2026年高考数学冲刺卷（新Ⅰ卷）（B卷）

**基本信息** 2026高考数学冲刺卷（新Ⅰ卷B卷）覆盖集合、复数等基础知识点，解答题融合数列、立体几何、函数导数、双曲线及新定义数列，注重数学思维与实际应用，适配高考冲刺模拟。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、复数模、立体几何体积侧面积、等差数列、概率排列|第7题志愿服务岗位安排，体现数学语言表达现实世界| |填空题|3题15分|二项式系数、椭圆离心率、三角函数性质|第14题结合零点与对称轴，考查数学眼光观察函数特征| |解答题|5题77分|等比数列、立体几何面面角、函数导数不等式、双曲线综合、新定义“生成子列”|第19题新定义数列探究，培养数学思维逻辑推理；第18题双曲线与面积、四点共圆结合，体现高考命题综合性趋势|

2026高考数学冲刺卷（新Ⅰ卷）（B卷） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上， 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1．已知集合，集合，则中元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．已知复数，则的值为（    ） A．2 B． C． D．8 3．以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，若该几何体体积为，则其侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知公差不为 的等差数列 的前 项和为 ， ，且 ，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，以为直径的半圆上有一点M，，则（    ） A． B． C． D． 7．在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁4名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责.若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 8．已知是抛物线上一点，点，在轴上，的内切圆的方程为 ，则面积的最小值为（   ） A．42 B．56 C．72 D．88 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有两个或两个以上选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 9．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，边上的高为2，则（     ） A． B． C．的周长为 D．的面积为3 10．正四棱锥的外接球的球心为O，半径为R，，，过的中点E作球O的截面，则（    ） A．直线与平面所成角的正切值为 B．平面与平面夹角的余弦值是 C． D．截面的面积的最小值是 11．设三次函数，其中，则下列说法正确的是（     ） A．当时，若函数的对称中心为，则 B．当时，函数的图象关于点中心对称 C．当时，若的两个极值点为，且，则 D．当时，若有三个相异且成等差数列的零点，则实数的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．展开式中的系数为____________．（用数字作答） 13．已知椭圆的左右焦点分别是，点满足，线段与椭圆交于点，作于，其中为坐标原点，则椭圆的离心率为___. 14．已知函数是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卷上写出必要的解题步骤 15．（13分）已知正项等比数列满足，且成等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 16．（15分）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为3，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 17．（15分）已知函数的图象在处的切线过点． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 18．（17分）已知双曲线C：经过点，，右顶点为A． (1)求双曲线C的方程； (2)若过点的直线与双曲线C交于M，N两点. （i）是否存在直线，使得与的面积相等?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由； （ii）直线，分别与y轴交于P，Q两点，记的中点为E，x轴上是否存在点F，使得A，B，E，F四点共圆?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（17分）记数列前k项的最大值依次构成一个新的数列，称数列为的“生成子列”，数列所有项组成的集合为A． (1)已知数列为7，6，5，8，求数列； (2)若，且A中恰有5个元素，求实数a的取值范围； (3)若，的“生成子列”的前n项和为，从中任取Y个数，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为X， ①若，求X的数学期望； ②若，求使取得最大值时的m值． 学科网（北京）股份有限公司 $《2026高考数学冲刺卷（新I卷）(B卷)》参考答案 题号 1 2 3 6 6 7 8 9 10 11 答案 e B A C AB ACD BCD 1.C 【详解】因为集合S={a1≤0≤3，集合T={-1,0,1,2,3,4, 所以S∩T={1,2,3},所以S∩T中元素的个数为3. 2.C 10 【详解】 101-30=10-30i=1-3i, 1+3i1+3i)1-3i1+9 2i 2 2i1-i)-2i-2_2+21=1+i, 1+i(1+i01-i)22 所以z=(1-31)+(1+i)=2-2i 1z=V22+(-2)2=√4+4=8=2√2. 3.B 【详解】等腰直角三角形绕一条直角边旋转一周，得到的几何体是圆锥 设等腰直角三角形的直角边长为a, 则旋转后圆锥的底面半径r=a,高h=a,母线长1=√a2+a2=√2a: 由于圆锥体积v=rh=元·a2a=9元，解得a=3. 3 3 因此圆锥侧面积S=πrl=π×3×3V2=9√2π. 4.A 1 【详解】由sino-cos= V5平方得：sin'a-2 sinc0sa+cosa=写今sin2a= 5 又因为a∈ 0, sina cosa = >,则sina>cosa，所以a&a 4’2 则2a∈ 3 2元 即cos2a=- 5 5.C 【详解】由a2+a3=a可得a3-d+a3=a3+2d,即a=3d. 则S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=3(a3+a4=3(2a3+d)=21d, 所以=21=7，则C正确 a;3d 6.A 【详解】以为B原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系， 则A(0,1,C(1,0),M(x,y),AC=√2 M 则以AC为直径的圆的圆心为AC的中点 则以AC为直径的圆的方程为： (月 B 则BM=(x,y),BC=(1,0),BA=(0,1 B=BC+5xBA=(2,5队所以{=V5 x= 曲点w国(-可粉--月 即4以2-1+)2=0，解得入-4,5或2=0（合> 7.C 【详解】因为4个人分配到3个不同的岗位，且每个岗位至少1名， 所以必有一个岗位2人，另2个岗位各一人，共有CCCA;=36种方法 A 若安排甲、乙在同一个岗位，为2人组，而丙、丁各为一人一组， 3个小组全排列到3个不同的岗位，共有A=6种方法， 所以安排甲、乙不在同一个岗位有36-6=30种方法. 8.C 【分析】设P(6t,6t)、M(0,m)、N(0,n),结合内切圆性质与点到直线距离公式计算可得 与m、n有关等式，即可得m、n是关于x的方程t2-1x2+6tx-92=0的两根，借助韦达 定理计算可表示出m-川，则可借助t表示出△PMW面积，再利用换元法与基本不等式计算 即可得解 【详解】设P(6t2,6t)、M(0,m)、N(0,n), 则1w:y=6-mx+m,即(61-mx-61y+6'm=0, 6r2 4w:y=6,”x+n,即61-nx-6y+6n=0 由(x-3)2+y2=9圆心为3,0)，半径为3， 则3,0)到直线PM、PN距离都为3， 3(6t-m+6t2m 3(6t-n)+6t2n 即有 3 =3 61-m)2+(-6r2)月 V61-m2+(-6t2)月 整理得(2-1m2+6tm-9t2=0,（t2-1n2+6tm-912=0, 即m、n是关于x的方程(t2-1x2+6x-9t2=0的两根， -6t -92 故m+n= 2-1' mn二2-1 由△PMN的内切圆的方程为(x-3)2+y2=9, 可得xp=6t2>6,即t2>1, 7-6t)2 则lm-川=Vm+n-4mn=2-i 4.9 36t4 6t2 t2-1 2-2 t2-11 t2-1' 18 段=42-1>0，则3pw18s+118s+18+36≥2189-+3672 当且仅当s=1,即t=±2时，等号成立，故△PMN面积的最小值为72 9.AB 【详解】对于A,由2(a-bcosC)=csin B,根据正弦定理得 2(sin A-sin B cos C)=sin C sin B, 因为sinA=sinB+C)=sin BcosC+cos Bsin C,则 2(sin B cos C+cos B sin C-sin B cos C)=sin C sin B, 2 cos B sin C=sin Csin B,因为C∈0，π，所以sinC≠0，得到2cosB=sinB,则 tanB=2,故A正确； 对于B,由sinB=2sinC，,可得b=2c=2√5，故B正确： 对于C,由tanB=2=sinB, 且sin2B+cos2B=1,因为B∈0，π)，tanB>0, cos B 所以B∈ 0,2 可得cosB=5 Cos B= +e2-公。2+-25_5，化简得a-2a-15=0,解号a=-3(合) 2ac 2a×√5 5 或a=5, 所以ABC的周长为a+b+c=5+2√5+√5=5+3√5，故C错误； 对于D, ABC的面积为。×5×2=5，故D错误， 10.ACD 【分析】作PH⊥平面ABCD,则LPAH是直线AP与平面ABCD所成的角，在Rt△PHA中 求解判断A;取棱CD的中点F,连接PE,PF,EF,由正四棱锥的性质易证∠EPF是平 面PAB与平面PCD的夹角或其补角，求解判断B;根据题意得 R2=(PH+OH)2=CH2+OH2,求解判断C;连接OE,当截面2垂直于OE时，截面2的 面积最小，求出半径，判断D. 【详解】如图，作PH⊥平面ABCD,则H为线段AC的中点， ∠PAH是直线AP与平面ABCD所成的角 因为PA=5,AB=4V2,所以AH=4,PH=VPA2-AH2=3, 所以Uan∠PAH=3,A正确 4 取棱CD的中点F,连接PE,PF,EF. 由正棱锥的性质知点H在线段EF上，HF=EH=2√2， 则PE=PF=√PH2+HF2=√7. 由正四棱锥的性质易证∠EPF是平面PAB与平面PCD的夹角或其补角， PE2+PF2-EF2 则平面PAB与平面PCD夹角的余弦值是|cos∠EPF= 1 17, B错误。 2PE.PF 因为PH=3,AH=4,所以O在正四棱锥P-ABCD外部，连接OC, 25 则R2=(PH+OH)2=CH2+OH2,解得R=5,C正确 6 连接OE,当截面Ω垂直于OE时，截面Ω的面积最小 因为0E2=EH2+0H2=337 36 所以截面2的面积的最小值为R2-OE2)π=8元，D正确 11.BCD 【详解】对A:当a=1时，fx)=x3+bx2+cx+1, 由函数f到的对称中心为[写引则/：+小+1-刘手 即有x++ox+1+cx++1+-+1-刘÷c1-+1-手 2b+6=0 b=-3 里206-25+2+号-0.即车20+2x+g-0解 8 5 3 c=3 31s、14 即到=-3+x+1,故f-=1-3 ’故A错误； 对B:当b=0时，f(x)=ax3+cx+1, 则f(x)+f(-x)=ax3+cx+1+a(-x)+c(-x)+1=2, 故函数∫(x的图象关于点(0,1)中心对称，故B正确； 对C:当a=1时，f(x)=x3+bx2+cx+1,f'(x)=3x2+2bx+c, 则4=2-12c>0.+=学，6=写 2b 由x2=2x，且x<x2,则0<x<x2,故x+2= 2b 3 >0,x2=>0， 即有b<0,c20,3x=，2x=3,放=26 9,x三 即有层 即27c=8b2，故C正确； 对D:当b=1时，f(x=ax3+x2+cx+1, 设三个相异零点分别为m-t、m、m+t, ax+x2+cx+1=a(x-m+t)(x-m)(x-m-t), 即axr3+x2+cx+1=ar3-3max2+(3m2-t2）ax-ma(m2-t2）, 1=-3ma 则c=(3m2-t2）a，由1=-3ma得m=- 1 3a 1=-mam2-t2) 测1=-aa-可得-证-3>0，政<a 9 3 又a>0,故实数a的取值范围为0，) 故D正确 12.-480 【详解】解：(x2-2y+z°展开式中含xyz的项为C(x2)C(-2y3z=-480xyz, 故(x2-2y+z°展开式中xyz的系数为-480. 13.2 2 【详解】：梢圆方程为二+ 、=1（a>√2)，根据椭圆定义，对椭圆上任意一点9，都有 a 2 1QF|+|QF2=2a. :点P满足|PE=2a,且PE=PQ+|QF, .|PQ=PFI-|QF=2a-|QF=QF|,即△PQF为等腰三角形，|PQ=QF2. :QM⊥PF,于M,等腰三角形三线合一， .M为线段PF的中点 :O是坐标原点，椭圆焦点F,F,关于原点对称，即O是FF的中点， .在△PEF,中，OM是三角形中位线. 1oMFP听2a=a 0M=2,.a=2. c2=a2-b2=2-2=2,得c=2e=-2 a 2 14.3 【详解】：函数f(=c0s0x+p(@>0),x=-为fx)的零点，x=为y=fx图 8 8 象的对称轴，∴o +p=版+经Mez,且a 8 n weZ. 8 ∴相减可得o下=(n'-n川元-正=km-交，k∈Z, 2 2 即0=2k-1,k∈Z,即0为奇数. π5π :f(x)在 1224 单调，江及-7- 241282 0≤8，故奇数⊙的最大值为7. 当0=7时，-7π+ -8+o=m+2 nEZ, 上不单调，不满足题意. 当0=5时，-5+9=m+,neZ, 8 -b子p=时=sr+后 上不单调，不满足题意。 当0=3时，-3 -+p=nπ+ 8 2’n∈Z, ls经9=骨，此时到=co3x 在 π5元 8 上单调递减，满足题意； (1224 故⊙的最大值为3. 15.【详解】(1)设等比数列{a,}的公比为9(9>0). 因为2a,a3,3a2成等差数列，所以2a1+3a2=2a3· 因为a1=2,所以2×2+3×2g=2×2g2,整理得2q2-3q-2=(q-2)(2q+1)=0, 解得9=2或g=-}.因为g>0,所以g=2,故{a}的通项公式为a,=2. 2)由10知4-2,8+2m-1=2+2n-1. an n 记数列 2" 的的0项和为，测公寸子+会 123 因为P=2+ 24+…+ n-1,n 23+ 2分 所以两式相减得上=1+1+1++1n n+2, 2 222+2++ 2”2*1 1、 24 所以P=2-n+2 2” 因为数列{2n-1}的前n项和为 +2n-1n=n2,所以S.=2-”+2+ 2 2+n2 16.【分析】(1)取AB的中点M,连接CM,FM,证明FMCD为平行四边形，再根据线 面平行的判定定理即可求出； (2)法一：先根据体积求出点B到平面ACDE的距离，再建立空间直角坐标系求出平面 DEF与平面ABC的法向量，代入公式即可求出最大值； 法二：先根据体积求出点B到平面ACDE的距离，延长ED和AC交于点N,过A作 AH⊥BN于H,找到∠AHE为平面DEF与平面ABC的夹角，再根据三角形面积相等得 BN·AH=12,同时结合BN≥3即可求出， 【详解】(1)取AB的中点M,连接CM,FM, :F,M分别是EB和AB的中点，∴FM与)AE平行且相等， .EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC,∴.DC与二AE平行且相等， .FM与DC平行且相等，∴.四边形FMCD为平行四边形，.DF∥CM, E 又：DF丈平面ABC,CMC平面ABC,.DF//平面ABC. (2)设B到平面ACDE的距离为d, M 则eaed=×山+2x24=3,故d=3. 32 法一：由于DC垂直于平面ABC,建立如图空间直角坐标系C-z, EA=2DC=2,AC=2, C(0,0,0),D(0,0,1,A0,2,0,E(0,2,2), 设30.则5[生21DF=20m=02 设平面DEF的法向量为m=(x,y,z)，则由 DF.m=0得 DE.m=0 3 +2 3+4 2y=0, 2y+z=0, 取x=t+2,得y=-3,z=6,因此平面DEF的一个法向量m=t+2,-3,6. 由于DC垂直于平面ABC,因此i=(0,0,1)是平面ABC的一个法向量， 设平面DEF与平面ABC的夹角为O, 则cos0=cos(m,= m.n 6 s25 m同t+22+45 5, :平面DEF与平面ABC夹角的余弦值的最大值为25 法二：延长ED和AC交于点N,过A作AH⊥BN于H, EA⊥平面ABC,.EA⊥BN,又：AH⊥BN,AH∩EA=A,且两直线在平面内， .BN⊥平面AHE,∴.BN⊥HE, ∴.∠AHE为平面DEF与平面ABC的夹角， 由5am-方4Nd=8N,AH,得BNAn=2 而BN≥3，所以AH≤4，当且仅当BN⊥AN时等号成立： ∴.tan∠AHE= hAH之2'cos∠AHEs25 EA2、1 :平面DEF与平面ABC夹角的余弦值的最大值为25 5 1.【解10由八-=居a-e-e-a-1=a 所以函数f(x)在x=-1处的切点为： 又ri=je+a2-e-(at分mje-e, 所以f川--[a+分2a-]ee-cn=a-号 所以函数在点 【-1a-)处的线方程为-a-》-a-2》x+。 将点P0-日代入切线方程中得：子a-到口》0+，解：a 2由a-。 3 所以对x∈(-l,+o),f(x)≤(m-le1-m+恒成立， 即目小e-esm-小e-m+在re-1+o上成立 回任e2-me+a0在xe-1+a上恒说 令t=ex+1,因为x∈-1，+o,所以t>1,且x=lnt-1, 将x=n1-1代入任22-m+m子0中化简对 （得ndjr-m+m-子≤0在re,+上成立。 曲g-(产+2目n -m=t-tlnt-m, 令h(t)=t-tnt(t>1),则h(t)=1-(1+lnt)=-lnt,因为t>l,所以lnt>0→-lnt<0 即h'(t)在te(1,+o）上单调递减，所以ht)<h(1=1-lnl=1, 当m≥1时，g't)=ht)-m<1-m≤0，所以g(t)在t∈(1，+o)上单调递减， 所以g小<-居nl-m+m _3=0,满足题意， 当m<1时，存在>1使得h()=m,且t∈(1，)时，g'(t>0, 此时gt)在t∈(1，to)上单调递增，所以g(t)>g1)=0,不满足题意. 综上实数m的取值范围为[1，+∞) 8 1 =1 a b2 a=2 18.【详解】(1)由题意，得 ，解得 163 b=1 a2 b2 1 故双曲线C的方程为 -y2=1. 4 (2)(i)不存在，理由如下： 假设存在直线I,使得△ABM与△ABN的面积相等， 由题可知，直线1的斜率存在，设直线：y=k(x-2)+1, y=k(x-2)+1 与C的方程联立 -y=1 4 得（4k2-1x2+8k(1-2k)x+16k2-16k+8=0, 由题， |a=640-2-44-16-16+到>0，分且号 4k2-1≠0 2 8k(2k-1) 设M(,V(少，则+名=4-1西= 16k2-16k+8 4k2-1 由x+x2= 8k(2k-)=4,得方程无解， 4k2-1 所以不存在直线I,使得△ABM与△ABN的面积相等. (i)存在F(-1,0),使得A,B,E,F四点共圆，理由如下： 设P(0,yp,0(0y2,又A2,0),所以AM:y=”,(x-2), x-2 七一2，同理可得6=二2少 令x=0得y=2当 x2-2 故yp+yg= -2y+-22=-2x4+x4-2(0出+》 x-2x2-2xx2-2(x+x2)+4 又xy2+y=x[k(x2-2)+1+x[k(x-2+1=2kx2+(1-2k)(x+x =2k×16k16k+8+0-260×82f-D-8% 4k2-1 4k2-14k2-1 月+为=(3-2到+1+x-2列+1=k5+）-4收+2=8=D-4+2=4转-2 4k2-1 4k2-1 8k8k-4 4k2-14k2-1 所以y+%=-2×16k2-16k+832k2-16k+ =-2， +4 4k2-1 4k2-1 所以P9的中点为E(0,-1), 的中垂线为y=线段A亿的中垂线为y+-2x-),即y产 2 立.外圆心为3》华--日四 故△ABE外接圆的方程为 - 令y=0,得x=-1或2，故存在F(-1,0),使得A,B,E,F四点共圆. 19.【分析】(1)根据生成子列的定义即可求解； (2)根据A中有5个元素结合数列单调性及“生成子列定义可得：44<a且a≥a6,从而 可得参数的取值范围。 (3)根据特殊角的三角函数结合生成子列的定义可得其通项，从而可求S,,进一步可求得 E(X)以及P(X=m)取得最大值时的m值. 【详解】(1)当数列{an}为7,6,5,8时，根据{b}定义有： b=7,b2=7,b=7,b4=8,所以数列{bn}为：7,7,7,8； 2因为a=n-a)(neN).所以au=a+1-g”(aeN), 由an+l-an>0得n<5+a 当n<5+a时，数列{an}递增，当n<5+a时，数列{a,}递减， 因为A中有5个元素，结合数列的单调性可知， 4-8<5-a a4<a5且45≥a6, 即 s-≥6-aj 解得-1<a≤0，所以a的取值范围是(-l,0]: 0,n=2k,k∈N (3)由题意得an=n,n=4k-3,k∈Ni -n,n=4k-1,k∈N1 所以b.=4k-3,4k-3≤n≤4k,keN, 所以S4k=41+5+…+4k-3)=4k(2k-1),能被4整除， S4-1=S4k-b4k=S4k-4k+3,不能被2整除， S4k-2=S4-bk-b4-1=S4-2(4k-3)=S4-42k-1+2,能被2整除，不能被4整除， S4-3=S4k-bk-b4k-1-b4k-2=S4-3(4k-3)=S4k-4(3k-2+1,不能被2整除， 所以S,S2,,S4n中能被2整除，但不能被4整除的有n个， ①法一：由题意X~H(4n3,n川，所以E(X)=3=3 4n4 法二：X的取值范围是{0,1,2,3 -0----管--是 n.3n3n-1 +3nn(n-1）+ ,n(n-1)(n-2 E(X)=0 C+1x9 2 2 4n4n-1(4n-2】 6 48n+36m+6-3,所以E(X)= 64n3-48n2+8n4 ②P(X=m= C空”，令PX=m2PX=m-得cC≥CC C n! (3n)！ n! (3n 即 m(n-m！(2n-m)(n+m)！-（m-1)(n-m+！(2n-m+1)(n+m-1 解得ms”+ 因为n≥3，当2eZ时，m=n+ 或m=”,时，P(X=m取得最大值 2 2 2 2Z时，m=号时P(X=m取得最大值 当 2