服从二项分布的随机变量概率最大问题复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

服从二项分布的随机变量概率最大问题复习讲义 服从二项分布的随机变量概率最大问题复习讲义 知识点解析 一、解题原理 设随机变量 ，概率公式： 1. 单调性原理 先递增、后递减，呈单峰分布，存在唯一或相邻两个整数使概率最大。 1. 邻项作商比较原理 通过相邻概率比值： 1. 临界值公式原理 解不等式组： 可推得临界值： · 即最可能取值 为 附近的整数。 1. 两种特殊情况 · 若 是整数： 与 概率同时最大； · 若 不是整数：取向下取整整数为唯一概率最大点。 二、解题思路 1. 确定二项分布参数 明确 （试验次数）、（单次成功概率），写出 。 1. 计算临界值 算出 。 1. 判断类型 · 为整数： 和 两处概率并列最大； · 不为整数：对 向下取整，得唯一最可能取值 。 1. 验证取值范围 保证 ，超出边界取端点。 1. （如需）代入求最大概率 把求得的 代回二项分布概率公式，算出最大概率值。 例题分析 例1．（2026·福建泉州·三模）某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100元可抽奖一次.抽奖规则如下：箱中共有4个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3个球，若摸出的红球不少于2个则中奖，否则不中奖.各次抽奖互不影响. (1)求抽奖一次中奖的概率； (2)商场规定每中奖一次，返现10元.设某顾客在活动期间消费元，按规定返现元.若事件“”的概率最大，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式求解即可. （2）先明确事件“”的概率最大的意义，结合二项分布的概率计算公式和数列的单调性以及组合数的计算，可求的最小值. 【详解】（1）设 “抽奖一次中奖”为事件，则. （2）设抽奖次数为，则（表示的整数部分）. 事件“”表示中奖次数为次，设表示中奖次数， 则. 因为事件“”的概率最大， 所以， 所以. 又，所以. 由，解得，即的最小值为. 例2．（2026·山西晋中·三模）“十四五”期间，我国的机器人产业大爆发，实现了从“低端制造”到“高端突破”的历史性转变. 某学校的兴趣小组在校内随机调查了100名学生，统计其关注的机器人类型，得到如下的统计表： 类型 医疗机器人 特种机器人 表演机器人 服务机器人 工业机器人 人数 10 40 30 10 10 (1)先按比例用分层随机抽样的方法从上面100名学生中随机抽取10人. （i）分别求抽取的10人中关注“特种机器人”和关注“表演机器人”的人数； （ii）再从这10人中随机抽取3人，记抽到关注“特种机器人”的人数为，关注“表演机器人”的人数为，设，求的分布列. (2)该兴趣小组调查某款表演机器人，得知输入动作指令后其能准确完成指令的概率为，若输入次动作指令，其能准确完成指令的次数为，记事件的概率为，假设每次输入指令相互独立，且，则当为何值时，的值最大？ 【答案】(1)（i）4，3； （ii）的分布列为 0 1 2 3 (2)或时，取得最大值. 【分析】（1）（i）按分层抽样比例计算，从100人中抽取10人，得出关注特种机器人4人、表演机器人3人；（ii）确定的所有可能取值，用组合数计算各取值概率，列出分布列； （2）利用二项分布概率公式，通过相邻两项比值法判断单调性，求得最大时的值. 【详解】（1）（i）由题可知，抽取的10人中，关注“特种机器人”的有人， 关注“表演机器人”的有人. （ii）的所有可能取值为， ， ， ， . 则的分布列为 0 1 2 3 （2）由题可知，，故. 令，则， 令，可得，令， 可得，令，可得， 所以或时，取得最大值. 例3．（24-25高二下·广东深圳·期中）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从A室出发，到达室. 粒子从A室经过号门进入B室后，等可能的变为上旋或下旋状态；粒子从B室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．粒子间的旋转状态相互独立．现有两个粒子从A室出发． (1)已知两个粒子通过1号门进入B室后，恰有1个上旋状态和1个下旋状态．求这两个粒子通过2号门进入C室后，仍然恰有1个上旋状态和1个下旋状态的概率； (2)若两个粒子进入C室后，每个粒子再经过2号门返回B室的概率为，各粒子返回B室相互独立，求返回B室的粒子个数X的分布列、期望与方差； (3)若实验装置出现故障，两个粒子进入C室后裂变成10个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回B室的概率变为，各粒子返回B室相互独立．记有r个粒子返回B室的概率为，则r为何值时，取最大值． 【答案】(1)； (2) 0 1 2 ，； (3). 【分析】（1）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算. （2）求出的可能值，利用二项分布求出分布列，进而求出期望、方差. （3）利用二项分布概率最大问题列出不等式组求解. 【详解】（1）设事件 “两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”. 事件发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态， 所以所求概率. （2）粒子个数的可能值为：，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望； 方差. （3）的可能取值为，， 个粒子返回室的概率为， 则， 即， 整理得，解得，而，因此， 所以，当时，取最大值. 例4．（25-26高二下·山东济宁·期中）某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设小张同学在初赛的得分为，则，结合二项分布运算求解即可； （2）设在复赛中每轮得分为，并求对应的概率.（i）分析可知2轮4分，1轮2分，进而求概率；（ii）可得，，利用导数求最值即可. 【详解】（1）设小张同学在初赛的得分为，则， 所以小张同学成功晋级复赛的概率. （2）设在复赛中每轮得分为，则有： ； ； ， （i）若，则，，， 因为小张同学复赛总得分为10分，则2轮4分，1轮2分， 所以小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）由题意可知：，， 则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在内单调递减， 所以取到最大值. 变式训练 变式1．（25-26高二下·河北承德·月考）某运动员投篮次，每次投篮的命中率均为，各次投中与否相互独立，记为次投篮中命中的次数． (1)当时，求该球员最有可能命中多少次； (2)当时，求的值； (3)当时，证明：随着的增大而增大． 【答案】(1)17或18次 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用二项分布相邻概率比值，找出概率最大点即可； （2）将的表达式写出之后，利用组合数的性质转换计算即可； （3）将概率和视为关于的函数，求导并证明导数恒正，从而得单调性. 【详解】（1）由已知，投篮中命中的次数服从二项分布，记命中次 的概率为， 对于二项分布 ，可得. 故 由得，此时随着值的增加而增加； 由得，此时随着值的增加而减少； 所以，故该球员最有可能命中17或18次． （2）当时， （3）证明：当时， ， 令， 则 因为 ，所以，所以， 故在单调递增，即随着的增大而增大 变式2．（25-26高二下·安徽六安·月考）某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)无关联 (2)分布列见解析， (3)875 【分析】（1）计算的值，将其与对应的小概率值比较即得； （2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得； （3）分析得出，利用二项分布概率公式得出再利用作商法分析得时，事件“”的概率最大. 【详解】（1）零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联； 则， 故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立， 因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联； （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 合格产品有件，不合格产品有2件， 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有1，2，3． 则，，， 故的分布为： 1 2 3 则； （3）依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为， 故，则， 由， 故由可解得， 因，故当时，； 故由可解得， 即当时，； 故当事件“”的概率最大时，． 变式3．（25-26高二下·山西·月考）聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 【答案】(1) (2)的分布列为，当最大时． 【分析】（1）先定义“输入的问题没有语法错误”、“一次应答被采纳” 两个事件，明确已知概率后，直接套用全概率公式，分“无错采纳” 和“有错采纳” 两类情况相加即可． （2）依据 “次独立重复试验+固定成功概率” 判定服从二项分布，列出分布列；最后通过计算相邻概率比值，解不等式找到单调区间，确定概率最大时的值 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件， 由题意，，，则 ， ． （2）依题意，， 所以的分布列为， 当最大时，有 即， 解得，， 故当最大时，． 变式4．（25-26高二下·安徽合肥·月考）某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：）服从正态分布，已知当时，.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次精测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； (3)现从该批零件中每次随机抽取1个零件进行检测，若连续3次都检测到零件的质量指标大于50，就停止检测，记为停止检测时已检测的零件数，求. 【答案】(1) (2) 1 2 3 (3) 【分析】（1）先确定，由条件可得从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，再结合独立重复试验概率公式求结论； （2）先求，由，判断的单调性，确定，再确定的可能取值，并求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望； （3）先分析事件的特征，再结合独立事件概率乘法公式，对立事件概率公式，互斥事件概率加法公式求结论. 【详解】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个， 恰好有个为优质品的概率为. （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以. 由题意可得的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 ； （3）记第次检测到的零件质量指标大于为事件（），则. 要使，需满足下面三个条件： ①第6，7，8个零件的质量指标均大于50； ②第5个零件的质量指标不大于50； ③前4个零件不出现连续3个零件的质量指标大于50. 所以 . 实战演练 1．（2026·广西北海·一模）近几年，我国旅游兴起.某个知名景区为提高服务质量，随机抽取了300名到该景区旅游的游客做问卷调查，其中甲、乙、丙三个省的游客人数恰好分别为：30，90，60，其他省的有120人．假设景区中的每名游客都对应一个随机的不同的景区票号． (1)按省份进行分层随机抽样，从调查的这些游客景区票号中随机抽取10个号，再从这10个中随机选4个，该景区奖励这4个号对应的游客每人一份大礼包，记抽取到乙、丙两个省的人数分别为，，设，求X的分布列与期望； (2)若景区邀请这些被抽到的甲、乙、丙三省的游客按照票号从小到大的顺序参加一项游戏，且每一个游客都参加，做完游戏后每人可领取一份纪念品，求甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏（甲省被抽到的所有游客完成游戏后，乙、丙两个省都还有被抽到的游客未完成游戏）的概率； (3)若这次问卷调查抽取的各省游客作为样本，把样本中丙省游客的频率作为景区所有游客中丙省游客的概率，从该景区所有游客票号中随机抽取30个，给予这30人全年免票游玩，丙省游客最有可能被抽取到多少人？ 【答案】(1)分布列为： 0 1 2 3 期望为 (2) (3)6人 【分析】（1）根据分层抽样先确定每个省的抽取人数，然后确定的可能取值，求出对应的概率，进而得到分布列和期望. （2）根据全概率公式求解即可. （3）根据二项分布计算概率，然后作差求得最值即可. 【详解】（1）分层抽样比例为，因此，甲省抽取人，乙省抽取人， 丙省抽取人，其他省抽取人，从10人中选4人，设乙省人数为， 丙省人数为，，可取，可取，且. 时，； 时，； 时，； 时，； 所以分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. （2）记事件：表示甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏； 事件：表示最后完成游戏的游客是乙省游客； 事件：表示最后完成游戏的游客是丙省游客； 所以. . （3）设丙省游客被抽到的人数为，丙省游客的概率是， 则， 当，即时，， 当，即时，， 所以 所以当时，最大. 故丙省游客最有可能被抽取到6人. 2．（25-26高三上·广东·月考）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. (1)当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. (2)当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)， 【分析】（1）先求出每个坑不需补播种和需要补播种的概率，再根据二项分布求出其分布列和期望即可； （2）求出有4个坑要补播种的概率，再依据二项分布的概率最值问题解不等式求出即可. 【详解】（1）对于一个坑，不需要补播种的概率为，需要补播种的概率为， 由题意可知，的可能取值有，且， 则，， ，， 则的分布列如下： 则数学期望为； （2）由（1）可知，有4个坑要补播种的概率为， 由，得， 因为为正整数，所以， 则当时，有4个坑要补播种的概率最大，最大概率为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $服从二项分布的随机变量概率最大问题复习讲义 服从二项分布的随机变量概率最大问题复习讲义 知识点解析 一、解题原理 设随机变量 ，概率公式： 1. 单调性原理 先递增、后递减，呈单峰分布，存在唯一或相邻两个整数使概率最大。 1. 邻项作商比较原理 通过相邻概率比值： 1. 临界值公式原理 解不等式组： 可推得临界值： · 即最可能取值 为 附近的整数。 1. 两种特殊情况 · 若 是整数： 与 概率同时最大； · 若 不是整数：取向下取整整数为唯一概率最大点。 二、解题思路 1. 确定二项分布参数 明确 （试验次数）、（单次成功概率），写出 。 1. 计算临界值 算出 。 1. 判断类型 · 为整数： 和 两处概率并列最大； · 不为整数：对 向下取整，得唯一最可能取值 。 1. 验证取值范围 保证 ，超出边界取端点。 1. （如需）代入求最大概率 把求得的 代回二项分布概率公式，算出最大概率值。 例题分析 例1．（2026·福建泉州·三模）某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100元可抽奖一次.抽奖规则如下：箱中共有4个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3个球，若摸出的红球不少于2个则中奖，否则不中奖.各次抽奖互不影响. (1)求抽奖一次中奖的概率； (2)商场规定每中奖一次，返现10元.设某顾客在活动期间消费元，按规定返现元.若事件“”的概率最大，求的最小值. 例2．（2026·山西晋中·三模）“十四五”期间，我国的机器人产业大爆发，实现了从“低端制造”到“高端突破”的历史性转变. 某学校的兴趣小组在校内随机调查了100名学生，统计其关注的机器人类型，得到如下的统计表： 类型 医疗机器人 特种机器人 表演机器人 服务机器人 工业机器人 人数 10 40 30 10 10 (1)先按比例用分层随机抽样的方法从上面100名学生中随机抽取10人. （i）分别求抽取的10人中关注“特种机器人”和关注“表演机器人”的人数； （ii）再从这10人中随机抽取3人，记抽到关注“特种机器人”的人数为，关注“表演机器人”的人数为，设，求的分布列. (2)该兴趣小组调查某款表演机器人，得知输入动作指令后其能准确完成指令的概率为，若输入次动作指令，其能准确完成指令的次数为，记事件的概率为，假设每次输入指令相互独立，且，则当为何值时，的值最大？ 例3．（24-25高二下·广东深圳·期中）如图，在研究某种粒子的实验装置中，粒子从A室出发，到达室. 粒子从A室经过号门进入B室后，等可能的变为上旋或下旋状态；粒子从B室经过号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为．粒子间的旋转状态相互独立．现有两个粒子从A室出发． (1)已知两个粒子通过1号门进入B室后，恰有1个上旋状态和1个下旋状态．求这两个粒子通过2号门进入C室后，仍然恰有1个上旋状态和1个下旋状态的概率； (2)若两个粒子进入C室后，每个粒子再经过2号门返回B室的概率为，各粒子返回B室相互独立，求返回B室的粒子个数X的分布列、期望与方差； (3)若实验装置出现故障，两个粒子进入C室后裂变成10个粒子，裂变后的每个粒子再经过号门返回B室的概率变为，各粒子返回B室相互独立．记有r个粒子返回B室的概率为，则r为何值时，取最大值． 例4．（25-26高二下·山东济宁·期中）某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. (1)求小张同学成功晋级复赛的概率； (2)已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 变式训练 变式1．（25-26高二下·河北承德·月考）某运动员投篮次，每次投篮的命中率均为，各次投中与否相互独立，记为次投篮中命中的次数． (1)当时，求该球员最有可能命中多少次； (2)当时，求的值； (3)当时，证明：随着的增大而增大． 变式2．（25-26高二下·安徽六安·月考）某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 变式3．（25-26高二下·山西·月考）聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 变式4．（25-26高二下·安徽合肥·月考）某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：）服从正态分布，已知当时，.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次精测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； (3)现从该批零件中每次随机抽取1个零件进行检测，若连续3次都检测到零件的质量指标大于50，就停止检测，记为停止检测时已检测的零件数，求. 实战演练 1．（2026·广西北海·一模）近几年，我国旅游兴起.某个知名景区为提高服务质量，随机抽取了300名到该景区旅游的游客做问卷调查，其中甲、乙、丙三个省的游客人数恰好分别为：30，90，60，其他省的有120人．假设景区中的每名游客都对应一个随机的不同的景区票号． (1)按省份进行分层随机抽样，从调查的这些游客景区票号中随机抽取10个号，再从这10个中随机选4个，该景区奖励这4个号对应的游客每人一份大礼包，记抽取到乙、丙两个省的人数分别为，，设，求X的分布列与期望； (2)若景区邀请这些被抽到的甲、乙、丙三省的游客按照票号从小到大的顺序参加一项游戏，且每一个游客都参加，做完游戏后每人可领取一份纪念品，求甲省游客先于乙、丙两省游客完成游戏（甲省被抽到的所有游客完成游戏后，乙、丙两个省都还有被抽到的游客未完成游戏）的概率； (3)若这次问卷调查抽取的各省游客作为样本，把样本中丙省游客的频率作为景区所有游客中丙省游客的概率，从该景区所有游客票号中随机抽取30个，给予这30人全年免票游玩，丙省游客最有可能被抽取到多少人？ 2．（25-26高三上·广东·月考）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播2粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，如果全部的种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. (1)当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. (2)当取何值时，有4个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $