广东中山市华侨中学2025-2026学年高三下学期数学二模试卷

广东省中山市华侨中学2025-2026学年高三下数学校二模 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.己知全集U与集合A,B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为() A. A∩CoB B.ACuB C.BnCvA D.BCuA 2.己知1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(P,q∈R)的一个根，为虚数单位，则p+qi=() A.-2-3i B.5+2i C.-2+5i D.2+5i 3.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91， 89,90,92,94,87,93,96,91,85,则这组数据的80%分位数为() A.93 B.93.5 C.94 D.94.5 4.若(1+x)2+(1+x)3++(1+x)10=a0+a1x+2x2+…+a10x10,则a2等于() A.49 B.55 C.120 D.165 5.若sin 5 12 119 50 119 50 A. -169 B. C. D. 169 169 169 6.天上有三颗星星，地上有四个孩子.每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿 望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望 都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是() 1 2 A.9 B. C.g D. 2-3 7.若数列{an}{bn}满足：对于任意正整数n,(an-bn)(an+1-bn+1)≤0，则称an,bn互为交错数 列.记正项数列{cn}的前n项和为Sn,己知1，√Sn十1，xn成等差数列，则与数列{cn}互为交错数 列的是() A.an=n+sin nm B.bn =n+cosnm C.cn =2n+sin n D.dn =2n+cos nm &已知A,及分易为指圆C:若+号-1a>6>0的在右东点.过R的条有线C必于AB时 点，且AF⊥AB,BF2=1,则椭圆长轴长的最小值是() A.4V2 B.3+2VW2 C.6 D.4+2V2 第1页 共4页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分】 9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且2an+1=an十an+2,S7=Sg,则() A.S16=0 B.数列{2}是等比数列 C.数列{Sn}中的最大项为Ss D.数列 Sn 是等差数列 0,已知点A-2,0,B2,0,YO,二V②动点M足直线4M和BM的率之积为二记点M的轨逊 为曲线C,过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E,连接QE并延 长交C于点G,则() A.曲线C的方程为： x2,y2 4+2=1 B.△PQG为直角三角形 C.△PAN面积最大值为2 D. △PQG面积最大值为 6 9 11.下列命题正确的是() A.若事件A与B相互独立，且0<P(A), P(B)<1,则P(AB)=P(A) B.设随机变量x服从正态分布NO,.则P(X<》=1-2P(x<) C.在回归分析中，对一组给定的样本数据(x1,1),(c2,2),·,(x,)而言，当样本相关系数 越接近1时，样本数据的线性相关程度越强 D.在回归分析中，对一组给定的样本数据(x1,1),(c2,2),·,(c,yn)而言，若残差平方和越 大，则模型的拟合效果越差：反之，则模型的拟合效果越好 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题第一空2分，第二空3分. 12.在(ax-y+2)7的展开式中，记xm项的系数为f(m,n,,若f3,2,2)= ，则a的值为 70 13.某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格.现从全市随机 100 抽取100名高中生的身体素质指标值，（位=1,2,3，，100），经计算∑x=7200, =10×(？+30)。若该市高中生的身体素质指标位服从正态分布N(:,)则估计该市商 i=1 中生身体素质的合格率为 ·（用百分数作答，精确到0.1%) 参考数据：若随机变量X服从正态分布N(4,σ2)，则P(μ-o≤X≤4十o)≈0.6827， P(μ-2o≤X≤μ+2o)≈0.9545，P(μ-3o≤X≤u+3o)≈0.9973. 14.过抛物线=6x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，C在抛物线的准线上，则∠ACB的最大值为 :若△ACB为等边三角形，则其边长为 第2页 共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c且 sin A(ccos B+bcos C)-csin B=csin C+bsin B, (1)求角A: (2)若AD平分∠BAC交线段BC于点D,且AD=1,BD=2CD,求△ABC的周长. 16.某设备由相互独立的甲、乙两个部件组成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转：若有且只有 一个部件出现故障，则设备出现异常在一个生产周期内，甲部件出现故障的概率为二，乙部件出现故 障的概率为二甲部件出现故障，检修费用为3千元：乙部件出现故障，检修费用为2千元，在一个生产 4 周期内，甲、乙两个部件至多各出现一次故障. (1)试估算一个生产周期内的平均检修费用： (2)求在设备出现异常的情况下，甲部件出现故障的概率. 亿已知等差数列Q}和等差数列，的前n项和分别为S,工：1=1之=， (1)求数列{a.}和数列{bn}的通项公式： 2)若c=(-24-1.(1+2） ,n∈N,求数列{cn}的前n项和Pn an an+1 第3页 共4页 18.在五棱锥P-ABCFE中，AB‖CF,AE‖BC,PE⊥PF,AB⊥BC, PE=PF=AE=2,FC=BC=4,AB=6,平面PEF⊥平面ABCFE. M (1)求证：PE⊥BF: ,求的值. (2)若PM=入P品(A>0),且直线AM与平面PCF所成角的正弦值为2V0, 19.2023年10月11日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三 号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍相较传统计算机的经典比 特只能处于0态或1态，量子计算机的量子比特(qubit)可同时处于0与1的叠加态，故每个量子比特处 于0态或1态是基于概率进行计算的现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自 旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将 两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输 入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有和的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋 粒子的个数为X, )若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且p二，求两个粒子通过第一道逻辑 门后上旋粒子个数为2的概率： (2)若一条信息有n(n>1,n∈N)种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为p1 ，p2,,pn,则称H=f(p1)+f(p2)+·+f(P)(其中f(x)=-xlog2x)为这条信息的 信息熵试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X的信息熵H: (3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第 二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y(Y=1, 2,3,…,n,…),证明：当n无限增大时，Y的数学期望趋近于一个常数， 参考公式：0<q<1时，limq”=0,1imnq”=0. moo 第4页 共4页广东省中山市华侨中学2025-2026学年高三下数学校二模 数学参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1 2 4 C 8 D A C B 二、多选题：本题共3小题， 每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 A,B,D B,D A,C,D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题第一空2分，第二空3分. 2 13.97.7八% 14.90°；18 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 10A=智 (2) 9+3√7 2 16.(1)1.1千元 四号 17.(1)an=2m-1,bn=n 四R=1--23十 18.(1)证明见解析 (2)入=2 1 19.(00g 第1页 共10页 (3)见解析 数学参考解析 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.A 【解答过程】 A 【分析】 利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可。 【详解】 观察韦恩图知，阴影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合为A∩CUB, 故选：A 2.C 【解答过程】 根据题意，(1+2i)2+p(1+2i)+q=0→(2p+4)i+p+q-3=0,所以 {2见+4=0字{。-5，所以p+9=-2+5i, p+g-3=0→ 故选：C 3.B 【解答过程】 B 【分析】利用百分位数的定义即可得解. 【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85,87,89,90,91,91,92,93,94,96， 因为10×80%=8， 所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即93+94 2 =93.5. 故选：B. 4.D 【解答过程】 因为1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10=a+a1x+a2x2+…+a10x0,所以， a2=C+C3+C+C号+C哈+C号+C8+C号+C =Cg+C肾+C经+C号+C哈+C号+C哈+C哈+C =C路+C%=C=410x9-165, 3×2×1 故答案为D. 5.A 【解答过程】 m(a+）)-1-2(a+）=1-2×(- 第2页 共10页 cos (3a-)=con(2a+-cos(a+ π、 119 )= 169 故选：A 6.C 【解答过程】 利用古典概型的概率公式，结合排列组合知识求解. 【详解】四个孩子向三颗星星许愿，一共有34=81种可能的许愿方式. 由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现 两个人的愿望， 所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选， 可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星， 有C2CA2=36种情况， 所以所求概车为P--号 故选：C 7.D 【解答过程】 由等差数列的性质和xn与Sn的关系，推得xn=2n+1,再由互为交错数列的定义，对各个选项分 析，可得结论， 【详解】由1，√S.+I,xn成等差数列，可得2VS+I=1+n,xn>0, 当n=1时，2VS1+1=2√1+1=1+x1,解得c1=3, 当n≥2时，由4(Sm+1)=(1+xm)2,可得4(Sm-1+1)=(1+xn-1)2, 上面两式相减可得4xn=(2+xn十xn-1)(rn-xn-1), 化为2(xn+xn-1)=(xn+xn-1)(xn-n-1), 由xn>0,即有xn-xn-1=2, {xn}是3为首项，2为公差的等差数列，可得xm=3+2(n-1)=2n+1, 对A,an=n+sin nm=n, (am-xn)(am+1-xn+1)=(n-2m-1)(n+1-2n-3)=n2+3m+2>0, 与数列{cn}不互为交错数列，故A选项错误： 对B,由b=n+COSnT,可得(b1-x1)(b2-x2)=(0-3)×(3-5)=6>0, 与数列{xn}不互为交错数列，故B选项错误： 对C,由cm=2m+sinm=2m, (cn-xn)(cn+1-xn+1)=(2m-2n-1)(2m+2-2n-3)=1>0, 与数列{xn}不互为交错数列，故C选项错误： 对D,由dm=2m+cosr可得 (dm-xn)(dn+1-xm+1)=(2m+COS nTT-2m-1)[2m+2+cos(m+)-2m-3] -1-cos2nm=0, 与数列{xn}互为交错数列，故D正确. 故选：D 8.B 【解答过程】 第3页 共10页 利用椭圆的定义，结合勾股定理，利用基本不等式转化求解即可. 【详解】设AF2|=t,则AB=t+1,|BF=2a-1,AF1=2a-t, YA 由A1M8可6牛。=a-以2=告>01， 所0-告--+名-≥8-2y-功高-8-2v2 2 2 2 当且仅当(t-1)=二即t=1+V2时取等号. 则椭圆长轴长的最小值是3+2√2. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.A,B,D 【解答过程】 由2an+1=an十an+2,得数列{an}是等差数列， 令其公差为d,由S7=Sg,得a8+ag=0, 对于A,S6=16a1+a1d=8as十g)=0,A证确： 2 2an+1 对于B, an =24+1-a=22为常数，数列{2a}是等比数列，B正确； 对于C,由ag+ag=0知，d的取值不确定， 当d为正数时，数列{an}单调递增，数列{Sn}无最大项，C错误； n(n-1), 对于D,Sn=na1+2 dd =a-2+2 于是S+S-, 2工一”=5’数列红是等差数列，D正 故选：ABD 10.B,D 【解答过程】 对A:设M(,),则AM kM=。y。 1 x+2‘x-2=-2 化底科号+号-1e学士2，淡 对B:设P(c0,0),G(m1,),Q(-0,-6),E(x0,0), 记k0=9=k>0.期kgs=”-会 kockap=+0.-边-听-6 「1+x01-0x号-哈 第4页 共10页 2 2 2 好-喝 1 则kcP=- 即kGp-kpo=-1,∠QPG=90,故B正：确 对C:作直线AN的平行线，使之与曲线C在第一象限相切，切点记作P, 当点P与P重合时△PAN的面积最大， 1 此时SAPAN>SARAN=2·2a.b=2V2.故c错误： 对D:设直线PQ为y=kx(k>0),联立曲线C:x2+2y2=4, 2k 解得o= V2+1'物= √2k+1 1 k2+1 则直线PG为g=-元(e-2o)+%=-元+ k0, 与椭圆方程联立得(2+2)x2-40(k2+1)x+2品(k2+1)2-4=0, 则xo十xG= 4x0(（2+1) k2+2 8(2+1)k SAPQG=2ll(o+c）= (2+2)(2k2+1) 8(k+) 8(k+) =(k+)2k+) 2(+)2+1 t=k+君≥23ao8 8t 4 22+1t+ 上递增，故S△PQc= 5-4 4 16 t+克2+ 9 当且仅当t=2,即k=1时等号成立，故D正确， 故选：BD 11.A,C,D 【解答过程】 对于A中，若事件A与B相互独立，且0<P(A),P(B)<1, PA小-RB,见PA到-P=P小，所 对于B中，设随机变量x服从正态分布N(0,1),可得μ=0，σ2=1， 根据正态分布曲线的对称任，可得P(X<2)=1-2P(X≥) 所以B错误； 对于C中，在回归分析中，对一组给定的样本数据(c1,1),(x2,),·,(c,)而言，根据相关系数 的含义，可得当样本相关系数越接近1时，样本数据的线性相关程度越强， 第5页 共10页 所以C正确： 对于D中，在回归分析中，对一组给定的样本数据(c1,1),(c2,2),·,(c,n)而言，根据残差的含义， 可得残差平方和越大，则模型的拟合效果越差：反之，则模型的拟合效果越好，所以D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题第一空2分，第二空3分 12.1 【解答过程】 因为在(ax-y+z)'的展开式中，记xmy”之项的系数为f(m,n,), 所以xmy项的系数fm,n,利=C呀amC%-m(-1)”C吃-m-n, 即fm,n,=(-1)”CPaC7-mC吃-m-n' r82,2)=可得-Pcac2cg-四 即35×6a=g,所以a=3 70 1 故答案为：3 13.97.7八% 【解答过程】 因为100个数据1，x2,3,,c100的平均值x= 1 方差 2=1 x号-100元 100Z ×[100×(2+36)-100×72]=36. 100 100 100 所以的估计值为μ=72，σ的估计值为o=6. 设该市高中生的身体素质指标值为X, 由P(u-2o≤X≤u+2o)≈0.9545，得P(72-12≤X≤72+12)=P(60≤X≤84)≈0.9545 PX>84=PX>μ+20=PX<μ-20=1-Pμ-20 1 所以P(X≥60)=P(60≤X≤84)+P(X>84)≈0.9545+2×(1-0.9545)=0.97725≈97.7% 故答案为：97.7八%. 14.90°；18 【解答过程】 记点A,B及弦AB的中点D在准线的射影分别为A1,B1,E, 由抛物线定义，知DE=AA1十1=。上=号AB, 2 2 因此，以AB为直径的圆与准线相切于点E, 即准线上除点E外，其余各点都在以AB为直径的圆外， 由圆的性质知，当点C与E不重合时，∠ACB是锐角， 当点C与E重合时，∠ACB是直角，即∠ACB的最大值是90°： 第6页 共10页 若△ACB为正三角形，则边长等于AB,高CD=Y AB, 设AB的倾斜角0，LCDE=&,则6=T .cosa=D 1 CD v3 由焦点弦弦长公式得AB=2印 6 =18. sin2 6 cos2 a 故答案为：90°；18. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1) 【解答过程】 （I)由余弦定理得cosB+bosC=cXa2+c2- 2+6x2+2- -=a, 2ac 2ab 所以sinA(ccos B+bcos C)-csin B=csinC+bsin B, 可化为asin A-csin B=csinC+bsin B, 再由正弦定理得a2-bc=c2+b2,得c2+-a2=-bc, 所以asA=+公-分因为AE0,所以A= 2bc 3 (2) 9+3v7 2 【解答过程】 因为AD平分∠BAC,所以LBAD=∠CAD=T 由SAABC=SABAD=SACAD→ c-ADm+ADsm写 2T 得bc=b+c, 作AE LBC于E, DE 第7页 共10页 则SAABD c~ADsin号 BD.AS c BD SAACD b.ADsin号 =2, 2CD.AB 「bc=b+ c=3 由 ,解得 c=2b b=是' 由余弦定理， a=c2-2bcc0A=63. 4,所以a=3V? 2Γ1 故△ABC的周长为 9+3v斤 2 16.(1) 1.1千元 【解答过程】 一个周期内检修费用X的所有可能取值为0,2,3,5 PX=0=45×34=35,PX=2=45×14=15, Px=)=日x经=品Px=列吉动 1.11 一个周期内的平均检修用E0灯=0X+2×3×品+5× =11千元. (2) 多 【解答过程】 记设备出现异常为事件A,甲部件出现故障为事件B PB|A=PABPA,PA=15+320=720,PAB=320, 3 .P(B|A)= 7 17.(1) an =2n-1,bn =n 【解答过程】 --2n1+1 22(2m-1=2(2m--2n-1 T2m-1 2n 设am=k(2m-1),则bn=kn,又a1=k=1, 所以an=2n-1,bn=n. (2) B.=1-（-2”·2m+1 1 【解答过程】 9m=（-2)”-1 （+n）=-2-3 1 ∴.Pn=1-(-2)113+(-2)113-(-2)215++(-2)n-112n-1-(-2)n12n+1 =1-（-2)”·2m+11 1 18.(1) 第8页 共10页 证明见解析 【解答过程】 证明：延长AE,CF交于点D,.AB‖CF,AE‖BC,AB⊥BC ∴.四边形ABCD为矩形，∴.DE=DF=2.∴∠DFE=∠CFB=45°，.∴∠BFE=90° ·.BF⊥EF,·.平面PEF⊥平面ABCFE,平面PEFn平面ABCFE=EF BFC平面ABCFE,..BF⊥平面PEF,.BF⊥PE,即PE⊥BF. (2) 【解答过程】 如图建系，.F(0,0,0),P(√2,0V②)，C(-2√2,2v2,0),A(3V2,V2,0) B(0,4v2,0),PB=（-V2,4V2,-V②)，.PM=（-V2A,4v2λ，-V2A) ∴.AM=AP+PM=-22,-2,2+-2X,42X,-2λ =-22-2入，42λ-2,21-x FP=2,0,2,FC=-22,22,0 设平面PCF的一个法向量元=(x,,z), ∴.n-FP=0nFC=0→2x+2z=0-22x+22y=0→n=1,1,-1 .∴AM-nAMn=21015→421-λ2(2+入)2+2(4入-1)2+2(1-X)2-3=21015 →2x-10-4=0,0<A≤1A=号 M 19.(1) 4 9 【解答过程】 设A:=“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，i=0,1,2, B=“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2个”， P=P-(-P-目-方 P(BA)=行P(BA=子PBA) 2 4 P团-PPaA-×行+方*号+音-子 2 20 故P(A2|B)= P(4)_P(4)P(BA)_×黄_ P(B) P(B) 9 (2) 3 第9页 共10页 【解答过程】 由题知X=0,1,2, 由a知PX=2)=拉+P1-p+-pP=日： 1 同莲可得P(K=)=cp1-)+专p+1-p]+C1-p)=分 则P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=4, 放x脑信息描五=f(份)+（份）+f(付)=2×(a)--号 (3) 见解析 【解答过程】 由题知P(Y=n)=(1-p)m1p,其中n=1,2,3,…, 则E(Y)=1(1-p)°p+2·(1-p)p+…+n·(1-p)”-1p+…, 空p2a叫 =1 空-=1-+21-以++a-0 a-m空-a-p1=11-p+20-++n1-p叭，@ -空-m1=1-P+1-以++0-p-1-旷 =1--n1pr=台少-1-p p 由题知，当n无限增大时，(1-p)”趋近于零，n(1-p”趋近于零，则E(Y)趋近于 所以当无限增大时，Y的数学期望趋近于一个常数. 第10页 共10页