2.2 导数同构 课件-2026届高三数学二轮专题复习

专题二 导数 专题 2.2 导数同构 典例剖析 方法讲解 变式训练 专题二 导数 专题 2.2 导数同构 和差型 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1.已知函数，，若函数与的零点分别为，求的值. 变形：由，得； 构造：构造函数，则在 转化：，所以，是方程的根，由在，得，则 同左： 同右： 典例剖析 3 解析：第一，由，得，即； 由，得，即， 所以. 第二，令，易知在. 第三，由知，，可以看作是方程的根， 又在， 所以， 所以 例题 1.已知函数，，若函数与的零点分别为，求的值. 典例剖析 4 例题 2.求证：设都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ） 变形：由，得 ， 得， 得， 得. 构造：构造函数，则在上单调递增 转化：，由在，得，即，即 也可以对两边同取以为底的对数，即： ，得 典例剖析 5 解析：第一，由题意知，，，由得， ，得， 于是，则. 第二，令，易知在. 第三，则，所以，，即 故答案选 例题 2.求证：设都为正数，为自然对数的底数，若，则（ ） 典例剖析 6 例题 3.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为____________. 变形：， 观察到单独出现，指数找朋友，不等式两 边同除以，得， ， 得， 添项构造，两边同加，得 . 构造：构造函数， 则在 转化：， 从而， ， 令， 则即可， 或利用切线放缩. 典例剖析 7 解析：第一， 第二，令，易知在. 例题 3.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为____________. 典例剖析 8 第三，则，所以， 方法一：令，则即可. ，易知， 所以，，得， 又，所以，即的取值范围为. 例题 3.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为____________. 方法二：（切线放缩）由，得， 所以（当且仅当时等号成立）， ，得. 典例剖析 9 核心思想 第一，通过观察，对原式化简变形，构造内函数，，关键掌握： 1.两个恒等式：①，特别地； ②，特别地 2.两个指对运算关系： ①；； ②；； 3.常见结构： ① 同左：，构造； 同右：，构造. 方法讲解 核心思想 ② 改成指数式：，得； 或者两边取对数，直接改成对数式：，得； 构造. ③ 改成指数式：，得； 或者两边取对数，直接改成对数式：； 构造函数：. 4.技巧： 方法讲解 核心思想 ①指对同构的构造角度通常有两种：指数构造或对数构造，指数构造通常从积商关系入手，对数构造通常从和差关系入手； ②添项、减项构造：如： ，构造函数：； ③放缩构造 常见指数放缩：（当时取等号）；（当时取等号）. 常见对数放缩：（当时取等号）；（当时取等号）. ④指对各一边，参数是关键； 第二，构造函数模型，并判断的单调性； 第三，将原式等价转化为，或，或 等形式，利用的单调性将原代数关系简化，从而实现解决问题的目的. 方法讲解 练习 1.已知不等式恒成立，则实数的最大值为_________。 点拨:通过观察，将原式逐步变形，得，构造函数，则有，利用的单调性，可得，进而得. 解析： . 令，所以，，易知上单调递增， 从而，，由例1可知，. 总结：指对分离，补全结构，最后的最值可以构造函数求导，也可以放缩得出. 典例剖析 13 练习 2.若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） 点拨:把已知不等式化为，引入函数，它是增函数，不等式转化为，先证明，不等式转化为，令，由导数求得的最大值即可得到参数取值范围. 解析：不等式恒成立，等价于 . 令，则原不等式等价于恒成立. 因为在上单调递增， 所以，， 典例剖析 14 令，则，可得， 当时函数取得极小值，即最小值. 所以， 所以，， 令，，，所以 由，得，且 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以，. 所以，实数的取值范围是 故选 典例剖析 专题二 导数 专题 2.2 导数同构 积商型 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1.若恒成立，求实数的最小值. 变形： ⇔ 构造：构造函数，则 转化：由在上单调递增，得 也可采用以下方式构造： 1.， 构造； 2.两边同取以为底的对数，得 ，构造 备注： 典例剖析 17 解析：第一，由，得，即； 第二，令，，从而； 第三，由，得在， 所以，，即对任意恒成立. 令，则即可. 易知在的最大值为，所以，即实数的最小值为. 例题 1.若恒成立，求实数的最小值. 典例剖析 18 例题 2.设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） 变形： 构造：构造函数，则 转化：由在，得，即. 典例剖析 19 解析：第一，不等式对任意恒成立， 即不等式对任意恒成立. 第二，令，，从而. 第三，由，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 例题 2.设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） 典例剖析 20 解析：所以，，所以在， 所以， 两边同取以为底的对数，得，即在上恒成立. 令，则即可. 易知在的最大值为，所以，即实数的最小值为. 故答案选 例题 2.设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） 典例剖析 例题 3.若关于的不等式函数对恒成立，则实数的取值范围为____________. 变形： . 构造：构造函数， 则 转化：由在上单调递增，得. 典例剖析 22 解析：第一，由可得，即. 第二，当时，因为，所以，，不等式在显然成立 当时，令，则在上恒成立， 第三，由，在上，单调递增， 又，，， 所以只需，即在上恒成立即可. 例题 3.若关于的不等式函数对恒成立，则实数的取值范围为____________. 典例剖析 23 解析：令，则，即在上单调递增， 其中， 故， 此时，. 综上，，即实数的取值范围为. 例题 3.若关于的不等式函数对恒成立，则实数的取值范围为____________. 典例剖析 24 核心思想 第一，通过观察，对原式化简变形，构造内函数，.常见同构模型： 1.乘积型： ① 同左：，构造； 同右：，构造； 转化成和差型：，构造. ②，后面同①； ③，后面同①； ④，后面同①. 方法讲解 核心思想 2.比商型： ① 同左：，构造； 同右：，构造； 转化成和差型：，构造. ②除了构造、、、型函数之外，也可造成、、、等形式. 方法讲解 核心思想 技巧： 1.熟练掌握六个函数即、、、、、的图像和性质； 2.理解并掌握四条黄金切线：、、、，利用指数增长快于多项式，多项式快于对数的速率差异，放大或缩小不等式，简化问题求解； 3.对数单身狗、指数找朋友，在式子两边适当的同乘同除某式进行变形； 第二，构造函数模型，将原式等价转化为，或，或等形式； 第三，判断的单调性，利用的单调性将原代数关系简化，从而实现解决问题的目的. 方法讲解 练习 1.已知正数，满足，则的最小值为_________。 点拨:通过观察，将原式逐步变形，得，即，构造函数，则，研究其单调性可得=，即，从而将求的最小值转化为求在上的最小值. 解析： . 令，则，易知上单调递增， 从而，，即，所以. 令，利用导数易知 即的最小值为 典例剖析 28 练习 2.已知，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围为. 点拨:本题常规做法涉及隐零点问题，过程比较繁琐，若采用同构，将原不等式转化为，， 则有，构造函数,则即可. 解析：不等式恒成立，等价于恒成立. 即，得. 令，，则，令，则原不等式等价于. 易知，所以 即实数的取值范围为. 典例剖析 29 千帆竞渡争朝夕 一苇以航向青云 $