【期末冲刺】第26章 反比例函数章节复习 优等生讲义(新考题直达)2025－2026学年沪教版数学八年级下册

【期末冲刺】第26章 反比例函数章节复习 优等生讲义 (新考题直达)2026年沪教版数学八年级下册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 反比例函数的概念，能根据定义判断函数类型，会求解析式中的参数。 · 掌握 反比例函数的图像与性质（k的符号决定象限、增减性），能比较函数值大小，能解决与不等式、最值相关的问题。 · 熟练运用 反比例函数解决实际问题（密度、压力、电流、消毒、温度等），会利用待定系数法求解析式。 · 能够综合 一次函数与反比例函数，解决交点、面积、不等式等问题，体会数形结合思想。 · 体会 模型思想、转化思想在反比例函数综合题中的应用。 ✨ 核心：概念辨析 · 图像性质 · 实际建模 · 数形结合。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 反比例函数的定义 · 定义： 形如 （）的函数叫做反比例函数，也可写作 或 。 · 判断依据： 两个变量的乘积为常数（），如 ，， 都是反比例函数。 · 待定系数法求解析式： 已知一对 或一个点的坐标，代入 求出 。 ☆ 反比例函数的图像与性质 · 图像： 双曲线，关于原点对称，不与坐标轴相交。 · k的符号决定象限： 时，图像在一、三象限； 时，图像在二、四象限。 · 增减性： 在每个象限内，当 时， 随 增大而减小；当 时， 随 增大而增大。注意：必须强调“在每个象限内”，不能跨象限比较。 · 函数值比较： 若点 ， 在同一象限，利用增减性比较；若在不同象限，则根据正负直接判断。 · k的几何意义： 双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 ，三角形面积为 。 · 平移： 反比例函数 上下平移：；左右平移：。 ☆ 反比例函数的应用 · 常见模型： 压力与压强（），电流与电阻（），密度与体积（），消毒时间与浓度等。 · 解题步骤： ① 建立反比例函数模型；② 代入已知点求 ；③ 根据要求计算或求范围。 · 分段函数： 常与一次函数结合，如水温变化（先直线上升后反比例下降），有效浓度时长需分段计算。 ☆ 一次函数与反比例函数综合 · 交点问题： 联立方程求解，交点坐标即公共解。 · 大小比较： 利用图像，找出不同区间内函数的上下位置，写出不等式的解集。 · 面积问题： 常利用坐标轴上的点构造三角形，用割补法或铅垂高法求面积。 · 平行条件： 若两直线平行，则 相等；若反比例函数与一次函数图像平行，需结合参数符号判断。 ☆ 知识总结表 类别 核心内容 常用公式/结论 定义与判定 ，或 常数 决定一切 图像与性质 双曲线，关于原点对称， 决定象限和增减性 ：一、三象限， 随 增大而减小；：二、四象限， 随 增大而增大 k的几何意义 矩形面积 ，三角形面积 常用与坐标轴围成的图形面积 实际应用 物理公式（压强、电流、密度）→ 反比例关系 先求 ，再代入求解 一次函数综合 交点、不等式、面积、平行条件 联立方程；图像法解不等式；面积用铅垂高 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】反比例函数定义（对应第1-7题） ※ 方法总结 · 判断是否为反比例函数：看能否写成 或 ，注意分母须为关于 的一次单项式（如 是， 不是）。 · 形如 是反比例函数 → 指数为-1且系数≠0，解方程求参数。 · 若 与 成正比， 与 成反比，则 与 成反比（比例系数为两比例系数的积）。 · 成反比例关系的实际例子：面积一定，底与高成反比；路程一定，速度与时间成反比等。 1．（2025秋•浦东新区校级期末）下列函数中，不是反比例函数的是（　　） A． B．y＝5x﹣1 C． D． 【分析】反比例函数的一般形式为（k为常数，k≠0），选项C为正比例函数，不符合反比例函数定义． 【解答】解：反比例函数形式为（k≠0）， A：，是反比例函数，不符合题意； B：，是反比例函数，不符合题意； C：，是正比例函数，不是反比例函数，符合题意； D：，是反比例函数，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．（2026•芜湖模拟）若xy≠0，x+y≠0，与x+y成反比，则（x+y）2与x2+y2（　　） A．成正比 B．成反比 C．既不成正也不成反比 D．关系不确定 【分析】先把与x+y写成反比例函数的形式，把等式左边相加整理，进而整理为用（x+y）2表示xy的形式，看（x+y）2与x2+y2的形式合哪类函数的一般形式即可． 【解答】解：∵与x+y成反比， ∴， ∴， ∴xy， ∵（x+y）2＝x2+y2+2xy， ∴（x+y）2＝x2+y2， 等式两边同除以（x+y）2得：1 ∴ ∴（x+y）2＝（x2+y2）， ∵是常数， ∴（x+y）2与x2+y2成正比例函数． 故选：A． 【点评】综合考查了反比例函数的定义及正比例函数的定义；反比例函数的一般形式为：（k≠0）；正比例函数的一般形式为：y＝kx（k≠0）． 3．（2025秋•海淀区期末）下列关系中，成反比例关系的是（　　） A．长方形的周长一定时，相邻两边的长 B．三角形面积一定时，它的底和高 C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间 D．一个人的跑步速度与他的体重 【分析】根据成反比例的定义解答即可． 【解答】解：根据成反比例的定义逐项分析判断如下： A、长方形的周长一定时，相邻两边的长不成反比例关系，故本选项不符合题意； B、三角形面积一定时，它的底和高成反比例关系，故本选项符合题意； C、机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间不成反比例关系，故本选项不符合题意； D、一个人跑步速度与它的体重，不成反比例关系，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了成反比例，理解成反比例关系的前提是两个变量乘积固定是解题的关键． 4．（2026春•郸城县月考）若函数是反比例函数，则m的值为　或　 ． 【分析】根据反比例函数的定义得到x的指数和系数需要满足的条件，列方程求解即可． 【解答】解：根据反比例函数的定义，形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，可变形为y＝kx﹣1， 因此可得， 解一元二次方程m2﹣8＝﹣1，移项得m2＝7，开方得或， 验证m+3，，，均满足系数不为0的条件， 故m的值为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握该知识点是关键． 5．（2025秋•虹口区校级期中）下列函数关系式：（1）y；（2）；（3）y；（4）（5），其中表示y是x的反比例函数的是　②③　 （填入序号）． 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意． 【解答】解：①y是二次函数； ②y是反比例函数； ③y是反比例函数； ④y﹣1不是反比例函数； ⑤y不是反比例函数； 故答案为：②③． 【点评】此题主要考查了反比例函数定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 6．（2025春•杭州期末）已知y与z成正比例，z与x成反比例．当x＝﹣4时，z＝3，y＝﹣4． （1）求y关于x的函数表达式； （2）在平面直角坐标系中，y关于x的函数图象上有A，B两点，且点A的横坐标为2，点B的横坐标为4，求△OAB的面积． 【分析】（1）根据题意，设出正比例，反比例函数关系式，代入x，y，z的值，得到函数式表达式； （2）根据题意，求出A，B两点坐标，画出图形，即可求出面积． 【解答】解：（1）∵y与z成正比例，z与x成反比例， ∴设y＝k1z，， ∴， 把x＝﹣4，y＝﹣4代入得k1k2＝16， ∴y关于x的函数表达式为； （2）由（1）知函数表达式为y，点A的横坐标为2，点B的横坐标为4， ∴A（2，8），B（4，4）， 如图， S长方形ODCE＝4×8＝32， S△AEO2×8＝8， S△ABC2×4＝4， S△OBD4×4＝8， ∴S△OAB＝32﹣8﹣4﹣8＝12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了正比例函数，反比例函数的解析式，三角形面积的求法，熟练掌握求函数解析式是解题的关键． 7．（2026•立山区模拟）已知y＝y1﹣y2，其中y1与x﹣1成反比例，，如表给出了自变量x与函数y的一些对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 6 … y … m ﹣1 n … （1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）补全表格：m＝　　 ，n＝　　 ； （3）当y1≥y2时，直接写出x的取值范围x或1＜x　 ． 【分析】（1）根据题意，利用待定系数法进行求解即可； （2）结合（1）中的关系式进行计算即可； （3）根据题意，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 设， 则y＝y1﹣y2， 将（0，﹣1），（4，）代入解析式得， ， 解得， 所以y与x的函数关系式为y（x≠1）； （2）当x＝﹣2时， m； 当x＝3时， n， 故答案为：； （3）如图所示， 当x或1＜x时，函数y1的图象不在函数y2图象的下方，即y1≥y2， 所以当y1≥y2时，x的取值范围是x或1＜x． 故答案为：x或1＜x． 【点评】本题主要考查了反比例函数的定义、函数关系式及函数自变量的取值范围，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【考点2】反比例函数图像与性质（对应第8-19题） ※ 方法总结 · 根据 的符号判断图像位置和增减性： 在一、三象限， 随 增大而减小； 在二、四象限， 随 增大而增大。 · 比较函数值：若两点在同一象限，利用增减性；若在不同象限，正数 > 负数。 · 图像共存问题：根据一次函数和反比例函数中 的符号一致性判断，必要时分类讨论。 · 反比例函数平移：上下平移（加减常数），左右平移（加减自变量），平移后图像形状不变，但对称中心改变。 · 与不等式、整数解结合：利用图像写出解集，或根据参数范围求解。 8．（2026•徐汇区二模）下列函数中，y的值随x的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正比例函数与反比例函数的性质解答即可． 【解答】解：A、∵k0， ∴y随x的增大而增大，不符合题意； B、∵k0， ∴y随x的增大而减小，符合题意； C、∵k＝2＞0， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，不符合题意； D、∵k＝﹣2＜0， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，正比例函数的性质，熟知函数图象与系数的关系是解题的关键． 9．（2026春•浦东新区校级月考）关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点（﹣1，3） B．图象分别位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 【分析】根据反比例函数的性质，当k＜0时，图象位于第二、四象限，关于原点对称，且在每一象限内y随x的增大而增大． 【解答】解：反比例函数中，k＝﹣3＜0， A、∵当x＝﹣1时，，∴图象经过点（﹣1，3），正确，不符合题意； B、k＜0，图象位于第二、四象限，正确，不符合题意； C、反比例函数图象关于原点对称，正确，不符合题意； D、∵k＜0，∴当x＜0时，在第二象限，y随x的增大而增大，原说法错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 10．（2026春•浦东新区校级月考）一次函数y＝k（x﹣1）与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】先一次函数y＝k（x﹣1）化为一次函数的一般形式，再对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：①当k＜0时，反比例函数y的图象在第二、四象限， ∵k＜0， ∴﹣k＞0， ∴一次函数y＝k（x﹣1）的图象过一、二、四象限； ②当k＞0时，反比例函数y的图象在一、三象限， ∵k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝k（x﹣1）的图象过一、三、四象限； 故选项C符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数、一次函数的图象，灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想． 11．（2026春•闵行区校级月考）已知反比例函数y经过平移后可以得到函数y1，关于新函数y1，下列结论正确的是（　　） A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．该函数的图象与y轴有交点 C．该函数图象与x轴的交点为（1，0） D．当0＜x时，y的取值范围是0＜y≤1 【分析】由反比例函数的性质可知，反比例函数y当x＞0或x＜0时，y随x的增大而减小，且关于（0，0）对称；经过平移后得到y1，关于（0，﹣1）对称，增减性不变． 【解答】解：A．当x＞0时，y随x的增大而减小，本选项错误，不符合题意； B．该函数的图象与y轴无限接近，但是没有交点，故本选项错误，不符合题意； C．该函数图象与x轴的交点为（1，0），故本选项正确，符合题意； D．当0＜x时，y的取值范围是y≥1，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点评】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数图象的平移；解题的关键是掌握反比例函数图象与系数的关系． 12．（2026春•上海校级月考）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是m　 ． 【分析】由反比例函数图象经过第二、四象限，所以﹣2m+3＜0，求出m范围即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴﹣2m+3＜0， 解得：m． 故答案为：m． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟记“k＞0时，图象位于一、三象限；k＜0时，图象位于二、四象限”是解题关键． 13．（2026春•上海月考）已知点A（2，﹣1）在反比例函数y（k≠0）的图象上，那么当x＞0时，y随x的增大而　增大　 ． 【分析】首先将点A的坐标代入解析式求得k值，然后根据反比例函数的性质确定其增减性即可． 【解答】解：∵点A（2，﹣1）在反比例函数y（k≠0）的图象上， ∴k＝2×（﹣1）＝﹣2＜0， ∴在每一象限内y随着x的增大而增大， 故答案为：增大． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是利用待定系数法确定比例系数的值，难度不大． 14．（2026•东莞市一模）已知反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，写出一个满足条件的反比例函数解析式　（答案不唯一）　 ． 【分析】根据反比例函数的性质分析即可． 【解答】解：设反比例函数解析式为， 根据题意，当x＞0时，y随x的增大而增大，可得k＜0， 取k＝﹣1，可得反比例函数解析式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查反比例函数的性质，正确进行计算是解题关键． 15．（2026•大足区模拟）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，且关于x的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的整数m的值之积为　0　 ． 【分析】知反比例函数y的图象位于第二、四象限，且关于x的不等式组至少有3个整数解，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围，从而可以解答本题． 【解答】解：∵反比例函数y的图象位于第二、四象限， ∴m﹣2＜0， ∴m＜2， 解关于x的不等式组得， ∵不等式组至少有3个整数解， ∴0， 解得m≥﹣1， 由上可得，m的取值范围是﹣1≤m＜2， ∴整数m是﹣1，0，1共3个， ∴符合条件的整数m的值之积为0． 故答案为：0． 【点评】本题考查了反比例函数的性质、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质和不等式的性质解答． 16．（2026•衡阳模拟）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜0＜x3．则y1，y2，y3的大小关系是y2＜y1＜y3 ．（用“＜”连接） 【分析】根据反比例函数性质，反比例函数的图象分布在第一、三象限，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴在每一象限y随x的增大而减小， ∵x1＜x2＜0＜x3， ∴C点在第一象限，A、B点在第三象限， ∴y2＜y1＜y3． 故答案为：y2＜y1＜y3． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键． 17．（2026春•宁明县月考）已知反比例函数（a为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； （2）当x＞0时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 【分析】（1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到2a﹣6＜0，然后求解即可； （2）当x＞0时，y随x的增大而减小，得到2a﹣6＞0，然后求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，2a﹣6＜0， 解得a＜3， ∴a的取值范围是a＜3； （2）∵反比例函数（a为常数），当x＞0时，y随x的增大而减小， ∴2a﹣6＞0， 解得a＞3， ∴a的取值范围是a＞3． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象，熟知以上知识是解题的关键． 18．（2025秋•路南区期末）已知反比例函数y，（k为常数，k≠1）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据反比例函数图象的性质得到：k﹣1＜0，由此求得k的取值范围； （3）把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证． 【解答】解：（1）∵点A（1，2）在这个函数的图象上， ∴k﹣1＝1×2， 解得k＝3； （2）∵在函数y图象的每一支上，y随x的增大而增大， ∴k﹣1＜0， 解得k＜1； （3）点C不在这个函数的图象上，理由如下： ∵k＝13，有k﹣1＝12， ∴反比例函数的解析式为y． 将点B的坐标代入y，可知点B的坐标满足函数关系式， ∴点B在函数y的图象上， 将点C的坐标代入y，由5，可知点C的坐标不满足函数关系式， ∴点C不在函数y的图象上． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求反比例函数解析式．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内． 19．（2026•拱墅区校级开学）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），C（0，6），反比例函数图象L1对应的函数表达式为，反比例函数图象L2对应的函数表达式为.把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”． （1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有　4　 个“整数点”； （2）若L2和L1之间（不含边界）有4个“整数点”，求k的取值范围． 【分析】（1）L2经过（﹣2，6），（﹣3，4），（﹣4，3）画出图象； （2）根据图象求k的范围． 【解答】解：（1）当k＝﹣12时，y经过（﹣2，6），（﹣3，4），（﹣4，3）， 如图，画出L2的图象， 由图可知：L2和L1之间（不含边界）有4个优点， 故答案为：4． （2）如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，分别为（﹣2，5），（﹣2，4），（﹣3，3），（﹣4，2）时，﹣12≤k＜﹣10； 如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，分别为（﹣1，5），（﹣1，4），（﹣2，2），（﹣4，1）时，﹣4＜k≤﹣3； 故答案为：﹣12≤k＜﹣10或﹣4＜k≤﹣3． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，读懂题意，在网格中画出反比例函数图象是解题的关键． 【考点3】反比例函数应用（对应第20-31题） ※ 方法总结 · 实际问题中，通常两个变量乘积为定值，即可设 ，代入一组对应值求 。 · 分段函数：如先直线上升（一次函数）后反比例下降，求有效时间需分别计算两个阶段满足条件的时长，再相加。 · 与不等式结合：求“不低于某值”的时间，要解分式不等式，注意定义域。 · 注意单位统一，结果根据实际取近似或精确值。 20．（2026•黄冈模拟）在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间t（单位：h）是充电功率P（单位：kW）的反比例函数，其图象如图所示．若该新能源电动车每次充满电需要4～5h，则充电时的充电功率范围是（　　） A．15～20kW B．15kW以内 C．12～15kW D．12kW以上 【分析】先用待定系数法求出反比例函数的解析式，再分别将t＝4和t＝5代入求出的解析式，结合增减性得出P的取值范围． 【解答】解：设反比例函数的解析式为， 将点（60，1）代入，得， ， 解得k＝60， ∴反比例函数的解析式为， 将t＝4代入，得P＝15， 将t＝5代入，得P＝12， ∵4≤t≤5， 又∵t随P的增大而减小， ∴12≤P≤15， ∴充电时的充电功率范围是12～15kW． 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． 21．（2026•息县一模）物理学中，有很多量之间的关系可以用函数来描述，比如通过定值电阻的电流I（单位：A）是电阻两端的电压U（单位：V）的正比例函数．观察如图，计算电压为10V时，通过它的电流为（　　） A．10A B．8A C．6A D．4A 【分析】通过待定系数法求出电流I关于电压U的函数解析式，再将U＝10代入函数解析式即可求解． 【解答】解：通过定值电阻的电流I（单位：A）是电阻两端的电压U（单位：V）的正比例函数． 设电流I关于电压U的函数解析式为I＝kU（k≠0）， 把（15，12）代入得12＝15k， 解得：k＝0.8， ∴电流I关于电压U的函数解析式为I＝0.8U， 当U＝10时，I＝0.8×10＝8（A）． 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． 22．（2026•西华县模拟）某康复中心对房间进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间的变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现两段函数图象（部分图象），其中AB段为渐深消毒阶段，用一次函数刻画，BC段是反比例函数（x＞0）图象的一部分，为降解消毒阶段．下列结论错误的是（　　） A．当10≤x≤30，y随x的增大而增大 B．当消毒后60分钟时，消毒效果为3效力 C．消毒过程中消毒效果为4效力及以上的持续时长为28分钟 D．当消毒后20分钟时，消毒效果为效力 【分析】从函数图象获取信息，求出反比例函数的解析式，再逐一进行判断即可． 【解答】解：AB段为渐深消毒阶段，用一次函数刻画，BC段是反比例函数（x＞0）图象的一部分， 当10≤x≤30，y随x的增大而增大，∴A正确，不符合题意； 对于，当x＝30时，解得y＝6， ∴点B的坐标为（30，6）， ∴，解得k＝180， ∴ 当x＝60时，解得y＝3， ∴当消毒后60分钟时，消毒效果为3效力，∴B正确，不符合题意； 当y＝4时，，解得，当y＝4时，， ∴持续时长为（分钟），∴C错误，符合题意； 将x＝20代入，解得，∴D正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． 23．（2026春•吴江区期中）有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为R1，R2，总电阻阻值为R，三者之间的关系为，若已知R1，R2，则用R1，R2表示R是（　　） A． B．R1+R2 C． D． 【分析】先把等式的右边通分，再进行同分母的加法运算得到然后根据倒数的定义得到． 【解答】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的应用\分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 24．（2026•夏邑县模拟）如图，在常温（25℃）常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到100℃时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在30℃∼50℃时适宜饮用，在40℃时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（　　） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了50℃ C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟～第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 【分析】由函数图象可知加热4分钟时，水温上升了75﹣25＝50（℃），可判断B，设加热一壶水时，水的温度y（℃）与时间x（分钟）的一次函数表达式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法求出解析式进一步即可判断A，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，进一步即可判断选项C和D． 【解答】解：由题图可知，加热4分钟时，水温上升了75﹣25＝50（℃），故B正确，不符合题意． 设加热一壶水时，水的温度y（℃）与时间x（分钟）的一次函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将（0，25）和（4，75）代入， 得，解得 故加热一壶水时，y与x的函数表达式为y＝12.5x+25． 当y＝100时，12.5x+25＝100， 解得x＝6．故A正确，不符合题意． 设将茶叶放入热水壶后y与x的函数关系式为（k为常数，且k≠0）， 将（6，100）代入， 得， 解得k＝600， ∴， 当y＝40时，， 解得x＝15， ∴若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是15分钟，故D不正确，符合题意． 当y＝50时，，解得x＝12， 当y＝30时，，解得x＝20， ∴该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟～第20分钟， 故C正确，不符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 25．（2026•中阳县模拟）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V＝8m3时，气体的密度是　1.25　 kg/m3． 【分析】设密度ρ（kg/m3）是体积V（m3）的反比例函数为，把点（5，2）代入解析式，根据待定系数法求得函数解析式，再将V＝8m3代入函数解析式求解即可． 【解答】解：设， 把点（5，2）代入，得， 解得k＝10， ∴， 当V＝8m3时，． 故答案为：1.25． 【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． 26．（2026•西安模拟）真空压缩袋压缩衣物以减小体积，给人们的生活带来了很大便利．同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）有如图所示的反比例函数关系，当压缩到密度等于40g/cm3时，其体积是　10　 cm3． 【分析】利用待定系数法求出再求出 p＝40时，V的值即可得到答案． 【解答】解：由题意，设， ∵当p＝16时，V＝25， ∴，解得m＝400， ∴， ∴当p＝40时，则（cm3）， 故答案为：10． 【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． 27．（2026•嘉定区）为了预防某种流行性疾病，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．如图，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物燃烧后，y与x成反比例，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克为杀灭病菌的有效浓度，则此次药物维持有效浓度的时长是　12　 分钟． 【分析】把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差即为所求． 【解答】解：设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1， ∴k1设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（k2＞0）代入（8，6）为6， ∴k2＝48 ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为yx（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（x＞8）， 把y＝3代入yx，得：x＝4， 把y＝3代入y，得：x＝16， ∵16﹣4＝12， 所以此次药物维持有效浓度的时长是12分钟， 故答案为：12． 【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 28．（2026•蓬江区模拟）如图，密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系．当V＝9m3时，则二氧化碳的密度ρ为　1.1　 kg/m3． 【分析】直接利用反比例函数解析式求法得出ρ，再把V＝9m3代入求出答案． 【解答】解：设ρ，把（3，3.3）代入得： k＝3×3.3＝9.9， 故ρ， 则当V＝9m3时，相应的体积ρ1.1（kg/m3）． 故答案为：1.1． 【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键． 29．（2025秋•闵行区期末）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 … 接触面积S（m2） … 1.2×10﹣3 8×10﹣4 6×10﹣4 4.8×10﹣4 … 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强p（Pa） 4.8×107 2.4×107 2.5×108 （1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式（不写定义域）； （2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系，设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p，将一对数据代入即可求出F的值． （2）将p＝2.5×108Pa代入（1）中所求函数表达式中，即可求出这种机器人与玻璃通道的最小接触面积． 【解答】解：（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系． 设地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p． 将（4×104，1.2×10﹣2）代入p，得F＝4×104×1.2×10﹣2＝4.8×102， ∴地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式为p． （2）把p＝2.5×108代入p得，S＝1.92×10﹣6， 答：该机器人与地面的接触面积至少为1.92×10﹣6平方米． 【点评】本题主要考查了以物理知识为情境的反比例函数的应用相关知识，知道物理学中压力、压强与接触面积三者之间的关系是解题的关键．计算时需要仔细． 30．（2026•金山区二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图，其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接．滑杆可以绕固定轴O转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数，因此电流表上一定的示数对应者油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流I（单位：A）与总电阻R（单位：Ω）成反比例，其中R＝R0+R1，已知R0＝20Ω． 可变电阻R1（单位：Ω）与油量体积V（单位：L）之间的关系如图2所示，R1≥0．当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A． （1）当油箱内油量体积为35L时，求总电阻R的值； （2）求I关于总电阻R的函数解析式； （3）当油箱中油量体积满足5≤V≤55时，求电流表显示电流的取值范围． 【分析】（1）依据题意，设R1＝kV+b（k≠0），结合图象（0，240），（60，0），从而，可得R1＝﹣4V+240，进而当V＝35L时，R1＝﹣4×35+240＝100（Ω），故R＝R0+R1＝20+100＝120（Ω），即可得解； （2）依据题意，由电流I与总电阻R成反比例，则I，又当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A，故结合（1）R＝120Ω，进而可得k＝120×0.1＝12，从而可以得解； （3）依据题意，由5≤V≤55，则20≤﹣4V+240＝R1≤220，从而40≤R0+R1＝R≤240，进而0.05I≤0.3，即0.05≤I≤0.3，故可得解． 【解答】解：（1）由题意，设R1＝kV+b（k≠0）， 结合图象（0，240），（60，0）， ∴． ∴k＝﹣4，b＝240． ∴R1＝﹣4V+240． ∴当V＝35L时，R1＝﹣4×35+240＝100（Ω）． ∴R＝R0+R1＝20+100＝120（Ω）． 答：当油箱内油量体积为35L时，总电阻R的值为120Ω； （2）由题意，∵电流I与总电阻R成反比例， ∴I， 又∵当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A， ∴结合（1）R＝120Ω， ∴k＝120×0.1＝12． ∴I关于总电阻R的函数解析式为I； （3）由题意，∵5≤V≤55， ∴20≤﹣4V+240＝R1≤220． ∴40≤R0+R1＝R≤240． ∴0.05I≤0.3，即0.05≤I≤0.3． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 31．（2026春•洛宁县期中）宜阳县某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系图象，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． （1）分别求出当0≤x≤5（即AB段）和10≤x≤24（即CD段）时，y与x之间的函数关系式； （2）大棚里栽培的这种蔬菜在温度为16℃到20℃（含16℃及20℃）的条件下最适合生长，直接写出这种蔬菜在一天内最适合生长的时间有多长？ 【分析】（1）利用待定系数法分别求出一次函数和反比例函数解析式即可． （2）观察图象可知：三段函数都有y≥16的点，而且BC段是恒温阶段，y＝20，所以计算AB和CD两段当时对应的x值，相减就是结论． 【解答】解：（1）当0≤x≤5时，设线段AB所在的直线解析式为y＝kx+b， 把A（0，10），B（5，20）代入解析式得：， 解得， ∴当0≤x≤5时，y与x的函数表达式为y＝2x+10； 当10≤x≤24时，设CD所在的双曲线解析式为y， 把C（10，20）代入解析式得：20， 解得m＝200， ∴当10≤x≤24时，y与x的函数表达式为y； （2）当y＝16时，2x+10＝16或16， 解得x＝3或x＝12.5， ∴12.5﹣3＝9.5（h）， ∴这种蔬菜在这一天内最适合生长的时间有9.5h． 【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用．熟练掌握该知识点是关键． 【考点4】一次函数与反比例函数综合（对应第32-38题） ※ 方法总结 · 求交点：联立方程，通常得到一元二次方程，解出横坐标，再求纵坐标。 · 比较大小：图像法，找出反比例函数图象在一次函数图象上方（或下方）的 范围。 · 面积问题：常利用 ，或分割成几个三角形面积和。 · 平行条件：若两一次函数图象平行，则 相等；若反比例函数与一次函数有平行关系，需通过参数符号判断。 · 存在性问题：设动点坐标，利用面积条件列方程，注意解的取舍。 32．（2026•新会区一模）如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1 C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1 【分析】根据图象，找出双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方的部分对应的自变量x的取值范围即可． 【解答】解：由图象可知，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键． 33．（2026•让胡路区校级模拟）如图，一次函数y＝x（x≥0）与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交y＝x的图象于点B，过点C作CE⊥AD于E，点A的横坐标为1．有以下结论： ①线段AB的长为9； ②点C的坐标为（3，3）； ③当x＞3时，一次函数的值大于反比例函数的值； ④BE：AE＝2：3． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】结合函数解析式求出点的坐标，然后分别分析各结论即可 【解答】解：分析结论①：点A横坐标为1，代入y得A（1，9），代入y＝x得B（1，1），故AB＝9﹣1＝8，结论①错误； 分析结论②：联立y＝x与y，解得x＝3（x＞0），故C（3，3），结论②正确； 分析结论③：由函数图象，当x＞3时，y＝x的图象在y上方，即一次函数值大于反比例函数值，结论③正确； 分析结论④：C（3，3），CE⊥AD，则E（1，3），BE＝3﹣1＝2，AE＝9﹣3＝6，故BE：AE＝2：6＝1：3，结论④错误． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，函数值比较及线段长度计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 34．（2026•上海校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（1，4），B（﹣4，n）两点． （1）分别求一次函数及反比例函数的表达式； （2）在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接PA，PB，且满足S△PAB＝15，求点P的坐标． 【分析】（1）把A（1，4）代入求出m＝4，即可求出反比例函数的表达式，把B（﹣4，n）代入求出B（﹣4，﹣1），把A（1，4），B（﹣4，﹣1）代入y＝kx+b即可求出一次函数的表达式； （2）过点P作PH∥y轴，交AB于点H，设，则H（t，t+3），根据三角形面积公式列方程计算即可． 【解答】解：（1）由条件可得：， 解得：m＝4， ∴反比例函数的表达式为， 把B（﹣4，n）代入得：， ∴B（﹣4，﹣1）， 把A（1，4），B（﹣4，﹣1）代入y＝kx+b，得，解得：， ∴一次函数的表达式为y＝x+3； （2）如图，过点P作PH∥y轴，交AB于点H， 设，则H（t，t+3）， ∴， ∴，即， 解得：t1＝﹣1，t2＝4（舍去）， ∴点P的坐标为（﹣1，﹣4）． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 35．（2026春•浦东新区校级月考）如图，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象相交于A、B两点，点A的坐标为（﹣6，2），点B的坐标为（3，n）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）连接AO、BO，求△AOB的面积． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数的解析式； （2）根据一次函数的解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，根据S△AOB＝S△AOC+S△COD求出△AOB的面积． 【解答】解：（1）由条件可得：m＝﹣6×2＝﹣12， ∴反比例函数解析式为， 将B（3，n）代入反比例函数解析式， 可得：n＝﹣4， ∴点B的坐标为（3，﹣4）， 将A、B两点的坐标代入y＝kx+b， 可得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）如图：直线与x、y轴交于点D、C， ， 当x＝0时，， ∴点C的坐标是（0，﹣2）， ∴OC＝2， 当y＝0，， 解得：x＝﹣3， ∴点D的坐标是（﹣3，0）， ∴OD＝3， ∴S△AOB＝S△AOD+S△COB ＝9． 【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数与几何的综合．熟练掌握相关知识点是关键． 36．（2025•宝山区校级二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（2，1）． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标． （2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围． （3）过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC．求△ABC的面积． 【分析】（1）利用待定系数法可求出反比例函数的表达式，根据对称性可求出点B的坐标； （2）根据图象即可求解； （3）根据题意可求出点C的坐标，进而求出OC的值，最后根据，即可求解． 【解答】解：（1）把A（2，1）代入， 得：k＝2×1＝2， ∴反比例函数的表达式为， ∵A、B关于原点对称， ∴B（﹣2，﹣1）； （2）根据图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围为：﹣2＜x＜0或x＞2； （3）根据题意得：C（0，1）， ∴OC＝1， ∴． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，解题的关键是数形结合． 37．（2026•九龙坡区模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数y2＝x﹣1的图象交于A，B两点，与一次函数y3的图象交于C，D两点，且AB∥CD．一次函数y2，y3的图象分别与y轴交于点E，F． （1）求点E的坐标； （2）若△ABD的面积为15，求EF的长； （3）在（2）的条件下，当y3＞y1时，求x的取值范围． 【分析】（1）把x＝0代入入y2＝x﹣1即可求得点E的纵坐标； （2）求得A、B的坐标，然后根据同底等高的三角形面积相等得到S△ABD＝S△ABF＝15，即可得到S△ABF＝S△AEF+S△BEFEF•（3+2）＝15，解得EF＝6； （3）由E（0，﹣1），EF＝6可知F（0，5），即可得到y3＝x+5，与反比例函数的解析式联立，解方程组即可求得C、D，结合图象即可求解． 【解答】解：（1）把x＝0代入y2＝x﹣1得，y＝﹣1， ∴E（0，﹣1）； （2）由，解得或， ∴A（﹣2，﹣3），B（3，2）， ∵AB∥CD， ∴S△ABD＝S△ABF＝15， ∴S△ABF＝S△AEF+S△BEFEF•（3+2）＝15， ∴EF＝6； （3）∵E（0，﹣1），EF＝6， ∴F（0，5）， ∵AB∥CD，y2＝x﹣1， ∴y3＝x+5， 解，得或， ∴C（﹣6，﹣1），D（1，6）， 由图象可知，y3＞y1时，x的取值范围是﹣6＜x＜0或x＞1． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 38．（2026春•张店区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x与反比例函数y（k＞0）的图象相交于A（2，m），B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC． （1）求该反比例函数的表达式并直接写出点B的坐标； （2）若点D在该反比例函数的图象上，当S△ACD时，求点D的坐标； （3）请直接写出关于x的不等式2x的解集． 【分析】（1）依据题意，由正比例函数y＝2x与反比例函数的图象相交于A（2，m），B两点，可得A（2，4），进而求出k的值，再联立方程2x，故可得B的坐标； （2）依据题意，由A（2，4），B（﹣2，﹣4），又AC⊥x轴，进而可得，又点D在反比例函数的图象上，故可设D为，从而，进而可得，然后计算可以得解； （3）依据题意得，不等式2x的解集是函数y＝2x的图象在反比例函数y的上方时的自变量的取值范围，又正比例函数y＝2x与反比例函数y（k＞0）的图象相交于A（2，4），B（﹣2，﹣4），从而可以结合图象得解． 【解答】解：（1）∵正比例函数y＝2x与反比例函数的图象相交于A（2，m），B两点， ∴将A（2，m）代入y＝2x中得，m＝2×2＝4， ∴A（2，4）． ∴将A（2，4）代入中得，k＝2×4＝8， ∴该反比例函数的表达式为， 联立方程2x， ∴x＝2或x＝﹣2． ∵A（2，4）， ∴B（﹣2，﹣4）； （2）∵A（2，4），B（﹣2，﹣4）， ∴． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴设点D的坐标为， ∴， ∵， ∴，解得，xD＝﹣1或xD＝5， ∴或， ∴点D的坐标为（﹣1，﹣8）或； （3）由题意得，不等式2x的解集是函数y＝2x的图象在反比例函数y的上方时的自变量的取值范围， 又∵正比例函数y＝2x与反比例函数y（k＞0）的图象相交于A（2，4），B（﹣2，﹣4）， ∴结合函数的图象可得，不等式的解集为x＞2或﹣2＜x＜0． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键． 课后巩固 · 针对性练习 · 巩固1（反比例函数判断） — 准确识别反比例函数，排除正比例、二次函数及分母含加减的形式。 · 巩固2（总产量与月产量关系） — 由累计产量图象推断每月产量变化（斜率反映月产量）。 · 巩固3（一次函数与反比例函数图象共存） — 根据 的符号判断两图象位置是否一致。 · 巩固4（反比例函数性质综合） — 象限、增减性、函数值比较，注意“在每个象限内”的前提。 · 巩固5（图象共存） — 一次函数 与反比例函数 的图象判断。 · 巩固6（体积与密度） — 利用反比例函数求体积范围，注意实际意义。 · 巩固7（速度与质量） — 由已知点求反比例函数解析式，再代入求值。 · 巩固8（电流与电阻） — 根据图象求反比例函数解析式，代入电阻求电流。 · 巩固9（需求量与供应量） — 联立反比例函数和一次函数求交点（均衡价格）。 · 巩固10（注意力指标） — 分段函数（一次+反比例），求注意力不低于36的时长。 · 巩固11（桔槔杠杆） — 根据实验数据发现反比例关系，描点画图，判断增减性。 · 巩固12（药熏消毒） — 先正比例后反比例，求有效时间（解不等式组）。 · 巩固13（注意力指数） — 由一次函数和反比例函数组成的分段函数，比较不同时间点的函数值。 · 巩固14（弹簧弹力） — 根据数据得正比例关系（弹力与伸长量成正比），结合劲度系数比较。 ❤ 复习建议 反比例函数章节重在概念清晰、图像性质熟练、实际建模准确。建议多画图像辅助理解增减性，注意“在每个象限内”的表述。综合题中要灵活运用数形结合和待定系数法，面积问题常用铅垂高法。 【作业1】（2026•松江区模拟）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝x2 B． C． D． 【分析】根据反比例函数的定义，逐一判断各选项即可得出结论． 【解答】解：根据反比例函数的定义逐项分析判断如下： A、y＝x2是二次函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意； B、的分母不是x的单项式，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意； C、，符合反比例函数定义，该选项符合题意； D、是正比例函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握该知识点是关键． 【作业2】（2026春•潍坊期中）如图是某企业2025年1﹣8月份总产量C（即前t个月产量之和）与时间t（月）的函数图象，则下列图象中能大致反映每个月产量v与时间t关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可知，v，由此判断即可． 【解答】解：总产量C（t）是前t个月的产量之和，它的斜率代表每月的产量v： 当0＜t＜3时：C（t）图象是上升曲线，且斜率逐渐减小，说明每月产量v在逐渐降低， 当3≤t≤8时：C（t）图象是水平直线，斜率为0，说明每月产量v＝0（即停产）； A、B选项：前3个月产量上升或不变，与“产量逐渐降低”矛盾，排除； D选项：前3个月产量线性下降但未归零，与“3个月后停产”矛盾，排除； C选项：前3个月产量线性下降，到第3个月时降为0，之后保持为0，完全符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数的应用，根据图象提取信息是解题的关键． 【作业3】（2026春•新安县期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y（k≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知k＞0，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； B、由反比例函数的图象在二、四象限知k＜0，由一次函数图象与y轴的交点在负半轴知k＜0，两结论一致，故本选项符合题意； C、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象过二、四象限可知k＜0，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； D、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知k＜0，两结论相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键． 【作业4】（2026•上城区一模）关于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．若函数图象分布在第二、四象限，则 B．若点（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2 C．若m＞2，则当1≤x≤3时，y的最大值为2m﹣3 D．若函数图象上有两点A（a，b）、B（c，d），满足a＜0＜c且b＞d，则 【分析】根据反比例函数图象与系数的关系解答． 【解答】解：A、若函数图象分布在第二、四象限，则2m﹣3＜0，解得m，故本选项说法正确，不合题意； B、若反比例函数图象在一、三象限，则该函数图象在每一象限内y随x的增大而减小，x1＜x2＜0时，则y1＞y2，故本选项说法错误． C、若m＞2时，2m﹣3＞0，反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，则当1≤x≤3时，y的最大值为2m﹣3，故本选项说法正确． D、若函数图象上有两点A（a，b）、B（c，d），满足a＜0＜c且b＞d，则2m﹣3＜0，解得m，故本选项说法正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内． 【作业5】（2026春•北京期中）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数与反比例函数的图象与性质解答即可． 【解答】解：根据一次函数与反比例函数的图象与性质可知： 当a＞0时，一次函数图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限； 当a＜0时，一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限， 只有D选项满足题意． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握该知识点是关键． 【作业6】（2026•丹江口市一模）现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于20g/cm3时，其体积可以是（　　） A．0cm3 B．16cm3 C．20cm3 D．24cm3 【分析】设体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）的反比例函数关系式为，运用待定系数法求出m，得到该反比例函数关系式，进而根据图象即可求解． 【解答】解：同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）有反比例函数关系如图所示， 设体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）的反比例函数关系式为， 从图上可以看出图象过点（16，25）， 将其代入得，解得m＝400， ∴， 当ρ＞20时，0＜v＜20， 综合各个选项，只有16cm3符合． 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． 【作业7】（2026•成华区模拟）某机器狗最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知该机器狗载重后总质量为60kg时，它的最快移动速度为6m/s，则当其载重后总质量为90kg时，它的最快移动速度为　4　 m/s． 【分析】根据待定系数法求出反比例函数的解析式，再代入数据求解即可． 【解答】解：由题意，设反比例函数的解析式为， ∵该机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s， ∴k＝vm＝60×6＝360， ∴， ∴当m＝90时，， ∴其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度4m/s． 故答案为：4． 【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． 【作业8】（2026•宝安区二模）蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）是关于电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示，点P是图象上一点．当用电器电阻R为9Ω时，电流是　4　 A． 【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，再把R＝9代入解析式求出I的值． 【解答】解：设用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）的函数关系式为I， 由图象可知，当R＝12时，I＝3， ∴k＝IR＝3×12＝36， ∴I， 当R＝9时，I4（A）， 故答案为：4． 【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． 【作业9】（2026•秦淮区一模）某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量y1（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图象如图所示．该产品的月供应量y2（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为　30　 元． 【分析】根据题意可以求出反比例函数解析式和一次函数解析式，然后令这两个函数值相等，求出相应的x的值即可． 【解答】解：设月需求量y1（单位：万件）与销售单价x（单位：元）的函数解析式为y1， ∵点（40，15）在该函数图象上， ∴15， 解得k＝600， 即月需求量y1（单位：万件）与销售单价x（单位：元）的函数解析式为y1， 设产品的月供应量y2（单位：万件）与销售单价x的函数解析式为y2＝mx+n， ∵销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件， ∴， 解得， 即产品的月供应量y2（单位：万件）与销售单价x的函数解析式为y2＝x﹣10， 令y1＝y2， x﹣10， 解得x1＝30，x2＝﹣20（不合题意，舍去）， ∴当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为30元， 故答案为：30． 【点评】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【作业10】（2026春•莱芜区期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示． （1）求反比例函数的解析式，并求点A对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【分析】（1）设出反比例函数的解析式，根据图中数据用待定系数法求解析式即可； （2）求出AB解析式，得到y≥36时，x，由反比例函数y可得y≥36时，x≤25，根据2515，即可得到答案． 【解答】解：（1）设反比例函数的关系式为y（20≤x≤45）， 由图知，反比例函数过点C（20，45）， 代入解析式得45 解得k＝900， ∴反比例函数的关系式为y， 当x＝45时，y20， 故A点对应的指标值为20； （2）设当0≤x＜10时，AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，20）、B（10，45）代入得： ， 解得， ∴AB的解析式为yx+20， 当y≥36时，x+20≥36，解得x， 由（1）得反比例函数的解析式为y， 当y≥36时，36，解得x≤25， ∴x≤25时，注意力指标都不低于36， 而2515， ∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． 【点评】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键． 【作业11】（2026•金凤区校级二模）屹泽在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，屹泽发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 a 100 （1）表格中a的值是　120　 ； （2）屹泽通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由． 【分析】（1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【解答】解：（1）∵1×300＝1.5×200＝2×150＝3×100＝300， ∴点A与点O的距离l与拉力F的乘积不变， ∴； 故答案为：120； （2）F与l之间的函数图象，如图所示： （3）由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内， 根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当OA的长增大时，拉力F减小． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【作业12】（2026春•北京期中）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg． 根据以上信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时y与x的函数关系式； （2）求药物燃烧后y与x的函数关系式； （3）当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，在这个过程中，对病毒有作用的时间总共为　　 分钟． 【分析】（1）设药物燃烧时的解析式为：y＝k1x（k1≠0），代入数据求解即可； （2）设燃烧后的函数解析式为，代入数据求解即可； （3）根据题意列出不等式组，求出x的取值范围即可求解． 【解答】解：（1）设药物燃烧时的函数解析式为y＝k1x（k1≠0）， 由题意得：12＝10k1，解得： ∴燃烧时的函数关系式为； （2）设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：k2＝120， ∴燃烧后的函数关系式为； （3）由题意可得：， ∴， ∴（分钟）， 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． 【作业13】（2026•汕尾一模）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（单位：min）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，BC∥x轴，CD为反比例函数图象的一部分），其中AB段的关系式为y1＝2x+20． （1）求出曲线CD所在的函数关系式； （2）通过计算比较：开始上课后，第5min时与第30min时，哪个时间点学生的注意力更集中？ 【分析】（1）根据待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）分别求出当x1＝5，x2＝30时，的y值，再比较大小即可． 【解答】解：（1）设曲线CD所在的函数关系式为， 把点C（25，40）代入，得 k＝1000， ∴． （2）当x1＝5时，y1＝2×5+20＝30， 当x2＝30时，． ∵y1＜y2， ∴第30min时学生的注意力更集中． 【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． 【作业14】（2026春•北京校级期中）某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力F与弹簧的伸长量x之间的关系，设计如图所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为6cm，在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得数据填入下表： 弹簧受到的弹力（N） 0 30 60 90 120 150 … 弹簧的长度（cm） 6 8 10 12 14 16 … 请帮该兴趣小组解决下列问题： （1）处理上表的数据，以弹簧的伸长量x为横轴，弹簧弹力F为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧伸长量＝弹簧受力后的长度﹣弹簧原长度） ①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线； ②写出弹簧弹力F与弹簧的伸长量x的函数关系式F＝15x ；（不要求写自变量的取值范围） （2）如果该弹簧受到超过240N的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为21cm，该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由． （3）设弹簧的劲度系数，同学们拿来两根劲度系数不同的弹簧甲、乙，分别挂上M、N两物块（如图所示），且物块M的质量大于物块N的质量（质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大），由图可知，甲、乙两弹簧的劲度系数的大小关系为k甲　＞　 k乙．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【分析】（1）①根据题意，处理表格，然后描点、连线即可；②根据题意得：每伸长1cm，弹力增加15N，即可确定关系式； （2）根据题意计算出受到的弹力，进行比较即可． （3）根据，依题意，F甲＞F乙则k甲＞k乙 【解答】解：（1）①根据题意，处理表格如下： 弹簧受到的弹力（N） 0 30 60 90 120 150 … 弹簧的伸长量（cm） 0 2 4 6 8 10 … 如图所示； ②根据题意得：每伸长1cm，弹力增加15N， ∴F＝15x； 故答案为：F＝15x； （2）不会发生永久形变． 理由如下： ∵当弹簧的长度为21cm时，弹簧的伸长量x＝21﹣6＝15（cm）， ∴当x＝15时，F＝15×15＝225（N）． ∵225＜240， ∴不会发生永久形变． （3）∵弹簧的劲度系数， 由题意可得：F甲＞F乙， 根据图形可得，x甲＜x乙， ∴k甲＞k乙． 【点评】本题考查反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 【期末冲刺】第26章 反比例函数章节复习 优等生讲义 (新考题直达)2026年沪教版数学八年级下册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 反比例函数的概念，能根据定义判断函数类型，会求解析式中的参数。 · 掌握 反比例函数的图像与性质（k的符号决定象限、增减性），能比较函数值大小，能解决与不等式、最值相关的问题。 · 熟练运用 反比例函数解决实际问题（密度、压力、电流、消毒、温度等），会利用待定系数法求解析式。 · 能够综合 一次函数与反比例函数，解决交点、面积、不等式等问题，体会数形结合思想。 · 体会 模型思想、转化思想在反比例函数综合题中的应用。 ✨ 核心：概念辨析 · 图像性质 · 实际建模 · 数形结合。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 反比例函数的定义 · 定义： 形如 （）的函数叫做反比例函数，也可写作 或 。 · 判断依据： 两个变量的乘积为常数（），如 ，， 都是反比例函数。 · 待定系数法求解析式： 已知一对 或一个点的坐标，代入 求出 。 ☆ 反比例函数的图像与性质 · 图像： 双曲线，关于原点对称，不与坐标轴相交。 · k的符号决定象限： 时，图像在一、三象限； 时，图像在二、四象限。 · 增减性： 在每个象限内，当 时， 随 增大而减小；当 时， 随 增大而增大。注意：必须强调“在每个象限内”，不能跨象限比较。 · 函数值比较： 若点 ， 在同一象限，利用增减性比较；若在不同象限，则根据正负直接判断。 · k的几何意义： 双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积为 ，三角形面积为 。 · 平移： 反比例函数 上下平移：；左右平移：。 ☆ 反比例函数的应用 · 常见模型： 压力与压强（），电流与电阻（），密度与体积（），消毒时间与浓度等。 · 解题步骤： ① 建立反比例函数模型；② 代入已知点求 ；③ 根据要求计算或求范围。 · 分段函数： 常与一次函数结合，如水温变化（先直线上升后反比例下降），有效浓度时长需分段计算。 ☆ 一次函数与反比例函数综合 · 交点问题： 联立方程求解，交点坐标即公共解。 · 大小比较： 利用图像，找出不同区间内函数的上下位置，写出不等式的解集。 · 面积问题： 常利用坐标轴上的点构造三角形，用割补法或铅垂高法求面积。 · 平行条件： 若两直线平行，则 相等；若反比例函数与一次函数图像平行，需结合参数符号判断。 ☆ 知识总结表 类别 核心内容 常用公式/结论 定义与判定 ，或 常数 决定一切 图像与性质 双曲线，关于原点对称， 决定象限和增减性 ：一、三象限， 随 增大而减小；：二、四象限， 随 增大而增大 k的几何意义 矩形面积 ，三角形面积 常用与坐标轴围成的图形面积 实际应用 物理公式（压强、电流、密度）→ 反比例关系 先求 ，再代入求解 一次函数综合 交点、不等式、面积、平行条件 联立方程；图像法解不等式；面积用铅垂高 核心考点 ·4大典型考点精讲 【考点1】反比例函数定义（对应第1-7题） ※ 方法总结 · 判断是否为反比例函数：看能否写成 或 ，注意分母须为关于 的一次单项式（如 是， 不是）。 · 形如 是反比例函数 → 指数为-1且系数≠0，解方程求参数。 · 若 与 成正比， 与 成反比，则 与 成反比（比例系数为两比例系数的积）。 · 成反比例关系的实际例子：面积一定，底与高成反比；路程一定，速度与时间成反比等。 1．（2025秋•浦东新区校级期末）下列函数中，不是反比例函数的是（　　） A． B．y＝5x﹣1 C． D． 2．（2026•芜湖模拟）若xy≠0，x+y≠0，与x+y成反比，则（x+y）2与x2+y2（　　） A．成正比 B．成反比 C．既不成正也不成反比 D．关系不确定 3．（2025秋•海淀区期末）下列关系中，成反比例关系的是（　　） A．长方形的周长一定时，相邻两边的长 B．三角形面积一定时，它的底和高 C．机器人每小时采摘400个苹果，它的采摘总量与采摘时间 D．一个人的跑步速度与他的体重 4．（2026春•郸城县月考）若函数是反比例函数，则m的值为　 　 ． 5．（2025秋•虹口区校级期中）下列函数关系式：（1）y；（2）；（3）y；（4）（5），其中表示y是x的反比例函数的是　 　 （填入序号）． 6．（2025春•杭州期末）已知y与z成正比例，z与x成反比例．当x＝﹣4时，z＝3，y＝﹣4． （1）求y关于x的函数表达式； （2）在平面直角坐标系中，y关于x的函数图象上有A，B两点，且点A的横坐标为2，点B的横坐标为4，求△OAB的面积． 7．（2026•立山区模拟）已知y＝y1﹣y2，其中y1与x﹣1成反比例，，如表给出了自变量x与函数y的一些对应值． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 6 … y … m ﹣1 n … （1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）补全表格：m＝　 　 ，n＝　 　 ； （3）当y1≥y2时，直接写出x的取值范围　 　 ． 【考点2】反比例函数图像与性质（对应第8-19题） ※ 方法总结 · 根据 的符号判断图像位置和增减性： 在一、三象限， 随 增大而减小； 在二、四象限， 随 增大而增大。 · 比较函数值：若两点在同一象限，利用增减性；若在不同象限，正数 > 负数。 · 图像共存问题：根据一次函数和反比例函数中 的符号一致性判断，必要时分类讨论。 · 反比例函数平移：上下平移（加减常数），左右平移（加减自变量），平移后图像形状不变，但对称中心改变。 · 与不等式、整数解结合：利用图像写出解集，或根据参数范围求解。 8．（2026•徐汇区二模）下列函数中，y的值随x的增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 9．（2026春•浦东新区校级月考）关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（　　） A．图象经过点（﹣1，3） B．图象分别位于第二、四象限 C．图象关于原点对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 10．（2026春•浦东新区校级月考）一次函数y＝k（x﹣1）与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 11．（2026春•闵行区校级月考）已知反比例函数y经过平移后可以得到函数y1，关于新函数y1，下列结论正确的是（　　） A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．该函数的图象与y轴有交点 C．该函数图象与x轴的交点为（1，0） D．当0＜x时，y的取值范围是0＜y≤1 12．（2026春•上海校级月考）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是　 　 ． 13．（2026春•上海月考）已知点A（2，﹣1）在反比例函数y（k≠0）的图象上，那么当x＞0时，y随x的增大而　 　 ． 14．（2026•东莞市一模）已知反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，写出一个满足条件的反比例函数解析式　 　 ． 15．（2026•大足区模拟）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，且关于x的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的整数m的值之积为　 　 ． 16．（2026•衡阳模拟）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且x1＜x2＜0＜x3．则y1，y2，y3的大小关系是　 　 ．（用“＜”连接） 17．（2026春•宁明县月考）已知反比例函数（a为常数）． （1）若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； （2）当x＞0时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 18．（2025秋•路南区期末）已知反比例函数y，（k为常数，k≠1）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 19．（2026•拱墅区校级开学）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），C（0，6），反比例函数图象L1对应的函数表达式为，反比例函数图象L2对应的函数表达式为.把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”． （1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有　 　 个“整数点”； （2）若L2和L1之间（不含边界）有4个“整数点”，求k的取值范围． 【考点3】反比例函数应用（对应第20-31题） ※ 方法总结 · 实际问题中，通常两个变量乘积为定值，即可设 ，代入一组对应值求 。 · 分段函数：如先直线上升（一次函数）后反比例下降，求有效时间需分别计算两个阶段满足条件的时长，再相加。 · 与不等式结合：求“不低于某值”的时间，要解分式不等式，注意定义域。 · 注意单位统一，结果根据实际取近似或精确值。 20．（2026•黄冈模拟）在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间t（单位：h）是充电功率P（单位：kW）的反比例函数，其图象如图所示．若该新能源电动车每次充满电需要4～5h，则充电时的充电功率范围是（　　） A．15～20kW B．15kW以内 C．12～15kW D．12kW以上 21．（2026•息县一模）物理学中，有很多量之间的关系可以用函数来描述，比如通过定值电阻的电流I（单位：A）是电阻两端的电压U（单位：V）的正比例函数．观察如图，计算电压为10V时，通过它的电流为（　　） A．10A B．8A C．6A D．4A 22．（2026•西华县模拟）某康复中心对房间进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间的变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现两段函数图象（部分图象），其中AB段为渐深消毒阶段，用一次函数刻画，BC段是反比例函数（x＞0）图象的一部分，为降解消毒阶段．下列结论错误的是（　　） A．当10≤x≤30，y随x的增大而增大 B．当消毒后60分钟时，消毒效果为3效力 C．消毒过程中消毒效果为4效力及以上的持续时长为28分钟 D．当消毒后20分钟时，消毒效果为效力 23．（2026春•吴江区期中）有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为R1，R2，总电阻阻值为R，三者之间的关系为，若已知R1，R2，则用R1，R2表示R是（　　） A． B．R1+R2 C． D． 24．（2026•夏邑县模拟）如图，在常温（25℃）常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到100℃时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度y（℃）与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在30℃∼50℃时适宜饮用，在40℃时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法错误的是（　　） A．加热6分钟时水沸腾 B．加热4分钟时水温上升了50℃ C．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟～第20分钟 D．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是16分钟 25．（2026•中阳县模拟）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V＝8m3时，气体的密度是　 　 kg/m3． 26．（2026•西安模拟）真空压缩袋压缩衣物以减小体积，给人们的生活带来了很大便利．同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）有如图所示的反比例函数关系，当压缩到密度等于40g/cm3时，其体积是　 　 cm3． 27．（2026•嘉定区）为了预防某种流行性疾病，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．如图，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物燃烧后，y与x成反比例，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克为杀灭病菌的有效浓度，则此次药物维持有效浓度的时长是　 　 分钟． 28．（2026•蓬江区模拟）如图，密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系．当V＝9m3时，则二氧化碳的密度ρ为　 　 kg/m3． 29．（2025秋•闵行区期末）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示）．餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示． 表一：地面所受压强与接触面积之间的关系 地面所受压强p（Pa） … 4×104 6×104 8×104 1×105 … 接触面积S（m2） … 1.2×10﹣3 8×10﹣4 6×10﹣4 4.8×10﹣4 … 表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系 地面材质 玻璃 木地板 大理石 能承受的最大压强p（Pa） 4.8×107 2.4×107 2.5×108 （1）求地面所受压强p（Pa）关于接触面积S（m2）的函数表达式（不写定义域）； （2）求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？ 30．（2026•金山区二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图，其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接．滑杆可以绕固定轴O转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数，因此电流表上一定的示数对应者油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流I（单位：A）与总电阻R（单位：Ω）成反比例，其中R＝R0+R1，已知R0＝20Ω． 可变电阻R1（单位：Ω）与油量体积V（单位：L）之间的关系如图2所示，R1≥0．当油箱内油量体积为35L时，电流表显示为0.1A． （1）当油箱内油量体积为35L时，求总电阻R的值； （2）求I关于总电阻R的函数解析式； （3）当油箱中油量体积满足5≤V≤55时，求电流表显示电流的取值范围． 31．（2026春•洛宁县期中）宜阳县某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系图象，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． （1）分别求出当0≤x≤5（即AB段）和10≤x≤24（即CD段）时，y与x之间的函数关系式； （2）大棚里栽培的这种蔬菜在温度为16℃到20℃（含16℃及20℃）的条件下最适合生长，直接写出这种蔬菜在一天内最适合生长的时间有多长？ 【考点4】一次函数与反比例函数综合（对应第32-38题） ※ 方法总结 · 求交点：联立方程，通常得到一元二次方程，解出横坐标，再求纵坐标。 · 比较大小：图像法，找出反比例函数图象在一次函数图象上方（或下方）的 范围。 · 面积问题：常利用 ，或分割成几个三角形面积和。 · 平行条件：若两一次函数图象平行，则 相等；若反比例函数与一次函数有平行关系，需通过参数符号判断。 · 存在性问题：设动点坐标，利用面积条件列方程，注意解的取舍。 32．（2026•新会区一模）如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（　　） A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1 C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1 33．（2026•让胡路区校级模拟）如图，一次函数y＝x（x≥0）与反比例函数的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点D，交y＝x的图象于点B，过点C作CE⊥AD于E，点A的横坐标为1．有以下结论： ①线段AB的长为9； ②点C的坐标为（3，3）； ③当x＞3时，一次函数的值大于反比例函数的值； ④BE：AE＝2：3． 其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 34．（2026•上海校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A（1，4），B（﹣4，n）两点． （1）分别求一次函数及反比例函数的表达式； （2）在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接PA，PB，且满足S△PAB＝15，求点P的坐标． 35．（2026春•浦东新区校级月考）如图，反比例函数与一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象相交于A、B两点，点A的坐标为（﹣6，2），点B的坐标为（3，n）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）连接AO、BO，求△AOB的面积． 36．（2025•宝山区校级二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（2，1）． （1）求反比例函数的表达式和点B的坐标． （2）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围． （3）过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC．求△ABC的面积． 37．（2026•九龙坡区模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数y2＝x﹣1的图象交于A，B两点，与一次函数y3的图象交于C，D两点，且AB∥CD．一次函数y2，y3的图象分别与y轴交于点E，F． （1）求点E的坐标； （2）若△ABD的面积为15，求EF的长； （3）在（2）的条件下，当y3＞y1时，求x的取值范围． 38．（2026春•张店区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝2x与反比例函数y（k＞0）的图象相交于A（2，m），B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC． （1）求该反比例函数的表达式并直接写出点B的坐标； （2）若点D在该反比例函数的图象上，当S△ACD时，求点D的坐标； （3）请直接写出关于x的不等式2x的解集． 课后巩固 · 针对性练习 · 巩固1（反比例函数判断） — 准确识别反比例函数，排除正比例、二次函数及分母含加减的形式。 · 巩固2（总产量与月产量关系） — 由累计产量图象推断每月产量变化（斜率反映月产量）。 · 巩固3（一次函数与反比例函数图象共存） — 根据 的符号判断两图象位置是否一致。 · 巩固4（反比例函数性质综合） — 象限、增减性、函数值比较，注意“在每个象限内”的前提。 · 巩固5（图象共存） — 一次函数 与反比例函数 的图象判断。 · 巩固6（体积与密度） — 利用反比例函数求体积范围，注意实际意义。 · 巩固7（速度与质量） — 由已知点求反比例函数解析式，再代入求值。 · 巩固8（电流与电阻） — 根据图象求反比例函数解析式，代入电阻求电流。 · 巩固9（需求量与供应量） — 联立反比例函数和一次函数求交点（均衡价格）。 · 巩固10（注意力指标） — 分段函数（一次+反比例），求注意力不低于36的时长。 · 巩固11（桔槔杠杆） — 根据实验数据发现反比例关系，描点画图，判断增减性。 · 巩固12（药熏消毒） — 先正比例后反比例，求有效时间（解不等式组）。 · 巩固13（注意力指数） — 由一次函数和反比例函数组成的分段函数，比较不同时间点的函数值。 · 巩固14（弹簧弹力） — 根据数据得正比例关系（弹力与伸长量成正比），结合劲度系数比较。 ❤ 复习建议 反比例函数章节重在概念清晰、图像性质熟练、实际建模准确。建议多画图像辅助理解增减性，注意“在每个象限内”的表述。综合题中要灵活运用数形结合和待定系数法，面积问题常用铅垂高法。 【作业1】（2026•松江区模拟）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　） A．y＝x2 B． C． D． 【作业2】（2026春•潍坊期中）如图是某企业2025年1﹣8月份总产量C（即前t个月产量之和）与时间t（月）的函数图象，则下列图象中能大致反映每个月产量v与时间t关系的是（　　） A． B． C． D． 【作业3】（2026春•新安县期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+k与反比例函数y（k≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【作业4】（2026•上城区一模）关于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．若函数图象分布在第二、四象限，则 B．若点（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2 C．若m＞2，则当1≤x≤3时，y的最大值为2m﹣3 D．若函数图象上有两点A（a，b）、B（c，d），满足a＜0＜c且b＞d，则 【作业5】（2026春•北京期中）在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【作业6】（2026•丹江口市一模）现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（cm3）与密度ρ（g/cm3）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于20g/cm3时，其体积可以是（　　） A．0cm3 B．16cm3 C．20cm3 D．24cm3 【作业7】（2026•成华区模拟）某机器狗最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知该机器狗载重后总质量为60kg时，它的最快移动速度为6m/s，则当其载重后总质量为90kg时，它的最快移动速度为　 　 m/s． 【作业8】（2026•宝安区二模）蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）是关于电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示，点P是图象上一点．当用电器电阻R为9Ω时，电流是　 　 A． 【作业9】（2026•秦淮区一模）某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量y1（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图象如图所示．该产品的月供应量y2（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为　 　 元． 【作业10】（2026春•莱芜区期中）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示． （1）求反比例函数的解析式，并求点A对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【作业11】（2026•金凤区校级二模）屹泽在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，屹泽发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 a 100 （1）表格中a的值是　 　 ； （2）屹泽通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由． 【作业12】（2026春•北京期中）为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg． 根据以上信息解答下列问题： （1）求药物燃烧时y与x的函数关系式； （2）求药物燃烧后y与x的函数关系式； （3）当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，在这个过程中，对病毒有作用的时间总共为　 　 分钟． 【作业13】（2026•汕尾一模）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（单位：min）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，BC∥x轴，CD为反比例函数图象的一部分），其中AB段的关系式为y1＝2x+20． （1）求出曲线CD所在的函数关系式； （2）通过计算比较：开始上课后，第5min时与第30min时，哪个时间点学生的注意力更集中？ 【作业14】（2026春•北京校级期中）某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力F与弹簧的伸长量x之间的关系，设计如图所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为6cm，在弹簧下端悬挂一个钩码，平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过程，将所得数据填入下表： 弹簧受到的弹力（N） 0 30 60 90 120 150 … 弹簧的长度（cm） 6 8 10 12 14 16 … 请帮该兴趣小组解决下列问题： （1）处理上表的数据，以弹簧的伸长量x为横轴，弹簧弹力F为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧伸长量＝弹簧受力后的长度﹣弹簧原长度） ①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线； ②写出弹簧弹力F与弹簧的伸长量x的函数关系式　 　 ；（不要求写自变量的取值范围） （2）如果该弹簧受到超过240N的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为21cm，该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由． （3）设弹簧的劲度系数，同学们拿来两根劲度系数不同的弹簧甲、乙，分别挂上M、N两物块（如图所示），且物块M的质量大于物块N的质量（质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大），由图可知，甲、乙两弹簧的劲度系数的大小关系为k甲　 　 k乙．（填“＞”，“＜”或“＝”） 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $