2026年四川省成都市中考数学提分小卷（解答题）练习三

2026成都中考提分小卷（解答题）练习三 A卷 14. 计算题 (1)计算：． (2)解不等式组． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，二次根式化简，绝对值的性质分别计算每一项，再合并即可得到结果； （2）分别解出两个不等式的解集，取公共部分得到不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则不等式组的解集为． 15. 为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1) __________，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“足球”所对应扇形的圆心角度数； (3)若该校共有名学生，请估计喜欢“篮球”运动的学生人数； (4)学校乒乓球队计划从表现突出的A，B，C，D四名同学中随机选取两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法，求恰好选中A和B两名同学的概率． 【答案】(1)，图见解析 (2) (3)喜欢“篮球”运动的学生约有人 (4) 【分析】（1）结合两个统计图确定喜欢“羽毛球”的人数和占比，相除即可得出调查的人数，再作差求出喜欢“乒乓球”的人数，最后补全条形统计图即可； （2）根据喜欢“足球”的学生的占比，乘以即可； （3）由喜欢“篮球”在样本中的占比，乘以全校的学生人数即可； （4）画出树状图，根据结果计算概率即可． 【详解】（1）解：根据统计图可知，喜欢 “羽毛球”的学生数为人，占比为， ∴调查人数（人）， ∴喜欢 “乒乓球”的学生数为（人）， 条形统计图补全如下： （2）解：， ∴“足球”所对应扇形的圆心角度数为； （3）解：(人)， 答：喜欢“篮球”运动的学生约有人； （4）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A和B两名同学的结果有2种， ∴恰好选中A和B两名同学的概率为． 16. 某市中央广场有一座直立的雕塑，雕塑旁建有一个长为8米的水平观景台，观景台与地面平行，数学实践小组的同学在观景台两处测量雕塑顶端的仰角，在处测得仰角，在处测得仰角．已知观景台距离地面的高度米，点在同一条直线上，求雕塑的高度（结果精确到0.1米，参考数据：）． 【答案】米 【分析】根据已知角的正切值可以用表示、的长，再由列方程求解即可. 【详解】解：延长交于点， 依题意得：四边形、四边形是矩形，米， ∴米， 设米，则米， 在中，，， ， 在中，，， ， ∵， ， 解得：（米） 答：雕塑的高度约为米． 17. 如图，已知为的弦，连接，过上的点作，交的延长线于点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）过点作直径，连接，证明为等腰直角三角形，则，再根据得，进而根据切线的判定即可求证； （）过点作直径交于，连接，过作于，根据 ，得，则可设，即得，解得，解中得，则，由此得再根据得到，然后解中得，进而由勾股定理得即可求解． 【详解】（1）证明：过点作直径，连接，如图所示， ， ， ， 为的直径，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ∵， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：过点作直径交于，连接，过作于，如图所示， 则， ∵， ， ， 由（）可知，， 在中，， 设， ， ， ， 为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 又∵， ∴， 在中，， ， ， ∴， ． 【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 18. 如图，一次函数的图象交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象在第三象限内交于点C，．在x轴的负半轴上有一点D，且，连接． (1)求点C的坐标和反比例函数的解析式； (2)点E是反比例函数上任意一点，满足，求出点E的坐标． (3)在双曲线上是否存在点P，使得，若存在，请求出P点的横坐标． 【答案】(1)，反比例函数的解析式为 (2)点的坐标为或或或 (3)存在，P点的横坐标为或或 【分析】（1）通过一次函数解析式先求A、B坐标，过点C作x轴的垂线构造相似三角形，利用比例关系求出点C的坐标，进而求出反比例函数解析式即可； （2）先求出，从而得到，因为为定值，故点E到直线的距离为定值，求出该定值，并求出与直线平行且距离为该定值的直线的解析式，联立所求直线解析式与反比例函数的解析式，即可求出点E的坐标； （3）先根据题意求出点D的坐标，以为直角边，C为直角顶点作等腰直角三角形，利用一线三垂直全等模型求出点K的坐标，从而确定直线的解析式，联立所求的直线解析式与反比例函数的解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：令，得；令，得，， ∴，， ∴，， 如图，过点C作轴于点M， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：， ∴， ∵， ∴， 分下列两种情况： 第一种：点E在上方，如图，过点E作交y轴于点F，过点F作于点N，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴，直线的解析式为， 联立，得， 解得，或， 当时，； 当时，， ∴或； 第二种：点E在下方，如图，过点E作交y轴于点F， 同第一种情况，可得， ∴， ∴，直线的解析式为， 联立，得， 解得，或， 当时，； 当时，， ∴或， 综上，点的坐标为或或或； （3）解：存在， 由，得， 分下列两种情况： 第一种：点P在的下方，以为直角边，C为直角顶点向下作等腰直角三角形，过点C作轴，其中，， 由作法可知，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，，得 解得 ∴， 联立，得， 解得（由图舍去负值）； 第二种：点P在的上方，以为直角边，C为直角顶点向上作等腰直角三角形，过点C作轴，其中，，则， 同第一种情况，可知， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 设直线的解析式为， 代入点，，得 解得 ∴， 联立，得， 解得或， 综上，P点的横坐标为或或． B卷 24. 体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，“体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某中学开展“享受快乐·增强体质·阳光大课间”活动，需购买A、B两种跳绳若干．已知购买1根A种跳绳和4根B种跳绳共需145元；购买3根A种跳绳和6根B种跳绳共需255元． (1)求A、B两种跳绳的单价； (2)如果某班级计划购买A、B两种跳绳共42根，B种跳绳个数不少于A种跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？ 【答案】(1)A种跳绳的单价为25元，B种跳绳的单价为30元 (2)1190元 【分析】（1）设A种跳绳的单价为元，B种跳绳的单价为元，然后根据“购买1根A种跳绳和4根B种跳绳共需145元；购买3根A种跳绳和6根B种跳绳共需255元”列方程组求解； （2）设购买A种跳绳根，则购买种跳绳根，根据“B种跳绳个数不少于A种跳绳个数的2倍”列不等式求出，设购买跳绳所需费用为元，根据题意表示出w，然后利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设A种跳绳的单价为元，B种跳绳的单价为元． 由题意可得， 解得：， 答：A种跳绳的单价为25元，B种跳绳的单价为30元； （2）解：设购买A种跳绳根，则购买B种跳绳根． 根据题意得：， 解得：， 设购买跳绳所需费用为元， 则， 即， ， 随的增大而减小． 当时，取得最小值，最小值为（元）． 答：购买跳绳所需最少费用是1190元． 25. 在正方形中，点，，分别是，边上一动点（不与A，B，D点重合），连接，的延长线交的延长线于点． (1)如图1．当时，若，，求的长； (2)如图2，过点A作于点G，连接，有，猜想，，之间的数量关系并证明． (3)如图3，，，将沿直线折叠，得到．过点作交于点，连接并延长交线段于点，连接，当最大时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，再根据直角三角形含角的性质可得的长； （2）如图②，过点作，交于点，则，证明和，再根据等腰直角三角形的性质可得结论； （3）如图③，点的位置受折叠后点到直线距离的限制，利用的定长作为高，推导出的最大值，进而确定的长度，从而可得结论． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，，， ， ， ， ∵，， ， ； （2）结论： 证明：如图②，过点作，交于点，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又，， ∴， ， ， ∴ ， 又∵, ∴， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）解：由折叠得：，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴当最小时，最小，最大，最大， 过点作，如图， ∵， 又∵， ∵点与点重合时，，最小，， 此时，故点、、三点共线，、互相重合；如图： ∴最小时，最大， ， ， 当最大时，的值为． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，涉及矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定等知识，第（3）问有难度，确定最大时点的位置是解本题的关键． 26. 抛物线与轴交于、，与轴交于． (1)求、的值； (2)如图1，直线交抛物线于，两点，连接，，，若恰好平分，求的值； (3)将抛物线向左平移两个单位后得抛物线，交轴于、，交轴于，直线交抛物线于E、F两点，分别过E、F且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于，求证：点在一条定直线上． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将交点、代入抛物线，列方程组，进行求解即可； （2）先根据题意得出，则直线，由角平分线性质，关于的对称点在上．过点作水平向右的直线，过点作竖直向下的直线，两条直线交于点，联立直线与抛物线，结合一元二次方程根与系数的关系和对称点坐标关系，进行求解即可； （3）先根据题意可得抛物线，求过的解析式，联立得出，再由一元二次方程根与系数的关系，，消去得在定直线上． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、， ∴， 解得； （2）解：由（1）得，抛物线的解析式为， 当时， ，即， 设的解析式为， 将、代入得， 解得， ∴的解析式为， ∵直线过和， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵平分， ∴将射线沿翻折，点会落在射线上，记为点， 设，则其关于直线的对称点为． ∴线段的中点在直线上， ∴ ， ∵点和点关于直线对称， ∴， ∴， 过点作水平向右的直线，过点作竖直向下的直线，两条直线交于点，如图， ∴，轴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是水平线段，是竖直向下的线段， ∴，， ∴ 解得， 将②代入①， 解得， 将代入②，得： 解得， ∴点关于直线的对称点坐标为， ∵直线过点， ∴设直线的解析式为， ∵、、三点共线， 将代入直线得， 解得， 将代入直线得，， 将代入③得， ， 由题意，联立直线与抛物线得， ， ∵直线与抛物线交于、， ∴， ∴ ， ∵、在直线上， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ 解得（舍去）； （3）解：∵将抛物线向左平移两个单位后得抛物线，且， ∴， 分别设和点的横坐标为，， ，． 令 ， ，， 设过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 令 ， 由题意可知， 解得， 同理可得， 过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 过点与抛物线只有唯一公共点的直线为：， 令 解得， 此时， ， 又∵，， ， 联立， ∴，即点在定直线：上运动． 【点睛】本题核心是角平分线的对称转化、一元二次方程根与系数关系的应用、二次函数的性质，通过对称将角平分线问题转化为共线问题，利用一元二次方程根与系数关系消参得定直线，体现了代数与几何的深度结合． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026成都中考提分小卷（解答题）练习三 A卷 14. 计算题 (1)计算：． (2)解不等式组． 15. 为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1) __________，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“足球”所对应扇形的圆心角度数； (3)若该校共有名学生，请估计喜欢“篮球”运动的学生人数； (4)学校乒乓球队计划从表现突出的A，B，C，D四名同学中随机选取两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法，求恰好选中A和B两名同学的概率． 16. 某市中央广场有一座直立的雕塑，雕塑旁建有一个长为8米的水平观景台，观景台与地面平行，数学实践小组的同学在观景台两处测量雕塑顶端的仰角，在处测得仰角，在处测得仰角．已知观景台距离地面的高度米，点在同一条直线上，求雕塑的高度（结果精确到0.1米，参考数据：）． 17. 如图，已知为的弦，连接，过上的点作，交的延长线于点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 18. 如图，一次函数的图象交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象在第三象限内交于点C，．在x轴的负半轴上有一点D，且，连接． (1)求点C的坐标和反比例函数的解析式； (2)点E是反比例函数上任意一点，满足，求出点E的坐标． (3)在双曲线上是否存在点P，使得，若存在，请求出P点的横坐标． B卷 24. 体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，“体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某中学开展“享受快乐·增强体质·阳光大课间”活动，需购买A、B两种跳绳若干．已知购买1根A种跳绳和4根B种跳绳共需145元；购买3根A种跳绳和6根B种跳绳共需255元． (1)求A、B两种跳绳的单价； (2)如果某班级计划购买A、B两种跳绳共42根，B种跳绳个数不少于A种跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？ 25. 在正方形中，点，，分别是，边上一动点（不与A，B，D点重合），连接，的延长线交的延长线于点． (1)如图1．当时，若，，求的长； (2)如图2，过点A作于点G，连接，有，猜想，，之间的数量关系并证明． (3)如图3，，，将沿直线折叠，得到．过点作交于点，连接并延长交线段于点，连接，当最大时，直接写出的值． 26. 抛物线与轴交于、，与轴交于． (1)求、的值； (2)如图1，直线交抛物线于，两点，连接，，，若恰好平分，求的值； (3)将抛物线向左平移两个单位后得抛物线，交轴于、，交轴于，直线交抛物线于E、F两点，分别过E、F且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于，求证：点在一条定直线上． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $