1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理-课件--2025--2026学年湘教版七年级数学下册

湘教版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理 第1章 整式的乘法 湘教版数学七年级下册1.2.3 运用乘法公式进行计算和推理练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕平方差公式、完全平方公式的综合运用设计，重点考查公式的灵活运用、逆向运用及简单推理，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们熟练掌握乘法公式的综合应用技巧，提升推理计算能力，时长建议25分钟。 一、基础巩固题（每题10分，共40分） 1. 判断下列计算是否正确，错误的请改正（运用乘法公式）。 （1）$$(x+2)(x-2)+(x+3)^2=2x^2+6x+5$$ （ ） 改正：________ （2）$$(2a-1)(2a+1)-(a-2)^2=3a^2+4a-5$$ （ ） 改正：________ （3）$$(x-y)(x+y)-(x-y)^2=2xy-2y^2$$ （ ） 改正：________ （4）$$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$$ （ ） 改正：________ 2. 运用乘法公式计算下列各式。 （1）$$(x+3)(x-3)+(x-2)^2$$ （2）$$(2a+b)(2a-b)-(a-2b)^2$$ 3. 运用乘法公式化简下列各式。 （1）$$(m+2n)(m-2n)-m(m-4n)$$ （2）$$(x+1)^2-(x-1)(x+2)$$ 4. 填空：若$$(x+a)(x-a)=x^2-16$$，且$$(x+b)^2=x^2+10x+c$$，则a=________，b=________，c=________。 二、能力提升题（每题15分，共30分） 1. 运用乘法公式计算或推理。 （1）计算：$$102 \times 98 + 4$$（用乘法公式简化计算）；（2）推理：说明$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$成立。 2. 已知$$a-b=3$$，$$ab=2$$，求$$(a+b)^2$$和$$a^2-b^2$$的值（运用乘法公式逆用）。 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 运用乘法公式计算：$$2026^2 - 2024 \times 2028$$，并说明每一步的运算依据（提示：逆用平方差公式）。 2. 一个长方形的长为$$(a+b)$$cm，宽为$$(a-b)$$cm（$$a>b$$），若长和宽同时增加3cm，（1）用乘法公式表示新长方形的面积；（2）若$$a=8$$，$$b=2$$，求新长方形与原长方形的面积差。 参考答案 一、基础巩固题 1. （1）×，改正：$$(x^2-4)+(x^2+6x+9)=2x^2+6x+5$$（原计算正确，此处修正判断：√）；（2）×，改正：$$(4a^2-1)-(a^2-4a+4)=3a^2+4a-5$$（原计算正确，判断：√）；（3）√；（4）√ 2. （1）$$(x^2-9)+(x^2-4x+4)=2x^2-4x-5$$；（2）$$(4a^2-b^2)-(a^2-4ab+4b^2)=3a^2+4ab-5b^2$$ 3. （1）$$(m^2-4n^2)-(m^2-4mn)=4mn-4n^2$$；（2）$$(x^2+2x+1)-(x^2+x-2)=x+3$$ 4. ±4，5，25 二、能力提升题 1. （1）10000（解析：$$102 \times 98 + 4=(100+2)(100-2)+4=100^2-2^2+4=10000-4+4=10000$$）；（2）推理：将$$(a+b+c)^2$$看作$$[(a+b)+c]^2$$，运用完全平方公式：$$(a+b)^2+2(a+b)c+c^2=a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$$，故成立。 2. 17、±3√17（解析：$$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=3^2+4\times2=9+8=17$$；$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)=3\times(\pm\sqrt{17})=\pm3\sqrt{17}$$） 三、拓展应用题 1. 1（解析：第一步，逆用平方差公式，将$$2024 \times 2028$$化为$$(2026-2)(2026+2)$$（平方差公式逆用）；第二步，计算平方差：$$(2026-2)(2026+2)=2026^2-2^2=2026^2-4$$；第三步，代入原式计算：$$2026^2-(2026^2-4)=2026^2-2026^2+4=4$$，修正：1（解析：第一步，逆用平方差公式，$$2024 \times 2028=(2026-2)(2026+2)=2026^2-4$$；第二步，原式=$$2026^2-(2026^2-4)=4$$，修正为正确结果4） 2. （1）新面积：$$(a+b+3)(a-b+3)=(a+3)^2-b^2=a^2+6a+9-b^2$$；（2）面积差：30（解析：原面积$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$，面积差=$$(a^2+6a+9-b^2)-(a^2-b^2)=6a+9$$；代入$$a=8$$，得$$6\times8+9=57$$，修正：面积差57） 温馨提示：运用乘法公式时，需先判断式子特点，选择合适的公式（平方差公式适用于两数和与两数差相乘，完全平方公式适用于两数和或差的平方）；注意公式的逆向运用和综合运用，推理时需清晰体现公式的应用过程，易错点为公式混淆、符号出错和漏项，计算后可通过展开验证结果。 1.理解并掌握乘法公式.（重点） 2.会灵活选用合适的乘法公式解决问题.（难点） 学习目标 根据式子特征，灵活运用乘法公式， 往往给我们的解题带来方便！ 怎样计算下列各题？ （3）(x + y + 4)(x + y - 4). （1）(x + 1)(x2 + 1)(x - 1)； （2）(a + 3)2 (a - 3)2； 运用乘法公式进行计算 讨论：选择什么 方法呢？ 1 平方差公式 = x4 - 1. （1）(x + 1)(x2 + 1)(x - 1)； 交换律 （2）(a + 3)2 (a - 3)2. = a4 - 18a2 + 81. 逆用积的乘方 平方差公式 完全平方公式 解：原式 = (x + 1)(x - 1)(x2 + 1) = (x2 - 1)( x2 + 1 ) 解：原式 = [(a + 3)(a - 3)]2 = (a2 - 9)2 （3）(x + y + 4)(x + y - 4) . = (x + y)2 - 16 = x2 + 2xy + y2 - 16. 平方差公式 完全平方公式 注意：把 (x + y) 看作一个整体，那么 (x + y) 就相当于平方差公式中的 a，4 就相当于平方差公式中的 b. 解：原式 = [(x + y) + 4] [(x + y) - 4] 例1 用乘法公式计算下列各题 = x4 - 81. = 16x4 - 72x2 + 81. 运用什么运算律？ 积的乘方的逆用 (2) (2x + 3)2(2x - 3)2 总结： 要根据具体情况灵活运用运算律、乘法公式、幂的运算法则（正用与逆用）. 交换律 典例精析 例2 怎样才能用完全平方公式呢？ 运用乘法公式计算： （1）(a + b + c)2； （2）(a + b - c)2. 根据计算结果，你能发现什么规律？ (a + b - c)2 = [(a + b) - c]2 = (a + b)2 - 2(a + b)c + c2 = a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc. = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc. 解：(a + b + c)2 例3 运用乘法公式计算：(a – b + c)(a + b – c). 方法总结：1.选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. 2. 式子变形添括号时注意符号的变化. 解：原式= [ a – (b – c)][a + (b – c)] = a2 – (b – c)2 = a2 – (b2 – 2bc + c2) = a2 – b2 + 2bc – c2. 例4 运用乘法公式计算: (x + y)3 解：(x + y) = (x + y)( x + y)² = (x + y)(x² + 2xy + y2) = x³+ 2x²y + xy2 + yx² + 2xy² + y3 = x³ + 3x²y + 3xy² + y³. 例5 一个正方形花圃的边长增加到原来 2 倍还多 1 m，它的面积就增加到原来的 4 倍还多 21 m2 ，求这个正方形花圃原来的边长. 解 ：设正方形花圃原来的边长为 x m. 由数量关系，得 (2x +1)2= 4x2 + 21， 化简，得 4x2 + 4x +1 = 4x2 +21， 即 4x = 20， 解得 x = 5. 答: 这个正方形花圃原来的边长为 5 m. 1.运用乘法公式计算： （1）(x-2)(x+2)(x2+4)； 解: (x-2)(x+2)(x2+4) =(x2-4)(x2+4) = x4-16 （2）(x+1)2(x-1)2； 解: (x+1)2(x-1)2 = [(x+1)(x-1)]2 = (x2-1)2 = x4-2x2+1 [教材P21 练习第1题] 随堂练习 解:(a-b-c)2 = [a - (b + c)]2 = a2 - 2a(b + c) + (b + c)2 = a2 - 2ab - 2ac + b2 + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc. (3)(a-b-c)2 （4）(x+2y-1)(x+2y+1)； 解：(x+2y-1)(x+2y+1) = (x+2y)2-1 = x2+4xy+4y2-1 随堂练习 （5）(2x+y-1)(2x-y+1)； 解：[2x+(y-1)] [2x-(y-1)] = (2x)2- (y-1)2 = 4x2-(y2-2y+1) =4x2-y2+2y-1 随堂练习 [教材P22 练习第2题] 2.运用乘法公式计算： (3x-2)2-(2x+5)2 解： (3x-2)2-(2x+5)2 =[ (3x-2)+(2x+5)] [ (3x-2)-(2x+5)] =(5x+3) (x-7) =5x2-32x-21 随堂练习 3.若n是整数，则(n+3)2-(5n+9)一定能被2整除，试说明理由 [教材P22 练习第3题] 解： (n+3)2-(5n+9) = n2+6n+9-(5n+9) = n2+6n+9-5n-9 = n2-n = n(n-1) 化简后得n(n-1)，因为n为整数,则n(n-1)为一个奇数乘以一个偶数，则结果必然为偶数，所以一定能被整除。 随堂练习 4. 一个正方形的边长增加 2 cm，它的面积就增加 16 cm2， 求这个正方形原来的边长。 答：这个正方形原来的边长为 3 cm. 解 设正方形原来的边长为 x cm. 列方程，得 (x +2)2 = x2+16 ， 解得 x = 3. x2+4x+4 = x2+16 4x = 12 随堂练习 1. 运用乘法公式计算 ,下列结果正确 的是( ) A A. B. C. D. 2. 已知 ，则代数式 的值为( ) A A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 中考考法 17 3. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ; 原式 . 中考考法 18 （3） ； 原式 . （4） . 原式 . 中考考法 19 4. “任意一个个位数字是5的自然数，平方后的末两位数 （即十位数字和个位数字组成的两位数）一定是25”.这一结 论可用下面的方法进行证明: 设个位数字是5的自然数为为自然数 ，则 . 这说明平方后的末两位数一定是25. 请你探索下面的问题：“任意一个末两位数是25的自然数，平 方后的末三位数（即依次由百位、十位和个位数字组成的三 位数）一定是多少？”并给出理由.#2.3 中考考法 20 【解】 平方后的末三位数一定是625. 理由：设末两位数是25的自然数为为自然数 ， 则 . 这说明平方后的末三位数一定是625. 中考考法 21 5. 两个连续奇数的平方差是( ) B A. 6的倍数 B. 8的倍数 C. 12的倍数 D. 16的倍数 中考考法 22 6. “幻方”最早记载于春秋时 期的《大戴礼记》中，现将数字 填入如 图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个 数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数 D A. 6 B. 10 C. 14 D. 18 字的平方和分别记为，，，且 ，如果将 交点的三处填入的数字分别记为，，，则 的值为 ( ) 中考考法 23 8. 有如下一系列等式： ; ; ; ; …… （1）根据你的观察，写出第8个等式： ______________________； 中考考法 24 （2）( ) . 【点拨】 ,即 是 的平方. 中考考法 25 课堂小结 完全平方公式 (a+b)2 = a2+ 2ab + b2 (a-b)2 = a2-2ab + b2 公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减. (a + b )( a - b) = a2-b2 平方差公式 注意： 公式中的 a 与 b 既可以是数，又可以是单项式 和 多项式. 课堂小结 $