三角函数中有关ω的求解 课件-2026届高三数学二轮复习

2026高考数学突破 三角函数中有关ω的求解题型归类 　　三角函数中的参数问题主要是涉及函数y＝A sin （ωx＋φ）中ω的求 解，一般是利用所给函数的单调性、对称性、最值、零点等进行解决. 三角函数的单调性与ω的关系 （1）已知函数f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx，g（x）＝ cos ωx－ sin ωx，ω＞0，在区间（ 0， ）上，若f（x）单调递增，g（x）单调递 减，则ω的取值范围是（　A　） A. （ 0， ］ B. （0，1] C. （ 0， ］ D. ［ ， ］ A 高中总复习·数学（创新版） 解析： 由题意得f（x）＝ sin （ ωx＋ ），g（x）＝ cos （ ωx＋ ）.由x∈（ 0， ），得ωx＋ ∈（ ， π＋ ）.因为在区间（ 0， ） 上，f（x）单调递增，g（x）单调递减，所以 得ω≤ ， 所以0＜ω≤ .故选A. 高中总复习·数学（创新版） （2）〔多选〕已知函数f（x）＝ sin （ ωx－ ）（ω＞0）在区间（ ， ）上单调递增，则ω的值可以是（　ABC　） A. B. 1 C. D. ABC 高中总复习·数学（创新版） 解析：因为x∈（ ， ），ω＞0，所以ωx－ ∈（ － ， － ）.因 为f（x）＝ sin （ ωx－ ）在（ ， ）上单调递增，所以 所以 因为12k－2≤ ＋4k，k∈Z，所以k≤ ，k∈Z，所以k＝0.当k＝0时，－2≤ω≤ .又 ω＞0，所以0＜ω≤ .所以ω的值可以为 ，1， . 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 　　若已知三角函数的单调性，则转化为集合间的包含关系，进而建立ω 所满足的不等式（组）求解. 高中总复习·数学（创新版） 三角函数的对称性与ω的关系 （1）已知函数f（x）＝2 sin （ ωx＋ ）（ω＞0）满足f（ －x） ＝f（ x－ ），则ω的最小值为（　B　） A. B. C. 1 D. 2 B 高中总复习·数学（创新版） 解析： 由已知函数f（x）＝2 sin （ ωx＋ ）（ω＞0）满足f（ －x） ＝f（ x－ ），即f（ －x）＝f（ ＋x），所以f（x）的图象关于直线 x＝ 对称，所以 ＋ ＝ ＋kπ（k∈Z），所以ω＝4k＋ （k∈Z）， 又ω＞0，所以当k＝0时，ω取得最小值为 . 高中总复习·数学（创新版） （2）已知函数f（x）＝2 cos （ωx－ ）＋1（ω＞0）的图象在区间（0， 2π）内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是（　A　） A. （0， ］ B. （ ， ］ C. ［ ， ） D. ［ ，＋∞） A 高中总复习·数学（创新版） 解析：因为x∈（0，2π），ω＞0，所以ωx － ∈（－ ，2ωπ－ ），设z＝ωx－ ，画 出y＝2 cos z＋1的大致图象如图.要使f（x） 的图象在区间（0，2π）内至多存在3条对称 轴，则2ωπ－ ∈（－ ，3π］.解得ω∈（0， ］. 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 　　由于ω与周期有关，所以由三角函数的对称性可判断函数的周期， （1）若函数f（x）（x∈R）的图象有两条对称轴x＝a，x＝b （a≠b），则函数f（x）是周期函数，且2｜a－b｜为它的一个周期； （2）若函数f（x）的图象有两个对称中心A（a，0），B（b，0） （a≠b），则函数f（x）是周期函数，且2｜a－b｜为它的一个周期. 高中总复习·数学（创新版） 三角函数的最值（极值）与ω的关系 （1）（2026·广东广州模拟）已知函数f（x）＝ sin （ ωx＋ ）（ω ＞0）在区间（ 0， ）内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是 （　C　） A. （ ， ］ B. ［ ， ） C. （ ， ］ D. ［ ， ） C 高中总复习·数学（创新版） 解析： 因为ω＞0，所以当0＜x＜ 时，有 ＜ωx＋ ＜ ω＋ .因为f （x）在区间（ 0， ）内有最大值，但无最小值，结合函数图象得 ＜ ω ＋ ≤ ，解得 ＜ω≤ . 高中总复习·数学（创新版） （2）已知x＝ 和x＝ 都是函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0）的极 值点，则ω的最小值是（　A　） A. 4 B. 2 C. 1 D. A 解析：由题意可知：直线x＝ 和直线x＝ 都是函数f（x）的对称轴，设 函数f（x）的最小正周期为T，由题意可得： ＝ － ＝ ，k∈N*，可 得T＝ ，k∈N*，且ω＞0，则 ＝ ，k∈N*，解得ω＝4k，k∈N*， 所以ω的最小值是4.故选A. 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 　　根据三角函数的最值点（极值点）与其图象的对称轴或周期的关系， 可转化为恒成立（恰成立）问题来解决，即列出关于ω的方程或不等式 （组），进而求出ω的值或取值范围. 高中总复习·数学（创新版） 三角函数的零点与ω的关系 （1）设函数f（x）＝ sin （ ωx＋ ）在区间（0，π）上恰有三个极 值点、两个零点，则ω的取值范围是（　B　） A. ［ ， ） B. （ ， ］ C. ［ ， ） D. （ ， ］ B 高中总复习·数学（创新版） 解析： 依题意可得ω＞0，因为x∈（0，π）， 所以ωx＋ ∈（ ，ωπ＋ ），作出y＝ sin x， x∈（ ，3π）的图象如图所示. 要使函数在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则 ＜ωπ＋ ≤3π，解得 ＜ω≤ ，即ω∈（ ， ］. 高中总复习·数学（创新版） （2）若函数f（x）＝ cos （ ωx＋ ）（ω＞0）在区间（ ， ）上恰有 两个零点，则ω的取值范围是（　C　） A. （ ， ］ B. ［ ， ） C. （ ， ］∪ D. ［ ， ）∪［ ， ） C 高中总复习·数学（创新版） 解析：由题可知 ＜ － ≤ ，又T＝ ，所以1＜ω≤3.因为 ω＋ ＜ ωx＋ ＜ ω＋ ，函数f（x）＝ cos （ ωx＋ ）在区间（ ， ）上恰 有两个零点，所以 或 解得 ＜ ω≤ 或 ≤ω≤ ，即ω的取值范围为（ ， ］∪ . 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 　　对于给定区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的 区间长度，一般和周期相关；若区间上至多含有k个零点，需要确定包含k ＋1个零点的区间长度的最小值. 高中总复习·数学（创新版） 1. 若函数f（x）＝1－tan（ωx－ ）（ω≠0）在（0，1）上单调递增， 则ω的取值范围是（　　） A. ［－ ，0） B. （－ ，－ ］ C. （0， ］ D. ［－ ，0） √ 解析： 　由函数f（x）＝1＋tan（－ωx＋ ）在（0，1）上单调递增， 根据正切函数的性质，可得－ω＞0，当x∈（0，1）时，可得－ωx＋ ∈ （ ，－ω＋ ），则－ω＋ ≤ ，解得－ ≤ω＜0.故选D. 高中总复习·数学（创新版） 2. 〔一题多解〕（2026·河南郑州质检）若定义在R上的函数f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx（ω＞0）的图象在区间[0，π]上恰有5条对称轴，则ω的取值 范围为（　　） A. ［ ， ） B. （ ， ］ C. ［ ， ） D. ［ ， ） √ 高中总复习·数学（创新版） 解析： 　法一　由已知得，f（x）＝ sin （ ωx＋ ），令ωx＋ ＝ kπ＋ ，k∈Z，得x＝ ，k∈Z，依题意知，满足0≤ ≤π，即0≤4k＋1≤4ω的整数k有5个，所以k＝0，1，2，3，4，则4×4＋ 1≤4ω＜4×5＋1，故 ≤ω＜ . 法二　由已知得，f（x）＝ sin （ ωx＋ ），由x∈[0，π]，得ωx＋ ∈ ，由函数f（x）的图象在区间[0，π]上有5条对称轴，则 ≤ωπ＋ ＜ ，解得 ≤ω＜ . 高中总复习·数学（创新版） 3. 若函数f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx（ω＞0）在区间[a，b]上单调递 减，且f（a）＝1，f（b）＝－1，b－a＝ ，则ω＝（　　） A. B. 1 C. D. 2 √ 高中总复习·数学（创新版） 解析： 　由函数f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx＝2 sin （ωx＋ ），因为f （a）＝1，f（b）＝－1，所以 sin （ωa＋ ）＝ ， sin （ωb＋ ）＝ － ，又因为f（x）在区间[a，b]上单调递减，所以ωa＋ ＝ ＋2kπ， k∈Z，ωb＋ ＝ ＋2kπ，k∈Z，两式相减，可得ω（b－a）＝ ，因 为b－a＝ ，所以ω＝ .故选C. 高中总复习·数学（创新版） 4. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ ω＞0，｜φ｜≤ ），－ 为f （x）的零点，且f（x）≤｜f（ ）｜恒成立，f（x）在区间（ － ， ）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（　　） A. 11 B. 13 C. 15 D. 17 √ 高中总复习·数学（创新版） 解析： 　由题意，直线x＝ 是f（x）的一条对称轴，所以f（ ）＝ ±1，即 ω＋φ＝k1π＋ ，k1∈Z①，又f（ － ）＝0，所以－ ω＋φ＝ k2π，k2∈Z②，由①②，得ω＝2（k1－k2）＋1，k1，k2∈Z， 又f（x）在 区间（ － ， ）上有最小值无最大值，所以T≥ －（ － ）＝ ， 即 ≥ ，解得ω≤16.综上，先检验ω＝15，当ω＝15时，由①得 ×15＋ φ＝k1π＋ ，k1∈Z，即φ＝k1π－ ，k1∈Z，又｜φ｜≤ ，所以φ＝－ ，此时f（x）＝ sin （ 15x－ ），当x∈（ － ， ）时，15x－ ∈ （ － ， ），当15x－ ＝－ ，即x＝－ 时，f（x）取得最小值， 无最大值，满足题意.故ω的最大值为15. 高中总复习·数学（创新版） 5. （2026·湖南九校联盟联考节选）已知函数f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx，ω＞0，若沿x轴方向平移f（x）的图象，总能保证平移后的曲线与 直线y＝1在区间[0，π]上至少有2个交点，至多有3个交点，试求正实数ω 的取值范围. 高中总复习·数学（创新版） 解：由f（x）＝ sin ωx＋ cos ωx可得：f（x）＝2 sin （ωx＋ ）， 若沿x轴方向平移，考虑其任意性，不妨设得到的函数为g（x）＝2 sin （ωx＋φ）. 令g（x）＝1，即 sin （ωx＋φ）＝ ，x∈[0，π]， 取z＝ωx＋φ，则z∈[φ，ωπ＋φ]. 依题意知， sin z＝ 在[φ，ωπ＋φ]上至少有2解，至多有3解， 则须使区间[φ，ωπ＋φ]的长度在2π到 之间， 即2π≤ωπ＜ ，解得2≤ω＜ . 高中总复习·数学（创新版） $