射影定理及应用 课件-2027届高三数学一轮复习

　高三数学一轮复习——射影定理及应用 　　射影定理又称“第一余弦定理”，即在△ABC中，若角A，B，C的 对边分别是a，b，c，则a＝b cos C＋c cos B，b＝c cos A＋a cos C，c ＝a cos B＋b cos A. 　　试以“a＝b cos C＋c cos B”为例证明. 　　证明：法一（几何法）　 　　如图，在△ABC中，AD⊥BC，则b cos C＝CD，c cos B ＝BD， 　　故b cos C＋c cos B＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝b cos C ＋c cos B. 高中总复习·数学（创新版） 　　法二（正弦定理）　 　　因为a＝2R sin A＝2R sin （B＋C）＝2R sin B cos C＋2R cos B sin C＝ b cos C＋c cos B， 　　所以a＝b cos C＋c cos B成立. 　　法三（余弦定理）　 　　因为b cos C＋c cos B＝b· ＋c· ＝ ＝a， 　　所以a＝b cos C＋c cos B成立. 　　法四（平面向量）　 　　因为在△ABC中有 ＝ ＋ ，所以 ＝ · ＋ · ， 　　即a2＝ac cos B＋ab cos C，故a＝b cos C＋c cos B. 高中总复习·数学（创新版） （1）（2026·四川遂宁诊断）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别 为a，b，c，若 ＝ ，c＝4，C＝ ，则△ABC的面积为 （　B　） A. 2 B. 4 C. 12 D. 16 B 高中总复习·数学（创新版） 解析： 由 ＝ ，即2c＝a＋a cos C＋c cos A，由射影定理可得a＋ b＝2c，因为c＝4，所以a＋b＝2c＝8，又C＝ ，所以由余弦定理得， cos C＝ ＝ ＝ ＝ ，解得ab＝16，所以 △ABC的面积为 ab sin C＝ ab sin ＝ ab＝4 .故选B. 高中总复习·数学（创新版） （2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3b cos C＋ 3c cos B＝5a sin A，且A为锐角，则当 取最小值时， 的值 为 ⁠. 　 高中总复习·数学（创新版） 解析：由3b cos C＋3c cos B＝5a sin A及射影定理得3a＝5a sin A，可得 sin A＝ .而A是锐角，所以 cos A＝ ，则由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－ bc，所以 ＝ ＝ － ≥ － ＝ ，当且 仅当b＝c时， 取得最小值 ，此时a2＝ b2，即a＝ b，所以 ＝ . 高中总复习·数学（创新版） 1. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐 角三角形，且满足 sin B（1＋2 cos C）＝2 sin A cos C＋ cos A sin C，则下列 等式成立的是（　　） A. a＝2b B. b＝2a C. A＝2B D. B＝2A √ 解析： 　由正弦定理及射影定理，得b＋2b cos C＝2a cos C＋c cos A＝a cos C＋（a cos C＋c cos A）＝a cos C＋b，即2b cos C＝a cos C，又因为 △ABC为锐角三角形，所以 cos C≠0，则2b＝a. 高中总复习·数学（创新版） 2. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是△ABC的 中线.若AD＝2，且b2＋c2＋bc＝（b cos C＋c cos B）2，则△ABC面积的 最大值为 ⁠. 解析：由b cos C＋c cos B＝a，又b2＋c2＋bc＝（b cos C＋c cos B）2，可 得b2＋c2＋bc＝a2， cos A＝ ＝－ ，又A∈（0，π），所以A＝ ，因为AD是△ABC中BC边上中线，则 ＝ ＋ ，即2 ＝ ＋ ，所以4 ＝ ＋ ＋2 · ，所以16＝b2＋c2－ bc≥2bc－bc，可得bc≤16，当且仅当b＝c＝4时等号成立，故S△ABC＝ bc sin A＝ bc≤4 ，即△ABC面积的最大值为4 . 4 高中总复习·数学（创新版） 3. （2023·全国甲卷17题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知 ＝2. （1）求bc； 解： 由余弦定理，得 ＝ ＝2bc＝2，所以bc＝1. 高中总复习·数学（创新版） （2）若 － ＝1，求△ABC的面积. 解： （利用射影定理）由a cos B＋b cos A＝c，可得 － ＝1， a cos B－b cos A＝c＋b， a· －b· ＝c＋b， 化简可得a2－b2＝c2＋bc， cos A＝－ . 又0＜A＜π，所以 sin A＝ ， 故△ABC的面积为S△ABC＝ bc sin A＝ ×1× ＝ . 高中总复习·数学（创新版） $