山东临沂市郯城县新村银杏产业开发区初级中学等校2025-2026学年九年级下学期中考一模数学试题（一）

**基本信息** 2026年初中学业水平考试数学模拟卷，以非遗剪纸、AI模型、《九章算术》等为情境，融合文化传承与科技前沿，通过几何直观、推理能力考查数学核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图形性质、概率、科学记数法|非遗剪纸判断对称图形，体现数学眼光| |填空题|5/15|因式分解、反比例函数、对称|正方形与反比例函数综合，考查应用意识| |解答题|8/75|四边形证明、二次函数、几何探究|23题几何动态探究，融合垂直平分线与正方形性质，发展推理能力和创新意识|

2 2026年初中学业水平考试模拟试题（一） 数学答题卡 ( 考生号 姓名 1 、答题前，考生务必认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，然后将本人姓名、考生号、座号填写在相应位置，并在答题卡背面左上角填写姓名和座号。填写考生号和座号时，每个书写框只能填写一个阿拉伯数字，要求字体工整、笔迹清晰。填写样例： 2 、答选择题时 , 必须使用 2B 铅笔 填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净。 3 、答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔书写 ，要求字体工整、笔迹清晰。务必在题号所指示的答题区域内作答。 4 、保持答题卡清洁、完整。严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带 纸、修正带。 5 、若未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负。 座号 注 意 事 项 贴 条 形 码 区 由监考员负责粘贴 按手印处 考生禁填 缺考标记 缺考考生由监考员贴条形码，并用 2B 铅笔填涂上面的缺考标记 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 填涂样例 正确填涂 ) 一、选择题（共30分）（须用2B铅笔填涂） 1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（每小题3分，共5小题，共15分）（须用0.5毫米黑色签字笔书写） 11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题（本题共8个小题，共75分.解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16．计算（本题每小题4分，共8分） （1）；（2）解不等式组 17. ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 )（本小题满分8分） 18. ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 )（本小题满分8分） 19.（本小题满分8分） ( 考生 必填 姓名 考生务必将姓名、座号用 0.5 毫米的黑色签字笔认真填写在书写框内，座号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字，填写样例：若座号 02 ，填写为 座号 0 2 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) 20.（本小题满分9分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) 21.（本小题满分10分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 )22.（本小题满分12分） ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) 23.（本小题满分12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 九年级数学答题卡 第 3页 共 4 页 九年级数学答题卡 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年初中学业水平考试模拟试题（一） 数学参考答案及评分标准 2026.05 说明：解答题只给出一种解法，考生若有其它正确解法应参照本标准给分， 一、选择题（每小题3分，共30分） 1-5 ABADC 6-10 CDCCB 二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.-212.ab2(a+1)(a-1) B.号 14.(300,0) 15.3-5 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16.（本小题满分8分) (1)解：原式=-2+5-V2+1-3 …2分 =-1-2 A分 (2)解：解不等式①，得x≥8 5分 解不等式②，得x<专， 6分 ∴.此不等式组无解 .8分 17.(本小题满分8分) (1)证明：：EF是BD的垂直平分线， :BO=DO,BE DE,BF=DF 1分 :四边形ABCD是矩形， AD∥BC, .∠OBF=∠ODE. :BO=DO,∠BOF=∠DOE, .△BOF≌△DOE, :BF =DE, .BE=DE =DF =BF 四边形BEDF是菱形 …4分 (2)解：四边形ABCD是矩形， .LA=∠ABC=LADC=∠BCD=90°. :AE=2,AD=6, 第1页共6页 .DE=4. 四边形BEDF是菱形， :BE=DE=4 在Rt△ABE中，AE=2,BE=4, “AB=25 :AE=CE,AB=CD,∠A=∠D ·△ABE≌△CDF(SAS) S菱形=S矩形-2S△4BE =12V3-4y5=8V5 …… 8分 18.(本小题满分8分)（1)解：根据乒乓球所占的比例和人数可得， 抽取的人数为40 =100(人) 40% 1分 :.参加篮球的人数有：100-40-10-25-5=20（人)， .2分 补全条形统计图如图所示： 人数 40 40 器 4分 10 0 乒乓球摄影书法篮球足球项目 :参加摄影的人数为10人， :10 ×100%=10% 100 .m=10; 根据扇形图可得：1-40%-5%-25%-10%=20% .n=20; (2)根据统计图可知“书法”所占25%， 1500×25%=375(人) .6分 :.若该校有1500名学生，试估计该校参加“书法”活动的学生有375人： (3)根据条形统计图和扇形统计图可知，参加乒乓球的学生人数是最多的，其次是书法、 篮球，参加摄影的学生人数相对来说是较少，最少的是参加足球的学生人数，所以可以适当 第2页共6页 的增加乒乓球这项课后服务活动项目的开设，减少足球课后服务活动项目的开设，以满足大 部分同学的需求， 8分 19.(本小题满分8分) (1)300,2; 2分 (2)货车从C地出发再返回C地所用时间3-青=号例 ∴点N的坐标是（号，0），货车到达B地的时间 ÷2=青例 ·点M的坐标是（青，120） 3分 设MN的解析式为y=ac+bk0) 将M的坐标（号，120），N的坐标（得 ,0)代入y=a+b(0)得 |等k+b=120 ∫k=-90 (号k+b=0 解得 b=240 货车从B地返回C地的过程中y与x的函数解析式是： y=-90x+240 (号≤x≤号) 5分 B)h或9h或号h .8分 20.(本小题满分9分) (1)如图，由题意可得∠CBE=60°，∠CAF-30°，∠BDM=45°，BMLDM,BELAF‖DM .∠BCM=60°，∠ACM-30° .∠ACB=∠BCM-∠ACM=60°-30°=30°..3分 (2):∠EBC=60 .∠ABC=90°-60°-30° .∠ABC=∠ACB=30° 北 b ∴.AB=AC=800 5分 +东 ,在Rt△ACM中，Sn∠ACM-Ay,，cos∠ACM=Cy AC AC AM=40,CM-4005 .∴.BM=BA+AM=1200 7分 .·∠BDM=45°，BM⊥DM .DM=BM=1200 :DC-DM-CM=120-405 第3页共6页 ·景点C与景点D之间的距离为(1200-4005…9分 21.(本小题满分10分) (1)证明：连接0C ,CD为O0的切线， ∴.OC⊥DC ∴.OCD=90° 即∠DCB+∠BC0=90° 1分 AB是O0的直径， ∴.∠ACB=90, 即LBC0+∠0CA=90°， 2分 ∴.∠DCB=∠OCA, OA=OC, ∴.∠A=∠OCA, ∴.∠DCB=∠A, 3分 .OF∥AC, ∴.∠DOF=∠A, 4分 ∴.∠DCB=∠DOF; 5分 (2)解：连接0C,在Rt△ABC中， "tanA ·∠A=30 6分 .AB=2BC=4,OC=2, ∠B0C=2∠A=60 8分 又：0B=0C .△BOC是等边三角形 OF∥AC ∴·∠D0F=A=30° .∠C0F=30 .9分 在Rt△COF中cos∠COP=器 第4页共6页 0F=品=青5 10分 22.(本小题满分12分) (1)解：当m=1时，则抛物线为y=x2+2x+1. :该抛物线的顶点坐标为(-1,0) 2分 (2)解：yy2 .M(x,y),N(x2,y)是一组对称点，即+2=一m 2 当0<x<1,1<x2<2, << 小<-m< 即-<m<-方 6分 (3)解：：y=x2+2mx+2-m, :抛物线开口向上，对称轴为直线x=一m, ①当-m≤-1时，即m≥1时， ,-1≤x≤2在对称轴右侧，y随x的增大而增大， .当x=-1时，y有最小值为一4， 則(-1)2-2m+2-m=-4' 解得：m= 8分 ②当-1<-m<2时，即-2<m<1时， 当x=一m时，y有最小值为-4： (-m)2+2m(-m+2-m=-4' 解得：m1=一3m2=2（舍去)10分 ③当-m≥2时，即m≤-2时， -1≤x≤2在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∴.当x=2时，y有最小值为-4， 第5页共6页 即22+4m+2-m=-4 解得：m=一号 0， 综上所述，m的值为号或号 .12分 23.(本小题满分12分) （1)解：由垂直平分线的性质知，A'E=AE,BA'=BA 又BE=BE ∴.△EA'B≌△EAB,∠EA'B=∠EAB=90O 又∠ADB=459 ∴.△A'DE是等腰直角三角形 AE气AE=1,DE-2AE2,故AB=AD=AE+DE=1+V24分 (2)①证明：由题意知，BA=BA'=BC .∠BAA'=∠BA'A,∠BCA'=∠BA'C :∠AA'C=∠AAB+∠CA'B :∠AA'C-180°-∠AB4+180°-∠CB4=180°（∠ABA+∠CB4) =180°-45°=135° .∠CAF=1800-∠AA'C=45 8分 ②解：△ADG是等腰直角三角形 ………9分 理由如下 如图，作CNLBG交BG于点M,交AB于点N: .CG=CB, ∴.M为BG的中点 又AA'⊥BE ..CNILAF .MN是△ABG的中位线，BN=号AB. .∠ABE=90O-∠CBG=∠BCN, ∠BAE=∠CBN-90°，且AB=BC, .△ABE≌△BCN ∴AE=BN吉AB-吉AD,即E为AD的中点 又AG=GA' .EGA'D ∴.∠DA'G=∠EGA=90o 同理可证△ADA'≌△BAG,因此A'D=AG=A'G .△ADG是等腰直角三角形 12分 第6页共6页 2026年初中学业水平考试模拟试题（一） 数 学 2026.05 本试卷共6页.满分120分.考试用时120分钟. 注意事项: 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求． 1．为传承中华优秀传统文化，弘扬非物质文化遗产，学校开展非遗剪纸进校园主题实践活动.在老师的指导下，同学们动手创作剪纸作品，在实践中感受传统艺术与数学知识的融合之美.请判断下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．如图所示，在数轴上，叶片遮挡住的点表示的数的可能是（　　） A． B． C．0 D． 3．临沂新琅琊以深厚人文底蕴、璀璨夜景与沉浸式演艺，成为临沂文旅新地标，广迎八方来客．据统计，新琅琊景点春节期间接待游客超45万人次．数据“45万”用科学记数法表示为（    ） A．4.5×105 B．45×104 C．4.5×105 D．0.45×106 4．已知a≠0,下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．AI模型的出现为我们带来了极大的便利.某数学小组计划从 “豆包”“DeepSeek”“千问”“元宝”这四款模型中任选两款使用，若选择每一款的可能性相等,则其中必有一款是“豆包”的概率是（   ） A． B． C． D． 6．我国古籍《九章算术》中有一个“禾麦共实”问题，内容为：今有上禾三秉、麦二秉，实共四石二斗；上禾二秉、麦三秉，实共三石七斗.（注：1石=10斗，）问上禾、麦一秉各实几何？设一秉上禾有斗，一秉麦有y斗，则根据条件所列方程组为（   ） A. B． C. D． 7.如图，平面直角坐标系中，点B，C两点的坐标分别为（7，5），（6，2）若四边形是平行四边形，则点A的坐标为（     ） 7题图 9题图 A． （1，2） B．（2，3） C．（2，2） D．（1，3） 8．如图（1）是我国南方部分地区使用的蒸饭工具 ——甑子。甑体可抽象为立体图形中的圆台图（2）．小明研究发现，圆台可看作是由两个圆锥相减得到的，他画出了其展开图如图（3）所示，若下底面半径r1 = 1,上底面半径r2 = 3，BE=4，则圆台的侧面积为（  ） 8题图（1） 8题图（2） 8题图（3） A．16 B．24 C．32 D．36 9．如图，四边形是的内接四边形，∠ADC = 120°．AC = ，则⊙O的半径为（　　） A．1 B． C．2 D．4 10．画二次函数的图象时，先列表得到自变量x与函数值y的部分对应值, x … 0 1 … y … 2 m 2 n … 有下列结论： ①c = 2；②n = 2a+c；③若n＜2，则一元二次方程ax2+bx+c =0有两个不等的实数根 ④若m=-1，则y＞2，则-2＜x＜0.以上结论正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题:本题共5小题，每小题3分，共15分. 11．若点A(x，1)与点B(3，y)关于原点对称，则x﹣y＝_________． 12．因式分解a3b2 -ab2＝ ． 13．如果是关于的分式方程的解，则的值是_________． 14．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数 的图象记为，它与轴的交点为、．将绕点旋转180°得到，点的对称点为；将绕点旋转180°得到，点的对称点为；……，按此方法操作，直至得到，则的坐标为__________． 14题图 15题图 15. 如图，正方形和正方形，点A在y轴正半轴上，点C、E在x轴正半轴上点D在边上， 点B、F落在反比例函数第一象限的图象上，连接OF与BC交于点G，其中点A( 0 , 2 )，则的长为________． 三、解答题:本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．（本小题满分8分） （1）计算：； （2）解不等式组． 17.（本小题满分8分） 在矩形中，为对角线，的垂直平分线分别交于点E，O，F，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若AE=2 , AD=6 , 求菱形的面积． 18.（本小题满分8分） 某中学为了切实减轻学生作业负担，落实课后服务相关要求，开设了书法、摄影、篮球、足球、乒乓球五项课后服务活动，为了解学生的个性化需求，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，请你根据给出的信息解答下列问题： (1)求m，n的值并把条形统计图补充完整； (2)若该校有1500名学生，试估计该校参加“书法”活动的学生有多少人？ (3)结合调查信息，请你给该校课后服务活动项目开设方面提出一条合理化的建议． 19.（本小题满分8分） 一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地:一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地(卸货时间忽略不计).两车同时出发，轿车比货车晚h到达终点，两车均按各自速度匀速行驶.如图是轿车和货车距各自出发地的距离y(单位:km)与轿车的行驶时间x(单位:h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题: (1)图中a的值是 ，b的值是 ； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y(单位:km)与行驶时间x(单位:h)之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40 km. 20.（本小题满分9分） 如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D. 经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB=800 m. （1）求∠ACB的度数； （2）求景点C与景点D之间的距离.（结果保留根号） 21.（本小题满分10分） 如图，是的直径，是上一点，过作的切线交的延长线于点，连接、，过作，交于，交于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22.（本小题满分12分） 在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)若，是抛物线上任意两点，对于，，都有，求m的取值范围； (3)当-1≤x≤2时，二次函数的最小值为，求m的值. 23.（本小题满分12分） 已知点A' 在正方形ABCD内，点E在边AD上，BE是线段AA' 的垂直平分线，连接A'E，A'B. （1）如图1，若BA'的延长线经过点D,AE=1,求AB的长； （2）如图2，点F是AA'的延长线与CD的交点，连接CA'； ①求证：∠CA'F=45°； ②如图3，设AF，BE相交于点G，连接OG，DG，DA'，若CG=CB，判断△A'DG 的形状，并说明理由. 图1 图2 图3 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $