湖北省孝感高级中学2026届高三下学期4月测试数学试题4.11

孝感高中高三数学测试（14） 一、单选题：本题共20小题，每小题5分，共100分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是(    ) A. 理科男生多于文科女生 B. 文科女生多于文科男生 C. 理科女生多于文科男生 D. 理科女生多于理科男生 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了利用作差法比较大小，推理案例，属于基础题． 将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解． 【解答】 解：根据已知条件设理科女生有人，理科男生有人， 文科女生有人，文科男生有人； 根据题意可知，， 根据不等式的性质有， 即有，所以理科女生多于文科男生， C正确． 其他选项没有足够证据论证． 故选：． 2.若复数满足，则复平面内复数所对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B  【解析】解：复数 ， 复数所对应的点为，位于第二象限． 故选B． 3.已知等差数列前项和为，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查等差数列前项和公式的应用，根据等差数列性质转化为项之间的关系是解决本题的关键． 根据等差数列的性质进行转化求解． 【解答】 解：在等差数列中，， 故选：． 4.已知，，则“存在，使得”是“”的(    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数值的性质，利用分类讨论思想进行判断是解决本题的关键，属于中档题． 根据充分条件和必要条件的定义，分别讨论为偶数和奇数时，是否成立即可． 【解答】解：当，为偶数时，，此时， 当，为奇数时，，此时，即充分性成立， 当，则，或，，即，即必要性成立， 则“存在使得”是“”的充要条件， 故选：． 5.右图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查函数图象的识别，属于中档题． 【解答】 解：对于，当时，，与图象不符，故B不正确． 对于，当时，，与图象不符，故C不正确． 对于，当时，，与图象不符，故D不正确． 故综合分析选项符合题意． 6.某批产品检验后的评分，由统计结果制成如下图所示的频率分布直方图， 下列说法中正确的是(    ) A. B. 评分的众数估值为 C. 评分的第百分位数估值为 D. 评分的平均数估值为 【答案】C  【解析】解：选项，由题意知，， 解得，故A错误； 选项，评分的众数估值为，故B错误； 选项，设评分的第百分位数为， 因为，， 所以位于区间内， 则，解得， 所以评分的第百分位数估值为，故C正确； 选项，评分的平均数估值为： ，故D错误． 故选C． 7.在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查平面向量的数量积计算 法一：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解 法二：利用平面向量的线性运算与数量积运算进行求解 【解答】 解：法一：建立如图所示坐标系， 由题易知，设，，，，设， ， 法二：注意：，，，且 ，， ，， 其中，，． 8.若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由，得， 设，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由题设原不等式有唯一整数解， 结合图象 得或 解得：． 故选A． 二、多选题：本题共9小题，共54分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的任意一点，则(    ) A. 的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点有个 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义与简单几何性质，是基础题． 根据标准方程，确定、、的取值，然后逐一判定即可． 【解答】 解：因为的标准方程为， 所以长半轴长，短半轴长，半焦距， 所以的离心率，故A错误； 因为是上的任意一点，所以，故B正确 的最大值为，故C正确 易知以线段为直径的圆与有个交点， 故满足为直角的点有个，故D正确． 10.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，次坐公交车所花的时间分别为，，，，，，，，，单位：，次骑自行车所花时间的均值为，方差为已知坐公交车所花时间与骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计，分布中的参数，并利用信息技术工具画出和的分布密度曲线如图所示若小明每天需在早上点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是(    ) A. 坐公交车所花时间的均值为10,方差为3 B. 若小明早上7:50之后出发,并选择坐公交车,则有50%以上的可能性会迟到 C. 若小明早上7:42出发,则应选择骑自行车 D. 若小明早上7:47出发,则应选择坐公交车 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查正态分布及其实际应用，考查平均数和方差的计算，属于一般题. 由均值方差公式可直接求A;由正态分布曲线的意义判断B；结合图像可知P(X18)< P(Y18),P(X13)>P(Y13),即可判断CD. 【解答】 解：坐公交车所花时间的均值为=10, 方差为(+++++++++)=9,故选项A错误. 根据题意,可以得到X~N(10,),Y∽N(15,),7:50之后出发,并选择坐公交车,有50%以上的可能性会超过10,即8点之后到校,会迟到,故选项B正确. 由图可知,P(X18)< P(Y18),P(X13)>P(Y13),应选择在给定的时间内不迟到的概率大的交通工具. 小明早上7:42出发,有18可用,则应选择骑自行车,故选项C正确. 小明早上7:47出发,只有13可用,则应选择坐公交车,故选项D正确. 11.已知直三棱柱中，，，，，分别为棱，，的中点，是线段上包含端点的动点，则下列说法正确的是(    ) A. 平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最大值为 D. 若为的中点，则过，，三点的平面截三棱柱所得截面的周长为 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查线面的位置关系，三棱锥的体积，空间向量数量积运算，截面图形的周长，属中档题． 选项，通过证明平面平面，可判断选项正误 选项，注意到平面，则可判断选项正误 选项，．．，据此可判断选项正误 选项，由题可知过，，三点的平面为平面，即可判断选项正误． 【解答】解：连接，，易证平面平面，平面， 则平面，故A正确 选项，因，平面，平面，则平面， 又，则到平面距离等于到平面距离，又为中点， 则到平面距离等于到平面距离， ，故B错误 ，当和重合时，最大为，故C正确 由题意，，三点所确定的截面周长为，故D错误． 故选AC． 三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 12.为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第年底光伏太阳能板的保有量单位：万块满足模型，其中为饱和度，为初始值，为年增长率若该地区年底的光伏太阳能板保有量约为万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为万块，那么年底该地区光伏太阳能板的保有量约          万块结果四舍五入保留到整数，参考数据：，， 【答案】  【解析】解：根据题意，所给模型中 ， 则年底该地区光伏太阳能板的保有量为 ， 因为 ， 所以 ， 所以年底该地区光伏太阳能板的保有量约万块． 故答案为． 13.已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线的距离均为，则实数          ． 【答案】  【解析】解：圆，圆心为，半径， 因为圆上恰有三点到直线的距离均为， 所以圆心到直线的距离为， 即，解得或， 又因为直线不过第三象限， 所以，即， 所以． 故答案为：． 14.直线与函数的图象的交点为，，，， ，若，，，则          ． 【答案】或  【解析】解：直线与函数的图象的交点满足， 所以或， 则交点的横坐标为，或， 相邻交点间的距离交替为或， 因为，所以，则， 所以交点的横坐标为，或， 因为，，且， 又相邻交点间的距离交替为或， ， 所以当时，，解得：， 当时，，满足题意， 所以， 则； 当时，，解得：， 当时，，满足题意， 所以， 则． 故答案为：或． 四、解答题：本题共15小题，共180分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在等差数列中，已知，． 求数列的通项公式； 若，求数列的前项和． 【答案】解由题意得 解得 所以 因为，， 所以， 当为偶数时，， 当为奇数时，为偶数， 所以  【解析】本题考查等差数列的通项公式，数列的求和，属于基础题， 根据等差数列的性质求解， 分为奇数和偶数分别求和． 16.本小题分 中，． 求； 若，求周长的最大值． 【答案】解：在中，设内角，，的对边分别为，，， 因为， 由正弦定理得，，即， 由余弦定理得，， 因为，所以． 由知，，因为，即， 由余弦定理得，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时取得等号， 所以 所以当且仅当时取得等号， 所以周长的最大值为．  【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题． 直接利用正余弦定理即可求解； 利用余弦定理与基本不等式即可求解． 17.本小题分 如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿对折至，使得． 证明：； 求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】证明：由题意得 ，，， ， ，即，亦即， 又，平面， 平面， 又平面，； 解：，， 又，， ， 又，，平面， 平面，又平面， ，两两垂直， 所以以为原点，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 易知，，， 设，，分别为平面，平面的法向量， 由取，得， 由取，得， 所以， 设面与所成的二面角的大小为， 故．  【解析】本题主要考查线线垂直的判定以及面面角的向量求法，属于中档题． 利用勾股定理可得，即，可得平面，得证； 以为原点，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，分别求出平面，平面的法向量，利用法向量即可求解． 18. 5本小题分 已知直线与抛物线：交于，两点，． 求的值 设为的焦点，，为上的两点，且，求面积的最小值． 【答案】解：设， 联立方程，得， ，且，得，， ，解得． 抛物线方程为，． 设，直线的方程为：， 联立方程，得， ，， ， ， 即， 由得，， 又，得或， 所以当时，面积有最小值    【解析】本题考查抛物线的几何性质，抛物线中三角形面积的最值问题，属于综合题． 联立方程，根据弦长公式可求得的值． 设，由可得，表示出，找到的范围可得最小值． 19.已知． 当时，求曲线在点处的切线方程； 已知有两个极值点，且满足，求的值； 在的条件下，若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】解：当时，， 所以， 所以． 所以曲线在点处的切线方程为． 因为， 所以， 因为有两个极值点， 所以有两个大于的变号零点， 所以方程有两个不等正根， 所以，解得 又因为， 即有， 整理得， 代入， 可得，解得， 又因为，所以可得， 经检验，符合题意． 由可知且，从而， 因为在上恒成立， 令 则有在上恒成立，易得， 因为，所以， 令，对称轴， 当时，， 所以在单调递增，从而恒成立， 所以在也恒成立， 所以在单调递增，从而恒成立． 当时，， 所以有两个不等实根不妨设， 所以，且当时，，从而， 所以在上单调递减， 所以，与“在上恒成立”矛盾， 综上，的取值范围是．   【解析】本题考查利用导数研究函数性质，导数几何意义，属于较难题． 利用导数的几何意义求解即可； 求导得，由极值点的定义可知方程有两个不等正根，再根据整理得，利用韦达定理代入即可求解； 令，利用导函数求的单调性证明在上恒成立即可． 学科网（北京）股份有限公司 $ 孝感高中高三数学测试（14） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是(    ) A. 理科男生多于文科女生 B. 文科女生多于文科男生 C. 理科女生多于文科男生 D. 理科女生多于理科男生 2.若复数满足，则复平面内复数所对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知等差数列前项和为，若，则(    ) A. B. C. D. 4.已知，，则“存在，使得”是“”的(  ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.右图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是(    ) A. B. C. D. 6.某批产品检验后的评分,由统计结果制成如下图所示的频率分布直方图,下列说法中正确的是(  ) A. B. 评分的众数估值为 C. 评分的第百分位数估值为 D. 评分的平均数估值为 7.在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。 9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的任意一点，则(    ) A. 的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点有个 10.小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，次坐公交车所花的时间分别为，，，，，，，，，单位：，次骑自行车所花时间的均值为，方差为已知坐公交车所花时间与骑自行车所花时间都服从正态分布，用样本均值和样本方差估计，分布中的参数，并利用信息技术工具画出和的分布密度曲线如图所示若小明每天需在早上点之前到校，否则就迟到，则下列判断正确的是(    ) A. 坐公交车所花时间的均值为10,方差为3 B. 若小明早上7:50之后出发,并选择坐公交车,则有50%以上的可能性会迟到 C. 若小明早上7:42出发,则应选择骑自行车 D. 若小明早上7:47出发,则应选择坐公交车 11.已知直三棱柱中，，，，，分别为棱，，的中点，是线段上包含端点的动点，则下列说法正确的是( ) A. 平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 的最大值为 D. 若为的中点，则过，，三点的平面截三棱柱所得截面的周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第年底光伏太阳能板的保有量单位：万块满足模型，其中为饱和度，为初始值，为年增长率若该地区年底的光伏太阳能板保有量约为万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为万块，那么年底该地区光伏太阳能板的保有量约  万块结果四舍五入保留到整数，参考数据：，， 13.已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线的距离均为，则实数   ． 14.直线与函数的图象的交点为，，，， ，若，，，则        ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.本小题分在等差数列中，已知，． 求数列的通项公式； 若，求数列的前项和． 16.本小题分中，． 求； 若，求周长的最大值． 17.本小题分如图，平面四边形中，，，，，，点，满足，，将沿对折至，使得． 证明：； 求面与面所成的二面角的正弦值． 18.本小题分 已知直线与抛物线：交于，两点，． 求的值 设为的焦点，，为上的两点，且，求面积的最小值． 19.（本小题17分）已知． 当时，求曲线在点处的切线方程； 已知有两个极值点，且满足，求的值； 在的条件下，若在上恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $