2026年四川省成都市中考数学提分小卷（解答题）练习一

2026成都中考提分小卷（解答题）练习一 A卷 14. 计算、解不等式组 (1)计算：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解： ； （2） 解： ， 解①得：， 解②得：， ∴原不等式组的解集为． 15. 为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 获得最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数/分 80 85 90 95 人数/人 3 7 6 4 根据图形信息，解答下列问题： (1)获得“秦九韶奖”的学生有________人，并补全条形统计图； (2)获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是______，众数是__________； (3)若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 【答案】(1)，见解析 (2)分；分 (3) 【分析】（1）从两个统计图可知，被调查的学生中获得“祖冲之奖”人数除以所占比例，即可求出被调查学生的总数，进而求出获“秦九韶奖”的学生人数，求出获“刘徽奖”的学生人数即可补全条形统计图； （2）根据中位数、众数的定义进行计算即可； （3）用树状图表示从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取2人所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：被调查学生总数为（人）， 获得“秦九韶奖”的学生人数为（人）， 获得“刘徽奖”的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：将获得“祖冲之奖”的学生成绩从小到大排列，处在第10位和第11位的数据为85分和90分， 获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是分， ∵获得“祖冲之奖”的学生成绩出现次数最多的是85分，共出现7次， 众数是分； （3）解：画树状图如下： 一共有12种等可能性的情况，其中恰好抽到甲和乙的有2种可能， 恰好抽到甲和乙的概率为． 16. 在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 【答案】风电架的高度约为 【分析】延长与交于点，则，过点作交的延长线于点，根据坡度得出，设，则，利用正切分别得出，，然后根据线段的数量关系列出方程求解． 【详解】解：如答图，延长与交于点，则，过点作交的延长线于点． ∴四边形为矩形，， ， ， ， ， 设，则． 在中，， ， ． 在中，， ， ， ． ． ． 解得， 答：风电架的高度约为． 17. 为圆O直径，切圆O于点C，过点C作交圆O于点M，交于点F，连接． (1)如图1，求证：为圆O切线； (2)如图2，过点A作交于点D，求证； (3)在（2）的条件下，连接，当时，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：连接， ， （垂径定理）， ， ， ， ， 切圆O于点C， ， ， 为半径， 为圆O切线； （2）证明：如图，连接，     为圆O直径， ， ∵， , ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ． （3）解：如图，连接， ∵O，F分别是和的中点， （三角形中位线定理） 设，则， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ． 18. 如图，反比例函数的图象经过点，，直线与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出m的值； (2)D为x轴正半轴上一点，连接，若四边形的面积为14，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1)；m的值为6 (2)点D的坐标为 【分析】（1）把代入可求出，把代入可求m的值； （2）运用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，连接，设点D的坐标为，根据列式求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ，                     ∴反比例函数的表达式为；                 将代入，得． （2）解：由（1）可知点B的坐标为， 设直线的函数表达式为， 代入，，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，得， ∴点C的坐标为， ， 如图，连接， 设点D的坐标为， ， ， 解得， ∴点D的坐标为． B卷 24. 某校在即将到来的马年新春活动中向商家订购了一批文创产品，其中包括“仙境骏马手账本”和“海市萌马钥匙扣”．若购买3本手账本和4个钥匙扣需花费38元，购买4本手账本和3个钥匙扣需花费46元． (1)请问每本手账本和每个钥匙扣的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定给予优惠，其中每本手账本降低价格是每个钥匙扣降低价格的5倍．经观测，学校花5400元购进手账本的数量比花1440元购进钥匙扣的数量少200个，请问每个钥匙扣降低的价格是多少元 【答案】(1)每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元 (2)0.2元 【分析】（1）设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是元，根据题意列出分式方程求解． 【详解】（1）解：设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元， 根据题意得 解得， 答：每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元； （2）解：设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是元，优惠后每本手账本的单价为元，每个钥匙扣的单价为元， 根据题意得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每个钥匙扣降低的价格是0.2元． 25. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 (1)如图1，当为等边三角形时，小颖发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】 (2)小颖尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；； 【拓展延伸】 (3)李老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)四边形为平行四边形，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得，则，在中，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3）解：∵， ∴，， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 26. 二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点． (1)如图1，求二次函数的表达式； (2)如图2，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接． ①过点作轴垂线交于，求的长； ②若，求点的坐标； (3)定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“5阶融合点”．如图3，将二次函数在轴左侧部分的图象沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数在第四象限内的图象沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有2个“阶融合点”，请求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②或； (3)或． 【分析】（1）利用对称轴公式和待定系数法求解即可； （2）①先求出点坐标及直线的解析式，再把点A的横坐标代入直线的解析式中求出对应的函数值即可得到点E的坐标，进而可得答案；②由可推出；过点分别作轴的平行线，分别交直线于两点，证明 ，得到，进而推出；设出点的坐标，并表示出点的坐标，进而表示出的长度，进而建立方程求解即可； （3）根据题意可得所有的“阶融合点”都在直线上，求出直线过点和点时t的值，以及当与只有一个交点时t的值，进而函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数对称轴为直线，且过点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：①在中，当时，，则， ∵二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点， ∴由对称性可知点B的坐标为； 设直线的解析式为，则， 解得， 直线的解析式为， 在中，当时，， ， ； ②∵，和同高（到直线的高）， ∴，即 如图，过点分别作轴的平行线，分别交直线于两点， ∴， ∴， 由（1）得， ∴ 设，则 ∴， ∴， 解得， 当时，； 当时，； ∴点的坐标为或； （3）解：“阶融合点”，满足， ， ∴所有的“阶融合点”都在直线上 当直线过点时，； 当直线过时，， 由图可得：当时，直线与的交点只有2个； 当与只有一个交点时， 联立得， 整理，得， ， 解得， 由函数图象可知，当时，直线与的交点只有2个； 综上，若函数图象上有且只有2个“阶融合点”，的取值范围为或． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026成都中考提分小卷（解答题）练习一 A卷 14. 计算、解不等式组 (1)计算：； (2)解不等式组：． 15. 为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 获得最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数/分 80 85 90 95 人数/人 3 7 6 4 根据图形信息，解答下列问题： (1)获得“秦九韶奖”的学生有________人，并补全条形统计图； (2)获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是______，众数是__________； (3)若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 16. 在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解． 测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为． 任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）． 17. 为圆O直径，切圆O于点C，过点C作交圆O于点M，交于点F，连接． (1)如图1，求证：为圆O切线； (2)如图2，过点A作交于点D，求证； (3)在（2）的条件下，连接，当时，，求的长． 18. 如图，反比例函数的图象经过点，，直线与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式，并直接写出m的值； (2)D为x轴正半轴上一点，连接，若四边形的面积为14，请直接写出点D的坐标． B卷 24. 某校在即将到来的马年新春活动中向商家订购了一批文创产品，其中包括“仙境骏马手账本”和“海市萌马钥匙扣”．若购买3本手账本和4个钥匙扣需花费38元，购买4本手账本和3个钥匙扣需花费46元． (1)请问每本手账本和每个钥匙扣的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定给予优惠，其中每本手账本降低价格是每个钥匙扣降低价格的5倍．经观测，学校花5400元购进手账本的数量比花1440元购进钥匙扣的数量少200个，请问每个钥匙扣降低的价格是多少元 25. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 (1)如图1，当为等边三角形时，小颖发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】 (2)小颖尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；； 【拓展延伸】 (3)李老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 26. 二次函数的图象的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点． (1)如图1，求二次函数的表达式； (2)如图2，点为该二次函数在第一象限内图象上的一点，连接与直线相交于点，连接． ①过点作轴垂线交于，求的长； ②若，求点的坐标； (3)定义：若点满足，则称点为“阶融合点”．例如：满足，则称点为一个“5阶融合点”．如图3，将二次函数在轴左侧部分的图象沿过点且垂直于轴的直线翻折，将二次函数在第四象限内的图象沿轴向上翻折，与二次函数在第一象限内的图象组成新的函数图象（如图中实线部分），若函数图象上有且只有2个“阶融合点”，请求出的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $