光的折射实验，如图所示．光线在水面点O处，经折射后到盆底点B处，法线与盆底交于点A．光线的入射角为α，折射角为θ．若规定“”为折射率n，则光在水中的折射率n约为．当α＝30°时，测得AB＝30cm，则OB的长为 　80　 cm． 【答案】80． 【分析】先根据折射率、特殊角的函数值求出sinθ的值，再利用直角三角形的边角间关系得结论． 【解答】解：∵n， ∴sinθ•sina． 当α＝30°时， sinθ•sin30°． 在Rt△OAB中， ∵sinθ，AB＝30cm， ∴OBAB30＝80（cm）． 故答案为：80． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的函数值，理解折射率是解决本题的关键． 15．（4分）如图是某小区部分居民最喜欢的支付方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他）的扇形统计图，则支付方式D占整体的百分比是　10%　 ． 【答案】10%． 【分析】根据各组频率之和等于100%进行计算即可． 【解答】解：1﹣40%﹣35%﹣15%＝10%， 故答案为：10%． 【点评】本题考查扇形统计图，理解各组频率之和等于100%是正确解答的关键． 16．（4分）已知质量为7.9×103kg的铁的体积是1m3．现有一个体积为3mm3的铁钉，那么它的质量是　2.37×10﹣5 千克（结果用科学记数法表示）． 【答案】2.37×10﹣5． 【分析】先将体积单位从立方毫米转换为立方米，再求质量，最后用科学记数法表示结果，即可作答． 【解答】解：根据题意可知，3mm3＝3×10﹣9m3， ∴铁钉的质量用科学记数法表示为：7.9×103×3×10﹣9＝2.37×10﹣5． 故答案为：2.37×10﹣5． 【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较小的数，有理数的乘法，掌握相应的运算法则是关键． 17．（4分）如图所示，已知在矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，连结EF，AF，BE，若四边形ABEF是菱形，那么的值为 　　 ． 【答案】． 【分析】设DE＝a，根据矩形性质得∠ABC＝90°，再根据轴对称的性质得DF＝DE＝a，点F在CD的延长线上，进而得EF＝2a，∠ADF＝90°，然后根据菱形性质得AB＝BE＝EF＝AF＝2a，进而在在Rt△ADF中，由勾股定理得AD，据此可得的值． 【解答】解：设DE＝a， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵点F是点E关于直线AD的对称点， ∴DF＝DE＝a，点F在CD的延长线上， ∴EF＝DF+DE＝2a，∠ADF＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴△ADF是直角三角形， ∵四边形ABEF是菱形， ∴AB＝BE＝EF＝AF＝2a， 在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD， ∴， 即（AB/AD）的值为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了矩形和菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握矩形和菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理是解决问题的关键． 18．（4分）如图，在⊙O中，弦AD＝4厘米，作正方形ABCD，点B，C均落在圆内，圆心O在正方形内．若将正方形ABCD沿射线AD方向平移1厘米，能使边CD与⊙O相切，则将正方形ABCD沿射线AB方向平移　（1）或（3）　 厘米时，正方形其中一条边与⊙O相切． 【答案】（1）或（3）． 【分析】过O作OH⊥AD于H，OE⊥CD于E交⊙O于F，根据正方形的性质得到∠ADE＝∠DHO＝∠DEO＝90°，得到四边形OHDE是矩形，求得OE＝HD（厘米），根据平移的性质得到OF＝3厘米，延长HO交BC于G，交⊙O于M，求得OM＝OF＝OD＝3厘米，得到HG＝AB＝4厘米，根据勾股定理得到OH，求得OG＝4，于是得到结论． 【解答】解：过O作OH⊥AD于H，OE⊥CD于E交⊙O于F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADE＝∠DHO＝∠DEO＝90°， ∴四边形OHDE是矩形， ∴OE＝HD（厘米）， ∵将正方形ABCD沿射线AD方向平移1厘米，能使边CD与⊙O相切， ∴EF＝1厘米， ∴OF＝3厘米， 延长HO交BC于G，交⊙O于M， ∴OM＝OF＝OD＝3厘米， ∵AD∥BC， ∴HG⊥BC， ∴四边形ABGH是矩形， ∴HG＝AB＝4厘米， ∵OH， ∴OG＝4， ∴GM＝OM﹣OG＝3﹣（4）＝（1）厘米，HM＝HG+GM＝41＝（3）厘米， ∴将正方形ABCD沿射线AB方向平移（1）厘米时，BC边与⊙O相切，将正方形ABCD沿射线AB方向平移（3）厘米时，AD边与⊙O相切． 故答案为：（1）或（3）． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正方形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 三．解答题（共7小题，满分78分） 19．（10分）计算：． 【答案】5﹣2． 【分析】根据分数指数幂，负整数指数幂，二次根式的计算法则，绝对值的性质计算即可求解． 【解答】解： ＝24﹣23+2（2） ＝24﹣23+4﹣2 ＝5﹣2． 【点评】本题考查了分数指数幂，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 20．（10分）解方程：． 【答案】无解． 【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：， 3﹣x＝2（x﹣3）， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，x（x﹣3）＝0， ∴x＝3是原方程的增根， ∴原方程无解． 【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． 21．（10分）“低碳生活、绿色出行”是一种环保、健康的生活方式．小丽和小明从甲地出发沿一条笔直的公路匀速前往乙地，甲、乙两地相距45千米，其中小丽步行，小明骑车．已知小丽先出发，小丽和小明之间的距离y（km）与小丽出发时间t（h）之间的部分函数关系如图中折线段OA﹣AB所示． （1）小丽步行和小明骑车的速度各是多少？ （2）当两人都到达乙地时，请补全图中的函数图象，并标出必要的数据． 【答案】（1）6km/h，15km/h； （2）见解答． 【分析】（1）根据图象，小丽步行18km用时3h，由速度＝路程÷时间可求出小丽步行的速度；设小明骑车的速度为vkm/h，小明在小丽出发5h时追上小丽，根据此时二人距甲地的距离相等列关于v的方程并求解即可； （2）根据小丽步行和小明骑车的速度，由路程＝速度×时间，分别写出小丽距甲地的距离y1与小丽出发时间t之间的函数关系式、小明甲地的距离y2与小丽出发时间t之间的函数关系式，将y1＝45、y2＝45分别代入对应的函数，求出对应x的值，即各自到达乙地的时间；按照x不同的取值范围，写出小丽和小明之间的距离y与小丽出发时间t之间的函数关系式，计算出关键点的坐标并补全图中的函数图象即可． 【解答】解：（1）小丽步行的速度为18÷3＝6（km/h）； 设小明骑车的速度为vkm/h， 则（5﹣3）v＝6×5， 解得v＝15． 答：小丽步行的速度为6km/h，小明骑车的速度为15km/h． （2）∵小丽步行的速度为6km/h，小明骑车的速度为15km/h， ∴小丽距甲地的距离y1与小丽出发时间t之间的函数关系式为y1＝6x，小明甲地的距离y2与小丽出发时间t之间的函数关系式为y2＝15（x﹣3）＝15x﹣45， 当y1＝45时，即6x＝45，解得x＝7.5； 当y2＝45时，即15x﹣45＝45，解得x＝6， ∴小明先到达乙地． 当5≤x≤6时，小丽和小明之间的距离y与小丽出发时间t之间的函数关系式为y＝15x﹣45﹣6x＝9x﹣45， 当6＜x≤7.5时，小丽和小明之间的距离y与小丽出发时间t之间的函数关系式为y＝45﹣6x． ∵当x＝6时，y＝9×6﹣45＝9；当x＝7.5时，y＝45﹣6×7.5＝0， ∴C（6，9），D（7.5，0）． 连接BC、CD，即可得到整个函数图象，如图所示： 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． 22．（10分）我们知道“顺次联结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”．小明是个爱动脑筋的同学，他提出了如下问题：如果点E、F、G、H分别在四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD上，它们都不是中点且都不与端点重合，那么能否使四边形EFGH仍然是平行四边形？ 稍作思考后，他给出了如下的构造方法（如图1）： ①在边AB上任取符合条件的一点E，作EF∥AC，交边BC于点F； ②作FG∥BD，交边CD于点G；③作GH∥AC，交边AD于点H；④联结HE． （1）求证：小明画出的四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，在10×9的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的顶点均在格点上，点E在边AB上，AE＝2．请你仅用一把无刻度的直尺（只能作经过两点的直线），画一个平行四边形EFGH，使点F、G、H分别在边BC、CD、AD上，且此平行四边形的边与AC或BD平行．（不写画法，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） 【答案】见解析． 【分析】（1）分别证明GH∥EF，EH∥FG即可； （2）取格点J，连接EJ交AD于点H（使得AH：DH＝2：3），在CD，CB上取点G，F（使得CG：DG＝2：3，CF：BF＝2：3，连接HG，FG，EF，四边形EFGH即为所求． 【解答】（1）证明：∵EF∥AC， ∴， ∵FG∥BD， ∴， ∵HG∥AC， ∴， ∴， ∴EH∥BD∥FG， ∵EF∥AC，GH∥AC， ∴GH∥EF， ∴四边形EFGH是平行四边形； （2）解：如图，四边形EFGH即为所求． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的判定，平行线分线段成比例定理，中点四边形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．（12分）如图，点C，P均在⊙O上，且分布在直径AB的两侧，BE⊥CP于点E． （1）求证：△EPB∽△CAB； （2）若BP＝5，BE＝4，AB＝10，求CE的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由AB是⊙O的直径，BE⊥CP，得出∠ACB＝∠BEP＝90°，又由∠CAB＝∠BPC，即可得出结论； （2）由△EPB∽△CAB，得出，求出BC＝8，由勾股定理即得出结果． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BE⊥CP， ∴∠ACB＝∠BEP＝90°， ∵∠CAB＝∠BPC， ∴△EPB∽△CAB； （2）解：∵△EPB∽△CAB， ∴， 即：， 解得：BC＝8， ∴CE4． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（12分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴相交于点C（0，4）． （1）求该二次函数的解析式； （2）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P． ①连接AP，CP，当四边形AOCP的面积最大时，求此时点P的坐标和四边形AOCP面积的最大值； ②探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4； （2）①当t＝﹣2时，S四边形AOCP有最大值，最大值为16，P（﹣2，6）； ②存在，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣2，6）． 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式； （2）①先求出直线AC的解析式为：y＝x+4，设P（t，﹣t2﹣3t+4），则Q（t，t+4），用含t的代数式表示△APC的面积，进而即可求解； ②分两种情况：①△CPQ∽△ADQ；②△PCQ∽△ADQ，讨论即可． 【解答】解：（1）把A（﹣4，0）、C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得 ， 解之得， ∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣3x+4； （2）①设直线AC的解析式为y＝kx+m， 把A（﹣4，0）、C（0，4）代入得， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝x+4 设P（t，﹣t2﹣3t+4），则Q（t，t+4）， ∴PQ＝﹣t2﹣3t+4﹣（t+4）＝﹣t2﹣4t， ∴， ＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2t2﹣8t， ， ∴对称轴， ∵﹣2＜0，开口向下， ∴当t＝﹣2时，S四边形AOCP有最大值，最大值为16． ∴P（﹣2，6）； ②当△CPQ∽△ADQ时，如图： ∴∠CPQ＝∠ADQ＝90°， ∴CP∥x轴， ∴点P的纵坐标为4， ∴4＝﹣x2﹣3x+4， 解得x1＝0（舍去），x2＝﹣3， ∴P（﹣3，4）， 当△PCQ∽△ADQ时， ∠PCQ＝∠ADQ＝90°， 过点C作CM⊥PD于M， ∵C（0，4），A（﹣4，0），PD⊥x轴， ∴OC＝OA＝4，∠OAC＝45°， ∴∠CQP＝∠CPQ＝45°， ∴PC＝QC， ∴PQ＝2CM， 由①得PQ＝﹣t2﹣4t，CM＝﹣t， ∴﹣t2﹣4t＝﹣2t， 解得t1＝0（舍去），t2＝﹣2， ∴P（﹣2，6）， 综上，点P的坐标为（﹣3，4）或（﹣2，6）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）注意需要分类讨论． 25．（14分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC． （1）如图1，求证：∠BAC＝∠DAC； （2）如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF＝CG； （3）如图2，在（2）的条件下，若G是EF的中点，且，CD＝4，求线段CF的长． 【答案】（1）证明：如图，连接OC， ∵DC切O于点C， ∴OC⊥CD， ∴∠OCB＝90°， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°， ∴∠OCB＝∠ADC， ∴∠ACO＝∠DAC， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠DAC； （2）证明：如图，连接OC， 由（1）知：∠OCE＝∠OCD＝90°，∠CAO＝∠ACO， ∴∠OCB+∠BCE＝90°， ∵AB是O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠OCE， ∴∠BCE＝∠ACO， ∴∠CAO＝∠BCE， ∵EF是∠AEC的平分线， ∴∠CEF＝∠AEF， ∴∠CFG＝∠CAO+∠AEF，∠CGF＝∠BCE+∠CEF， ∴∠CFG＝∠CGF， ∴CF＝CG； （3）． 【分析】（1）连接OC，易证∠ACO＝∠DAC＝∠BAC，即可得证； （2）先证CAO＝∠BCE，再根据∠CFG＝∠CAO+∠AEF，∠CGF＝∠BCE+∠CEF，据此得证； （3）取CE的中点Q，连接QG，根据，可得AD＝8，进而可求AC、AB、BC，再证△AFE∽△CGE，即可得解． 【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵DC切O于点C， ∴OC⊥CD， ∴∠OCB＝90°， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝90°， ∴∠OCB＝∠ADC， ∴∠ACO＝∠DAC， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠DAC； （2）证明：如图，连接OC， 由（1）知：∠OCE＝∠OCD＝90°，∠CAO＝∠ACO， ∴∠OCB+∠BCE＝90°， ∵AB是O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠OCE， ∴∠BCE＝∠ACO， ∴∠CAO＝∠BCE， ∵EF是∠AEC的平分线， ∴∠CEF＝∠AEF， ∴∠CFG＝∠CAO+∠AEF，∠CGF＝∠BCE+∠CEF， ∴∠CFG＝∠CGF， ∴CF＝CG； （3）解：如图，取CE的中点Q，连接QG， ∵G是EF的中点， ∴GQ∥CF，， ∴∠CGQ＝∠ACB＝90°， 由（2）知：CF＝CG， ∴， 由（2）知：∠DAC＝∠BAC＝∠BCE， ∴， ∴， ∴， ∴AD＝8， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，AD＝8， ∴， ∴， ∵∠CAE＝∠GCE，∠FEA＝∠CEG， ∴△AFE∽△CGE， ∴， ∴AF＝2CG， ∵CF＝CG， ∴AF＝2CF， ∵， ∴． 【点评】本题主要考查了圆的基本性质、切线的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 绝密★启用前 2026年上海市中考数学押题卷（培优） 考试范围：6~9年级；考试时间：100分钟；满分：150 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）下列运算中正确的是（　　） A．（﹣ab）5＝a5b B．（a3）2＝a5 C．3a3+3a3＝6a6 D．a2•a6＝a8 2．（4分）用代数式表示“a与b平方和的一半”，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）下列是正比例函数的是（　　） A．y＝x+1 B．y＝5x C． D．y2＝3x 4．（4分）如图为在某居民小区中随机调查的10户家庭一年的月均用水量（单位：t）的条形统计图，则这10户家庭月均用水量的众数和中位数分别是（　　） A．6.5，7 B．7，6.5 C．7，7 D．6.5，6.5 5．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，设，那么的模为（　　） A． B． C． D．2 6．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AB经过圆心O，过点O作OD∥AC，交⊙O于点D，交BC于点E．若BC＝6，DE＝1，则OA的长是（　　） A．3 B．2 C．5 D．4 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）把多项式12ab2﹣8a2bc分解因式的结果是　 　 ． 8．（4分）关于x的一元一次不等式组的解为x＞m，则m的取值范围为　 　 ． 9．（4分）方程的解是 　 　 ． 10．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　 ． 11．（4分）将抛物线y＝5x2向左平移2个单位，向下平移1个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是　 　 ． 12．（4分）对于反比例函数，当x＞0时，y＜0；当x＜0时，y＞0，则k的值可以是 　 　 （只需写出一个符合条件的实数）． 13．（4分）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从E出口落出的概率是　 　 ． 14．（4分）在物理实验课上，教师指导学生进行一次光的折射实验，如图所示．光线在水面点O处，经折射后到盆底点B处，法线与盆底交于点A．光线的入射角为α，折射角为θ．若规定“”为折射率n，则光在水中的折射率n约为．当α＝30°时，测得AB＝30cm，则OB的长为 　 　 cm． 15．（4分）如图是某小区部分居民最喜欢的支付方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他）的扇形统计图，则支付方式D占整体的百分比是　 　 ． 16．（4分）已知质量为7.9×103kg的铁的体积是1m3．现有一个体积为3mm3的铁钉，那么它的质量是　 　 千克（结果用科学记数法表示）． 17．（4分）如图所示，已知在矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，连结EF，AF，BE，若四边形ABEF是菱形，那么的值为 　 　 ． 18．（4分）如图，在⊙O中，弦AD＝4厘米，作正方形ABCD，点B，C均落在圆内，圆心O在正方形内．若将正方形ABCD沿射线AD方向平移1厘米，能使边CD与⊙O相切，则将正方形ABCD沿射线AB方向平移　 　 厘米时，正方形其中一条边与⊙O相切． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分78分） 19．（10分）计算：． 20．（10分）解方程：． 21．（10分）“低碳生活、绿色出行”是一种环保、健康的生活方式．小丽和小明从甲地出发沿一条笔直的公路匀速前往乙地，甲、乙两地相距45千米，其中小丽步行，小明骑车．已知小丽先出发，小丽和小明之间的距离y（km）与小丽出发时间t（h）之间的部分函数关系如图中折线段OA﹣AB所示． （1）小丽步行和小明骑车的速度各是多少？ （2）当两人都到达乙地时，请补全图中的函数图象，并标出必要的数据． 22．（10分）我们知道“顺次联结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”．小明是个爱动脑筋的同学，他提出了如下问题：如果点E、F、G、H分别在四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD上，它们都不是中点且都不与端点重合，那么能否使四边形EFGH仍然是平行四边形？ 稍作思考后，他给出了如下的构造方法（如图1）： ①在边AB上任取符合条件的一点E，作EF∥AC，交边BC于点F； ②作FG∥BD，交边CD于点G；③作GH∥AC，交边AD于点H；④联结HE． （1）求证：小明画出的四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，在10×9的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的顶点均在格点上，点E在边AB上，AE＝2．请你仅用一把无刻度的直尺（只能作经过两点的直线），画一个平行四边形EFGH，使点F、G、H分别在边BC、CD、AD上，且此平行四边形的边与AC或BD平行．（不写画法，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） 23．（12分）如图，点C，P均在⊙O上，且分布在直径AB的两侧，BE⊥CP于点E． （1）求证：△EPB∽△CAB； （2）若BP＝5，BE＝4，AB＝10，求CE的长． 24．（12分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴相交于点C（0，4）． （1）求该二次函数的解析式； （2）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P． ①连接AP，CP，当四边形AOCP的面积最大时，求此时点P的坐标和四边形AOCP面积的最大值； ②探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 25．（14分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC． （1）如图1，求证：∠BAC＝∠DAC； （2）如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF＝CG； （3）如图2，在（2）的条件下，若G是EF的中点，且，CD＝4，求线段CF的长． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上海市中考数学押题卷（培优）答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： 《正面朝上贴在此虚线框内) --. 11 准考证号 12. 缺考标记 注意项 ▣ 1、答题前考生先将自己的滩名、准考证号码填写清楚， 考生禁止填涂 2,请将准考证亮码粘站在右食的[条码粘站处]的方框内 缺考标记只能 3、迭择题必须使用2B铅笔填涂：非选挥避必须月0.5毫米黑色字的盗宁笔填写，字体工整 由监考老师 4,请按题号髓序在各题的答区内作答，趣出范的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 14 责用限色学 保持卡面清洁。不要折叠。不要弄孩、弄皱，不准使用涂改液，刮纸刀， 的签字管填 填涂样例正确■错误-[×】 15 16 17 一 选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂） 18. 2 4 5 6 [A][A][A] [A][A] A ® B [B][B] ® g g [c][c] [c] C 三.解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作答） [D][D][D][D][D][D] 19.答： 二.填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作答》 第3页共4页 第4页共4页 20 22.答： A 图 图2 21答： y B 3 5 23答： 第3页共4页 第4页共4页 24答： 25答： A 0 备用图 图1 图2 第3页共4页 第4页共4页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 绝密★启用前 2026年上海市中考数学押题卷（培优） 考试范围：6~9年级；考试时间：100分钟；满分：150 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）下列运算中正确的是（　　） A．（﹣ab）5＝a5b B．（a3）2＝a5 C．3a3+3a3＝6a6 D．a2•a6＝a8 2．（4分）用代数式表示“a与b平方和的一半”，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）下列是正比例函数的是（　　） A．y＝x+1 B．y＝5x C． D．y2＝3x 4．（4分）如图为在某居民小区中随机调查的10户家庭一年的月均用水量（单位：t）的条形统计图，则这10户家庭月均用水量的众数和中位数分别是（　　） A．6.5，7 B．7，6.5 C．7，7 D．6.5，6.5 5．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，设，那么的模为（　　） A． B． C． D．2 6．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AB经过圆心O，过点O作OD∥AC，交⊙O于点D，交BC于点E．若BC＝6，DE＝1，则OA的长是（　　） A．3 B．2 C．5 D．4 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）把多项式12ab2﹣8a2bc分解因式的结果是　 　 ． 8．（4分）关于x的一元一次不等式组的解为x＞m，则m的取值范围为　 　 ． 9．（4分）方程的解是 　 　 ． 10．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k+3＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　 ． 11．（4分）将抛物线y＝5x2向左平移2个单位，向下平移1个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是　 　 ． 12．（4分）对于反比例函数，当x＞0时，y＜0；当x＜0时，y＞0，则k的值可以是 　 　 （只需写出一个符合条件的实数）． 13．（4分）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从E出口落出的概率是　 　 ． 14．（4分）在物理实验课上，教师指导学生进行一次光的折射实验，如图所示．光线在水面点O处，经折射后到盆底点B处，法线与盆底交于点A．光线的入射角为α，折射角为θ．若规定“”为折射率n，则光在水中的折射率n约为．当α＝30°时，测得AB＝30cm，则OB的长为 　 　 cm． 15．（4分）如图是某小区部分居民最喜欢的支付方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他）的扇形统计图，则支付方式D占整体的百分比是　 　 ． 16．（4分）已知质量为7.9×103kg的铁的体积是1m3．现有一个体积为3mm3的铁钉，那么它的质量是　 　 千克（结果用科学记数法表示）． 17．（4分）如图所示，已知在矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，连结EF，AF，BE，若四边形ABEF是菱形，那么的值为 　 　 ． 18．（4分）如图，在⊙O中，弦AD＝4厘米，作正方形ABCD，点B，C均落在圆内，圆心O在正方形内．若将正方形ABCD沿射线AD方向平移1厘米，能使边CD与⊙O相切，则将正方形ABCD沿射线AB方向平移　 　 厘米时，正方形其中一条边与⊙O相切． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分78分） 19．（10分）计算：． 20．（10分）解方程：． 21．（10分）“低碳生活、绿色出行”是一种环保、健康的生活方式．小丽和小明从甲地出发沿一条笔直的公路匀速前往乙地，甲、乙两地相距45千米，其中小丽步行，小明骑车．已知小丽先出发，小丽和小明之间的距离y（km）与小丽出发时间t（h）之间的部分函数关系如图中折线段OA﹣AB所示． （1）小丽步行和小明骑车的速度各是多少？ （2）当两人都到达乙地时，请补全图中的函数图象，并标出必要的数据． 22．（10分）我们知道“顺次联结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”．小明是个爱动脑筋的同学，他提出了如下问题：如果点E、F、G、H分别在四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD上，它们都不是中点且都不与端点重合，那么能否使四边形EFGH仍然是平行四边形？ 稍作思考后，他给出了如下的构造方法（如图1）： ①在边AB上任取符合条件的一点E，作EF∥AC，交边BC于点F； ②作FG∥BD，交边CD于点G；③作GH∥AC，交边AD于点H；④联结HE． （1）求证：小明画出的四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，在10×9的网格中，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的顶点均在格点上，点E在边AB上，AE＝2．请你仅用一把无刻度的直尺（只能作经过两点的直线），画一个平行四边形EFGH，使点F、G、H分别在边BC、CD、AD上，且此平行四边形的边与AC或BD平行．（不写画法，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） 23．（12分）如图，点C，P均在⊙O上，且分布在直径AB的两侧，BE⊥CP于点E． （1）求证：△EPB∽△CAB； （2）若BP＝5，BE＝4，AB＝10，求CE的长． 24．（12分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴相交于点C（0，4）． （1）求该二次函数的解析式； （2）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P． ①连接AP，CP，当四边形AOCP的面积最大时，求此时点P的坐标和四边形AOCP面积的最大值； ②探究是否存在点P使得以点P，C，Q为顶点的三角形与△ADQ相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 25．（14分）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC． （1）如图1，求证：∠BAC＝∠DAC； （2）如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF＝CG； （3）如图2，在（2）的条件下，若G是EF的中点，且，CD＝4，求线段CF的长． ( 第 2 页 共 6 页 ) ( 第 1 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上海市中考数学押题卷（培优）答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 准考证号 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 责用黑色字迹 5、 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、 填涂样例正确■错误【-[V][×] 一.选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔 填涂) 2 3 6 [A] [A] [A] [A] [A] [A] [B] [B] [B] [B] [B] [B] [c] [c] [c] [c] [c] [c] DD] [D] [D] [D] [D] [D] 二.填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题 的答题区内作答) 第1页共6页 7 8. 9 10. 12. 13. 15. 1 1 三.解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 第2页共6页 20.答： 21.答： yA 18 y B 5 主 第3页共6页 22.答： D G H F B E A B 图1 图2 23.答： 0 父 第4页共6页 24.答： y y Q A A B D O 备用图 第5页共6页 25.答： D D C C A G A ⊙ 0 B E 图1 图2 第6页共6页