2026年高考数学模拟冲刺卷01（全国一卷通用）

2026年高考数学模拟冲刺卷01（全国一卷通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法表示集合、交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】已知集合，所以，即， 因为，所以. 2．已知复数 满足 ，则 （    ） A． B．5 C． D．10 【答案】A 【知识点】复数的除法运算、求复数的模 【分析】由复数的乘法、除法运算和模长公式即可求解. 【详解】由， 得，即 则 . 3．已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量的线性运算以及平行向量的坐标表示即可求出值. 【详解】，，则， 由得，解得. 故选：D. 4．2024年6月，国家卫健委等16部门联合发布《“体重管理年”活动实施方案》，旨在通过三年行动提升全民体重管理意识，推广健康生活方式.体重指数（体重公斤数除以身高米数平方）是常用的衡量人体胖瘦程度的一个标准，中国成人参考标准如下表.某中学在高三年级学生中随机抽取10人并计算出他们的体重指数分别为：16，18，18，19，19.7，20.3，21，22，26，30，则下列结论不正确的是（   ） 偏瘦 <18.5 正常 18.5~23.9 偏胖 24~27.9 肥胖 ≥28 A．这组数据的中位数为20 B．该组数据的极差为14 C．这十个人的平均体重正常 D．从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为20% 【答案】D 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率 【分析】根据给定的数据组，依次求出中位数、极差、平均数、概率判断ABCD. 【详解】对于A，这组数据的中位数为，A正确； 对于B，这组数据的极差为，B正确； 对于C，10人体重指数的平均数为，C正确； 对于D，10人中体重指数在的1人，从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为10%，D错误. 故选：D 5．已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出的值，结合离心率求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图依题意，的周长为， 解得． 设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，解得． 所以． 故椭圆的标准方程为． 故选：D. 6．已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的截面的性质及计算、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长，利用几何法求出球的半径，最后利用球的表面积公式求解． 【详解】已知圆锥底面半径，体积为，设圆锥的高为，则 ，解得， 设圆锥母线长为，则， 设圆锥内切球半径为，则截面图如下： 则，，， ，即， ， 该内切球的表面积为． 7．已知函数的定义域为，若函数是偶函数，函数是奇函数，则在上的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求函数解析式 【分析】先利用偶函数性质列出，再由奇函数性质列出，联立两式消去化简求得，换元令得，转化为对勾函数，由其在单调递增，代入算出最小值为. 【详解】已知是偶函数，所以① 已知是奇函数，所以，即② 由①得， 代入②：. 整理得，. 令，，则，. 对勾函数在递增，区间在递增区间内. 最小值在处：. 8．已知数列满足，，若对，，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、数列不等式恒成立问题 【分析】由，得到，通过累加得到，再通过分参得到，结合基本不等式求得最小值，即可求解. 【详解】因为， 所以， 即，所以当时， ，所以，也满足， 所以，， 所以恒成立， 即， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以实数t的取值范围是， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．样本数据的第75百分位数为23 B．若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为4052 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BC 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、二项分布的均值、指定区间的概率、总体百分位数的估计 【详解】选项A，样本共个数据， ，第75百分位数为第8项数据24，A错误； 选项B，方差， 因为， 故样本均值，样本总和为，B正确； 选项C，若，则， 根据期望性质， 得，C正确； 选项D，正态分布的对称轴为， 由对称性得， 则，D错误. 10．如图，在棱长均为2 的正三棱柱中，D 为 的中点，则（    ） A． B．异面直线 与 所成角的余弦值为 C．若分别为 上的点，则的最小值为1 D．若点P 在底面上，且平面，则点P的轨迹长度为 【答案】ABD 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、异面直线夹角的向量求法、立体几何中的轨迹问题 【分析】先证平面，即可判断A；先证为异面直线与所成的角或其补角，再解三角形即可判断B，取，分别为，的中点，取，，即可判断C，先证平面 平面，得出点的轨迹为线段，即可判断D. 【详解】对于A，如下图，连接，易得， 因为平面，平面,所以， 又 平面，所以平面， 因为平面，所以 ，A正确； 对于B，如下图，连接， 由题可得，所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，如下图，若,，分别为,，的中点，连接和， 所以，，所以四边形是平行四边形， 又因平面，平面，则，同理可得， 因,则，又因，平面, 则平面,又平面,则， 因,故，即是异面直线 的公垂线段， 故此时的最小值为，C错误； 对于D，如图，取的中点，连接，，， 易得 ， ，由线面平行的判定定理可得平面，平面， 又，平面，平面， 所以平面平面， 因为点在底面上运动，且平面， 所以点的轨迹为线段，所以点的轨迹长度为，D正确. 11．设函数，则（   ） A．有三个零点 B．是的极小值点 C．当时， D．曲线上存在无数多对互相平行的切线 【答案】BCD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【详解】对于A，令，解得或，所以有两个零点，A错误； 对于B， ， 所以当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，B正确； 对于C， ， 当时，，所以， 所以当时，，C正确； 对于D，， 所以对于任意的实数，都有两个解， 所以曲线上存在无数多对互相平行的切线，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为___________.（用数字作答） 【答案】 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】根据二项式系数的性质，求得，得到展开式的通项，结合通项，即可求解. 【详解】因为二项式展开式的二项式系数之和为，可得，解得， 则二项式展开式的通项为， 令，可得，所以展开式的常数项为. 13．_________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】三角恒等变换的化简问题、给角求值型问题 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合诱导公式、和角公式及二倍角公式计算可得结果. 【详解】 . 故答案为：. 14．已知为坐标原点，双曲线 的左焦点为，离心率为 过且斜率为的直线交的左支于两点， 为线段的中点，，则____. 【答案】3 【难度】0.4 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】设直线 斜率为 ，，由，求得坐标，再代入双曲线方程，进而可求解. 【详解】双曲线离心率 ​​，平方得 ​， 整理得 ，， 左焦点 ，设 ，为 中点，则 ， 设直线 斜率为 ，，故 ， 代入 ​​，结合 ， 则， 联立 解得： ​ 又 在双曲线上，满足 ，将 ​ 代入， 即满足，代入​， 消去 后整理得： ， 解得 或 ， 在双曲线左支，， 若 ，，符合要求； 若 ​，，在右支，舍去， 又 ，得 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在 中，角的对边分别为． (1)若，求A； (2)若 为锐角三角形，且，求 周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】(1)利用正弦定理边化角，通过三倍角公式变形，再解三角方程即可求解； (2)利用边化角，再利用三角恒等变形，即可得到周长的取值范围. 【详解】（1）已知，且，因此， 由正弦定理，结合得， 即，展开 ， 因为，，所以， 又因为，故，所以可得 ​​，即， 因此. （2）已知，，由正弦定理​， 可得：，又， 再由正弦定理​，则， 故三角形的周长： 因为为锐角三角形，三个角均为锐角： ，可得，即， 所以. 16．（15分） 如图，已知梯形中，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角的大小为． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、面面角的向量求法 【分析】（1）通过，即可求证； （2）由等体积法即可求解； （3）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）证明：因为在梯形中，，点是的中点， 所以四边形是正方形，所以， 所以将沿折起到的位置时，， 又平面，所以平面． （2）由（1）知是二面角的平面角，， 在中，， 在和中，， 所以，所以的面积为， 在平面中，作，与的延长线交于点， 则平面，由知， 的面积为， 设点到平面的距离为，由三棱锥的体积得， 所以点到平面的距离． （3）以，为轴，轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设为平面的一个法向量，则 ，即 取，得 则， 设为平面的一个法向量，则 ，即 取，得 则， 所以， 所以二面角的正弦值为． 17．（15分） 某棋类游戏有不同规格的地图，规格为（，）的地图共有个格子，编号为0，1，2，…，，如下图所示. 0 1 2 … 2n 游戏规则如下： ①玩家首先选定地图规格，并获得2枚金币，棋子位于起点（0号格子）； ②玩家掷一枚质地均匀的骰子，向上点数不超过2时，棋子向前跳1格；否则，向前跳2格；如此重复操作直至游戏成功或失败； ③每当棋子落到非零偶数格时，就相应扣除1枚金币.当金币被扣光或棋子落到号格子时，游戏终止，视为失败，无奖励；当棋子落到号格子时，游戏终止，视为成功，获得奖励10n元. (1)若选定规格为的地图，求游戏成功的概率； (2)若选定规格为的地图，求棋子落到2n号格子且游戏成功的概率； (3)为使获得奖励的期望最大，玩家应选择何种规格的地图？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）列出失败的路径，求出失败的概率再计算即可； （2）列出棋子路径，再计算概率即可； （3）先列出成功的情况，分别计算其概率再相加，再列出收益分布列和期望表达式，计算最大值即可. 【详解】（1）由题意得，向前跳1格概率为，向前跳2格为， 时，游戏失败只有2和4两格均落到和不落到2号格且从4号格直接落到6号格， 落到2号格概率为，从2号格到4号格概率为， 不落到2号格且落到4号格概率为，从4号格直接落到6号格概率为， 故失败的概率为， 所以成功的概率为； （2）因为2n号格为非零偶数格，所以棋子在落到2n号格子前不能落到非零偶数格上， 所以路线为共 次跳 2 格，3 次跳 1 格， 所以棋子落到号格子且游戏成功的概率为； （3）设“游戏结束时，余下的金币数量”，则， ； 时，棋子路径有3种情况： ，其概率为； ，其概率为； 棋子落到第号格处且成功，共有种路径， ， 每条路径概率相等且每条路径概率为， ， 总成功概率， 设收益为，则的分布列为 ， 令，即，解得， ，所以故 时期望最大，期望最大的地图规格为. 18．（17分） 椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)数列是等比数列，公比为 (3)直线恒过定点 【知识点】由递推关系证明等比数列、根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）根据的关系即可求出； （2）设，直线的方程为，联立得到，再求直线的斜率之积，设直线的斜率为，求出即可证明； （3）直线的方程为，根据（2）的结论求出即可证明. 【详解】（1）由题意得，， 故E的方程为. （2）设，直线的方程为， 由，消去，整理得， ， 直线的斜率之积为 ， 设直线的斜率为，依题意可知均存在且不为零， 由经过E的右焦点，知①， 由经过E的左焦点，知②， ②①得，故数列是等比数列，公比为. （3）直线的方程为，由（2）知， 故，解得， 故直线恒过定点. 19．（17分） 已知为定义在上的奇函数且连续可导，令.当时，有. (1)讨论在区间上的单调性，并证明：当时，； (2)当时，解不等式：； (3)我们可以找到满足题意的一个函数.现在利用这个函数，重新构造函数，记，若实数满足，证明：. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式 【分析】（1）对求导，结合已知条件和的奇偶性，推导在上的符号，进而判断函数单调性； （2）原不等式等价于， 即，结合函数单调性证明即可； （3）求导分析在上单调性，结合题干可得，将证明，转化为证明.构造函数，求导分析单调性和极值即可. 【详解】（1）当时，， ∴为奇函数. 当时，， ∴，∴在上单调递增， ∵为奇函数，∴在上单调递增. 令，， ∴，∴在上单调递增， ∴，∴. （2）等价于 ， 即， ∵，∴，， 由（1）知在上单调递增，∴，即， 故原不等式的解集为. （3）由， 可得，整理得， ∵，∴在上单调递增， ，且，故. 要证，只需证， 只需证， 只需证， 即证. 令， ， 令，∴， 故在上单调递增， 所以，故在上单调递减， ， 即成立， 故. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学模拟冲刺卷01（全国一卷通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数 满足 ，则 （    ） A． B．5 C． D．10 3．已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．2024年6月，国家卫健委等16部门联合发布《“体重管理年”活动实施方案》，旨在通过三年行动提升全民体重管理意识，推广健康生活方式.体重指数（体重公斤数除以身高米数平方）是常用的衡量人体胖瘦程度的一个标准，中国成人参考标准如下表.某中学在高三年级学生中随机抽取10人并计算出他们的体重指数分别为：16，18，18，19，19.7，20.3，21，22，26，30，则下列结论不正确的是（   ） 偏瘦 <18.5 正常 18.5~23.9 偏胖 24~27.9 肥胖 ≥28 A．这组数据的中位数为20 B．该组数据的极差为14 C．这十个人的平均体重正常 D．从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为20% 5．已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 6．已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，若函数是偶函数，函数是奇函数，则在上的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D．6 8．已知数列满足，，若对，，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的是（    ） A．样本数据的第75百分位数为23 B．若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为4052 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从正态分布，且，则 10．如图，在棱长均为2 的正三棱柱中，D 为 的中点，则（    ） A． B．异面直线 与 所成角的余弦值为 C．若分别为 上的点，则的最小值为1 D．若点P 在底面上，且平面，则点P的轨迹长度为 11．设函数，则（   ） A．有三个零点 B．是的极小值点 C．当时， D．曲线上存在无数多对互相平行的切线 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为___________.（用数字作答） 13．_________． 14．已知为坐标原点，双曲线 的左焦点为，离心率为 过且斜率为的直线交的左支于两点， 为线段的中点，，则____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在 中，角的对边分别为． (1)若，求A； (2)若 为锐角三角形，且，求 周长的取值范围． 16．（15分） 如图，已知梯形中，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角的大小为． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的正弦值． 17．（15分） 某棋类游戏有不同规格的地图，规格为（，）的地图共有个格子，编号为0，1，2，…，，如下图所示. 0 1 2 … 2n 游戏规则如下： ①玩家首先选定地图规格，并获得2枚金币，棋子位于起点（0号格子）； ②玩家掷一枚质地均匀的骰子，向上点数不超过2时，棋子向前跳1格；否则，向前跳2格；如此重复操作直至游戏成功或失败； ③每当棋子落到非零偶数格时，就相应扣除1枚金币.当金币被扣光或棋子落到号格子时，游戏终止，视为失败，无奖励；当棋子落到号格子时，游戏终止，视为成功，获得奖励10n元. (1)若选定规格为的地图，求游戏成功的概率； (2)若选定规格为的地图，求棋子落到2n号格子且游戏成功的概率； (3)为使获得奖励的期望最大，玩家应选择何种规格的地图？ 18．（17分） 椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 19．（17分） 已知为定义在上的奇函数且连续可导，令.当时，有. (1)讨论在区间上的单调性，并证明：当时，； (2)当时，解不等式：； (3)我们可以找到满足题意的一个函数.现在利用这个函数，重新构造函数，记，若实数满足，证明：. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $