15.2 随机事件的概率（第2课时 频率与概率） 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

15.2　随机事件的概率 第2课时　频率与概率 A层 基础达标练 1.气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%,郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息,关于明天降雨情况的描述最为准确的是(　　) A.整个城市明天的平均降雨概率为50% B.如果明天住在郊区不带伞出门很可能会淋雨 C.只有郊区可能出现降雨,而中心城区将不会有降雨 D.如果明天降雨,郊区的降雨量一定比中心城区多 2.某制药厂正在测试一种减肥药的疗效,有1 000名志愿者服用此药,体重变化结果统计如下表所示.如果另一人服用此药,估计这个人的体重减轻的概率约为(　　) 体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 600 200 200 A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6 3.抛掷一枚质地均匀的硬币,设事件A=“正面向上”,则下列说法正确的是(　　) A.抛掷硬币10次,事件A必发生5次 B.抛掷硬币100次,事件A不可能发生50次 C.抛掷硬币1 000次,事件A发生的频率一定等于0.5 D.随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小 4.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了48次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　　) A.0.48,0.48 B.0.5,0.5 C.0.48,0.5 D.0.5,0.48 5.某人捡到不规则形状的五面体石块,他在每个面上用数字1~5进行了标记,投掷100次,记录下落在桌面上的数字,得到如下频数表: 落在桌面的数字 1 2 3 4 5 频数 32 18 15 13 22 则落在桌面上的数字不小于4的频率为　　　　.  6.某同学做立定投篮训练,共做3组,每组投篮次数和命中的次数如表所示. 分组 第一组 第二组 第三组 合计 投篮次数 100 200 300 600 命中的次数 68 125 176 369 命中的频率 0.68 0.625 0.587 0.615 根据表中的数据信息,用频率估计一次投篮命中的概率,那么使误差较小的可能性大的估计值是　　　　　.  7.如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下: 所用时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. B层 能力提升练 8.下列四个命题中,正确的是(　　) A.设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品 B.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面,因此出现正面的概率是 C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D.抛掷骰子100次,得点数是1的结果18次,则出现1点的频率是 9.管理人员从一池塘内捞出30条鱼,做上标记后放回池塘.10天后,又从池塘内捞出100条鱼,其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的数量为(　　) A.1 500 B.1 550 C.1 600 D.1 650 10.(多选题)小明与小华两人玩游戏,则下列游戏公平的有(　　) A.抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数,小明获胜,向上的点数为偶数,小华获胜 B.同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上,小明获胜,两枚都正面向上,小华获胜 C.从一副不含大小王的52张扑克牌中抽取一张,抽到红桃,小明获胜,抽到方片,小华获胜 D.小明、小华两人各写一个数字0或1,如果两人写的数字相同,小明获胜,否则小华获胜 11.(多选题)下列说法错误的有(　　) A.随机事件A发生的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值 B.在同一次试验中,不同的基本事件不可能同时发生 C.任意事件A发生的概率P(A)满足0<P(A)<1 D.若事件A发生的概率趋近于0,则事件A是不可能事件 12.某学校共有教职工120人,对他们进行年龄结构和受教育程度的调查,其结果如表: 年龄 本科 研究生 合计 35岁以下 40 30 70 35~50岁 27 13 40 50岁以上 8 2 10 现从该校教职工中任取1人,则下列结论正确的是(　　) A.该教职工具有本科学历的概率低于60% B.该教职工具有研究生学历的概率超过50% C.该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10% D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10% 13.众所周知,长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生大约有40%的人近视,而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生,则该名学生近视的概率为　　　　　.  14.在一次试验中,一种血清被注射到500只豚鼠体内,最初,这些豚鼠中150只有圆形细胞,250只有椭圆形细胞,100只有不规则形状细胞,被注射这种血清之后,没有一个有圆形细胞的豚鼠被感染,50个有椭圆形细胞的豚鼠被感染,有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染.根据试验结果,则有圆形细胞、有椭圆形细胞、有不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染的概率之和为　　　　.  15.为了加强对数学文化的学习,某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(满分100分),并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩(单位:分),按照[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图.(假设每名学生的成绩均不低于50分) (1)求频率分布直方图中x的值,用样本估计总体,若高三年级共有2 000名学生,试估计高三年级这次测试成绩不低于75分的人数; (2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人,再从这6人中任意抽取3人参加这次考试的质量分析会,试求成绩在[70,80)的学生至多有2人被抽到的概率. C层 拓展探究练 16.独立地重复一个随机试验n(n∈N*,n≥1)次,设随机事件A发生的频率为f(n),随机事件A发生的概率为P,有如下两个判断:①如果{f(n)|n∈N*,n≥1}是单元素集,则P=1;②集合{f(n)|n∈N*,n≥1}不可能只含有两个元素,其中(　　) A.①正确,②正确 B.①错误,②正确 C.①正确,②错误 D.①错误,②错误 17.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下: 上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表: 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值; (2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值. 参考答案 1.B　对于A,中心城区面积和郊区面积不一定相同,故整个城市明天的平均降雨概率不一定为50%,故A错误;对于B,明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大,故B正确;对于C,不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨,故C错误;对于D,降雨量并不取决于降雨概率,反而是降雨时长以及有效覆盖面积(即下雨的区域在该所参考区域的面积)会影响降雨量,故D错误.故选B. 2.D　由表格可得这个人的体重减轻的概率约为=0.6.故选D. 3.D　不管抛掷硬币多少次,事件A发生的次数是随机事件,故ABC错误;随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小,故选D. 4.C　在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了48次,那么出现正面朝上的频率为=0.48,概率为0.5.故选C. 5.0.35　落在桌面上的数字不小于4的频数为13+22=35,所以频率为=0.35.故答案为0.35. 6.0.615　当重复试验的次数逐渐增大时,频率呈现出稳定性,逐渐稳定于某个常数.根据表中数据,一次投篮命中的概率,使误差较小的可能性大的估计值是0.615. 7.解 (1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人), ∴用频率估计相应的概率为0.44. (2)选择L1的有60人,选择L2的有40人, 故由调查结果得频率为: 所用时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (3)事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;事件B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站. 由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2), ∴甲应选择L1; P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1), ∴乙应选择L2. 8.D　对于A,次品率是大量产品的估计值,并不是必有10件是次品,故A错误; 对于B,抛硬币出现正面的概率是,而不是,故B错误; 对于C,频率与概率不是同一个概念,故C错误; 对于D,利用频率计算公式求得频率为,故D正确. 故选D. 9.A　由题意可得,从池塘内捞出100条鱼,其中有标记的有2条,所有池塘中有标记的鱼的概率为,又因为池塘内具有标记的鱼一共有30条鱼,所以可以估计该池塘内共有=30×50=1 500条鱼. 10.ACD　对于A,抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数和向上的点数为偶数是等可能的,所以游戏公平,故选项A正确;对于B,同时抛掷两枚硬币,有(正,反),(反,正),(反,反),(正,正),共4种情况,恰有一枚正面向上包括(正,反),(反,正)2种情况,而两枚都正面向上仅有(正,正)1种情况,所以游戏不公平,故选项B错误;对于C,从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红桃和扑克牌是方片是等可能的,所以游戏公平,故选项C正确;对于D,小明、小华两人各写一个数字0或1,一共有4种情况:(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),两人写的数字相同和两人写的数字不同是等可能的,所以游戏公平,故选项D正确.故选ACD. 11.CD　随机事件A发生的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值,A正确;在同一次试验中,不同的基本事件不可能同时发生,B正确;任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1,C错误;不可能事件的概率为0,D错误,故选CD. 12.D　该教职工具有本科学历的概率P1==62.5%>60%,故A错误;该教职工具有研究生学历的概率P2==37.5%<50%,故B错误;该教职工的年龄在50岁以上的概率P3=8.3%<10%,故C错误;该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率P4==12.5%>10%,故D正确.故选D. 13　设该校有a名同学,则约有0.4a的学生近视,约有0.3a的学生每天玩手机超过2 h,且每天玩手机超过2 h的学生中近视的学生人数为0.3a×0.5=0.15a, 所以有0.7a的学生每天玩手机不超过2 h,且其中有0.4a-0.15a=0.25a的学生近视,所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生,则他近视的概率为P= 14.1.2　记“有圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A,由题意知,A为不可能事件,所以P(A)=0.记“有椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B,由题意知P(B)==0.2.记“有不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C,由题意知事件C为必然事件,所以P(C)=1.所以概率之和P=P(A)+P(B)+P(C)=1.2.故答案为1.2. 15.解 (1)由频率分布直方图可得,第4组的频率为1-(0.01+0.03+0.03+0.01)×10=0.2,所以x==0.02.50名学生中成绩不低于75分的频率为0.03×5+(0.02+0.01)×10=0.45,用样本估计总体,可以估计高三年级2 000名学生中成绩不低于75分的人数为2 000×0.45=900. (2)位于[70,80),[80,90),[90,100]的人数分别为50×0.03×10=15,50×0.02×10=10,50×0.01×10=5,这三组中所抽取的人数分别为6=3,6=2,6=1. 设事件A=“成绩在[70,80)的学生至多有2人被抽到”,记成绩为[70,80)的3名学生分别为a,b,c,成绩为[80,90)的2名学生分别为d,e,成绩为[90,100]的1名学生为f,则从中随机抽取3人的所有基本事件为(a,b,c),(a,b,d),(a,b,e),(a,b,f),(a,c,d),(a,c,e),(a,c,f),(a,d,e),(a,d,f),(a,e,f),(b,c,d),(b,c,e),(b,c,f),(b,d,e),(b,d,f),(b,e,f),(c,d,e),(c,d,f),(c,e,f),(d,e,f),共20个,成绩在[70,80)的学生全都被抽到包含的基本事件为(a,b,c),有1个.故P(A)= 16.B　对于①,比如定义随机试验:从10个红球中任意抽取3个球,定义随机事件A:三个球中有一个白球,则P=0,且{f(n)|n∈N*,n≥1}={0},①错误; 对于②,频率会随着试验的变化而变化,是一个变化的值,但随着试验次数的增加,频率会接近于概率,因此,{f(n)|n∈N*,n≥1}不可能只含有两个元素,②正确. 故选B. 17.解 (1)当且仅当一年内出险次数小于2时,事件A发生. 由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55. (2)当且仅当一年内出险次数大于1且小于4时,事件B发生. 由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人的平均保费为 0.85a·0.30+a·0.25+1.25a·0.15+1.5a·0.15+1.75a·0.10+2a·0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a元. 11 学科网（北京）股份有限公司 $