精品解析：吉林长春市2026届高三下学期5月学情自测数学试题

数学试题 本试卷共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合是小于10的素数，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了多次试验，得到了试验数据的线性回归方程为，其中x（单位：个）表示加工零件的个数，y（单位：小时）表示加工零件所花费的时间，又已知试验数据的样本中心点为，估计加工1500个零件所花费的时间为（ ） A. 540小时 B. 542小时 C. 548小时 D. 600小时 5. 已知函数，则方程根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知等差数列的前项和为，若与均为定值，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 7. 为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（ ） A. 20% B. 30% C. 40% D. 50% 8. 已知函数的定义域为D，对于任意给定，都存在，使得，则称函数为“倍增友好函数”，则下列函数中不是“倍增友好函数”的是（ ）． A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则（ ） A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 10. 若双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的虚轴长是实轴长的倍 C. 双曲线与双曲线有相同渐近线 D. 以双曲线实轴和虚轴端点为顶点的椭圆的离心率为 11. 已知四面体中，，则下列说法正确的是（ ） A. 四面体的体积为 B. 四面体的外接球的表面积为 C. 若平面平面，且平面与四面体的内切球相切，则平面将该四面体分成体积比为的两部分 D. 若为平面内一动点，且直线与平面所成角的正切值为，则点轨迹的长度为 三､填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 以抛物线（）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，则抛物线的标准方程为________． 13. 在梯形中，，分别以该梯形的四条边为直径向外作半圆，是四个半圆上的动点，则的最大值为__________. 14. 已知函数及其导数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是__________. 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 16. 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为线段和上的动点，且，其中. （1）求四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比； （2）若二面角的大小为，求的值. 17. 平面直角坐标系中，动点P到点的距离与它到直线的距离之比为． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过点M的直线l与轨迹C交于A，B两点，且点A在第一象限，点，与的面积之比为，求的内切圆半径． 18. 为备战校园篮球赛，某校高三年级开展“三分球挑战”测试，测试规则如下：每位选手最多有次投篮机会，在投篮过程中，一旦投中，立即结束测试，并公布投篮次数.现有某位选手，单次投中的概率为． （1）若，求该选手恰好投篮次的概率； （2）设该选手结束测试时的投篮次数为，求的数学期望． 19. 已知函数，为自然对数的底数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）关于的不等式在恒成立，求实数的取值范围； （3）关于的方程有两个实根，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 本试卷共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合是小于10的素数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定集合A，根据集合的交集运算，即可求得答案. 【详解】由题意知集合是小于10的素数，结合， 故. 2. 复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因， 则. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式，联立方程组的值，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由，可得， 又由，可得， 联立方程组，可得， 则. 4. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了多次试验，得到了试验数据的线性回归方程为，其中x（单位：个）表示加工零件的个数，y（单位：小时）表示加工零件所花费的时间，又已知试验数据的样本中心点为，估计加工1500个零件所花费的时间为（ ） A. 540小时 B. 542小时 C. 548小时 D. 600小时 【答案】B 【解析】 【详解】将样本中心点代入线性回归方程，得，解得， 所以线性回归方程为，当时，. 所以估计加工1500个零件所花费的时间为542小时. 5. 已知函数，则方程根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的组成，分别求解方程计算即得. 【详解】因， 当时，即，解得或，均符合题意； 当时，即，解得，符合题意. 故方程根的个数为3. 6. 已知等差数列的前项和为，若与均为定值，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质可知为定值，再结合等差数列通项公式运算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为数列为等差数列，则为定值，即为定值， 又因为为定值， 则，即. 7. 为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（ ） A. 20% B. 30% C. 40% D. 50% 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率关系设未知数，根据高茎中抗倒伏比例和抗倒伏中高茎比例分别表示出高茎和抗倒伏的占比，再利用既不高茎也不抗倒伏的比例得到和事件的概率，由概率加法公式列方程求解. 【详解】设高茎作物占比为，抗倒伏作物占比为， 既不高茎也不抗倒伏的占比为，两种性状兼备的占比为， 由题意得，则， ，则， ，则， 则，解得， 即两种性状兼备的占比为. 8. 已知函数的定义域为D，对于任意给定，都存在，使得，则称函数为“倍增友好函数”，则下列函数中不是“倍增友好函数”的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据，都有判断；对于B，根据时，；对于C，根据，只对成立判断；对于D，由题得，再分和两种情况讨论判断. 【详解】对于A选项，的定义域为，对于任意给定，任取，都有，满足“倍增友好函数”定义； 对于B选项，的定义域为，对于任意给定，取，，满足“倍增友好函数”定义； 对于C选项，的定义域为，对于任意给定，取，，， 要使成立，则，又，解得，这意味着对于任意的的正整数，不存在满足条件， 所以该函数不满足“倍增友好函数”定义； 对于D，的定义域为，对于任意给定，取，，， 故当，即，变形得：， 所以，当时，，解得， 当时，，均满足， 综上，满足“倍增友好函数”定义. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则（ ） A. B. C. 直线是图象的一条对称轴 D. 将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由图数据得边长，根据周期求出；对B，由点坐标求出；对C，代入验证最值；对D，由图象变换可得. 【详解】对于A：如图，因为为等边三角形，且高为，则其边长为， 由图知，函数的周期满足，解得，故，A正确； 对于B：因为点的坐标为，所以， 所以，由，解得， 又，所以，B错误； 对于C：由上知，而时，， 故直线是图象的一条对称轴，C正确； 对于D：将的图象向左平移个单位长度，可得，D正确. 故选：ACD. 10. 若双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的虚轴长是实轴长的倍 C. 双曲线与双曲线有相同渐近线 D. 以双曲线实轴和虚轴端点为顶点的椭圆的离心率为 【答案】ABC 【解析】 【详解】因双曲线渐近线方程为：，则. 对于A，双曲线离心率，故A正确； 对于B，虚轴长为，实轴为，则双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，故B正确； 对于C，双曲线的渐近线方程为，故C正确. 对于D，双曲线C实轴端点为,虚轴端点为. 则对应椭圆方程为：，离心率为，故D错误. 11. 已知四面体中，，则下列说法正确的是（ ） A. 四面体的体积为 B. 四面体的外接球的表面积为 C. 若平面平面，且平面与四面体的内切球相切，则平面将该四面体分成体积比为的两部分 D. 若为平面内一动点，且直线与平面所成角的正切值为，则点轨迹的长度为 【答案】BD 【解析】 【分析】将四面体补成长方体，结合题意可得，.对于A：利用割补法求体积；对于B：结合长方体的结构特征求外接球半径和表面积；对于C：利用等体积法求内切球半径和点到面距离，进而分析判断；对于D：根据线面夹角分析可知点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，即可得结果. 【详解】将四面体补成长方体，可知底面为正方形， 因为，，则，. 对于选项A：四面体的体积为，故A错误； 对于选项B：可知四面体的外接球即为长方体的外接球， 则外接球半径， 所以四面体的外接球的表面积为，故B正确； 对于选项C：设四面体的内切球半径为， 因为的面积，则， 设点到平面的距离为， 则，可得，即， 若平面平面，且平面与四面体的内切球相切， 则平面与棱的交点为各棱中点， 所以平面将该四面体分成体积比为的两部分，故C错误； 对于选项D：设点在平面内的投影为， 因为点到平面的距离等于点到平面的距离，则， 又因为直线与平面所成角的正切值为，则， 所以点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，其长度为，故D正确. 三､填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 以抛物线（）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，则抛物线的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】记抛物线（）的焦点为， 设准线上的两点与构成边长为的等边三角形， 则由正三角形的对称性，可得. 所以焦点到准线的距离为， 所以抛物线的标准方程为. 13. 在梯形中，，分别以该梯形的四条边为直径向外作半圆，是四个半圆上的动点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，求得，分别求得以为直径的圆的方程，得到的最大值，即可求解. 【详解】如图所示，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为梯形中，，且， 过点作于点，所以，且， 所以， 设，可得，则， ①当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为， 可得以为直径的圆方程为，可得， 所以的最大值为； ②当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为， 可得以为直径的圆方程为，可得， 所以的最大值为； ③当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为， 可得以为直径的圆方程为，可得， 所以的最大值为； ④当点在以为直径的半圆上时，此时圆心为，半径为， 可得以为直径的圆方程为，可得的最大值为2， 所以的最大值为, 综上可得，的最大值为. 14. 已知函数及其导数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性以及导函数性质可得，再求导并利用基本不等式可判断的单调性，解不等式可得结果. 【详解】由题意知，两边同时求导，即是奇函数， 又是偶函数， 则， 可得， 令， 可得， 易知，当且仅当时等号成立； 即函数在上单调递减，又是奇函数，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为函数是偶函数，则， 可知不等式等价于，即， 即，即可得，解得， 则不等式的解集是. 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而分析求解； （2）利用余弦定理整理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据正弦函数有界性运算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得 ， 则 ，即， 又因为， 则， 即， 且，则，即，可得， 又因为，则， 可得，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得，则， 由余弦定理得，即， 可得， 又因为 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可得，即， 所以的取值范围为. 16. 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为线段和上的动点，且，其中. （1）求四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比； （2）若二面角的大小为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，结合锥体和柱体的体积公式运算求解； （2）建系并标点，求平面和平面的法向量，利用空间向量求二面角，列式求解即可. 【小问1详解】 在正三棱柱中，取中点， 则四棱锥的体积， 正三棱柱的体积， 四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为. 【小问2详解】 在正三棱柱中，取的中点，连结， 因为，且， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以，且平面， 所以平面，且， 故以为坐标原点，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 因为，则， 可得 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 由题意可知：平面的一个法向量为， 因为二面角的大小为， 则， 整理得，解得. 17. 平面直角坐标系中，动点P到点的距离与它到直线的距离之比为． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过点M的直线l与轨迹C交于A，B两点，且点A在第一象限，点，与的面积之比为，求的内切圆半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出动点，由题意列出等式，再化简得到轨迹方程. （2）首先判断斜率存在和不存在的情况，斜率存在时设出直线l的方程，然后将直线方程与轨迹C的方程联立，利用韦达定理得到纵坐标的和与积，结合面积关系求出参数；再求出三角形的面积和周长，进而解出三角形内切圆半径. 【小问1详解】 设动点P的坐标为，由题意可得， 即，化简得， 即动点P的轨迹C的方程为； 【小问2详解】 设，，点A在第一象限，则，， 若直线l的斜率不存在，由椭圆对称性可知与的面积之比为1，不符合题意； 故直线l的斜率必存在且不为0，可设直线l的方程为， 联立，得：， 直线l经过椭圆内一点，必有， ∴， 由于点，与的面积之比为， 故，即，即， 则，则， 结合，可得， 化简得，结合，则，故， 故，则， 又为椭圆的两焦点， 的面积为, 的周长为 ， 设的内切圆半径为r，则， 即，故. 18. 为备战校园篮球赛，某校高三年级开展“三分球挑战”测试，测试规则如下：每位选手最多有次投篮机会，在投篮过程中，一旦投中，立即结束测试，并公布投篮次数.现有某位选手，单次投中的概率为． （1）若，求该选手恰好投篮次的概率； （2）设该选手结束测试时的投篮次数为，求的数学期望． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）该选手恰好投篮4次意味着前3次投篮都未投中，第4次投篮投中，结合独立事件概率乘法公式计算概率即可； （2）先求出该选手投篮次数的分布列，利用期望公式求期望表达式，选择对应的数列求和方法求结论. 【小问1详解】 记该选手恰好投篮4次为事件， 该选手恰好投篮4次，意味着前3次投篮都未投中，第4次投篮投中. 由该选手单次投中的概率为，那么单次未投中的概率为 因为每次投篮的结果相互独立，所以. 【小问2详解】 由题意的取值可能为， 当时，意味着该选手前次投篮均未投中，第次投篮投中，故， 当时，意味着该选手前次投篮均未投中，第次投篮是否投中都结束测试，故. 则 记 得， 即 从而. 故. 19. 已知函数，为自然对数的底数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）关于的不等式在恒成立，求实数的取值范围； （3）关于的方程有两个实根，，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明：先证， 记 ，则，令，得，当变化时，，变化情况列表如下： - 0 + 极小值 ∴ ，恒成立， 即. 记直线，分别与交于，， 不妨设，则 ， 从而，当且仅当时取等号， 由（2）知，，则 ， 从而，当且仅当时取等号， 故 ， 因等号成立的条件不能同时满足，故． 【解析】 【分析】（1）由，得，且又，即可求解切线方程； （2）由题意知在上恒成立，利用导数求解函数的最小值，进而可求解实数的取值范围； （3）由，则，令， 得，得恒成立，即， 不妨设，则，再根据（2）中的结论，即可作出证明. 【小问1详解】 对函数求导得， 又 曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 记 ，其中， 由题意知在上恒成立，下求函数的最小值， 对求导得，令，得， 当变化时，，变化情况列表如下： 0 极小值 ，. 记，则，令，得． 当变化时，，变化情况列表如下： 1 0 极大值 ， 故当且仅当时取等号， 又，从而得到； 【小问3详解】 略 【点睛】小问1：切点处的导数值即为切线的斜率；小问2：恒成立问题一般采取参变量分离或者构造函数，化为最小值大于或等于0（最大值小于或等于0）的问题来解决.本题参变量分离需要讨论三种情况，故采用带着参数求最值的方法.利用函数的单调性求最值的一般步骤为求导函数、列表、根据导函数的正负确定原函数的单调区间，从而得出最值.本题求实数的值采用了“两边夹”的方法；小问3采用了放缩思想来证明不等式.，放缩对照函数的选取是放缩法的关键也是难点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $