吉林通化市梅河口市第五中学2026届高三下学期考前自测数学试题

**基本信息** 高三数学三模试卷，覆盖复数、统计、立体几何等核心知识，解答题融合解三角形、函数导数等综合应用，通过AI科研、知识竞赛等情境考查数学思维与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数虚部、集合运算、百分位数、解三角形、立体几何（正方体）、概率（AI小组）|单选基础巩固，多选结合正方体动态问题、AI科研情境，考查空间观念与数据意识| |填空题|3题15分|二项式常数项、数列递推、球内接正四面体|第14题结合球与正四面体，考查空间想象与数学建模| |解答题|5题77分|解三角形（面积最值）、函数导数（切线与证明）、概率统计（得分分布）、椭圆（焦点弦）、函数综合（单调性与证明）|概率题以知识竞赛为背景构建得分模型，函数题通过构造辅助函数证明不等式，体现运算能力与推理意识|

高三数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 5 D. 6 2. 若全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 一组从小到大排列的数据：.若它们的第60百分位数比平均数大2，则的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 4. 已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点到点的距离为，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 圆上的点到直线距离的最大值是（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 2 7. 如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是 8. 已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（ ） ①；②；③函数有最小值；④函数有最大值． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在棱长为2的正方体中，为上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 正方体外接球体积为 C. 存在一点，使得直线CE与平面所成的角为 D. 到平面的距离为 10. 在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力．当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力、数据、安全与可解释性等核心难题．某公司成立了甲、乙、丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行技术攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（ ） A. 只有一个小组受到奖励的概率等于 B. 技术难题被攻克的概率为 C. 只有甲、丙小组受到奖励的概率为 D. 甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为 11. 已知定义在上的函数满足：，其中[x]表示不超过的最大整数．当时，，设数列满足，数列为从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. ，使得 C. 数列的通项公式 D. ，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在二项式的展开式中，常数项为____________. 13. 已知数列的首项，且满足，则______. 14. 如图，已知在一个四分之一球形状的玩具储物盒内可放入的最大正方体棱长为，若重新放入一个正四面体，并使该正四面体可以在储物盒内以任意角度旋转，则可放正四面体的最大棱长为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，. （1）求； （2）求的面积的最大值. 16. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程； （2）若，证明不等式在上恒成立. 17. 某单位为了提高职工业务能力，举行相关的知识竞赛.规则如下：利用计算机在题库中选出3个题由职工作答，已知题库中有，两类题，每个类题答对可以得到20分，每个类题答对得30分.两类题的数量足够，每位职工正确回答类和类题的概率分别是和，且回答，两类题正确与否相互独立. （1）若职工甲选3个类题作答，试求甲得分的分布列和方差； （2）若甲乙两人每人选择2个类题和1个类题作答，求甲得分高于乙的概率. 18. 已知椭圆的右焦点为，的上顶点和两焦点连线构成面积为的等边三角形，过点且与轴不重合的动直线交于，两点. （1）求的方程. （2）若的平分线垂直于轴， （ⅰ）求； （ⅱ）求的取值范围. 19. 已知函数，函数. （1）讨论函数的单调性并求最值； （2）若对恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，证明：. BDABD ABC 9ABC 10BD 11AC 12 180 13 14 15【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得， 即， 由于，因此， 又因为，所以，则 因为，所以， 则，故 【小问2详解】 由余弦定理可得， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，则， 则的面积， 故的面积的最大值为. 16【小问1详解】 当时，，则，，则， 此时函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，，要证对任意的恒成立， 即证，即证，即证对任意的恒成立， 构造函数，其中， ，其中，令，则， 对任意的，恒成立，故函数在上单调递增， 当时，，故函数在上单调递增， 当时，，故原不等式得证. 17【小问1详解】 设甲答对A类题的数量为，则，得分， ，此时；，此时； ，此时；，此时； 故的分布列为： 0 20 40 60 ， ； 【小问2详解】 设甲答对类题的数量为，答对类题的数量为， 则甲的得分，其中，， 设乙答对类题的数量为，答对类题的数量为，则乙的得分， 其中，，和的可能取值为， ；； ；； ；； 故的分布列为： 0 20 30 40 50 70 P 同理的分布列与相同， 故 . 18【小问1详解】 依题意，得，解得 所以的方程是. 【小问2详解】 （ⅰ）设直线的方程为， 与的方程联立，得，消去，得， ， 设，，则， 由题知，的平分线垂直于轴等价于，且直线与有两个交点. 由，得，即， 可得， 化简得，即， 由的任意性，可得，因此的值为4. （ⅱ）由（ⅰ）知，即，直线的方程为， 与的方程联立，得，消去，得， ，得， 则，，说明，两点在轴同侧， 所以 , 因为，所以，则， 所以，即， 所以， 故的取值范围为. 19【小问1详解】 由题意可得的定义域为. 当单调递增，当单调递减. 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 有最大值，无最小值. 【小问2详解】 由题意，对恒成立，且. ，且. 令，则，且. 令，则，且. ①当，即时，有在上单调递增， 在上单调递增，. 在上单调递增，成立. ②当时，，且单调递增， ，有当时，单调递减，. 在上单调递减，单调递减， ，与题干矛盾，舍去. ③当时，当单调递减，则， 单调递减，单调递减，，舍去. 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）可知，即. 令，则， . 又∵，即. 则， ， ，右式得证. 下证左式：由可知 ，令 ，则 . 由可知 ，令 ，则 . 又∵ ，证明如下： ∵， ∴， ∴，即证. ∴ . 综上可得 . ， ， ， . 所以上式得证. 学科网（北京）股份有限公司 $