2026年高考数学（全国Ⅰ卷适用） 临门一脚冲刺卷3

**基本信息** 聚焦高考核心素养，以OpenClaw调查、圆台形纸杯倾斜等真实情境和椭圆面积最值、导数切线证明等综合问题构建梯度，适配冲刺阶段模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、抛物线等|概念辨析，如复数虚部与向量投影| |多选|3/18|立体几何、解三角形|选项分层，如平行六面体线面关系判断| |填空|3/15|等比数列、概率期望|创新情境，如电路系统期望计算| |解答|5/77|统计、数列、立体几何、椭圆、导数|综合应用，如椭圆面积最值与定点探究，导数切线证明|

2026年高考数学（全国Ⅰ卷） 临门一脚冲刺卷3 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．复数z满足（z+1）•i＝1﹣2i（i为虚数单位），则z的虚部是（　　） A．﹣3 B．﹣3i C．﹣1 D．﹣i 【答案】C 【分析】先求出复数z，再结合虚部的定义求解． 【解答】解：因为复数z满足（z+1）•i＝1﹣2i（i为虚数单位）， 所以， 故z的虚部是﹣1． 故选：C． 2．已知集合，B＝{y|x2+y2＝2}，则A∩B＝（　　） A．或 B．{y|y≥1或y≤﹣1} C．∅ D． 【答案】D 【分析】先把集合A，B具体化，然后利用集合的运算法则可得答案． 【解答】解：由题意得，， 故则A∩B＝[0，]． 故选：D． 3．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为A1，B1，若，|AB|＝8，则p＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设直线AB的倾斜角为θ，由已知求得sinθ，代入抛物线的焦点弦长公式求解． 【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ， 由，|AB|＝8，得sinθ， 由抛物线的焦点弦长公式可得：|AB|＝8， 可得p＝3． 故选：C． 4．已知曲线y＝f（x）向右平移个单位长度得到曲线y＝cosx，则f（x）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合三角函数图象平移变换即可求解． 【解答】解：由题意可得，f（x）可由y＝cosx向左平移个单位，即f（x）＝cos（x）＝﹣sin（x）． 故选：D． 5．设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由函数的周期性和奇偶性可得f（）＝f（）＝f（），结合解析式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，则f（）＝f（）＝f（）， 又由当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则f（）， 故f（）． 故选：A． 6．已知三个平面向量，，两两的夹角相等，且满足||＝||＝||＝1，则向量在向量上的投影向量是（　　） A． B．2 C．或 D．或2 【答案】D 【分析】可讨论的夹角为0和，然后根据投影向量的计算公式即可得解． 【解答】解：当三个平面向量两两夹角都为0时，显然在上的投影向量是2； 当三个平面向量，，c两两夹角都为时，因，所以， 则在上的投影向量为：． 故选：D． 7．已知直线x+ay﹣6＝0与圆相交于A，B两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，则|AB|＝（　　） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据|OA|＝|OB|且|CA|＝|CB|，可得直线OC为线段AB的垂直平分线，运用两条直线垂直的条件列式算出a，可得直线AB的方程，然后根据圆的弦长公式、点到直线的距离公式进行求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：由题意，圆的圆心为C（1，），半径r＝3， 根据|OA|＝|OB|且|CA|＝|CB|，可知OC垂直平分线段AB，即OC⊥AB， 所以，解得，直线AB：， 结合圆心到直线AB的距离， 可得． 故选：C． 8．已知实数x，y，z使得2x+3＝3y+2＝5z+1，则x，y，z的大小关系不可能的是（　　） A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．z＜y＜x D．z＜x＜y 【答案】D 【分析】记2x+3＝3y+2＝5z+1＝k，则k＞0，且x＝log2k﹣3，y＝log3k﹣2，z＝log5k﹣1，然后利用对数的运算性质逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：记2x+3＝3y+2＝5z+1＝k，则k＞0，且x＝log2k﹣3，y＝log3k﹣2，z＝log5k﹣1， 对于A，取k＝1，得x＝﹣3，y＝﹣2，z＝﹣1，则x＜y＜z，故A关系正确； 对于B，令k＝8，得x＝log28﹣3＝0，y＝log38﹣2＝log38﹣log39＜0， z＝log58﹣1＞log55＝0，则y＜x＜z，故B关系正确； 对于C，令k＝23×32×5，得x＝log245，y＝log340，z＝log572， 所以，x＝log245＞log345＞log340＝y＞log327＝3＝log5125＞log572＝z， 则z＜y＜x，故C关系正确； 对于D，若z＜x＜y，则x﹣z＝log2k﹣log5k﹣2＝（）lnk﹣2＞0， 所以lnk，且x﹣y＝log2k﹣log3k﹣1＝（）lnk﹣1＜0， 所以lnk，则，整理得（2ln5﹣ln3）ln2＞ln5ln3， 即， 因为，且2，所以不可能成立，故D关系错误． 故选：D． 二、多项选择题（3小题，每小题6分，共18分） 9．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD，M，N分别为棱BC，CC1的中点，则（　　） A．MN∥AD1 B．BD⊥平面AA1C1C C． D．直线MN与AC所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】设，，，根据空间向量的线性运算可得，结合M点不在直线AD1上，即可判断选项A；利用向量线性运算和数量积运算可证BD⊥AC，BD⊥AA1，再由线面垂直的判定定理可判断选项B；先用基底表示向量，再根据模长的计算方法求解可判断选项C；根据向量夹角公式求解可判断选项D． 【解答】解：设，，，则，， 选项A，， ， 所以，且M点不在直线AD1上， 所以MN∥AD1，故选项A正确； 选项B，，，， 所以，， 即BD⊥AC，BD⊥AA1， 又AC∩AA1＝A，AC、AA1⊂平面AA1C1C， 所以BD⊥平面AA1C1C，故选项B正确； 选项C，， 所以||2+||2+||2+2224+4+4+2×2﹣2×2﹣2×2＝8， 即，故选项C错误； 选项D，，， 所以，， ， 设MN与AC所成角为θ， 则，故选项D正确． 故选：ABD． 10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则下列说法正确的是（　　） A． B．△ABC的外接圆的半径为 C．若△ABC的面积为，则△ABC的周长为 D．若AC边上的中线长为，点M在AC上，BM为∠ABC的角平分线，则 【答案】BCD 【分析】由A＝π﹣（B+C）及两角和的正弦公式化简所给等式即可求出角B判断A；直接利用正弦定理求外接圆半径判断B；利用三角形面积公式求出ac，然后利用余弦定理求出a2+c2，两式联立可求出a+c，即可求得三角形的周长从而判断C；将中线长条件与余弦定理联立求解ac和a2+c2，两式联立可求出a+c，再利用等面积法求BM判断D． 【解答】解：由题意知，结合A＝π﹣（B+C）， 得， 化简得，因为C∈（0，π），所以sinC≠0，所以， 又sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β），所以，故A错误； ，即△ABC的外接圆的半径为，故B正确； ，即，解得ac＝6， 在△ABC中由余弦定理可得：，a2+c2＝13， 因为（a+c）2＝a2+c2+2ac＝13+12＝25，所以a+c＝5，则△ABC的周长为，故C正确； 设AC边上中点为D，则， 因为，两边同时平方可得， 化简得19＝a2+c2+ac，与余弦定理联立可得ac＝6，a2+c2＝13， 所以（a+c）2＝a2+c2+2ac＝13+12＝25，所以a+c＝5， 由S△ABC＝S△ABM+S△CBM，得， 即，解得，故D正确． 故选：BCD． 11．水平桌面上有一个装满水的倒置的圆台形纸杯，下底面半径为R，上底面半径为r（R＞r），高为h，将杯身倾斜，纸杯底最低点始终接触桌面，当水面恰好同时经过杯口最低点和杯底最高点时，记杯身轴线与竖直方向夹角为θ，母线与轴线夹角为φ，下列说法正确的有（　　） A．若，则h＝R+r B．若，则2h＝R﹣r C．若θ＝φ，则水面与杯壁交线上两点间的最大距离为 D．若θ＝φ，R＝2r，则水面与杯壁交线的离心率为 【答案】ACD 【分析】选项A：根据△OO1A和△OO2B都是等腰直角三角形的几何性质求解；选项B：通过在圆台轴截面内作垂线DC，构造Rt△DCA求解；选项C：结合图形，利用直角三角形中的相似关系，建立高度h与半径R，r的关系，再求解椭圆长轴|AB|；选项D：结合图形，圆与倾斜水面相交的弦GH为椭圆的短轴，计算该圆的半径与弦心距，得短轴长，进而结合C计算出离心率． 【解答】解：对A：如图，若，则△OO1A、△OO2B均为等腰直角三角形， 则h＝|O1O2|＝|OO1|+|OO2|＝|O1A|+|O2B|＝R+r，A对； 对B：如图，若，作DC⊥O3A于C，则φ＝∠CDA， 则R﹣r＝|O1A|﹣|O1C|＝|CA|＝|CD|＝h，B错； 对C：若θ＝φ，则AB⊥EB，则该圆台形纸杯的轴截面如图： 则△BEF∽△ABF，则，则h2＝（R+r）（R﹣r）＝R2﹣r2， 此时水面与杯壁交线为椭圆，两点间的最大距离即，C对； 对D：如图，取O1O2的中点O3，以O3为圆心的截面圆与椭圆截面的交线为弦GH， 作O3T⊥GH于T，弦长即为该椭圆的短轴长，由选项C知：△BEF∽△ABF，∴，， 故， 故离心率，D对． 故选：ACD． 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．已知等比数列{an}是正项数列，前n项和为Sn，若a3＝3，S3＝21，则公比q＝　　 ． 【答案】． 【分析】分q＝1和q≠1，结合等比数列的求和公式计算即可求得． 【解答】解：因为等比数列{an}是正项数列，所以公比q＞0， 当q＝1时，an＝a1，Sn＝na1， 因为S3＝21，所以S3＝3a1＝21，解得a1＝7， 又因为a3＝3，∴a1＝a3＝3， 因为7≠3，所以q≠1， 当q≠1时，因为a3＝3，S3＝21， 所以，整理得6q2﹣q﹣1＝0， 即（3q+1）（2q﹣1）＝0，解得 因为q＞0，所以． 故答案为：． 13．如图，用2n个元件组成一个电路系统，每个单元由2个元件组成，当且仅当从A到B的电路为通路的状态时，系统正常工作．已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为Xn，则E（Xn）＝　　 ． 【答案】． 【分析】设事件A：某单元正常工作，B：某单元中有损坏元件，求出P（AB）和P（A），再由条件概率求出P（B|A），进而根据二项分布求解即可． 【解答】解：每个单元由2个元件组成，各单元之间相互独立， 设事件A：某单元正常工作，B：某单元中有损坏元件， 则，， 由条件概率公式得， 所以，E（Xn）＝n． 故答案为：． 14．已知曲线y＝ex上有不同的两点P和Q，若点P，Q关于直线y＝x的对称点P′，Q′在曲线y＝kx2﹣x上，则实数k的取值范围为 　（0，1）　 ． 【答案】（0，1）． 【分析】由曲线y＝ex与y＝lnx关于直线y＝x对称，点P，Q关于直线y＝x的对称点P′，Q′在曲线y＝kx2﹣x上，得出曲线y＝lnx与y＝kx2﹣x有2个交点，方程lnx＝kx2﹣x有2个不同的实数根，构造函数，作出函数的大致图象，结合图象求出k的取值范围． 【解答】解：因为曲线y＝ex与y＝lnx关于直线y＝x对称，且点P，Q关于直线y＝x的对称点P′，Q′在曲线y＝kx2﹣x上， 所以曲线y＝lnx与y＝kx2﹣x有2个交点，即方程lnx＝kx2﹣x有2个不同的实数根， 即方程有2个不同的实数根． 设函数，则， 令h′（x）＝0，得x＝e； 所以当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， 当x＞e时，h′（x）＜0，h（x）单调递减； 所以． 又当x→0时，h（x）→﹣∞，当x→+∞时，h（x）→0， 作出h（x）的大致图象，如图所示： 当直线y＝kx﹣1与h（x）的图象相切时，设切点为， 此时，即2lnx0+x0﹣1＝0，解得x0＝1，此时切线的斜率为1． 由图可知，当0＜k＜1时，直线y＝kx﹣1与h（x）的图象有2个交点， 所以实数k的取值范围是（0，1）． 故答案为：（0，1）． 4、 解答题（5小题，共77分） 15．OpenClaw（俗称“龙虾”）是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行层工具．某单位为了解员工是否喜欢使用OpenClaw，对不同年龄段的100名员工进行了调查统计，得到如下2×2列联表： 年龄 是否喜欢使用OpenClaw 合计 是 否 不超过45岁 40 60 超过45岁 30 合计 100 （1）完成2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联； （2）若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过45岁和不超过45岁的员工中各随机抽取1人，求这两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率． 参考公式：，其中n＝a+b+c+d．x0.001≈10.828 【分析】（1）通过列联表数据补全表格，再利用卡方公式计算统计量，通过与临界值对比，判断出“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄存在显著关联； （2）以调查频率估计概率，先分别算出不同年龄段员工喜欢使用OpenClaw的概率，再利用对立事件的概率公式，求出两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率即可． 【解答】解：（1）2×2列联表为： 年龄 是否喜欢使用OpenClaw 合计 是 否 不超过45岁 40 20 60 超过45岁 10 30 40 合计 50 50 100 零假设H0：“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄无关， ， 由于χ2≈16.667＞10.828＝x0.001，由此我们推断零假设H0不成立， 则认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联； （2）设从不超过45岁员工中抽到喜欢使用OpenClaw的概率为， 从超过45岁员工中抽到喜欢使用OpenClaw的概率为， 则两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率为： ． 16．已知数列{an}中，a1＝2，点（an，an+1+1）（n∈N*）在函数f（x）＝2x+1的图象上． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝log2an，证明：数列{bn}是等差数列； （3）设，求数列{cn}的前n项和Sn． 【分析】（1）根据等比数列通项公式求法求解即可； （2）根据等差数列定义证明即可； （3）根据裂项相消法计算即可求解． 【解答】解：（1）根据题意，因为点（an，an+1+1）在函数f（x）＝2x+1的图象上， 则an+1+1＝2an+1，即an+1＝2an， 因为a1＝2，则数列{an}是首项为2，公比q＝2的等比数列， 则； （2）证明：因为bn＝log2an，， 所以bn＝n，bn+1＝n+1， b1＝log2a1＝1，bn+1﹣bn＝1， 所以{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列； （3）由（2）得，bn＝n， 所以， ． 17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，其中AB＝AD＝CD＝1，BC＝PC＝2，CD⊥PB． （1）求PD的长； （2）若PB＝3， ①求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值； ②空间中一动点Q满足，求的最小值． 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明CD⊥平面PBD，进而得到CD⊥PD，由勾股定理求解PD即可； （2）①建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量求解平面PAB与平面PCD夹角的余弦值即可； ②因为点Q满足，所以设点Q在PB的垂直平分面α上，则的最小值即为点A到平面α的距离，利用向量求解即可． 【解答】解：（1）如图： ， 在等腰梯形ABCD中，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F， 因为AB＝AD＝CD＝1，BC＝2，则，所以∠DCF＝60°， 连接BD， 在三角形BCD中，由余弦定理得BD2＝4+1﹣2×2×1cos60°＝3， 所以，又BC＝2，CD＝1，所以BD2+CD2＝BC2， 所以BD⊥CD，又CD⊥PB，BD∩PB＝B，且BD，PB⊂平面PBD， 所以CD⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD， CD⊥PD， 因为PC＝2， 所以． （2）①在三角形BDP中， 由余弦定理得， 所以∠BDP＝120°，由于CD⊥平面PBD， 所以以D为坐标原点，分别以，向量的方向为x，y轴的正方向， 过点D作垂直于DC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，C（0，1，0），D（0，0，0），， 设平面PAB的一个法向量为， ，， 则，则， 所以， 令x＝1，则，， 所以， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 则，则， 所以， 令，则c＝1，b＝0， 所以， 设平面PAB与平面PCD的夹角为θ， 则． ②因为点Q满足， 所以设点Q在PB的垂直平分面α上， 则为平面α的法向量， 则的最小值为点A到平面α的距离， PB的中点为，， 所以点A到平面α的距离为， 所以的最小值为． 18．已知椭圆C：的（a＞b＞0）一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C的短轴为直径的圆与直线相切． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆C于P，Q两点，设O为坐标原点，求△POQ的面积的最大值； （3）试问平面内是否存在定点T，使得为定值？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由． 【分析】（1）依题意可得b＝c，再由点到直线的距离求出b，即可求出a； （2）设直线PQ：x＝my+1，联立椭圆方程，结合即可求解； （3）设T（u，v），由向量数量积的坐标运算，结合韦达定理即可求解． 【解答】解：（1）因为椭圆C：的（a＞b＞0）一个焦点与上、下顶点构成直角三角形， 以椭圆C的短轴为直径的圆与直线相切． 可得， 解得， 所以椭圆C的标准方程为． （2）由（1）得F（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ：x＝my+1， 由， 得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，显然Δ＞0， 所以， 则， 设， 则，（当且仅当p＝1时取等号，此时m＝0）， 所以△POQ的面积的最大值为． （3）设T（u，v），则，， 由（2）可得， ， 所以 ， 依题意可得，解得， 所以存在定点，使得为定值． 19．已知a，k∈R，f（x）＝xlnx，g（x）＝（x+a）ex，直线y＝k与曲线y＝f（x）和y＝g（x）都相切． （1）求a，k的值； （2）若f（x1）＝f（x2）＝g（x3）＝g（x4）＝b，其中x1≠x2，x3≠x4． （i）求实数b的取值范围； （ii）求证：． 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可； （2）（i）根据导数的正负性与函数单调性的关系，运用转化法，结合数形结合思想进行求解即可； （ii）对所证明不等式进行变形，利用构造函数法，结合导数的性质进行运算证明即可． 【解答】解：（1）因为a，k∈R，f（x）＝xlnx，g（x）＝（x+a）ex， 又直线y＝k与曲线y＝f（x）和y＝g（x）都相切， 所以f′（x）＝1+lnx，g′（x）＝（x+1+a）ex． 设y＝k与f（x）＝xlnx的切点为（x0，f（x0））， 则f′（x0）＝1+lnx0＝0，解得，所以． 由y＝k与g（x）＝（x+a）ex相切，同理得k＝﹣e﹣1﹣a， 所以a＝0． （2）（i）由f（x1）＝f（x2）＝g（x3）＝g（x4）＝b， 得直线y＝b与y＝f（x）有两个不同的交点，与y＝g（x）有两个不同的交点， 由（1）知，f′（x）＝1+lnx＞0⇒x＞e﹣1，f′（x）＝1+lnx＜0⇒0＜x＜e﹣1， f（x）在上单调递减，在上单调递增； g′（x）＝（x+1）ex＞0⇒x＞﹣1，g′（x）＝（x+1）ex＜0⇒x＜﹣1， g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增， 又，且x→0，f（x）→0； ，且x→﹣∞，g（x）→0， 作出函数f（x）和g（x）的图象， 又直线y＝b与y＝f（x）有两个不同的交点，与y＝g（x）有两个不同的交点 所以由图象知b的取值范围为； （ii）证明：不妨设x1＞x2，x3＞x4， 由（i）知，， 显然，且﹣1＜lnx1＜0，﹣1＜x3＜0，所以x3＝lnx1， 同理，x4＝lnx2． 要证，只需证， 只需证． 又x1lnx1＝x2lnx2＜0，只需证lnx2﹣x2＜lnx1﹣x1（*）． 令函数h（x）＝lnx﹣x（0＜x＜1），则， 所以函数h（x）在（0，1）上单调递增， 由0＜x2＜x1＜1得h（x2）＜h（x1），所以（*）显然成立， 综上，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学（全国Ⅰ卷） 临门一脚冲刺卷3 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题（8小题，每小题5分，共40分） 1．复数z满足（z+1）•i＝1﹣2i（i为虚数单位），则z的虚部是（　　） A．﹣3 B．﹣3i C．﹣1 D．﹣i 2．已知集合，B＝{y|x2+y2＝2}，则A∩B＝（　　） A．或 B．{y|y≥1或y≤﹣1} C．∅ D． 3．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为A1，B1，若，|AB|＝8，则p＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知曲线y＝f（x）向右平移个单位长度得到曲线y＝cosx，则f（x）＝（　　） A． B． C． D． 5．设f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则（　　） A． B． C． D． 6．已知三个平面向量，，两两的夹角相等，且满足||＝||＝||＝1，则向量在向量上的投影向量是（　　） A． B．2 C．或 D．或2 7．已知直线x+ay﹣6＝0与圆相交于A，B两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，则|AB|＝（　　） A． B．4 C． D． 8．已知实数x，y，z使得2x+3＝3y+2＝5z+1，则x，y，z的大小关系不可能的是（　　） A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．z＜y＜x D．z＜x＜y 二、多项选择题（3小题，每小题6分，共18分） 9．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD，M，N分别为棱BC，CC1的中点，则（　　） A．MN∥AD1 B．BD⊥平面AA1C1C C． D．直线MN与AC所成角的余弦值为 10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则下列说法正确的是（　　） A． B．△ABC的外接圆的半径为 C．若△ABC的面积为，则△ABC的周长为 D．若AC边上的中线长为，点M在AC上，BM为∠ABC的角平分线，则 11．水平桌面上有一个装满水的倒置的圆台形纸杯，下底面半径为R，上底面半径为r（R＞r），高为h，将杯身倾斜，纸杯底最低点始终接触桌面，当水面恰好同时经过杯口最低点和杯底最高点时，记杯身轴线与竖直方向夹角为θ，母线与轴线夹角为φ，下列说法正确的有（　　） A．若，则h＝R+r B．若，则2h＝R﹣r C．若θ＝φ，则水面与杯壁交线上两点间的最大距离为 D．若θ＝φ，R＝2r，则水面与杯壁交线的离心率为 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题（3小题，每小题5分，共15分） 12．已知等比数列{an}是正项数列，前n项和为Sn，若a3＝3，S3＝21，则公比q＝　 　 ． 13．如图，用2n个元件组成一个电路系统，每个单元由2个元件组成，当且仅当从A到B的电路为通路的状态时，系统正常工作．已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为Xn，则E（Xn）＝　 　 ． 14．已知曲线y＝ex上有不同的两点P和Q，若点P，Q关于直线y＝x的对称点P′，Q′在曲线y＝kx2﹣x上，则实数k的取值范围为 　 　 ． 4、 解答题（5小题，共77分） 15．OpenClaw（俗称“龙虾”）是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行层工具．某单位为了解员工是否喜欢使用OpenClaw，对不同年龄段的100名员工进行了调查统计，得到如下2×2列联表： 年龄 是否喜欢使用OpenClaw 合计 是 否 不超过45岁 40 60 超过45岁 30 合计 100 （1）完成2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联； （2）若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过45岁和不超过45岁的员工中各随机抽取1人，求这两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率． 参考公式：，其中n＝a+b+c+d．x0.001≈10.828 16．已知数列{an}中，a1＝2，点（an，an+1+1）（n∈N*）在函数f（x）＝2x+1的图象上． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝log2an，证明：数列{bn}是等差数列； （3）设，求数列{cn}的前n项和Sn． 17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，其中AB＝AD＝CD＝1，BC＝PC＝2，CD⊥PB． （1）求PD的长； （2）若PB＝3， ①求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值； ②空间中一动点Q满足，求的最小值． 18．已知椭圆C：的（a＞b＞0）一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C的短轴为直径的圆与直线相切． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆C于P，Q两点，设O为坐标原点，求△POQ的面积的最大值； （3）试问平面内是否存在定点T，使得为定值？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由． 19．已知a，k∈R，f（x）＝xlnx，g（x）＝（x+a）ex，直线y＝k与曲线y＝f（x）和y＝g（x）都相切． （1）求a，k的值； （2）若f（x1）＝f（x2）＝g（x3）＝g（x4）＝b，其中x1≠x2，x3≠x4． （i）求实数b的取值范围； （ii）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $