精品解析：广东中山市华侨中学2025-2026学年高三下学期数学二模试卷

广东中山市华侨中学2025-2026学年高三下学期数学二模试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是关于的方程的一个根，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（ ） A. 93 B. 93.5 C. 94 D. 94.5 4. 若，则等于（ ） A. 49 B. 55 C. 120 D. 165 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若数列满足：对于任意正整数n，，则称，互为交错数列．记正项数列的前n项和为，已知1，，成等差数列，则与数列互为交错数列的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别为椭圆C：的左右焦点，过的一条直线与C交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（ ） A. B. C. 6 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列中的最大项为 D. 数列是等差数列 10. 已知点动点满足直线和的斜率之积为，记点的轨迹为曲线，过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点，则（ ） A. 曲线的方程为： B. 为直角三角形 C. 面积最大值为 D. 面积最大值为 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若事件A与B相互独立，且，，则 B. 设随机变量X服从正态分布，则 C. 在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强 D. 在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一空2分，第二空3分． 12. 在的展开式中，记项的系数为，若，则的值为________. 13. 某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%） 参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，． 14. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，在抛物线的准线上，则的最大值为______；若为等边三角形，则其边长为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的角，，的对边分别为，，，且， （1）求角； （2）若平分交线段于点，且，，求的周长. 16. 某设备由相互独立的甲､乙两个部件组成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若有且只有一个部件出现故障，则设备出现异常.在一个生产周期内，甲部件出现故障的概率为，乙部件出现故障的概率为.甲部件出现故障，检修费用为3千元；乙部件出现故障，检修费用为2千元，在一个生产周期内，甲､乙两个部件至多各出现一次故障. （1）试估算一个生产周期内的平均检修费用； （2）求在设备出现异常的情况下，甲部件出现故障的概率. 17. 已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，. （1）求数列和数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 在五棱锥中，，，平面平面. （1）求证：； （2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 19. 2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为. （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； （2）若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵； （3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数. 参考公式：时，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东中山市华侨中学2025-2026学年高三下学期数学二模试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可. 【详解】观察韦恩图知，阴影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合为. 故选：A 2. 已知是关于的方程的一个根，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入原方程并化简，进而解出p,q，最后求得答案. 【详解】根据题意，，所以，所以. 故选：C. 3. 某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的分位数为（ ） A. 93 B. 93.5 C. 94 D. 94.5 【答案】B 【解析】 【分析】利用百分位数的定义即可得解. 【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96， 因为， 所以这组数据的分位数第8个数与第9个数的平均值，即. 故选：B. 4. 若，则等于（ ） A. 49 B. 55 C. 120 D. 165 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，再根据组合数的性质计算可得. 【详解】因为二项式展开式的通项为（且）， 又， 所以 . 故选：D 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由倍角余弦公式及诱导公式求目标式的值. 【详解】， . 故选：A 6. 天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式，结合排列组合知识求解． 【详解】四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式. 由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望， 所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选， 可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星， 有种情况， 所以所求概率为. 故选：C. 7. 若数列满足：对于任意正整数n，，则称，互为交错数列．记正项数列的前n项和为，已知1，，成等差数列，则与数列互为交错数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质和与的关系，推得，再由互为交错数列的定义，对各个选项分析，可得结论． 【详解】由1，，成等差数列，可得，， 当时，，解得， 当时，由，可得， 上面两式相减可得， 化为， 由，即有， 是3为首项，2为公差的等差数列，可得， 对A，， ， 与数列不互为交错数列，故A选项错误； 对B，由，可得， 与数列不互为交错数列，故B选项错误； 对C，由， ， 与数列不互为交错数列，故C选项错误； 对D，由可得 ， 与数列互为交错数列，故D正确． 故选：D． 8. 已知，分别为椭圆C：的左右焦点，过的一条直线与C交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合勾股定理，利用基本不等式转化求解即可． 【详解】设，则，，， 由，可得，则，有， 所以， 当且仅当，即时取等号． 则椭圆长轴长的最小值是. 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列中的最大项为 D. 数列是等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，可得数列是等差数列，再结合等差数列性质逐项判断即得. 【详解】由，得数列是等差数列，令其公差为，由，得， 对于A，，A正确； 对于B，为常数，数列是等比数列，B正确； 对于C，由知，的取值不确定，当为正数时，数列单调递增，数列无最大项，C错误； 对于D，，，于是，数列是等差数列，D正确. 故选：ABD 10. 已知点动点满足直线和的斜率之积为，记点的轨迹为曲线，过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点，则（ ） A. 曲线的方程为： B. 为直角三角形 C. 面积最大值为 D. 面积最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，设，由直线和的斜率之积为列式得方程； 对B，设，，得，结合点在椭圆上求得，即可证； 对C，求出与直线平行且与曲线相切且切点在第一象限的切线方程，结合点线距离求得最大面积； 对D，直线的方程为，联立抛物线方程解得P点坐标，即可求直线方程，结合韦达定理及铅锤法得，最后讨论最大值. 【详解】对A：设，则化简得：，故A错误； 对B：设，，，则，， ∵，，∴，则，则，故B 正确； 对C：与直线平行且与曲线相切且切点在第一象限的切线方程为， 联立得，由得， ∴切线为，两平行直线的距离为， 此时面积最大，最大值为，故C错误； 对D：设直线得方程为，，解得， 则直线：， 联立直线与曲线的方程可得，则， ， 令，则，∵在，即上单调递增，故， 即，当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：BD 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若事件A与B相互独立，且，，则 B. 设随机变量X服从正态分布，则 C. 在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强 D. 在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相互独立事件和条件概率的概率计算公式，可判定A正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定B错误；根据相关系数的含义，可判定C正确；根据残差的含义，可判定D正确. 【详解】对于A中，若事件A与B相互独立，且，， 可得，则，所以A正确； 对于B中，设随机变量X服从正态分布，可得， 根据正态分布曲线的对称性，可得，所以B错误； 对于C中，在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，根据相关系数的含义，可得当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强， 所以C正确； 对于D中，在回归分析中，对一组给定的样本数据而言，根据残差的含义，可得残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好，所以D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一空2分，第二空3分． 12. 在的展开式中，记项的系数为，若，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理系数的性质，求出的表达式，利用即可求解. 【详解】因为在的展开式中，记项的系数为， 所以项的系数， 即， 由，可得， 即， 所以. 故答案为：. 13. 某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取 100名高中生的身体素质指标值， 经计算，．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%） 参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，． 【答案】 【解析】 【分析】计算样本的平均数和方差，由此估计，再结合参考数据求. 【详解】因为100个数据，，，…，的平均值， 方差， 所以的估计值为，的估计值为． 设该市高中生的身体素质指标值为X， 由， 得， 所以． 故答案为：. 14. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，在抛物线的准线上，则的最大值为______；若为等边三角形，则其边长为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件判断直线与以为直径的圆的位置关系即可；设出直线方程，与抛物线方程联立，推理、计算、作答即可. 【详解】抛物线的准线为：， 令点到直线的距离分别为， 弦中点到直线的距离为， 由抛物线定义知，， 因此，以为直径的圆与准线相切于点， 即直线上除点外，其余各点都在以为直径的圆外， 由圆的性质知，当点与点重合时，是直角， 当点与点不重合时，是锐角， 所以的最大值是； 若为正三角形，，设直线：， 点，，弦中点， 由消去x并整理得：， 则，，， 其中，， ， 显然，，直线：， 且准线为，得点， 由，得， 解得，则， 所以正三角形边长为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的角，，的对边分别为，，，且， （1）求角； （2）若平分交线段于点，且，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用余弦定理得，再利用正弦定理边化角得，再利用余弦定理即可； （2）利用，结合面积公式即可得到，作于，利用面积比得到，则解出的值，再利用余弦定理求出，则得到周长. 【小问1详解】 由余弦定理得， 所以， 可化为， 再由正弦定理得，得， 所以，因为，所以 【小问2详解】 因为平分，所以， 由， 得， 作于， 则， 由，解得， 由余弦定理，得，所以， 故的周长为. 16. 某设备由相互独立的甲､乙两个部件组成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若有且只有一个部件出现故障，则设备出现异常.在一个生产周期内，甲部件出现故障的概率为，乙部件出现故障的概率为.甲部件出现故障，检修费用为3千元；乙部件出现故障，检修费用为2千元，在一个生产周期内，甲､乙两个部件至多各出现一次故障. （1）试估算一个生产周期内的平均检修费用； （2）求在设备出现异常的情况下，甲部件出现故障的概率. 【答案】（1）千元 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知，设一个周期内检修费用为，取值为，依次求出相应的概率，再利用期望公式计算，即可得到答案； （2）由条件概率公式即可得到结果. 【小问1详解】 一个周期内检修费用的所有可能取值为 . 一个周期内的平均检修费用千元. 【小问2详解】 记设备出现异常为事件，甲部件出现故障为事件 . 17. 已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，. （1）求数列和数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列前项和的性质，结合，即可求得； （2）由，把表达式求出后，可直接求和. 【小问1详解】 ， 设，则，又， 所以，. 【小问2详解】 . 18. 在五棱锥中，，，平面平面. （1）求证：； （2）若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1） 证明：延长交于点， 四边形为矩形，， 平面平面，平面平面， 平面平面，即. （2）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质、结合面面垂直的性质定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 如图建系，， ， ， ， 设平面的一个法向量， ， ， 或. 19. 2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为. （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率； （2）若一条信息有种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，…，，则称（其中）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为的信息熵； （3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为（，2，3，⋯，，⋯）.证明：当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数. 参考公式：时，，. 【答案】（1） （2） （3） 由题知，其中，2，3，…， 则， 又， 则，① ，② 得： ， 由题知，当无限增大时，趋近于零，趋近于零，则趋近于. 所以当无限增大时，的数学期望趋近于一个常数. 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式、条件概率计算公式求得正确答案. （2）根据独立重复事件概率计算公式求得. （3）先求得的表达式，根据根据极限的知识证得结论成立. 【小问1详解】 设“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，，1，2， “两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为个”， 则，， ，，， 则， 故. 【小问2详解】 由题知，1，2， 由（1）知， 同理可得， 则， 故的信息熵. 【小问3详解】 略 【点睛】本题中有很多新定义名词，如“逻辑门”、“信息熵”，“上旋粒子”，“下旋粒子”等等.解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $