第四章 培优课6 三角函数中ω的求解（课件PPT）-【正禾一本通】2026年新高考数学高三一轮总复习高效讲义（湘教版）

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数中ω的求解”核心考点，覆盖周期、单调性、对称性、最值、零点五大题型，对接高考评价体系，通过2024北京卷、2022全国甲卷等真题分析考点权重，归纳常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于真题训练与应试技巧结合，运用整体代换、区间限制等数学思维方法，如2024北京卷周期问题用T=2π/ω建立关系，2022全国甲卷零点问题分析区间内零点个数，培养学生逻辑推理能力，帮助掌握得分技巧，为教师提供系统复习方案。

培优课6　三角函数中ω的求解 高三一轮复习讲义　湘教版 第四章　三角函数与解三角形 　在三角函数的图象与性质中ω的求解是近年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是复习中的重难点. 06 03 题型三　三角函数的对称性与ω的关系 课时测评 02 题型二　三角函数的单调性与ω的关系 题型一　三角函数的周期T与ω的关系 01 内容索引 04 题型四　三角函数的最值与ω的关系 05 题型五　三角函数的零点与ω的关系 题型一　三角函数的周期T与ω的关系 返回 (2024·北京卷)设函数f=sin ωx.已知f=－1，f=1，且的最小值为，则ω= A．1 B．2 C．3 D．4 典例1 √ 由题意可知：x1为f的最小值点，x2为f的最大值点，则==，即T=π，且ω>0，所以ω==2.故选B． 　　解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T=与所给区间的关系，从而建立不等关系. 规律方法 对点练1.已知函数f=3sin (其中ω>0)的图象与直线y=3的两个相邻交点的距离等于2π，则ω的值为 A． B．2 C．1 D．3 √ 由函数f=3sin 的图象与直线y=3的两个相邻交点的距离等于2π，又ω>0，所以T=2π=，可得ω=1.故选C． 返回 题型二　三角函数的单调性与ω的关系 返回 　　　 (1)(2025·广东湛江一模)已知函数f=sin 在区间上单调递增，则实数ω的取值范围是 A． B． C． D． 典例2 √ 当x∈时，ωx+∈，因为f上单调递增，所以(k∈Z)，解得，又ω>0，所以<k≤，又k∈Z，所以k=1，所以10≤ω≤11，即ω的取值范围为.故选D． (2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，x=－ 为f(x) 的零点，x= 为y=f(x) 图象的对称轴，且f(x) 在 上单调，则ω 的最大值为 A．11 B．9 C．7 D．5 √ 因为x=－ 为函数f(x) 的零点，x= 为y=f(x) 图象的对称轴，所以=+ (k∈Z ，T 为周期)，得T=(k∈Z).又f(x) 在上单调，所以T≥，k≤，又当k=5 时，ω=11，φ=－，f(x)在上不单调；当k=4 时，ω=9，φ=，f(x)在上单调，满足题意，故ω=9，即ω的最大值为9.故选B． 已知单调性求ω取值范围的方法 　　已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)在[x1，x2]上单调递增(或递减)，求ω的取值范围： 1.根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T=，求得0<ω≤. 2.以单调递增为例，利用⊆ (k∈Z)，解得ω的取值范围. 3.结合第一步求出的ω的取值范围对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围. 规律方法 对点练2.(1)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增，则实数ω的取值范围为 A． B． C． D． √ 法一：由题意得又ω>0，所以所以k=0，则0<ω≤.故选B． 法二：取ω=1，则f(x)=sin，令+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，得+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，当k=0时，函数f(x)在区间上单调递减，与函数f(x)在区间上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项可知选B． (2)已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)，ω>0，若f=3，f=0，f(x)在上单调递减，那么ω的取值共有 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 √ 因为f=3，f=0，所以π－=·T，T=，因为f(x)在上单调递减，所以=，所以T≥，即，所以2n－1≤10，所以n=1，2，3，4，5，即周期T有5个不同的取值，经验证均符合题意，所以ω的取值共有5个.故选D． 返回 题型三　三角函数的对称性与ω的关系 返回 　　　 (1)(2022·全国甲卷)将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是 A． B． C． D． 典例3 √ 记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)=sin=sin.因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以ω+=kπ+(k∈Z)，得ω=2k+(k∈Z).因为ω>0，所以ωmin=.故选C． (2)(2025·黑龙江哈尔滨三模)已知函数f=cos(ω>0)在区间内恰有3条对称轴，则实数ω的取值范围是 A． B． C． D． √ 因为0≤x≤2π，所以－≤ωx－≤2ωπ－，又函数f=cos (ω>0)在区间内恰有3条对称轴，所以2π≤2ωπ－<3π，解得≤ω<.故选D． 已知对称性求ω的方法 　　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围. 规律方法 对点练3.已知函数f(x)=2sin，若f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，则实数ω的取值范围是 A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ √ 因为f(x)的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间(3π，4π)，所以×≥4π－3π，所以<ω≤1，故排除A、B；又kπ+≤3ωπ－，且kπ+π+≥4ωπ－，解得≤ω≤，k∈Z，当k=0时，≤ω≤，不满足<ω≤1，当k=1时，≤ω≤，符合题意，当k=2时，≤ω≤，符合题意，当k=3时，≤ω≤，此时ω不存在，故C正确，D不正确.故选C． 返回 题型四　三角函数的最值与ω的关系 返回 (多选)已知函数f(x)=mcos ωx+2sin ωx，若f=2，且f(x)≥f，则ω的取值可能是 A． B． C． D． 典例4 √ √ 因为f(x)≥f，所以x=时函数取得最小值，即直线x=是函数f的一条对称轴，又因为f=2，所以f=2，即f=mcos 0+2sin 0=2，所以m=2，所以f=2cos ωx+2sin ωx=4=4sin，所以ω+=+2kπ，k∈Z，解得ω=+8k，k∈Z，当k=0时ω=，当k=1时ω=.故选BC． 对点练4.(2024·辽宁大连模拟)已知f(x)=sin(ω>0)，f=f，且f(x)在区间内有最小值，无最大值，则ω=_______.  因为f=f，且×=，所以f(x)的图象关于直线x=对称，又f(x)在区间内有最小值，无最大值，所以f(x)min=f=sin=－1，所以+=2kπ－，k∈Z，解得ω=8k－，又f(x)在区间内有最小值，无最大值，所以，解得ω≤12，所以当k=1时，ω=. 返回 题型五　三角函数的零点与ω的关系 返回 (1)(2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则实数ω的取值范围是 A． B． C． D． 典例5 √ 由题意可得ω>0，故由x∈(0，π)，得ωx+∈.根据函数f(x)在区间(0，π)恰有三个极值点，知<πω+≤，得<ω≤.根据函数f(x)在区间(0，π)恰有两个零点，知2π<πω+≤3π，得<ω≤.综上，实数ω的取值范围为.故选C． (2)(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有 3 个零点，则实数ω的取值范围是________.  [2，3) 因为 0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，令f(x)=cos ωx－1=0，则cos ωx=1有3个根，令t=ωx，则cos t=1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，结合余弦函数y=cos t的图象性质可得 4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3. 已知零点个数求ω取值范围的方法 　　对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关；若在区间上至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值. 规律方法 对点练5.(2025·安徽马鞍山质量监测)已知函数f(x)=tan的图象经过点，若函数f(x)在区间[0，π]上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是 A． B． C． D． √ 由条件可知f(0)=tan φ=，|φ|<，所以φ=，f(x)=tan.当x∈[0，π]时，ωx+∈，若函数f(x)在区间[0，π]上恰有2个零点，则2π≤ωπ+<3π，解得≤ω<.故选D． 返回 课 时 测 评 返回 1.若直线x1=，x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)图象的两条相邻的对称轴，则ω= A．2 B． C．1 D． √ 依题意得函数f(x)的最小正周期T==2×=π，解得ω=2.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 2.若是函数f(x)=sin ωx+cos ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是 A．2 B．4 C．6 D．8 √ 因为f(x)=sin ωx+cos ωx=sin，由题意，知f=sin=0，所以+=kπ，即ω=8k－2(k∈Z)，当k=1时，ω=6.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 3.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0，0≤φ≤π)是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是 A． B． C． D．2 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 由题意得φ=，所以f(x)=cos=－sin ωx，因为f(x)在上单调递减，所以－×ω≥－+2kπ，k∈Z，且×ω≤+2kπ，k∈Z，解得，又ω>0，当k=0时，0<ω≤，当k>0时，无解.故ω的最大值为.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 4.若函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则实数ω的取值范围为 A．(5，8) B．(5，8] C．(5，11] D．[5，11) √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 由题意，函数f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin，因为x∈，可得<ωx+<，要使得函数f(x)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则需满足π<(1+ω)≤，解得5<ω≤8，所以实数ω的取值范围为(5，8].故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 5.若函数f(x)=sin(ω>0)在[0，π]上的值域为，则实数ω的最小值为 A． B． C． D． √ 因为0≤x≤π，且ω>0，所以－≤ωx－≤ωπ－，而f(x)在[0，π]上的值域为，f(0)=sin=－，所以≤ωπ－≤，整理可得≤ω≤，所以实数ω的最小值为.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 6.已知函数f(x)=sin(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，则实数ω的取值范围是 A． B． C． D． √ 因为0≤x≤，且ω>0，所以≤ωx+≤+.又f(x)在上恰有两个零点，所以+≥2π且+<3π，解得≤ω<4.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 7.已知函数f(x)=sin，x=－为f(x)的零点，直线x=为y=f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为 A．11 B．9 C．7 D．5 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 由题意知=·T=·，所以ω=2n－1(n∈N+).又f(x)在上单调，所以=，即ω≤12，当ω=11时，由题意可得×11+φ=kπ+，k∈Z，解得φ=－，所以函数f(x)=sin，当x∈时，11x－∈，所以f(x)在区间上不单调，所以ω≠11；当ω=9时，由题意可得×9+φ=kπ+，k∈Z，解得φ=，所以函数f(x)=sin，当x∈时，9x+∈，所以f(x)在区间上单调，所以ω=9.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 8.(多选)已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为x=，则ω的值可能是 A． B． C．1 D． √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 由题意得⇒ω=，1，.故选ACD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 9.(多选)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)，下列说法中正确的是 A．若ω=1，则f(x)在上是增函数 B．若f=f，则正整数ω的最小值为2 C．若ω=2，则把函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度所得到的图象关于原点对称 D．若f(x)在(0，π)上有且仅有3个零点，则<ω≤ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于A，若ω=1，则f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin=2sin，因为x∈，所以x+∈，不是单调区间，故A错误；对于B，若f=f，则f(x)的图象关于x=对称，所以ω·+=+kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，k∈Z，当k=0时，正整数ω取得最小值，为2，故B正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于C，若ω=2，则f(x)=2sin，其图象向右平移个单位长度后可得y=2sin=2sin的图象，该函数不是奇函数，则图象不关于原点对称，故C错误；对于D，当x∈(0，π)时，ωx+∈，所以3π<ωπ+≤4π，解得<ω≤，故D正确.故选BD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 10.(2024·湖北武汉模拟)若函数f=3cos(ωx+φ)的最小正周期为π，在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则实数φ的取值范围是 A． B． C． D． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 由函数f(x)的最小正周期为π，得=π，而ω<0，解得ω=－2，则f(x)=3cos(－2x+φ)=3cos(2x－φ)，由2kπ≤2x－φ≤2kπ+π，k∈Z，得2kπ+φ≤2x≤ 2kπ +π+φ，k∈Z，又f(x)在上单调递减，因此2kπ+φ≤－，且≤2kπ +π+φ，k∈Z，解得－－2kπ≤φ≤－－2kπ，k∈Z①，由余弦函数的零点，得2x－φ=nπ+，n∈Z，即2x=nπ++φ，n∈Z，而f(x)在上存在零点，则0<nπ++φ<，n∈Z，于是－nπ－<φ<－nπ－，n∈Z②，又－<φ<，联立①②解得－<φ≤－，所以实数φ的取值范围是.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 11.已知函数f(x)=sin(ω>0)的图象在区间[0，π]上有且仅有4条对称轴，则实数ω的取值范围是_________.  由函数f(x)=sin(ω>0)，令ωx+=+kπ，k∈Z，得x=，k∈Z.因为函数f(x)的图象在区间[0，π]上有且仅有4条对称轴，即满足0≤≤π的整数k有4个.由0≤≤π，得0≤≤1，即0≤ 1+4k≤4ω，则k=0，1，2，3，即1+4×3≤4ω<1+4×4，所以≤ω<. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 12.(2025·安徽宿州模拟)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ∈(0，2π))的一条对称轴为直线x=－，且f(x)在上单调，则ω的最大值为_______.  函数y=sin(ωx+φ)的对称轴可表示为x=，由f(x)在上单调，可得∃k0∈Z，使得k0≤ω≤，又因为ω>0，所以k0=0，1，2，3，所以当k0=3时，ω可取最大值为. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 13.(2025·安徽铜陵模拟)已知函数f(x)=2sin(ω>0)，若方程|f(x)|=1在区间(0，2π)上恰有5个实根，则实数ω的取值范围是 A． B． C． D． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 由方程|f(x)|==1，可得sin=±，所以ωx+=kπ±，当x∈(0，2π)时，ωx+∈，所以ωx+，…，因为原方程在区间(0，2π)上恰有5个实根，所以<2ωπ+≤，解得<ω≤，即实数ω的取值范围是.故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 14.(多选)(2025·河南新乡模拟)已知f(x)=1－2cos2(ω>0)，则下列判断正确的是 A．若f(x1)=1，f(x2)=－1，且|x1－x2|min=π，则ω=2 B．存在ω∈(0，2)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称 C．若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则实数ω的取值范围为 D．若f(x)在上单调递增，则实数ω的取值范围为 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 因为f(x)=1－2cos2=－cos=sin，所以周期T==.对于A，由条件知，周期为2π，所以ω=，故A错误；对于B，函数图象向右平移个单位长度后得到的函数为y=sin，因为其图象关于y轴对称，则－+=+kπ(k∈Z)，解得ω=－1－3k(k∈Z)，故对任意整数k，ω∉(0，2)，所以B错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 对于C，由条件得7π≤2ω·2π+<8π，解得≤ω<，故C正确；对于D，由条件得解得ω≤，又ω>0，所以0<ω≤，故D正确.故选CD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15.(2024·江西上饶模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，点A，B，C是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点，若△ABC是钝角三角形，则ω的取值范围是 A． B． C． D． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 由条件可得，g(x)=cos，又f(x)=sin=cos ωx，作出两个函数图象，如图， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 A，B，C为连续三个交点，不妨设B在x轴下方，D为AC的中点.由对称性可得△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，AC=T==2CD，由cos ωx=cos，整理得cos ωx=sin ωx，得cos ωx=±，则yC=－yB=，所以BD=2|yB|=，要使△ABC为钝角三角形，只需∠ACB<即可，即tan∠ACB==<1，所以0<ω<. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 16.(2025·浙江绍兴模拟)已知“<x>”表示小于x的最大整数，例如<5>=4，<－2.1>=－3.若sin ωx=<x>恰好有四个解，那么实数ω的取值范 围是______________________________.  ∪∪ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 当ω>0时，如图为满足题意的两种情况： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 返回 即=1，解得ω∈∪； 当ω<0时，如图： 则解得ω∈.综上，实数ω的取值范围是∪∪. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 三角函数中ω的求解 $