2026年山东临沂市临沭县曹庄镇初级中学等校初中学业水平考试模拟试题（二）数学

**基本信息** 2026年初中学业水平考试数学二模卷，以中国传统纹样、芯片线宽、比热容实验等真实情境为载体，通过项目式房屋测量、矩形折叠动态问题，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、图形对称、科学记数法|第2题结合传统纹样考查轴对称与中心对称，体现文化传承| |填空题|5/15|分式方程、正多边形面积、函数循环|第14题设计函数循环问题，培养数学思维的逻辑性| |解答题|8/75|几何证明、统计分析、函数综合、项目实践|第21题项目式房屋测量，融合几何直观与模型意识；第23题矩形折叠动态探究，发展空间观念与创新意识|

2026年初中学业水平考试模拟试题（二） 数学参考答案及评分标准2026.05 说明：解答题只给出一种解法，考生若有其他正确解法应参照本标准给分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1-5 ACDBC6-10BAACD 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.912. 4元13202514.(6,2y 15.213-2 三、解答题（本大题共8个小题，共计75分） 16.计算：（本题每小题4分，共8分） (1)√2÷√5-V2-3+2sim45 =4-6-2)+2x 3分 2 =2-3+2+√2 =-1+2√2 4分 ②(1，-)÷-6a+9 a-2 a-2 1-a+2.(a-3)2 6分 a-2a-2 =3-a.a-2 a-2(3-a)2 a .8分 17.(本小题满分8分) 解：(1)∠ABC=90°，AB=BC .∠A=∠C=45° 1分 .'AE=AB ·∠AEB=∠ABE=180°-45 =67.5° 2分 2 ,点D是AC的中点，AB=BC BD⊥AC ∴.∠BDE=90° 3分 .∠DBE=80°-∠BDE-∠AEB=180°-90°-67.5°=22.5°4分 证明：(2)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,点D是AC的中点 .BD⊥AC,AD=DC=BD, ∴.∠ADB=∠BDE=90° 6分 .AB=AE,由作图知AF平分∠BAC .∠AFE=909 ∴.∠GAD+∠AEF=90°=∠EBD+∠BED ∴.∠GAD=∠EBD .7分 .△ADG≌△BDE(ASA) ..DG=DE .AB=AE=DE十AD=GD+BD8分 18.(本小题满分8分) 解：（1)水的初始温度为20℃，平均每小时升温8℃ T=20+8t …2分 (2)当T=95℃时 95=20+8t 解得：t= 75 =9.375h 8 一天内最长加热时间不超过8h t≤8 又t≥0 t的取值范围为：0≤t≤8. 5分 (3)水箱的容积为：V=0.5×1.8=0.9m3 4小时升温：T=8×4=32℃ 水箱中的水共吸收热量：Q=0.9×32×4.2×106=1.2096×108(焦耳)， 8分 19.(本小题满分8分) 解：(1)根据题意9(1)班学生总人数为：7÷14%=50人， a=50-7-10-12-6=15人，… 1分 asI5 ×360°=108°， …2分 50 b=50-2-21-13-4=10, 频数直方图如图所示 本频数/人 20 15 10 3分 5题目数/个 (2)x=1×7+2x15+3×10+4×12+5×6 =2.9, 50 m=3,n=3;… 6分 (3)答案不唯一 从中位数看，9(1)和9(2)成绩相同； 从众数看，9(2)成绩比9(1)成绩好： 从平均数看，9(2)成绩比9(1)成绩好： 从方差看，9(2)成绩比9(1)成绩更稳定， 从以上分析可以看出9（2)班这次的学习效果更好.…8分 20.(本小题满分9分) 解：(1)证明：连接OD,BD ,'ED平分∠AEB .∠AED=∠BED ∴.AD=BD ,AB为圆0的直径，0为圆心 .OD⊥AB 2分 ,平行四边形ABCD ..AB//CD ..OD⊥CD .CD是O0的切线. 4分 (2)“企= .∴.∠ABE=∠ADE ∴.sin∠ABE=sin∠ADE= 5分 、3 .AB为⊙O的直径 ∴.∠AEB=90 在Rt△ABE中，AE=2 sin∠ABE=AE=1 AB 3 ∴.AB=6 ∴.AO=OD=3. 7分 在Rt△AOD中 AD=VA02+0D2=V32+32=3W2 ,四边形ABCD是平行四边形 ∴.BC=AD=3N2 9分 21.(本小题满分10分) 解：(1)：房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线 EF∥BC, AG1EF EG-EF-6m.LAEG-24CB-33, 在RtAAGE中，∠AGE=90°，∠AEG=33, 'tan∠AEG=tan33°= AG EG' AG=EG.tan33°≈6×0.65=3.9（米）， 4分 如图②，过E作EH⊥CB于H,设EH=x, 33608 D H B 图② 在Rt△EDH中，∠EHD=90°，∠EDH=60, :tan∠EDH= EH DH .DH= √ -x, 6分 tan60° 在Rt△ECH中，∠EHC=90°，LECH=33, :tan∠ECH= EH CH' ∴.CH= x20 tan33°-13 8分 CH-DH=CD=10, 20.V5 13-3x=10, 37.51x=390 解得：x≈10.40， ∴.AB=AG+BG=AG+EH=3.9+10.40≈14.3（米）， 答：房屋的高AB约为14.3米. ..10分 22.(本小题满分12分) 解：(1)由题意得160+4b=0,即6=-4，所以-多=2 ∴.抛物线的对称轴是直线=2. 3分 (2)解：①由题意知，抛物线的解析式为y=1x2-2x,又x1x2 y2y1x222x2(号x122x)x122x(号x122x1)x12 因为抛物线y一x2-2x过原点，且点A与原点不重合，所以x1≠0 于是x20,故y2y1 7分 ②由题意知，y1ax124ax1'y222-2x2 因等所以离登 81 因为两条抛物线均过原点，且A,B与原点都不重合，所以x1≠0，x2≠0 故器=r即wa6-2 9分 于是装a8:2a+架 X1 由题意a十尝是与x无关的定值，那么24a=0得a一专 (不妨令x1=1利x2=2分别代入a+2尝，可得2-3a=1-a,解得a=) 经检验，当一号时，爵号是一个与x无关的定值，符合题意 所以a=1,b=-4a=-2 .12分 23.（本小题满分12分) 解：（1)正方形： 2分 ②HN=3√3 4分 ③由折叠得： 四边形ABFE为正方形，△MM'F为直角三角形 AG=GE=BH=HF=3,AB=BN=BF,BN=BM',AM=MN=NM ∠ABM=∠MBN=∠NBM' ∴.Rt△BNM'≌Rt△BM'F(HL) .∠M'BN=∠M'BF,FM'=NM .∠JBH=450，∠EMM'=45°6分 设AM=x,则FM'=X,ME=M'E=6-x 在等腰直角三角形MEM'中，由勾股定理得 (6-x)2+(6-x)2=(2x)2 解得：x=6(√2-1) FM'=6(V2-1) ,HK为△BMF的中位线 KH=3V2-1) 8分 ,∠JBH=45°，∠BH=909 '.H=BH=3 JK=3-3(√2-1)=6-32 .9分 (2AM=12-65 …12分 AM M' 过点P作PG⊥BC于G,PH⊥CD于H, PC=PD,AB=6 .DH-CH-CD-AR-3. :∠PGC=∠PHC=∠BCH=90°， :四边形PGCH是矩形， :PG=CH=3, 由折叠得：BN=BP=AB=6,∠NBP=∠ABN, 在Rt△BPG中，∠PBG=30°， ∠ABN=∠NBP=90°，30°=30， 2 延长NM',BP交于L, Rt△BNL中，BN=6,∠NBL=30°， M=6x3 =25, Rt△MPL,∠MLP=90°-30°=60°， ·∠PM2=30°， 设PL=x,ML=2x,MP=V3x, NL=213=NM'+ML, V3x+2x=2V5, x=6-4V5, :AM=V3x=3x6-4)=12-65.2 2026年初中学业水平考试模拟试题（二） 数学答题卡 ( 考生号 姓名 1 、答题前，考生务必认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，然后将本人姓名、考生号、座号填写在相应位置，并在答题卡背面左上角填写姓名和座号。填写考生号和座号时，每个书写框只能填写一个阿拉伯数字，要求字体工整、笔迹清晰。填写样例： 2 、答选择题时 , 必须使用 2B 铅笔 填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净。 3 、答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔书写 ，要求字体工整、笔迹清晰。务必在题号所指示的答题区域内作答。 4 、保持答题卡清洁、完整。严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带 纸、修正带。 5 、若未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负。 座号 注 意 事 项 贴 条 形 码 区 由监考员负责粘贴 按手印处 考生禁填 缺考标记 缺考考生由监考员贴条形码，并用 2B 铅笔填涂上面的缺考标记 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 填涂样例 正确填涂 ) 一、选择题（共30分）（须用2B铅笔填涂） 1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分）（须用0.5毫米黑色签字笔书写） 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题（本题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．解方程：（本题每小题4分，共8分） (1) (2) 先化简，再求值：，其中 ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 )17.（本小题满分8分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 )18.（本小题满分8分） 19. （本小题满分8分） ( 考生 必填 姓名 考生务必将姓名、座号用 0.5 毫米的黑色签字笔认真填写在书写框内，座号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字，填写样例：若座号 02 ，填写为 座号 0 2 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) 20.（本小题满分9分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) 21.（本小题满分10分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 )22.（本小题满分12分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( （ 1 ） ① 形； ② HN= ； )23.（本小题满分12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 九年级数学答题卡 第 3页 共 4 页 九年级数学答题卡 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试模拟试题（二） 数学2026.05 本试卷共6页.满分120分.考试用时120分钟. 注意事项: 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求． 1．在下面四个数中，最小的数是（ ） A． B．0 C．1 D． 2．中国传统纹样的历史源流可以追溯到原始社会的彩陶纹样，这些纹样体现了先民对自然的观察与崇拜。下列纹样的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B． C． D． 3．已知某种芯片的线宽为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 4．如图是一个空心的圆柱体，其主视图为（ ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D．（a+1）2=a2+1 6．某商场今年1月份的营业额为100万元，3月份的营业额为169万元.若2、3月份营业额的月平均增长率相同.设月平均增长率为，则可列方程为（ ） A．B．C．D． 7．某学校课后服务开展了自主阅读、体育、艺术、科普四种活动，如果甲同学和乙同学每人随机选择其中一种活动，则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是（ ） A． B． C． D． 8．在△ABC中，作的平分线交于点D，作的垂直平分线分别交于点E，交于点F，连接，，得到四边形．若AE=3，则四边形的周长为（ ） A．12 B． C． D． 第8题图 第9题图 第10题图 9．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的面积为8，且OA=OB=AC，反比例函数的图象经过点C，则的值是（ ） A．-2 B． C．-4 D．-6 10．某实验小组研究某种液体的比热容随温度变化的规律，得到如图所示的比热容-温度图像。已知吸收热量计算公式为，其中Q为热量，c为比热容，m为物质质量，为温度变化量。下列判断正确的是（ ） A. 该液体的比热容随温度升高而减小 B. 该液体在50~60℃范围内比在100~110℃范围内比热容变化慢 C. 一定质量的该液体吸收相同的热量，80℃时比120℃时温度变化小 D. 一定质量的该液体从70℃升高至80℃吸收的热量比从110℃升高至120℃吸收的热量少 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11．分式方程的解x= ． 12．如图，正五边形ABCDE的边长为 6，以为边作等边△ABF，以A为圆心，长6为半径画,则图中阴影部分的面积为. 13．若a，b分别是关于x的方程x2-x-2026=0的两个实数根，则a2-2a-b的值是． 14．对于正整数x，规定函数在直角坐标系中，将点（a，b）中a，b的分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中a，b均为正整数）.例如：点（6，5）经过第1次运算得到的点（4，8），经过第2次运算得到点（3，5），经过第3次运算得到点（6，8），经过有限次运算后，必进入循环圈.按上述规定，将点（3，2）经过第2026次运算后得到的点的坐标是. 15. 如图，已知正方形ABCD，边长为4，点G是正方形内部一点，且∠AGB=90°，点H是边BC上一动点，连接DH，GH．则GH+DH的最小值为. 第12题图 第15题图 三、解答题：本大题共8小题，共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．计算：（本题每小题4分，共8分） （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中. 17． （本小题满分8分） 如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是AC的中点，点E在AC上，且AE=AB.连接BD，BE. （1）求∠DBE的度数； （2）以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线AQ，分别交BD，BE于点G，F，如图（2），求证：AB=GD+BD. 18． （本小题满分8分） 某品牌电热水器水箱为长方体，底面积为 0.5m2，高为 1.8m．水的初始温度为 20℃，通电加热时平均每小时升温 8℃．已知每立方米水升温1℃可吸收 焦耳的热量，假设热水器保温良好，忽略散热损失． (1) 请写出水温 T(℃) 与加热时间 t(h) 之间的关系式； (2) 水温达到 95℃ 时自动断电，且一天内最长加热时间不超过 8h，求时间 t 的实际取值范围； (3) 加热4h后，水箱中的水共吸收了多少焦耳的热量？ 19． （本小题满分8分） 学校为了加强学生的安全意识，召开了一次法制报告会，张老师为了了解9（1）和9（2）两个班级对这次会议内容的知识掌握情况，出了5道题进行调查.两班级的人数相等.统计每人做对的题目，制作了频数分布表． 正确题目数（个） 1 2 3 4 5 9（1）班频数（人） 7 a 10 12 6 9（2）班频数（人） 2 b 21 13 4 9（1）班做对题目数扇形统计图 9（2）班做对题目数频数直方图 (1)求出扇形统计图中圆心角α的度数，并补全频数直方图． (2)根据频数分布表分别计算有关统计量： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 9（1）班 3 2 9（2）班 m n 请填写表格中的m=，n=，并求出的值． (3)从中位数、众数、方差中任选两个统计量，对9（1）和9（2）两班学生的学习情况进行比较，并做出评价． 20． （本小题满分9分） 如图，△ABE内接于⊙O，AB为⊙O的直径，ED平分∠AEB交⊙O于点D.连接AD，以AD，AB为边作平行四边形ABCD. （1）求证：是的切线； （2）若AE=2，sin∠ADE=，求BC的长. 21．（本小题满分10分）项目式学习 为深化数学知识与实际生活的关联，提升实践探究能力，某校项目学习小组选定某景区的房屋，开展房屋高的测量探究活动，活动报告如下： 项目主题 景区的房屋高的测量与计算 项目背景 如图1是景区的房屋，如图2是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线.综合实践小组的同学围绕“景区的房屋高的测量与计算”开展项目学习活动. 图1 图2 测量工具 激光投线角度仪（高度忽略不计）、皮尺等 项目方案 如图2 1.在地面上C点测得房顶A的仰角为33°，此时地面上C点、房檐上E点、房顶上A点三点恰好共线； 2.由C点向房屋方向走10m到达D点时，测得屋檐E点的仰角为60°； 3.测得房屋的顶层横梁EF=12m，EF//CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）． 参考数据 参考数据：，，， 任务 求房屋的高AB（结果精确到0.1m） … … 根据以上数据，计算AB的长． 22.（本小题满分12分） 已知抛物线 y=ax2+bx(a≠0)，经过点 (4，0). (1) 求该抛物线的对称轴； (2) 点 A(x1，y1​) 和 B(x2，y2)分别在抛物线y=ax2+bx 和 y=2x2-2x 上（A,B 与原点都不重合）. ①若a=，且x1=x2，比较 y1与y2的大小； ② 当 时，若是一个与x1无关的定值，求 a 与 b 的值. 23. （本小题满分12分） 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AB=6，AD=12，点M为边AD上一动点. 动手实践： （1）如图1，腾飞小组将矩形纸片ABCD先沿着EF所在的直线对折一次，使点A与点D重合，点B与点C重合；展开后接着再沿着GH所在的直线对折再对折一次，使点A和点E重合，点B和点F重合； ①此时四边形ABFE是形； 　　　 　　　　　　 ②如图2，将△ABM沿着BM所在的直线折叠后得△NBM，若点N恰好落在GH上，则HN=； ③如图3，若继续折叠，将△BMN沿BN所在的直线折叠，点M的对应点为M′，若点M′恰好落在EF上，求JK的长； （2）如图4，永攀小组将纸片沿BM所在的直线折叠，点A的对应点为点N，展开后再将四边形ABNM沿BN所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点M′，连接CP、DP，若PC=PD，请直接写出AM的长． 学科网（北京）股份有限公司 $