黑龙江齐齐哈尔市实验中学等校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

高一数学参考答案、提示及评分细则 1.B(2-4i)i=4+2i,所以(2-4i)i的虚部为2.故选B. 2.A由a⊥b,得a·b=3(m十1)-2m=0,解得m=-3.故选A. 3D由A,B.C∈0，)A:B:C-11:4,且A+B+C=x则A=吾B=吾C-所以a:6:6=mA:smB: mC-分：古：号-11放选D 4.A因为函数y=60s6ax的最小正周期为xw=6a,则T=沿=元，即a=士宁必要性不成立：当a=专时，y co2,因为w=2.所以T=x,充分性成立，所以“a=号”是“y=c0s60x的最小正周期为元”的充分不必要条件.故选A 5.C因为复数-2+i是关于x的方程x2十px十q=0的一个根，所以(-2+i)2+p(-2十i)十q=0,即3-2p十q十 3-2p十9=0， (p-4)i=0,所以3 解得p=4,g=5,所以2p-q=3.故选C. (p-4=0, 6B因为6《一3.4).所以6=一3》牛F=5,所以向量a在向量b上的投影向量为6·6写子0(-34) (号，-)故选B 7.Df(x)=sin(ot-若）sin(ar+5）=sim(er-若)cos(aur-晋）=2sin(2aur-吾)(w>0),当0<x<受时， 音<2一吾<om一晋，因为fx)在(0，受)上单调递增，则om否<受，解得<名，所以0<w<名.故选D &A由s可知∠Pa0=45∠PB0=37,∠P0-0,则OA=aO-0P,OB=057=号0P,0C-O0 tan30°- √3OP,由余弦定理，得OA=AB+OB-2 ABXOBcos∠ABO,OC=BC+OB-2 BCXOBcos,∠OBC,又AB=BC= 100.cos∠AB0+os∠0BC=0,丙式相加，得0A+0C=2(AB+0B),即0P+30P=2(10000+5oP),解得 OP=150√2.故选A. 9.AC由零向量的定义可知A正确；向量可以用有向线段表示，不能说向量是有向线段，B错误；由向量相等的定义可知 C正确；若a,b是共线的单位向量，则a=b或a=一b,D错误.故选AC. 10.ABD设复数a1=a十i,2=c十di,a,b,c,d∈R,则=a-i,则1十=2a,为实数，故A正确；||= √a2十(-b),|x1=√a十b,则引=ǎ，故B正确：若1ǎ=|2，不妨取=3十4i,2=4十3i,则1=土x2不 成立，故C错误；2=(c十di)(a-bi)=ac+bd+(ad-bc)i,则|z2|=√(ac+bd)2+(ad-bc)= V(a2+6)(c2+d),2=(c+di)(a+bi)=ac-bd+(bc+ad)i,=(ac-bd)2+(ad+bc)2= √(a+b)(c2+d),则z2=z2,故D正确.故选ABD 11.AC对于A,因为sin&=sin(a+B-B)=sin(a+B)cosB-cos(a+B)sinB,又sina=cos(a十B)sinB,所以 sin(a十B)cosB=2cos(a+B)sinB,则tan(a十B)=2tanB,故A正确；对于BCD,令tanB=t,则tan(a+B)=2tanB= 【高一期中·数学参考答案第1页（共4页）】 QQHE 2因为e4底（0，受)-所以m0.测0，所以ma=m[a十9-们-”》导2 1 2V/2.L ，当且仅当2=，即1一号，am9号，m(e十B)=反时取等号，所以m有最大值号，故C正确， 4 t BD错误.故选AC. 12.一3x(答案不唯一形如0=（一2-3），kEN的角都满足题意)因为f(x)是偶函数，所以号=kx十乏，k∈Z.0= 2 2kπ十π，k∈Z,因为0-π，所以0的一个值为-3元 13.√3如图，作点C关于线段OQ,OP所在的直线的对称点C1,C2,连接BC,AC2,由图形的对称性 知BC1=BC,AC2=AC,OC1=OC=OC2,∠COQ=∠QOC,∠COP=∠POC2,则∠C1OC2= 2∠QOP-,△ABC的周长Cr-CB+BA+AC,≥CC,当且仅当C,B,A.C四点共线时 取等号.CC=V0C+0C-20G·0C·os☑C0C=√1+1-2X1X1×(-2）=5, △ABC的周长的最小值是√3. 14.23如图，对任意1R,都有1O范-1OA1≥A,令Oi=元，则1C1≥|，则店⊥ AC,即AB⊥OA,所以1A?+1OA2=|O2=6,由基本不等式得(|A+1OA1)2≤ 2(|A?+1O2)=12,当且仅当A1=|Oi时，等号成立，所以A+1O≤23. 15.解：(1)由a=(2,3),a十2b=(0,7),得(2,3)十2b=(0,7),解得b=(-1,2).…3分 所以a·b=(2,3)·(-1,2)=2×(-1)十3×2=4. …5分 (2)ka-b=(2k,3k)-(-1,2)=(2k+1,3k-2), 7分 2a+b=2(2,3)+(-1,2)=(3,8),… …9分 因为ka一b与2a十b共线，所以8(2k十1)-3(3k-2)=0,… 11分 解得k=一2. 13分 16.解：(1)复数之在复平面内对应的点为(2m十3，m一1) 2m+3>0, 又复数x在复平面内对应的点位于第四象限，所以 4分 m-10, 解得一号<m<1,即实数m的取值范围是（一，1）小 …7分 (2)由题意知x+32=2m+3+(m-1)i+3[2m+3-(m-1)i门=4(2m十3)-2(m-1)i=n+4i, 4(2m十3)=n, 所以 10分 -2(m-1)=4, 解得m=一1,1=4，… 12分 所以g年40-82-务是 252525 所以+细-√（尝》+(）- 5 15分 【高一期中·数学参考答案第2页（共4页）】 QQHE 17.解：1)设f(x)的最小正周期为T,则3T-登-（一晋）=3不，所以T=,w祭=2。 又A=2,所以f(x)=2cos(2x十p).… …3分 由f(x)的图象过点(-子，-2），得f(-5)=2c0s(-+)=-2.则-2+9=-x+2kx(k∈ZD, 所以p=2km-于（∈Z),又p<受，所以9=-于， 所以fx)=2os(2x-子)： ……5分 (2)令2kr<2x-哥<元十2kx（∈ZD,解得吾+km≤x<+kk∈D, 所以f(x)的单调递减区间为[吾十kx,十km]k∈Z。… 8分 (3)由题可知g)=2co[2(x+至）-否]=2cos(2x+君)： 10分 令2x+答=，则当x∈[0，m]时，=2x+吾∈[答，2m+否]， 由2cos1=1,得c0s1=号，解得1=土号+2kx(k∈D.… 04044440444444 12分 函数y一g()-1在[0m]上恰有三个零点，等价于函数y=cos1的图象与直线y=号在[吾，2m十若]上恰有三个 交点， 所以+2x2m+吾<+4解得≤m<。 则实数m的取值范围是[牙)。 …15分 18,解：1)由题意可知-i+A亦+Di=-A成+Aò+A成=（令-1）成+Aò， …2分 AQ=Ai+BQ-Ai+uBC=Ai+u(BA+AD+DC)=AB+(-号Ai+AD)=(1-号)AB+AD.…4分 (2若X=号=合，前=-吾A+Ai.A0A+2AD, 设A心=xAà，元=yB前0,1).则心-+号A市.心=店+y市。 又AG=AB+B亦-A店-A店+A市-(1-8)aB+Aò， …7分 6 （x7 因为AB,AD不共线，所以 解得 (y= 3 7 所以成=成所以器子 10分 3)由题意可知os∠DAB三AB-CD) AD 2， 11分 若x+4=1.则A-AD+D-Ai+2A店-AD+1与A. P-à-A护=(1-号)AB+ò-A-12店=2成+-1DAò， 13分 【高一期中·数学参考答案第3页（共4页）】 QQHE P0=√（号Ai+(-1DAD)'-V1A:+2X号×(-1aB1Acos∠DAB+(:-1)1AD V√什×4+2XX(u-1DX2X4X+g-1D2X2g=2-+1,… 15分 当o1)时4-+1=(-)'+∈[).则2-∈[3,2). 所以|PQ的取值范围为[√3,2). 17分 19.(I)证明：因为D是AB边上靠近B的三等分点，所以Cd-Ci+号A亦-C+号C市-C)-号Ci+号C市。 所以c市=(}CA+号c. 设△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则1C方=D=号c, 所以ge=8+号d2+专acos∠ACB.即2=+4d+4lcos∠ACB,…3分 在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b-2 abcos∠ACB, 所以a2十b-2 abcos∠ACB=十4a2+4 abcos∠ACB,化简得-a=2bcos∠ACB,…4分 即BC+2ACc0s∠ACB=0.… …5分 (2)解：(i)在△ACD中，由余弦定理得AD=AC+CD-2·AC·CD·cOs∠ACD, 所以3=AC+CD-AC·CD>2AC·CD-AC·CD=AC·CD,当且仅当AC=CD,即△ACD为等边三角形时等号 成立， 所以AC·CD≤3， 8分 所以SAABC= 2 8 △ABC的面积的最大值为，3 8· 10分 (i)在△ACD中，由正弦定理，得CD= AC AD sin A sin∠ADC sin∠ACD 3=2, 所以CD=2sinA,AC=2sin∠ADC=2sin(-A=5cosA+sinA, 11分 因为∠ADC+∠BDC=π，所以cos∠ADC+cos∠BDC=0, 由余弦定理，得ADDGAC+BDDCBC-O, 2AD·DC 2BD·DC 将AD=2BD=3代人上式，化简得BC=号十号CD-号AC2,13分 所以BCe=号+2×4sinA含3cosA十smA》=号+6simA号osA-言mA-5 cos Asin A. =+7snA-5 cs AsinA-号-子os2A9n2A=7-V15im(2A+g.其中am975,…15分 当2A+?号，即sm(2A十g)=1时，BC取得最小值号-3， 即BC的最小值为⑧一2 2 …17分 【高一期中·数学参考答案第4页（共4页）】 QQHE高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时问120分钟。 2.答題前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔在答题卡上各题的答题区城内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人救A版必修第一册第五章第4一7节，必修第二册第六章一第七章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.(2一4i)i的虚部为 A.2i B.2 C.-2i D.4 2.已知向量a=(m十1,2)，b=(3,一m),若a⊥b,则m= A.-3 B.0 C.3 D.4 3.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A:B:C=1:1:4,则a:b:c= A1:1:4 B.1:1:2 C.2:√5：1 D.1:1:3 4.“a=号”是“函数y=cos6ax的最小正周期为元”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知p,9∈R,复数一2+i是关于x的方程x2+px十q=0的一个根，则2p一q的值为 A.5 B.4 C.3 D.2 6.已知向量a,b满足a·b=一20，且b=(一3,4)，则向量a在向量b上的投影向量为 A.(-12,16) B(得-》 c(-号) D.(12,-16) 7.已知函数f(x)=sin(ax一)sin(ux+)(w>0)在(o,)上单调递增，则w的取值范围是 A(0,号] B(o,是] c(o,号] D(o8] 【高一期中·数学第1页（共4页）】 QQHE CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 8.如图，公路一侧有一幢楼OP,公路与楼底O在同一平面上，小明在公路上行 走，在点A处测得楼顶P的仰角为45°，行走100米到达B处，测得楼顶P的 楼 仰角为37°，再行走100米到达点C处，测得楼顶P的仰角为30°，则楼OP的 高为 公路 A B 参考数据：tan37°≈星 A.150√2米 B.1503米 C.300米 D.300√2米 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.关于平面向量，下列说法正确的是 A.零向量的长度是0 B.向量是有向线段 C,若a=b,b=c,则a=c D.若a,b是共线的单位向量，则a=b 10.已知复数之心2，为之1的共轭复数，则下列结论一定成立的是 A.名十为实数 B.zl= C若引之|=|之21，则必=士2 D.|z2z1|=|z2z1 1.已知a,e(o,),且sina=cos(a+)sin,则以下结论正确的是 A.tan(a+)=2tan月 Bana有最大值号 Cana有最大值2 Dna有最小值号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12已知fx)=司i血Z生9(0<-)是偶函数，则0的一个值是」 13.如图，已知扇形OPQ的半径为1，圆心角为牙，点A,B,C分别是半径OP,OQ及弧PQ上的三个动点 (不同于O,P,Q三点)，则△ABC的周长的最小值是 14.已知向量OB,OA满足对任意的∈R,都有1OB-1OA|≥|AB1,若1OB1=6,则|AB|+1OA1的 最大值是 【高一期中·数学第2页（共4页）】 QQHE CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知向量a=(2,3),a+2b=(0,7). (1)求a·b: (2)当k为何值时，ka一b与2a十b共线？ 16.(本小题满分15分) 已知m∈R,复数之=2m十3+(m一1)i. (1)若g在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围； (2)若g满足g十3=n十4i,n∈R,求 3+4的值 n-mil 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=Acos(awx十p)(A>0,w>0,|p<乏)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的单调递减区间； (3)将f(x)的图象向左平移牙个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数 y=g(x)一1在[0，m]上恰有三个零点，求实数m的取值范围. 【高一期中·数学第3页（共4页）】 QQHE CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(本小题满分17分) 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD=2AD=4,P,Q满足DP=λDC,BQ=μBC,其中 0<<1,0<<1,BP与AQ交于点G. (1)用向量AB,AD表示B驴，A; D (2若A=日=受，求器的值， (3)若λ十μ=1，求|PQ|的取值范围. 19.(本小题满分17分) 在△ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点. (1)若CD=DB,证明：BC+2 ACcos∠ACB=0; (2)若∠ACD=5,AD=3. (I)求△ABC面积的最大值； (I)求BC的最小值， 【高一期中·数学第4页（共4页）】 QQHE CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP