带电粒子在组合场中的运动、带电粒子在叠加场中的运动 专项训练-2026届高三物理三轮冲刺

带电粒子在组合场中的运动、带电粒子在叠加场中的运动专项训练 带电粒子在组合场中的运动、带电粒子在叠加场中的运动专项训练 考点目录 带电粒子在组合场中的运动 带电粒子在叠加场中的运动 考点一 带电粒子在组合场中的运动 例1．（2026·河北沧州·一模）空间有一边长为L的立方体 ，O为 的中点，以O为原点建立空间坐标系O-xyz，AB、AD和分别平行x轴、y轴和z轴。在立方体内存在沿x轴负方向、磁感应强度大小为 （未知）的匀强磁场，在x<0区域存在沿y轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子从M点（图中未画出）以沿x轴正方向的初速度射出，M点的坐标为粒子刚好从O点进入匀强磁场区域。已知不计粒子重力和空气阻力。 (1)求匀强电场的电场强度的大小； (2)若该粒子刚好经过CD直线，求磁感应强度大小 (3)若将磁场的磁感应强度大小调整为 同时将一足够大的荧光屏垂直x轴放置，屏中心O'到O点的距离为2L。求粒子打在荧光屏上的位置的坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知粒子在匀强电场中做类平抛运动，x方向有 y方向有 解得 （2）粒子经过O点时沿y轴方向的速度 粒子在磁场中在平面内做圆周运动，有 粒子运动轨迹在平面内的投影如图所示 由几何关系可知粒子的轨迹半径 解得 （3）粒子在磁场中做圆周运动有 解得 粒子做圆周运动的周期 同时沿x轴做匀速直线运动，所以 所以粒子垂直z轴沿方向离开磁场区域，经过 后落到荧光屏上，粒子运动轨迹在平面内的投影如图所示 所以粒子落到荧光屏上位置的z坐标 y坐标 所以该位置的坐标为 例2．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图所示，直角坐标系的第二象限内有沿轴负方向的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子，从点以速度水平向右射出，经电场偏转后从点进入第四象限，不计粒子重力，求： (1)电场强度的大小； (2)带电粒子从点进入第四象限的速度大小和方向； (3)在第一、三、四象限的某个矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，粒子在该磁场中偏转后能垂直轴指向点再次进入第二象限，求该矩形磁场区域的最小面积和对应的磁感应强度大小。 【答案】(1) (2)速度大小为，方向为与x轴正方向成角斜向右下 (3)最小面积为，磁场大小为 【详解】（1）粒子在第二象限做类平抛运动。水平方向（x方向）匀速运动 得运动时间 竖直方向（y方向）匀加速运动 加速度 将和代入竖直方向公式 化简得 （2）粒子到达O点时，竖直分速度 合速度大小 设速度与x轴正方向的夹角为，向下为正 解得 即速度方向为与x轴正方向成角斜向右下。 （3）粒子进入磁场后做逆时针匀速圆周运动（正电荷，磁场向里），洛伦兹力提供向心力 即 根据题意，粒子偏转后出磁场速度水平向左，匀速运动后指向P点（P纵坐标为），因此出磁场后速度沿向左，可得圆周运动出射点纵坐标为。结合几何关系（O点速度方向为向下，出射速度向左，圆心坐标为，出射点坐标为），得 即​ 将、代入得 解得 求最小矩形面积。由几何关系，矩形长为，宽为 因此面积为 将​代入得 例3．（2026·四川广元·三模）如图所示，一个位于轴上方带电的平行板电容器，极板长度为、极板间距为，电容器的右极板与轴重合且下端在原点，轴右侧有一与轴平行的虚线，在轴和虚线之间存在垂直于平面的匀强磁场，轴上方磁场方向垂直纸面向外，轴下方磁场方向垂直纸面向里。某时刻一质量为、电荷量为、不计重力的带电粒子沿轴正方向以大小为的初速度紧挨电容器左极板下端射入电容器内，经电场偏转后，粒子刚好从电容器的右极板最上端射入磁场中。 (1)计算电容器两极板间电场强度的大小； (2)若粒子从点进入磁场经轴上方磁场偏转（未到达虚线）后不会打到电容器的右极板上，求轴上方磁场的磁感应强度应满足什么条件； (3)若轴上、下磁场的磁感应强度大小之比为，粒子在轴上方做半径为的圆周运动到达轴时从点（图中未画出）进入轴下方磁场。若要粒子垂直于虚线离开磁场，计算虚线与轴之间的最短距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动 沿轴方向 ，其中   沿轴方向   联立可解得 （2）粒子到达点时的速度 解得 设粒子在点时的速度方向与轴方向夹角为,有 解得   粒子从进入磁场经磁场偏转后不会打到电容器的右极板上，需要粒子进入轴下方磁场，临界条件是粒子轨迹与轴相切，设此时粒子的运动的半径为，则粒子与轴相切时 有   粒子与轴相切时，对应磁感应强度的最大值为 有   解得 所以磁感应强度应满足 （3）当粒子在轴上方轨迹半径为时，有   在下方磁场区域内有   解得   画出粒子的运动轨迹，如图所示 在中，   即刚好为圆的直径，设粒子在点时速度方向与轴负方向成角，根据几何关系 可知   由轨迹可知，粒子有可能在轴上方或下方垂直打在上，也有可能上下转动多次后打在上。 圆心到轴的距离 圆对应轨迹到轴的最远距离 因，可知不可能位于位置。 只有当位于位置时，粒子在轴的上方垂直打到上，刚好满足题设条件的最短距离。   注：判断粒子从哪一个位置离开磁场给1分。 根据几何关系可知三个圆心组成的为等边三角形 最短距离 变式1．（2026·重庆永川·二模）如图所示，在光滑绝缘水平面上建立直角坐标系，足够长的收集板置于y轴上。在y>0区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场。绝缘挡板MN表面光滑，长度L=2 m。一质量m=0.1 kg，电荷量q=0.1 C的带正电小球紧贴挡板放置，初始位置与M端的距离为d。现用挡板推动小球沿y轴正方向运动，运动中挡板始终平行于x轴，小球紧贴挡板。进入磁场后，挡板保持速度沿y轴正方向做匀速直线运动，经过一段时间带电小球离开挡板M端。小球可视为质点，运动中带电量保持不变，且到达收集板立即被收集。 (1)当d=1.25 m时，求带电小球离开挡板M端时的速度大小v； (2)调节挡板M端与y轴距离为时，无论d多大，都可以让小球垂直打在收集板上。 ①求； ②求小球垂直打在收集板上的位置坐标y与d之间的函数关系。 【答案】(1)3m/s (2)①2m；②（0≤d≤2m） 【详解】（1）进入磁场后，小球做匀加速运动，根据牛顿第二定律有 解得 离开挡板时，沿挡板方向速度为 离开挡板时，小球速度大小为 （2）①由题可知，无论d多大，小球都能垂直打在收集板上，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 根据几何关系可得 ②小球离开挡板前，根据 解得 则有 小球离开挡板后，根据几何关系有 根据几何关系可得y与d有关系为（0≤d≤2m） 变式2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）物理气相沉积镀膜是芯片制作的关键环节之一，该设备的结构简化如图所示， 方向足够长，晶圆 (截面为直线 ) 固定放置于 坐标系的第一象限内， 点和 点到原点 的距离均为 。OMN 区域内有匀强磁场，磁感应强度 ，方向沿 轴负方向；第二象限内有匀强电场，场强 ，方向沿 轴负方向。初速度可忽略的氩离子 (比荷 ) 经电压为 的电场加速后，从距 轴 的 点沿 轴正方向进入匀强电场 中，恰好打到位于原点 处的金属靶材并被全部吸收，靶材溅射出的带正电的金属离子 从 点沿各个方向飞入磁场区域，速度大小均为 ，并沉积在晶圆上。忽略离子重力及其离子间的相互作用力，求 (1) 点的纵坐标 ； (2)晶圆 方向上的镀膜(金属离子打中的区域) 长度; (3)打在晶圆上且用时间最短的粒子在磁场中运动轨迹的圆心角的正弦值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）氩离子先经加速电场加速，由动能定理 进入第二象限匀强电场后做类平抛运动，方向匀速 方向匀加速有 其中加速度 联立解得 （2）金属离子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力 解得 设速度方向与正方向夹角为，圆心坐标为，轨迹方程与（）联立。当时，交点为，即上最大值为（可打到点）； 当时，交点为，即上最小值为。 倾斜，镀膜长度为两点间距 （3）粒子在磁场中周期 所有粒子周期相同，运动时间 因此时间最短对应圆心角最小。弦长 最小对应弦长最短，到的最短距离为到的垂线段，即 对圆心三角形（），由余弦定理 可得 因此 变式3．（2026·广东中山·三模）如图所示，光滑的水平桌面上，平行于y轴方向放置一根空心光滑绝缘细管PQ，P端位于x轴上，管内有一质量为m、带电量为+q的小球。在第一象限内平行于x轴的虚线与x轴之间存在磁感应强度大小为B、方向垂直于桌面向下的匀强磁场，磁场区域宽度与细管长度相等，大小均为。开始时小球位于细管内P端且相对细管静止，某时刻细管PQ沿x轴正方向做匀速直线运动，以速率u进入磁场，之后在外力作用下仍保持原速做匀速运动且细管始终与y轴平行。 (1)求小球到达细管Q端时沿y轴方向的速度v1； (2)从小球进入磁场开始计时，直到到达管口Q，求管壁对小球弹力的瞬时功率P随时间t变化的表达式； (3)小球离开Q端后恰好从a点进入方向水平向左的匀强电场区域内，该区域在桌面上的边界为矩形abcd，已知ab边与虚线重合，ab=L，，从小球进入电场区域到离开的过程中，求电场力对小球做的功W与场强E的关系。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）由分析可知，小球进入磁场后，在洛伦兹力的作用下沿y轴方向从静止开始做匀加速直线运动，设其加速度为a，则根据牛顿第二定律有 解得 设细管的长度为l，则根据运动学公式有 解得小球到达细管Q端时沿y轴方向的速度为 （2）从小球进入磁场开始计时，直到到达管口Q的过程中，设小球的运动时间为t0，则根据运动学公式有 解得 小球沿y轴方向做匀加速直线运动的速度表达式为 则小球受到的洛伦兹力沿x轴方向的分力为 设管壁对小球的弹力为N，由于沿x轴方向小球受力平衡，则有 所以管壁对小球弹力的瞬时功率P随时间t变化的表达式为 （3）小球进入匀强电场区域后，沿y轴方向不受力，将以的速度做匀速直线运动；小球沿x轴方向将做匀变速直线运动，设其加速度大小为a1，则根据牛顿第二定律有 解得 若小球从cd边离开，则小球运动的时间为 同时小球在沿x轴方向的位移应满足 根据运动学公式有 联立解得 则此时电场力对小球做的功为 由分析可知，当时，小球将从bc边离开，则此时小球沿x轴方向的位移为 所以电场力对小球做的功为 当时，小球将从ad边离开，则此时小球沿x轴方向的位移为 所以电场力对小球做的功为 综上所述，电场力对小球做的功W与场强E的关系为：当时，；当时，；当时，。 考点二 带电粒子在叠加场中的运动 例1．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第二、三象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。一带正电、电荷量为、质量为的粒子从点射入磁场，速度方向与轴正方向夹角，之后粒子从点射出磁场。已知粒子在磁场中运动的时间为，静电力常量为，忽略粒子重力及磁场边缘效应，粒子可视为质点。 (1)求匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)若在平面内固定一个带负电的点电荷，粒子仍然沿（1）中的轨迹从运动到，已知此时粒子射入磁场的速度大小为，求点电荷的位置坐标和电荷量； (3)在（2）的场景下，粒子从点射出后，在一、四象限运动过程中，到点电荷的最远距离为，经过一段时间，粒子的速度方向首次与经过点时的速度方向相反。求这段时间是多少（在本问中，点电荷的电荷量可直接用表示）。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）粒子进入磁场做匀速圆周运动的速度为，由牛顿第二定律有 又有 从A到B，为圆，圆心角为，则 联立解得磁感应强度大小为 （2）因粒子仍按（1）中的轨迹做圆周运动，所以圆周运动半径及圆心不变，点电荷P必处于圆心位置，故位置坐标为，由几何关系可得 由牛顿第二定律可得 所以 （3）出磁场后，粒子仅受库仑力，洛伦兹力消失，做椭圆运动，可类比行星绕太阳做椭圆运动的规律，B点为近日点，首次与B点速度方向相反是远日点，椭圆半长轴 由类比开普勒第三定律，有 运动时间为椭圆的周期一半 故 例2．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图1所示，空间中充满一范围足够大，垂直于xOy平面（纸面）向外的匀强磁场。在的区域Ⅰ内存在场强大小为E，沿y轴正方向的匀强电场；在的区域Ⅱ内存在平行于xOy平面，场强大小和方向均未知的匀强电场（图中未画出）。一带电粒子从x轴上A点沿x轴正方向做速率为的匀速直线运动，当粒子经过坐标原点O时撤去区域Ⅰ内的电场并开始计时（）。在（未知）时刻，粒子恰好经过点，该粒子继续运动至M点的速率为零，运动至N点的速率为。不计带电粒子的重力。 (1)请判断粒子的电性，并求出匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)求粒子的比荷k及； (3)求区域Ⅱ内匀强电场的场强大小及方向； (4)、分别为粒子速度在两个坐标轴x、y方向上的分量，请在图2的坐标系中画出带电粒子在区域Ⅱ内运动的图像（画出图像即可，不要求推导过程）。 【答案】(1)带正电； (2)； (3)，方向沿y轴正方向 (4)见解析 【详解】（1）由粒子从O点开始做匀速圆周运动，根据洛伦兹力的方向可判断粒子带正电 带电粒子从A点到坐标原点做匀速直线运动，由平衡条件 解得 （2）粒子在区域Ⅰ中，时间内做匀速圆周运动，设粒子的质量为m，带电量为q，圆周运动的半径为R，半径扫过的圆心角为。由几何关系、牛顿第二定律及圆周运动的规律 解得， （3）方法1：设P、M与M、N间的电势差分别为、，分别从P到M、M到N对带电粒子列动能定理 解得 设M、N连线上的一点满足 根据匀强电场的规律，得 可见与P电势相等，根据几何关系得点坐标为 可知为等势线，故场强方向沿y轴正方向，场强大小 方法2：设区域Ⅱ内匀强电场的x轴的分量为，y轴的分量为。分别从P到M、M到N对带电粒子列动能定理 解得   可知区域Ⅱ匀强电场的方向为y轴正方向，场强大小 （4）如图所示 例3．（2026·广东·一模）芯片科技是支撑数字经济、保障产业链安全、推动人工智能等前沿领域发展的“工业粮食”，影响着国家科技实力和核心竞争力。科技小组仿照芯片生产中“电场-磁场-离子注入器”构建了如下图所示的复合场质量为m的带电粒子运动引导装置。该高为H且底面半径为R圆柱形装置的中心轴与水平面成角为θ，点P是装置底面圆周上的一点，点Q是粒子目标汇聚点。借助一定的条件，在装置内部激发出平行于轴线且方向相同的电场和磁场，其中电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。现在以点P为初始位置，射入一个电荷量为e的电子，其初速度与水平地面平行。在只激发磁场时，电子出射点为P'（图中未标出），且恰好在垂直磁场方向内部完成了n（n>1）次完整的匀速圆周运动。当同时激发电场时，电子出射点不变，在垂直磁场方向仅完成一次完整的匀速圆周运动，并在点P'处脱离装置，进入匀速漂移管，最终击中点Q完成电子注入的模拟操作，电子重力忽略不计。求该电子： (1)初速度v0； (2)脱离装置后，沿轴向最大位移y； (3)在一次实验中，由于系统不稳定导致预设粒子汇聚点Q沿轴向下移动了一小段距离，为了矫正误差，科技小组只在圆柱装置外加上场强为E₀的垂直轴向的电场使得电子恰能击中点Q，此时从射入到击中点Q全过程中，电场力对其做的功W。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，电子射入装置后，在轴线法向做匀速圆周运动，由牛顿第二定律对电子有 且 撤去电场时，电子沿轴向做匀速运动有 加上电场时，由牛顿第二定律有 此时有 解得。 （2）加上电场后，电子脱离装置沿轴向有最大位移，沿轴向由动量定理有 脱离装置后，电子将沿直线运动，由几何关系 解得。 （3）由于电子恰好能击中Q，在轴法向上，由牛顿第二定律 且 装置外电场力做功 装置内电场力做功 全过程电场力做功 解得。 变式1．（2026·江西·二模）如图所示，直角坐标系的第二、三、四象限内均存在沿轴负方向的相同匀强电场，第四象限内还存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。第一象限内存在垂直纸面向外的非匀强磁场，磁感应强度大小沿轴方向满足（、均为已知量）。比荷为的带正电粒子（不计重力）从坐标为的点以沿轴正方向、大小为的初速度开始运动，粒子恰好从坐标原点射入第四象限。粒子第一次在第四象限内运动至最低点时的速度大小为。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)第四象限内磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第二、三次穿过轴的过程中运动轨迹到轴的最远距离及该轨迹与轴所围的面积。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）粒子从点运动至坐标原点，做类平抛运动，平行于轴方向上有 平行于轴方向上有 其中 解得 （2）解法一：粒子经过坐标原点时的速度大小 设粒子第一次在第四象限内运动至最低点时到轴的距离为，有 平行于轴方向上有 解得 解法二：粒子经过坐标原点时平行于轴方向的分速度大小 将粒子经过坐标原点时的速度分解为沿轴正方向、大小为的分速度，满足 另一分速度大小 粒子在第四象限内的运动可视为沿轴方向、速度为的匀速直线运动和速率为的匀速圆周运动的合运动，粒子运动至最低点时的速度大小 解得， （3）设粒子经过坐标原点时速度方向与轴正方向的夹角为，则有 粒子第二次经过轴时速度大小仍为，平行于轴方向的分速度大小仍为，平行于轴方向的分速度大小为，方向沿轴正方向，粒子第二、三次穿过轴的过程中运动至离轴最远时，平行于轴方向的分速度大小变为0，平行于轴方向的分速度大小变为，平行于轴方向上有 其中 利用如图所示的图像可知 解得 平行于轴方向上有 其中 其中为对应轨迹与轴所围的面积，利用对称性可知，粒子第二、三次穿过轴的过程中运动轨迹与轴所围的面积 解得 变式2．（2026·安徽·模拟预测）如图所示，两块平行金属板水平放置，板长和板间距均为2d，两板之间存在竖直向上的匀强电场。极板右侧空间存在范围足够大的匀强磁场B，磁场方向垂直纸面向外。极板左侧有一束宽度为2d，均匀分布的离子束以相同的初速度沿着平行于金属板的方向射入电场，已知离子质量均为m，电荷量均为，离子碰到极板立即被吸收，且不考虑电场的变化，进入电场的粒子有50%能从电场射出。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子重力和金属板厚度，忽略电场的边缘效应。 (1)要使离子能沿直线通过两极板间的电场，可在极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场，求的大小； (2)若两极板间仅有电场，从电场中射出的粒子经磁偏转后能全部回到电场中，求磁感应强度的取值范围； (3)若磁感应强度的B大小取（2）中的最小值，求从正极板边缘射入的离子，在电磁场中运行时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）有50%离子射出，对于临界粒子在电场中水平方向有 竖直方向有， 沿直线运动满足 联立解得 （2）离子射出电场时竖直速度 射出速度 射出时速度偏转角度 由洛伦兹力提供向心力知 全部回到电场满足几何关系 联立解得 （3）容易判断第二次目标离子无法离开电场，轨迹如下图所示 第一次在电场中 第二次在电场中，， 解得 在磁场中运动时间 综合知在电磁场中运动的时间 变式3．（2026·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，存在三个区域。在Ⅰ区内，存在与y轴负方向成的匀强电场、场强大小为E；在Ⅱ区内，存在沿x轴正方向的匀强电场、场强大小为E，同时始终受到一个与运动方向相反、大小为的阻力。在Ⅲ区内，存在沿x轴负方向的匀强电场、场强大小为E，同时还存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场、磁感应强度大小为。现从A点（位于y轴上）由静止释放一个质量为m、电荷量为的带电粒子，粒子沿直线运动经过B点，然后再沿曲线运动到C点。经过B点时速度大小为，B点位于Ⅰ区、Ⅱ区的边界上，且与x轴的距离；C点位于x轴上，且在Ⅱ区、Ⅲ区的边界上。不计粒子重力。求： (1)粒子在Ⅰ区中运动的时间； (2)粒子经过C点时的速度大小及方向； (3)粒子经过C点后在Ⅲ区内运动的最小速度，以及离C点的最大水平距离。 【答案】(1) (2)，与x正方向成45度 (3)0， 【详解】（1）粒子从做匀加速直线运动，则有， 解得 （2）粒子从B进入Ⅱ区后水平方向上有 故水平方向做匀速直线运动，达C点时水平方向速度为 粒子从B进入Ⅱ区，从B到C竖直方向由动量定理有 其中 代入解得 根据速度的合成有 方向与x正方向成45度 （3）粒子从C进入Ⅲ区后可分解为竖直向下的匀速直线运动和逆时针的匀速圆周运动，则 可得，方向竖直向下 故匀速圆周运动的速度 可得，方向水平向右 对于圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有 可得 当圆周运动个周期时，此时合速度最小，离C点的水平距离最远，此时 最大水平距离 2 学科网（北京）股份有限公司 $带电粒子在组合场中的运动、带电粒子在叠加场中的运动专项训练 带电粒子在组合场中的运动、带电粒子在叠加场中的运动专项训练 考点目录 带电粒子在组合场中的运动 带电粒子在叠加场中的运动 考点一 带电粒子在组合场中的运动 例1．（2026·河北沧州·一模）空间有一边长为L的立方体 ，O为 的中点，以O为原点建立空间坐标系O-xyz，AB、AD和分别平行x轴、y轴和z轴。在立方体内存在沿x轴负方向、磁感应强度大小为 （未知）的匀强磁场，在x<0区域存在沿y轴正方向的匀强电场。质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子从M点（图中未画出）以沿x轴正方向的初速度射出，M点的坐标为粒子刚好从O点进入匀强磁场区域。已知不计粒子重力和空气阻力。 (1)求匀强电场的电场强度的大小； (2)若该粒子刚好经过CD直线，求磁感应强度大小 (3)若将磁场的磁感应强度大小调整为 同时将一足够大的荧光屏垂直x轴放置，屏中心O'到O点的距离为2L。求粒子打在荧光屏上的位置的坐标。 例2．（2026·安徽阜阳·模拟预测）如图所示，直角坐标系的第二象限内有沿轴负方向的匀强电场。一质量为、电荷量为的带正电粒子，从点以速度水平向右射出，经电场偏转后从点进入第四象限，不计粒子重力，求： (1)电场强度的大小； (2)带电粒子从点进入第四象限的速度大小和方向； (3)在第一、三、四象限的某个矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，粒子在该磁场中偏转后能垂直轴指向点再次进入第二象限，求该矩形磁场区域的最小面积和对应的磁感应强度大小。 例3．（2026·四川广元·三模）如图所示，一个位于轴上方带电的平行板电容器，极板长度为、极板间距为，电容器的右极板与轴重合且下端在原点，轴右侧有一与轴平行的虚线，在轴和虚线之间存在垂直于平面的匀强磁场，轴上方磁场方向垂直纸面向外，轴下方磁场方向垂直纸面向里。某时刻一质量为、电荷量为、不计重力的带电粒子沿轴正方向以大小为的初速度紧挨电容器左极板下端射入电容器内，经电场偏转后，粒子刚好从电容器的右极板最上端射入磁场中。 (1)计算电容器两极板间电场强度的大小； (2)若粒子从点进入磁场经轴上方磁场偏转（未到达虚线）后不会打到电容器的右极板上，求轴上方磁场的磁感应强度应满足什么条件； (3)若轴上、下磁场的磁感应强度大小之比为，粒子在轴上方做半径为的圆周运动到达轴时从点（图中未画出）进入轴下方磁场。若要粒子垂直于虚线离开磁场，计算虚线与轴之间的最短距离。 变式1．（2026·重庆永川·二模）如图所示，在光滑绝缘水平面上建立直角坐标系，足够长的收集板置于y轴上。在y>0区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场。绝缘挡板MN表面光滑，长度L=2 m。一质量m=0.1 kg，电荷量q=0.1 C的带正电小球紧贴挡板放置，初始位置与M端的距离为d。现用挡板推动小球沿y轴正方向运动，运动中挡板始终平行于x轴，小球紧贴挡板。进入磁场后，挡板保持速度沿y轴正方向做匀速直线运动，经过一段时间带电小球离开挡板M端。小球可视为质点，运动中带电量保持不变，且到达收集板立即被收集。 (1)当d=1.25 m时，求带电小球离开挡板M端时的速度大小v； (2)调节挡板M端与y轴距离为时，无论d多大，都可以让小球垂直打在收集板上。 ①求； ②求小球垂直打在收集板上的位置坐标y与d之间的函数关系。 变式2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）物理气相沉积镀膜是芯片制作的关键环节之一，该设备的结构简化如图所示， 方向足够长，晶圆 (截面为直线 ) 固定放置于 坐标系的第一象限内， 点和 点到原点 的距离均为 。OMN 区域内有匀强磁场，磁感应强度 ，方向沿 轴负方向；第二象限内有匀强电场，场强 ，方向沿 轴负方向。初速度可忽略的氩离子 (比荷 ) 经电压为 的电场加速后，从距 轴 的 点沿 轴正方向进入匀强电场 中，恰好打到位于原点 处的金属靶材并被全部吸收，靶材溅射出的带正电的金属离子 从 点沿各个方向飞入磁场区域，速度大小均为 ，并沉积在晶圆上。忽略离子重力及其离子间的相互作用力，求 (1) 点的纵坐标 ； (2)晶圆 方向上的镀膜(金属离子打中的区域) 长度; (3)打在晶圆上且用时间最短的粒子在磁场中运动轨迹的圆心角的正弦值。 变式3．（2026·广东中山·三模）如图所示，光滑的水平桌面上，平行于y轴方向放置一根空心光滑绝缘细管PQ，P端位于x轴上，管内有一质量为m、带电量为+q的小球。在第一象限内平行于x轴的虚线与x轴之间存在磁感应强度大小为B、方向垂直于桌面向下的匀强磁场，磁场区域宽度与细管长度相等，大小均为。开始时小球位于细管内P端且相对细管静止，某时刻细管PQ沿x轴正方向做匀速直线运动，以速率u进入磁场，之后在外力作用下仍保持原速做匀速运动且细管始终与y轴平行。 (1)求小球到达细管Q端时沿y轴方向的速度v1； (2)从小球进入磁场开始计时，直到到达管口Q，求管壁对小球弹力的瞬时功率P随时间t变化的表达式； (3)小球离开Q端后恰好从a点进入方向水平向左的匀强电场区域内，该区域在桌面上的边界为矩形abcd，已知ab边与虚线重合，ab=L，，从小球进入电场区域到离开的过程中，求电场力对小球做的功W与场强E的关系。 考点二 带电粒子在叠加场中的运动 例1．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第二、三象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场。一带正电、电荷量为、质量为的粒子从点射入磁场，速度方向与轴正方向夹角，之后粒子从点射出磁场。已知粒子在磁场中运动的时间为，静电力常量为，忽略粒子重力及磁场边缘效应，粒子可视为质点。 (1)求匀强磁场的磁感应强度的大小； (2)若在平面内固定一个带负电的点电荷，粒子仍然沿（1）中的轨迹从运动到，已知此时粒子射入磁场的速度大小为，求点电荷的位置坐标和电荷量； (3)在（2）的场景下，粒子从点射出后，在一、四象限运动过程中，到点电荷的最远距离为，经过一段时间，粒子的速度方向首次与经过点时的速度方向相反。求这段时间是多少（在本问中，点电荷的电荷量可直接用表示）。 例2．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图1所示，空间中充满一范围足够大，垂直于xOy平面（纸面）向外的匀强磁场。在的区域Ⅰ内存在场强大小为E，沿y轴正方向的匀强电场；在的区域Ⅱ内存在平行于xOy平面，场强大小和方向均未知的匀强电场（图中未画出）。一带电粒子从x轴上A点沿x轴正方向做速率为的匀速直线运动，当粒子经过坐标原点O时撤去区域Ⅰ内的电场并开始计时（）。在（未知）时刻，粒子恰好经过点，该粒子继续运动至M点的速率为零，运动至N点的速率为。不计带电粒子的重力。 (1)请判断粒子的电性，并求出匀强磁场的磁感应强度大小B； (2)求粒子的比荷k及； (3)求区域Ⅱ内匀强电场的场强大小及方向； (4)、分别为粒子速度在两个坐标轴x、y方向上的分量，请在图2的坐标系中画出带电粒子在区域Ⅱ内运动的图像（画出图像即可，不要求推导过程）。 例3．（2026·广东·一模）芯片科技是支撑数字经济、保障产业链安全、推动人工智能等前沿领域发展的“工业粮食”，影响着国家科技实力和核心竞争力。科技小组仿照芯片生产中“电场-磁场-离子注入器”构建了如下图所示的复合场质量为m的带电粒子运动引导装置。该高为H且底面半径为R圆柱形装置的中心轴与水平面成角为θ，点P是装置底面圆周上的一点，点Q是粒子目标汇聚点。借助一定的条件，在装置内部激发出平行于轴线且方向相同的电场和磁场，其中电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。现在以点P为初始位置，射入一个电荷量为e的电子，其初速度与水平地面平行。在只激发磁场时，电子出射点为P'（图中未标出），且恰好在垂直磁场方向内部完成了n（n>1）次完整的匀速圆周运动。当同时激发电场时，电子出射点不变，在垂直磁场方向仅完成一次完整的匀速圆周运动，并在点P'处脱离装置，进入匀速漂移管，最终击中点Q完成电子注入的模拟操作，电子重力忽略不计。求该电子： (1)初速度v0； (2)脱离装置后，沿轴向最大位移y； (3)在一次实验中，由于系统不稳定导致预设粒子汇聚点Q沿轴向下移动了一小段距离，为了矫正误差，科技小组只在圆柱装置外加上场强为E₀的垂直轴向的电场使得电子恰能击中点Q，此时从射入到击中点Q全过程中，电场力对其做的功W。 变式1．（2026·江西·二模）如图所示，直角坐标系的第二、三、四象限内均存在沿轴负方向的相同匀强电场，第四象限内还存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。第一象限内存在垂直纸面向外的非匀强磁场，磁感应强度大小沿轴方向满足（、均为已知量）。比荷为的带正电粒子（不计重力）从坐标为的点以沿轴正方向、大小为的初速度开始运动，粒子恰好从坐标原点射入第四象限。粒子第一次在第四象限内运动至最低点时的速度大小为。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)第四象限内磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第二、三次穿过轴的过程中运动轨迹到轴的最远距离及该轨迹与轴所围的面积。 变式2．（2026·安徽·模拟预测）如图所示，两块平行金属板水平放置，板长和板间距均为2d，两板之间存在竖直向上的匀强电场。极板右侧空间存在范围足够大的匀强磁场B，磁场方向垂直纸面向外。极板左侧有一束宽度为2d，均匀分布的离子束以相同的初速度沿着平行于金属板的方向射入电场，已知离子质量均为m，电荷量均为，离子碰到极板立即被吸收，且不考虑电场的变化，进入电场的粒子有50%能从电场射出。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子重力和金属板厚度，忽略电场的边缘效应。 (1)要使离子能沿直线通过两极板间的电场，可在极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场，求的大小； (2)若两极板间仅有电场，从电场中射出的粒子经磁偏转后能全部回到电场中，求磁感应强度的取值范围； (3)若磁感应强度的B大小取（2）中的最小值，求从正极板边缘射入的离子，在电磁场中运行时间。 变式3．（2026·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，存在三个区域。在Ⅰ区内，存在与y轴负方向成的匀强电场、场强大小为E；在Ⅱ区内，存在沿x轴正方向的匀强电场、场强大小为E，同时始终受到一个与运动方向相反、大小为的阻力。在Ⅲ区内，存在沿x轴负方向的匀强电场、场强大小为E，同时还存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场、磁感应强度大小为。现从A点（位于y轴上）由静止释放一个质量为m、电荷量为的带电粒子，粒子沿直线运动经过B点，然后再沿曲线运动到C点。经过B点时速度大小为，B点位于Ⅰ区、Ⅱ区的边界上，且与x轴的距离；C点位于x轴上，且在Ⅱ区、Ⅲ区的边界上。不计粒子重力。求： (1)粒子在Ⅰ区中运动的时间； (2)粒子经过C点时的速度大小及方向； (3)粒子经过C点后在Ⅲ区内运动的最小速度，以及离C点的最大水平距离。 2 学科网（北京）股份有限公司 $