湖北孝感高级中学2026届高三下学期4月测试数学试题4.18

孝感高中高三数学试题(15)答案 一、单选题： 1 2 3 4 5 6 7 8 D D B C B A B B 二、多选题： 9 10 11 BD ABD BCD 三、填空题： 12. (-1, 1) 13. 64 14. 5．【详解】延长、交于点，取的中点，连接， 易知为等腰直角三角形，则，， 所以，，，， 故为等腰直角三角形，且，则， 因为、分别为、的中点，则，且，所以，，故. 8．【详解】 为的零点,为图象的对称轴，     . 又 当时， , , ，. . 当时，，故有2个零点，不符合，舍去. 当时，, ,. . 当时，，此时有且仅有1个零点， 10．【详解】对于A，在正八面体中，故四边形为菱形，故，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，将和展开至同一平面，如图所示， 其中，，， 由余弦定理得：，，故B正确； 对于C，，连接、，相交于点，连接， 由对称性可知，， 、均为等腰直角三角形， 所以，，， 又平面， 可证得平面，所以到平面的距离为， 设菱形的面积为，则，， 三棱锥的体积为定值，故C错误； 对于D，易得以O为球心，1为半径的球与各条棱均切于中点处， 故球与每个侧面的交线即侧面正三角形的内切圆， 又以2为边长的正三角形的高为， 可得内切圆半径，交线总长度，故D正确． 故选：ABD. 11．【详解】因为抛物线C：与圆O：交于A，B两点，且， 则第一象限内的交点A的纵坐标为，代入圆方程得横坐标为2，即， 所以，，即抛物线方程为，焦点为.设， 对A，由得， 则，又因为，解得， 所以直线l的斜率为，故A错误； 对B，由抛物线定义得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，因此的最小值为，故B正确； 对C，如图，不妨设在第一象限， 设，设直线，联立抛物线的方程消， 得，又， 所以， ， ，为钝角，故C正确； 对D，，，设，则，由抛物线的定义可得， ， 又，则， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确. 14．【详解】解：由，得，即， 因为，，所以，， 又，所以，从而， 所以，所以， 所以， 因为，所以，又满足条件的与存在且唯一，所以唯一， 所以，所以，经检验符合题意，所以， 则，解得，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 求 设，若点M是边AC上一点，，且，求的面积. 【答案】解：由及正弦定理得， 即，所以 因为，所以，所以，又，所以. 因为，所以，又，所以 在中，由余弦定理得，即① 又，所以，两边平方得， 即，所以② ②-①得，所以，代入①得， 在中，，所以是以为直角的三角形， 所以的面积为  16．本小题15分如图在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且. (1)求证：平面； (2)，求直线与平面所成角的正弦值. （1）过点P作交BD于点E，过点Q作交CD于点F，则， 因为是的中点，是的中点，所以，因为， 由平行线分线段成比例定理得：，所以， 所以四边形PEFQ为平行四边形，所以， 又平面BCD，平面BCD，所以平面； （2）因为，所以又所以， 因为，所以，同理， 又因为平面，，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面，作交延长线于点，则平面且， 如图，以为轴，为轴，轴建立空间直角坐标系， ， ， 设面的一个法向量为， 则，所以， 设直线与平面所成角为，， 所以直线与平面取成线面角的正弦值为. 17.本小题15分在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为 求，，， 求数列的通项公式; 是否存在x，使得，，，成等比数列.若存在，求出x的值;若不存在，说明理由. 【答案】解：由题意，，，成等差数列，公差为；，，成等差数列，公差为， 则，，，； 由题意，， 当，时， ， 且满足上式，所以当为奇数时，， 当时，， 所以； (3) 存在时，使得，，，成等比数列， 证明如下：由可得，，， 假设，，成等比数列， 则， 化简得，所以，即，此时， 所以当时，，，，成等比数列．  18. 本小题17已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，且右顶点和上顶点都在直线上. 求C的方程； 若直线l经过交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值； 若过点的直线交C于M，N两点，点G是线段MN上异于M，N的一点，且，证明： 【答案】解：在直线方程中， 令，得，即上顶点，则， 令，得，即，则，所以的方程为； 由题意可知直线的斜率一定不为，设的方程为， 联立得， 由根与系数的关系有 则， 于是， 令，， 根据单调性可得 当且仅当，即时，取等号，则 ，故 面积的最大值为 ； 当直线的斜率为时，不妨记，，而，由，得， 则，，因此； 当直线的斜率不为时，设，，，直线的方程为， 由消去得， 则，，且，， 如图，由，得点在线段的垂直平分线上，即， 显然， 设，即， 于是，由点在直线上，得， 则，整理得， 于是，因此，， 所以． 19.本小题17分已知函数 若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求a的值. 设是的三个零点. 求a的取值范围； 证明： 【解析】解：由题意可得，，则， 所以 若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，则， 解得； 令，则， 令，则，所以， 则的单调递增区间为，单调递减区间为，， 当，，当，， 又，，有三个零点，所以a的取值范围为 证明：由可知，，下面证明： ①要证明，只需证明， 由知，则，即， 又因为，所以， 因为在上单调递减，所以成立； ②要证明，只需证明， 又，，即证，所以上式等价于证明 由，，得，则， 所以只需证明，即证， 令，则，上式等价于证明， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即，所以原不等式成立，即 综上， 学科网（北京）股份有限公司 $ 孝感高中高三数学测试(15) 本卷满分150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 3．若函数为定义在上的奇函数，则实数（    ） A． B． C．1 D．-1 4.已知是无穷等比数列，则“”，是“对，均有”的    A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数、、、的图形．图中四边形的对角线相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 6．声音的等级(单位：dB)与声音强度x(单位：)满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB．若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍，则一般说话时声音的等级约为（    ） A．60dB B．80dB C．100dB D．120dB 7．某区进行高二数学期末调研测试，数学测试成绩，如果按照16%，34%，34%，16%的比例将考试成绩由高到低分为A，B，C，D四个等级，则A等级的分数线应该是（    ） 参考数据：若，则，. A．69 B．81 C．87 D．96 8．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在上有且仅有1个零点，则的最大值为（   ） A．11 B．9 C．7 D．5 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．下列结论正确的是（    ） A．一组样本数据的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为 B．已知随机变量，若，则 C．在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则不变 （，其中） D．分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，“2枚骰子正面向上的点数相同”，则互为独立事件 10．如图，正八面体棱长为2．下列说法正确的是（    ） A．平面 B．当P为棱EC的中点时，正八面体表面从F点到P点的最短距离为 C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥的体积为定值 D．以正八面体中心为球心，1为半径作球，球被正八面体各个面所截得的交线总长度为 11．已知抛物线与圆交于A，B两点，且.过焦点的直线与抛物线交于M，N两点，点是抛物线上异于顶点的任意一点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则（    ） A．若，则直线的斜率为 B．的最小值为18 C．为钝角 D．点与点的横坐标相同时，最小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.复数，，如果，那么实数a的取值范围是            . 13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有          种用数字作答 14. 设，，，若满足条件的与存在且唯一，则_______， _______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 求 设，若点M是边AC上一点，，且，求的面积. 16．本小题15分如图在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且. (1)求证：平面； (2)，求直线与平面所成角的正弦值. 17．本小题15分在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为 求，，， 求数列的通项公式; 是否存在x，使得，，，成等比数列.若存在，求出x的值;若不存在，说明理由. 18．本小题17已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，且右顶点和上顶点都在直线上. 求C的方程； 若直线l经过交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值； 若过点的直线交C于M，N两点，点G是线段MN上异于M，N的一点，且，证明： 19.本小题17分已知函数 若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求a的值. 设是的三个零点. 求a的取值范围； 证明： 学科网（北京）股份有限公司 $