云南省玉溪第一中学2025-2026学年下学期高三仿真考（一）数学试题

**基本信息** 高三数学仿真卷以核心素养为导向，通过学生社团、商场抽奖等现实情境设计问题，覆盖集合、复数、立体几何等知识，梯度分布合理，适配高考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、数列、椭圆|第3题社团参加问题考查排列组合，体现数学思维的逻辑性| |填空题|3题/15分|向量夹角、三角函数方程、概率递推|第14题取球概率考查数据意识，强化数学语言表达| |解答题|5题/77分|解三角形、立体几何、双曲线、概率统计、导数|第18题商场抽奖综合考查概率应用，第19题函数零点论证体现数学推理能力，契合高考命题趋势|

玉溪一中2025—2026学年下学期高三仿真考（一） 数学试题评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C B C C D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD ACD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 答案   四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解：由， 则，又， 所以， 化简整理得，解得或， 又为钝角，故为锐角，所以，则， 由，解得， ． 因为， 又，则，所以， 所以的面积 ， 又为锐角，所以，， ， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的面积的最小值为． 16．（15分） 解：证明：在圆台中， 由，为该圆台的母线，得，延长线交于一点， 而平面平面，平面平面，平面平面， 所以； 连接，，由直线为圆台的轴，得，延长线交于一点， 由同理得， 由，，得， 则，而， 因此， 直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设， 则，，， ，，，， ，， 则，即， 所以异面直线与所成角为； 由得，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则， 取，得，， 故平面的一个法向量为， ， 取，得， 故平面的一个法向量为， 由二面角的余弦值为， 得， 解得， 所以圆台的高的长为． 17．（15分） 解：设双曲线的半焦距为，右准线的方程为， 由题意，，在方程中，令， 解得：，所以， 联立解得：，，， 所以双曲线的标准方程为：． 当直线与轴不重合时， 设其方程为． 与双曲线方程联立：，得． ， 因为有两个交点，故则， 设，，有， 直线的方程为：，右准线的方程为， 令，得到点坐标， 所以直线的方程为：， 令，得到直线与轴交点的横坐标： ． 所以直线过点． 当直线与轴重合时， 直线也与轴重合，也过点． 综上所述，直线过定点． 18．（17分） 解：（1）从个球中抽个，即种 抽个红球：种，概率为； 抽个黑球：种，概率为； 抽红黑：种，概率为． 设奖金为随机变量， 则期望， 则元 （2）①第次获第份礼品：第次抽红球，概率，此时箱内变为黑红； 第次未获礼品：抽黑球放回，箱内仍为黑红，概率； 第次获第份礼品：第次抽红球，概率， 因此． 第次获第份、第次获第份： 第次抽黑球放回，箱内黑红，概率； 第次抽红球箱内变为黑红，概率； 第次抽红球，概率； 故． 包含“第次获第份、第次获第份”和“第次获第份、第次获第份”， 即， 则 ②设第位顾客恰好获得第份礼品的概率为， 第一个红球在第次被抽到，且第到次均抽黑球，第次抽到第二个红球． 第到次：均抽黑球箱内黑红，概率为； 第次：抽红球箱内变为黑红，概率为； 第到次：均抽黑球箱内黑红，概率为； 第次：抽红球，概率为， 故， ， 化简得：．  19．（17分） 解：令，即， 设因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 当时，，，， 所以当时，在上有两个零点 当或时，有唯一零点 当时，无零点． 证明：由知，当时，有唯一零点，则且， 两边取自然对数，得， 所以，， ，得， 所以． 因为函数在上单调递增， 所以，所以数列单调递增． 先证明：时，， 设，则， 所以当时，，单调递减 当时，，单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立． 由式知，， 所以， 所以， 所以． 式中，令，得，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，，当且仅当时等号成立． 当时，在式中，令，得， 所以时， ． 当时，成立． 所以，得证． 数学试题评分参考第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 玉溪一中2025—2026学年下学期高三仿真考（一） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集为，若，则 A． B． C． D． 2．若复数满足，则 A． B． C． D． 3．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为 A． B． C． D． 4．若直线是圆的一条对称轴，则 A． ．B C． D．1 5．已知，则 A． B． C． D． 6．已知，，则 A． B． C． D． 7．已知等差数列的前项和为，且，则 A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某中学举行数学史知识竞赛，其中个小组的比赛成绩分别为：，，，，，，则这组数据的 A．极差为 B．中位数大于平均数 C．方差为 D．下四分位数为 10．已知椭圆的左，右焦点分别为，，上，下两个顶点分别为，，的延长线交于，且，则 A．椭圆的离心率为 B．直线的斜率为 C．为等腰三角形 D． 11．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是 A．当时， B．的极大值点是 C．的值域为 D．当时，函数有个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，均为单位向量，且，则和的夹角大小为 ． 13．设常数使方程在闭区间上恰有三个解，，，则 ． 14．一袋中装有个红球，个黑球，从中任意取出一球，然后放回并放入个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作．第二次取出的球是黑球的概率为 ；在第一次取出的球是红球的条件下，第次和第次取出的球都是黑球的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的内角，，所对的边分别为，，，角为钝角，，． （1）若，求的值； （2）求面积的最小值． 16．（15分） 如图，已知圆台，，，均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，． （1）证明：； （2）求异面直线与所成角； （3）已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长． 17．（15分） 已知双曲线的左右焦点为，，其右准线为：，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线与直线的交点为，证明：直线过定点． 18．（17分） 某商场为回馈广大顾客，开展消费抽奖促销活动，抽奖箱里装有个除颜色外其他都相同的小球，其中个黑球和个红球， 取球结果 个红球 个黑球 红、黑球各个 奖金 元 元 元 （1）消费每满元可参与一次抽奖，抽奖顾客一次性从抽奖箱中随机抽取个小球，按照表格领取奖金，求顾客抽奖一次所得奖金的期望； （2）若该商场对消费不足元的部分顾客设置一个幸运抽奖环节，第一个抽幸运奖顾客抽奖前，抽奖箱里仍然是个黑球和个红球，每位抽幸运奖顾客从中随机抽取个小球，若取出黑球，则放回小盒中，无奖励；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，奖励幸运礼品一份；下一位抽幸运奖顾客在前一位抽奖后的箱中继续抽奖，直至红球取完为止设“第个抽幸运奖顾客获得第份幸运礼品”记为事件，设“第个抽幸运奖顾客获得第份幸运礼品”记为事件． ①求和； ②求第位抽幸运奖顾客恰好获得第份幸运礼品的概率． 19．（17分） 已知函数． （1）若，讨论的零点的个数； （1）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明： ①数列是递增数列； ②． 数学试题第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $