海南省文昌中学2025-2026学年高二下学期期中段考数学试题

**基本信息** 聚焦高二数学核心知识，融合科技（AI答案生成）、社会热点（盲盒促销）、文化传承（新年登高志愿者）等情境，通过导数应用、概率分布、椭圆方程等问题，考查数学建模与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数运算、等差数列、抛物线与椭圆|基础巩固，如第3题等差数列求和| |多选题|3/18|概率性质、双曲线几何性质|能力辨析，如第9题概率公式应用| |填空题|3/15|二项式系数、条件概率、不等式恒成立|简洁应用，如第13题AI答案概率计算| |解答题|5/77|等比数列、概率分布列、立体几何夹角、椭圆斜率、函数单调性与方程根|分层设计，如16题盲盒促销考分布列与期望，19题函数导数综合证不等式|

2025—2026学年度第二学期高二段考答案 数 学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C A D C B D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABC ACD AD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．15 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。 15．【解析】 （1）设数列公比为， 则，解得或， …………3分 因等比数列为正项数列，则， …………4分 则，解得，  …………6分 则 …………7分 （2）当时，；当时，；当时，， …………10分 所以当或时，最大，最大值为 …13分 16．【解析】 （1）设事件A为：买到新款盲盒，事件B为：买到旧款盲盒，事件C为：盲盒中出现“隐藏款”， …………1分 则， …………2分 则； …………4分 （2）每个盲盒是否开出隐藏款相互独立，每个盲盒开出隐藏款的概率为， 因此随机变量， …………6分 根据二项分布的期望、方差公式：得 ， …………8分 （3）当拆出全部2个隐藏款或全部4个常规款时，即可确定所有盲盒类型，停止抽取，因此Y的可能取值为2，3，4，5， 隐藏款的位置共有种等可能情况 …………9分 计算概率得：（前2个均为隐藏款）， …………10分 （第二个隐藏在第3位，前2位有1个隐藏）， ……11分 （第二个隐藏在第4位，或前4个均为常规款），…12分 （剩余所有情况）， …………13分 Y的分布列为： Y 2 3 4 5 P 数学期望： …………15分 17．【解析】 （1）设交于点，因为为圆锥底面的直径， 所以由垂径分线定理可知，…1分 又因为为底面圆O的内接正三角形， 所以， 即点是的中点. …………3分 又因为点E为线段中点，即是三角形的中位线， 所以， …………4分 由题意面，所以面， …………5分 又因为面，所以平面平面； …………6分 （2）由（1）可知两两垂直， …………7分 以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： …………8分 显然可取平面的一个法向量为， …………9分 因为，等边的边长为， 所以由正弦定理得圆的半径为， 从而，即，…………10分 而， 所以，即， 因为为等边三角形，是三角形的中位线， 所以，即， 所以， …………11分 设平面的法向量为， 所以 ，令，解得， 即可取平面的一个法向量为， …………13分 从而 …………14分 所以平面与平面夹角的余弦值为. …………15分 18．【解析】 （1）由题意短轴长为2，，即， …………1分 因为椭圆经过点，所以，则. …………3分 所以椭圆方程为 …………4分 （2）（ⅰ）证明：由题意可得，因为点关于原点的对称点为， 所以,点，点为中点，即， 设， …………5分 直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以①， …………6分 因为在椭圆上，所以，解得②， ……7分 同理因为点在椭圆上，所以③， …………8分 将②③代入①式，得 （为定值）. 综上，为定值. …………10分 （ⅱ）又因为既在椭圆上又在的延长线上， 所以， …………11分 又因为 所以，则， …………12分 设，直线倾斜角为，直线倾斜角为， ，，所以， 则， …………15分 当且仅当，即，解得（因为）时等号成立， …………16分 即此时最大.所以直线方程为． …………17分 19．【解析】 （1）因为时，， …………1分 所以，其中. …………2分 当时，，当时，由 所以函数的增区间为，减区间为． …………4分 （2）（i）方程可化为， 即． …………5分 令，因为函数在上单调递增， 易知函数的值域为， 结合题意，关于的方程（*）有两个不等的实根． 又因为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为． …………6分 令，其中，则． 由可得或，由可得， 所以，函数在和上单调递减，在上单调递增． …………8分 所以，函数的极小值为， 且当时，；当时，则. ………9分 作出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当时，函数与的图象有两个交点， 所以，实数的取值范围是. …………10分 （ii）要证，只需证，即证． 因为，所以只需证． …………11分 由（ⅰ）知，不妨设． 因为，所以，即 ， 作差可得． …………13分 所以只需证，即只需证． …………14分 令，只需证． …………15分 令，其中， 则， 所以在上单调递增，故， 即在上恒成立． 所以原不等式得证． …………17分 高二数学段考题参考答案 第1页 （共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高二段考试题 数 学 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置。 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写。选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效。写在试卷上无效。 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列求导运算正确的是（　 ） A． B． C． D． 2．若服从两点分布，且，则（　 ） A． B． C． D． 3．设等差数列的前项和，若，，则（　 ） A．18 B．27 C．45 D．63 4．已知函数在处有极小值，则（　 ） A．－1 B．－5 C．－1或－5 D．－1或5 5．已知数列中，，，则数列的前2026项和为（　 ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 6．抛物线的焦点为F，且抛物线C与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则（　 ） A．2 B．1 C. D. 7．全民登高谱新篇，策马奔腾启华年. 1月1日，“中国体育彩票”2026年海南新年登高健身大会（文昌分会场）在文昌铜鼓岭举行的活动中，某路段设三个服务站，文昌某中学5名同学到甲、乙、丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（　 ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 8．函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（　 ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。 9．下列说法正确的有（　 ） A．已知事件A，B，若，且，，则 B．有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则 C．若随机变量服从两点分布，且，则 D．若随机变量，，则， 10．已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上第 一象限内一点，且，，关于的平分线的对称点恰好在上，则（　 ） A．的实轴长为2 B．的离心率为 C．的面积为 D．的平分线所在直线的方程为 11．五人进行丢骰子游戏，最后统计每人所丢骰子的点数之和，点数之和最大的获胜．已知每人每次丢完后都等可能地随机传向另外4人中的1人．第1次由将骰子传出，记第次传骰子之后骰子在或手上的概率为，记第次传骰子之后骰子在手上的概率为，则（　 ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数是________．（用数字作答） 13．人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某AI科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为，且每次生成答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为________． 14. ，且，不等式恒成立，则m的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分）正项等比数列的前项和为，满足，． （1）求的通项公式； （2）若为的前n项积，求的最大值（可以用指数式表示），并求出最大时的值． 16.（本小题满分15分）盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的 需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3∶2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． （1）求消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”的概率； （2）小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差； （3）现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望． 17.（本小题满分15分）如图，P为圆锥的顶点，为圆锥底面的直径，为等边三角形，O是圆锥底面的圆心．为底面圆O的内接正三角形，且边长为，点E为线段中点． （1）求证：平面平面； （2）M为底面圆O的劣弧上一点， 且．求平面与 平面夹角的余弦值． 18.（本小题满分17分）已知椭圆：的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点. （1）求椭圆方程； （2）点P关于原点的对称点为，点，点为PR中点，的延长线交椭圆于点S. 记直线的斜率为，直线PS的斜率为，直线的斜率为， （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）当最大时，求直线PQ方程. 19.（本小题满分17分）已知函数，． （1）当a=2时，求函数单调性； （2）若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． ( 高二数学 第 4 页 （共4页） ) 学科网（北京）股份有限公司 $