4.1 数列的概念（第2课时）教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 4.1《数列的概念》（第2课时）教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“数列”主题，学生应能够：理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的项；理解数列的前 项和的概念，掌握由 求 的方法，并能运用这些知识解决简单问题. 课标分析： 本节课是数列概念的深化，在第1课时学习了数列的定义、通项公式及分类的基础上，进一步学习递归表示方法——递推公式，以及数列的前 项和.课标强调“理解”和“掌握”，教学中应从实际问题（如谢尔宾斯基三角形、闯关游戏能量累加）出发，引导学生发现相邻项之间的关系，抽象出递推公式.重点在于递推公式的意义、由递推公式求数列的项，以及由前 项和 求通项公式 的分段形式.难点是正确运用 并注意 的单独验证.本节课对培养逻辑推理、数学运算和数学建模素养具有重要作用. 2、 教材分析 “数列的概念（第2课时）”是人教A版选择性必修第二册第四章第1节的后续内容.教材在第1课时介绍数列定义、通项公式的基础上，第2课时引入递推公式（表示相邻项关系）以及前 项和的概念.教材通过谢尔宾斯基三角形（着色三角形个数的递推关系）和吉普赛人“读心术”等实例，让学生体会递推公式的实用性，并给出由递推公式求通项公式的初步认识（不完全归纳）.教材还通过例题和练习，训练学生由 求 的分段方法，以及由递推公式求项、找周期等.本节内容是后续学习等差数列、等比数列递推公式的基础. 3、 学情分析 学生已经掌握了数列的定义、通项公式及数列的基本分类，能够由通项公式求任意项，也能由前几项归纳出简单数列的通项公式.但是，用递推公式（如 ）表示数列对学生来说较为新颖，他们需要理解递推公式需要知道初始项才能确定整个数列.此外，由 求 的公式 容易忘记检验 的情况，导致答案不完整.数列的周期性也是难点，需要多练习.教师应通过具体案例和分层练习，帮助学生掌握这些新概念. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从谢尔宾斯基三角形、能量累加等实例中抽象出递推公式的概念，理解递推公式是表示数列的一种方法. 1. 逻辑推理素养：能根据递推公式和初始条件，推导出数列的后续项；能利用递推关系寻找数列的周期性；能由 与 的关系推导通项公式，并注意分类讨论. 1. 数学运算素养：能熟练进行递推公式中的代数运算，能准确运用 求通项，并能处理含有 的方程. 1. 直观想象素养：通过谢尔宾斯基三角形的图形变化理解递推的几何意义，通过数列项的迭代过程感受递推的“链条”特征. 1. 数学建模素养：能将实际情境中的累加、递归问题抽象为递推数列模型，并能利用递推公式或前 项和进行求解. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：递推公式的概念及由递推公式求数列的项；由数列的前 项和 求通项公式 的方法. 1. 难点：理解递推公式需要初始条件才能唯一确定数列；由 求 时，注意 时单独处理，结果要写成分段形式；根据递推公式找出数列的周期. 6、 教学过程 教师活动 1. 展示预习问题： （1）如果一个数列的相邻两项（或更多项）之间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做这个数列的______. 答案：递推公式. （2）已知数列 满足 ，（），则 ______，______. 答案：；. （3）数列 的前 项和记为 .当 时，有 ______；当 时，______. 答案：；. （4）已知数列 的前 项和 ，则 ______，______，______. 答案：；；. 2. 请学生回答，教师点评并强调由 求 时 单独检验. 环节二：引入课题 （一）温故知新（3分钟） 1. 教师提问： (1) 上节课我们学习了数列的概念和通项公式.请说出数列 的一个通项公式. (2) 学生回答：. (3) 追问：如果已知第一项 ，且知道 ，能否写出第2项、第3项？如何写出？ 2.引入新概念——递推公式. 环节三：合作探究 1. 递推公式的概念与理解（5分钟） 教师展示谢尔宾斯基三角形图案（第1个图有1个着色三角形，第2个图有3个，第3个图有9个，第4个图有27个）. 提出问题：如何描述相邻图形中着色三角形个数的关系？ 学生发现：每个图中着色三角形个数是前一个图的3倍.即 ，（）. 教师定义：像这样表示数列相邻项之间关系的式子叫做递推公式.递推公式通常需要给出初始条件（如 的值）才能唯一确定数列. 举例：闯关游戏初始能量5点，每关能量更新为“前一关能量×3+2”，则 ，（）. 学生计算 ，，体会递推公式的作用. 2. 由递推公式求数列的项及周期性（5分钟） 教师给出递推公式 ，，让学生计算 . 计算：； 无意义？这里需要说明分母不能为零，所以数列可能终止或调整.改用常见周期例子：，，计算几项找出可能的不明显规律.或者用：，？计算：，，，发现周期为3. 教师总结：有些递推数列具有周期性，先求出前几项，观察规律，再推导结论. 3. 数列的前 项和与通项的关系（5分钟） 教师给出定义：数列 的前 项和 . 当 时，；当 时，. 强调：此公式是求通项的重要方法，但务必验证 是否满足 时的表达式，否则要写成分段形式. 例：已知 ，求 . 解：当 ，； ，. 检查 时，，不等于3，所以 . 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：已知数列 满足 ，，求 . 解：；；. 例2：已知数列 的前 项和 ，求 . 解：当 ，； 当 ，. 验证 ，，所以 ，. 例3：已知数列 满足 ，（），求 ，并猜想通项公式. 解：；；. 猜想 . 2. 综合练习（7分钟） 例4（多选题）：下列说法正确的有（ ） A. 递推公式必须给出初始条件才能唯一确定一个数列 B. 若数列 的前 项和 ，则 C. 由递推公式 和 可以写出斐波那契数列 D. 若 ，则 答案：A、B、C、D 解析：A正确；B中，；当 ，，且 时 也成立，所以B正确.D：，，；，，当时，但，，正确.所以D正确.因此全对. 例5：已知数列 中，，（），求 ，并写出该数列的一个通项公式（可猜想）. 解：； ； . 猜想 （验证 得 2，正确）？：，：，：，成立.因此 . 例6：已知数列 的前 项和 ，求通项公式 . 解：当 ，； 当 ，. 验证 ，，与 一致，所以 . 例7：已知数列 满足 ，且对于任意 有 ，求 ，并判断数列是否具有周期性（不要求求通项）. 解：； ； . 没有明显周期，继续计算可能会发散，不是周期数列. 例8：已知数列 的前 项和 ，求通项公式 . 解：当 ，； 当 ，. 验证 ：，与 相同，所以 ，. . 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容： (1) 递推公式的定义及作用（已知初始项，可逐项推出所有项）. (2) 由递推公式求数列的项（注意运算准确，有时可发现周期性）. (3) 数列的前 项和 与通项 的关系：. (4) 由 求 时，要检验 是否满足 的表达式. 2. 教师强调： (1) 递推公式与通项公式是数列的两种不同表示方法，递推公式更“过程化”，通项公式更“结果化”. (2) 由 求 是常见题型，务必写出分段形式（除非验证后能合并）. 环节六：布置作业 1. 书面作业： (1) 完成课本第9页习题4.1第4、5题（三角形数、正方形数、五边形数的第5、6项）. (2) 配套课时达标检测《数列的概念（第2课时）》. 1. 拓展作业： (1) 已知数列 满足 ，，试求前5项，并猜想通项公式. 1. 预习引导： 预习下一节“等差数列”，思考从第2项起，每一项与它的前一项的差为常数的数列特征. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课通过谢尔宾斯基三角形和闯关游戏等实例，学生较好地理解了递推公式的概念，并能由递推公式和初始条件逐项求值.在前 项和公式中，通过正反例题，重点训练了 的使用，学生对分段形式有了清晰认识.练习中设计了周期性数列、分式递推以及 求 等问题，学生参与积极.不足之处：部分学生在由递推公式求项时，代数运算不够熟练，导致后续项出错；另外，对于 含有指数等复杂形式时，化简过程容易出错.后续需加强运算训练，并进一步通过实例巩固由 求 的方法.整体上，本节课为后续等差数列、等比数列的递推表示打下了基础. 学科网（北京）股份有限公司 $