海南海口市第四中学2025－2026学年下学期九年级数学5月模拟试卷

**基本信息** 该模拟卷以真实情境与探究任务为载体，如国庆游客量科学记数法、预制菜销售利润计算等题，渗透数据意识与应用意识；几何综合题（如菱形运动轨迹函数图像）及正方形折叠探究，发展几何直观与创新思维，适配初三复习阶段能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题|代数（科学记数法、函数性质）、几何（三视图、圆的弦长计算）|第10题结合京剧邮票情境考查概率，体现文化传承| |填空题|4题|代数（函数关系式）、几何（角平分线作图、正方形旋转）|第16题动态旋转问题，分层设置两问，梯度明显| |解答题|6题|统计（方差、频数分析）、几何应用（仰角测量）、函数综合（抛物线相似与平移）|21题抛物线综合题融合相似判定与平移变换，22题折叠探究任务链设计，培养推理能力与创新意识，贴合中考命题趋势|

海南海口市第四中学2025－2026学年下学期初三数学5月模拟试卷 一、单选题 1．某市2026年1月10日的最低气温为，最高气温为，则这一天的温差为（    ） A． B． C． D． 2．2025年国庆假期，雁荡山景区共接待游客约人次，数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．若有意义，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．1 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图所示几何体的左视图是（   ） A．B．C． D． 6．如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，的周长为10，且，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象经过点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．图象分别位于第一、三象限 9．已知一次函数与坐标轴交于点和点，如图，以为边作正方形，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《京剧生角》特种邮票，上面分别绘有《将相和》中的蔺相如、《四进士》中的宋士杰、《群英会》中的周瑜、《白蛇传》中的许仙，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．元旦之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“蔺相如”和“周瑜”的概率是（   ） A． B． C． D． 11．往一个水平放置的圆柱形油槽内倒入一些油以后，截面如图所示，若油面宽，油的最大深度为，则该圆柱形简槽截面面的半径为（　　） A． B． C． D． 12．如图1，菱形的对角线，相交于点，点P，Q同时从点出发，以1cm/s的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为，点Q的运动路线为．设运动的时间为，P，Q两点间的距离为，y与x的关系图象大致如图2所示，M为图象中曲线部分的最低点，则m的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．计算：________． 14．如图，将长为、宽相等的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，设m张白纸粘合后的总长度为，n与m的关系式为______． 15．如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；②以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点E，过E作交延长线于F．若，，则______． 16．如图，在正方形中，E是边上的一点（不与点重合），将线段绕点E顺时针旋转一定的角度后，得到线段，连接，将线段绕点C逆时针旋转后，得到线段，连接． （1）当时，的度数为________． （2）若，则线段的长的最小值为________． 三、解答题 17．（1）化简：． （2）解不等式组，并求出所有的整数解． 18．在元旦前夕，某小区的商品连锁店购进甲、乙两种预制菜，销售过程中发现甲种预制菜比乙种预制菜销售量大，店主决定将乙种预制菜每件降价3元促销，降价后顾客用200元购买乙种预制菜的数量是原售价购买乙种预制菜数量的1.3倍． (1)求降价后每件乙种预制菜的售价是多少元？ (2)春节之前，该店店主决定将乙种预制菜的售价恢复到元旦前夕降价前的售价，已知每件甲种预制菜的售价比每件乙种预制菜的售价多12元，甲种预制菜进价为10元/件，乙种预制菜进价为6元/件，若店主购进两种预制菜共500件而利润不少于5500元，问至少购进甲种预制菜多少件． 19．信阳是河南省重要的粮食生产核心区，素有“中原鱼米之乡”的美誉，信阳的水稻产量占全省的以上．为了实现水稻连续增产，信阳某县农业部门考察了甲、乙两种水稻的长势，分别从中随机抽取了一些水稻，测得稻高（单位：）如表． 甲 7 8 10 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 16 16 18 乙 7 10 13 11 18 12 13 13 10 13 13 14 15 16 11 17 将数据整理分析，并绘制成以下的统计表和频数分布直方图 稻高分组 甲种水稻的频数 7 3 根据所给出的信息，解决下列问题： (1)________，________，甲种水稻的中位数是________，乙种水稻的众数是________； (2)甲种水稻高的方差为，乙种水稻高的方差为，则甲、乙两种水稻长势那种比较整齐？ (3)若从栽种乙种水稻的试验田中随机抽取2000株，试估计稻高在（单位：）的株数． 20．如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌点C、D、E在同一直线上，且，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度（即），米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，，，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由． 21．抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图（1），作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值； (3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于O，G两点，过的中点H作直线（异于直线）交抛物线于M，N两点，直线与直线交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 22．阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 正方形的折叠正方形是日常生活中常见的一种基本几何图形，具有特殊平行四边形的一切性质，因此，平时做题时经常会遇到正方形的折叠问题，虽然折叠的形式多样，给同学们带来各种困惑，但我们只要把握它的两大特点：①折叠前后折痕两侧图形全等；②折叠前后对应点的连线被折痕所在的直线垂直平分；并且掌握解决折叠问题的两大方法：①利用勾股定理构建方程；②巧用“一线三直角”构建相似三角形解决问题，这类问题一般都能解决． 下面是创新学习小组利用折叠正方形纸片来探究折叠中的锐角三角函数问题： 如图，正方形边长，点E是边上的一个动点，沿着折叠，点B落在点F处．求的值． 【特例探究】 任务一： （1）如图1，创新学习小组发现在点E运动过程中，当点F恰好落在正方形的对角线上时，则______． 任务二： （2）如图2，当点E运动到边的中点时，点B落在点F处，求的值． 下面是该结论的部分解答过程： 在图2中，过点F作于M，延长交于N． 易证四边形为矩形，______， ∴设，则，，， 在中，根据勾股定理得 解得：（舍去）， 即 ∴在中，______ 仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你将横线部分补充完整． 图1图2图3 【方法应用】 任务三： （3）如图3，当点E运动到边靠近点C的三等分点时（即），点B落在点F处，请你类比（2）中的方法求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南海口市第四中学2025－2026学年下学期初三数学5月模拟试卷 一、单选题 1．某市2026年1月10日的最低气温为，最高气温为，则这一天的温差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，掌握有理数减法法则是解题关键． 温差为最高气温减去最低气温，利用有理数减法法则计算即可． 【详解】解：∵温差最高气温-最低气温， ∴这一天的温差为． 故选：． 2．2025年国庆假期，雁荡山景区共接待游客约人次，数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值较大的数，关键是熟练应用知识点解题；科学记数法表示形式为：，其中，为整数位数减． 【详解】解：∵， 故选：B． 3．若有意义，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】二次根式的被开方数必须为非负数，据此求出x的取值范围，再结合选项判断即可. 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得； ∵选项中只有，均小于， 故选D. 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，涉及了合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方等运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则、幂的乘方法则逐一进行计算即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 5．如图所示几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据从左边看到的图形即为左视图求解即可． 【详解】解：该几何体的左视图是： 6．如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，利用平行线的性质得到，推出，，结合已知条件求出的度数，进而求出的度数即可得解． 【详解】解：过点作，交于点， 四边形是长方形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 7．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，的周长为10，且，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 利用线段垂直平分线的性质推出，得到，即可求得的长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， 即， ∴①， ∵②， 得， ∴， 故选：B． 8．已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象经过点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．图象分别位于第一、三象限 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质（），判断各选项的正确性. 【详解】解：∵ 反比例函数，， ∴ 图象分别位于第一、三象限，故D正确. A、当时，，∴ 图象不经过点，A错误； B、当时，在每一象限内随的增大而减小，但未指定象限， B错误； C、 当时，，不成立，C错误； 故选D 9．已知一次函数与坐标轴交于点和点，如图，以为边作正方形，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像与坐标轴的交点坐标和正方形的性质，先根据正方形的性质证明，得出，，再求出一次函数与坐标轴的交点坐标，即可得出点的坐标．得出，是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点， ∴， ∵轴轴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵一次函数与坐标轴交于点和点， 当时，则；当时，则，得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标是． 故选：C． 10．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《京剧生角》特种邮票，上面分别绘有《将相和》中的蔺相如、《四进士》中的宋士杰、《群英会》中的周瑜、《白蛇传》中的许仙，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．元旦之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“蔺相如”和“周瑜”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查列表法和树状图求概率，熟练掌握列表法是解题的关键．根据列表法把所有情况列举出来即可． 【详解】解： 蔺相如 宋士杰 周瑜 许仙 蔺相如 宋士杰和蔺相如 周瑜和蔺相如 许仙和蔺相如 宋士杰 蔺相如和宋士杰 周瑜和宋士杰 许仙和宋士杰 周瑜 蔺相如和周瑜 宋士杰和周瑜 许仙和周瑜 许仙 蔺相如和许仙 宋士杰和许仙 周瑜和许仙 一共有种情况，符合条件的是两种， 故． 故选A． 11．往一个水平放置的圆柱形油槽内倒入一些油以后，截面如图所示，若油面宽，油的最大深度为，则该圆柱形简槽截面面的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，过点O作交于点C交于D，由垂径定理求出的长，再根据勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：连接，过点O作交于点C交于D， 设， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴圆的半径为． 故选：A． 12．如图1，菱形的对角线，相交于点，点P，Q同时从点出发，以1cm/s的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为，点Q的运动路线为．设运动的时间为，P，Q两点间的距离为，y与x的关系图象大致如图2所示，M为图象中曲线部分的最低点，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、动点问题的函数图象及解直角三角形，根据图象可知整个过程分为三个过程，第一，当点P运动到点A，点Q运动到点C时；第二，点P运动到点D，点Q运动到点B时；第三，当点P运动到边上，点Q运动到边上，P，，Q三点共线，再根据图象即可求解． 【详解】解：由题意，可知当点P运动到点A，点Q运动到点C时，y最大，，即，∴． 当点P运动到点D，点Q运动到点B时，y为的长，此时，即， ∴． ∴在中，． 当点P运动到边上，点Q运动到边上，P，，Q三点共线．当时，的长最小，即此时y最小． 如解图，易得，， 即的值为， 故选C． 二、填空题 13．计算：________． 【答案】3 【分析】根据相关运算法则逐步计算即可求解． 【详解】解：． 14．如图，将长为、宽相等的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，设m张白纸粘合后的总长度为，n与m的关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是用关系式表示变量之间的关系，整式的加减运算，由图可知，将m张这样的白纸粘合后的总长度张白纸的总长个粘合部分的宽，把相关数据代入化简即可得到所求关系式． 【详解】解：由题意可得：m张白纸粘合后的总长度为， 故答案为：． 15．如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；②以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点E，过E作交延长线于F．若，，则______． 【答案】4 【分析】由作图知平分，得到，根据平行线的性质得出，求得，得到，作于点，根据等腰三角形的性质得出，根据相似三角形的判定与性质计算即可得出答案． 【详解】解：由作图知平分， ， 在， ， ， ， ， 如图，作于点， ， ， ， ， ，即， ， ． 16．如图，在正方形中，E是边上的一点（不与点重合），将线段绕点E顺时针旋转一定的角度后，得到线段，连接，将线段绕点C逆时针旋转后，得到线段，连接． （1）当时，的度数为________． （2）若，则线段的长的最小值为________． 【答案】 /度 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，在上，将线段绕点C逆时针旋转后，得到线段，则，根据，即可得出； （2）连接，将绕点逆时针旋转得，连接，，作于，证明，得出，，求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 当时，即， ∴，， ∴， ∴在上， ∵将线段绕点C逆时针旋转后，得到线段， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴； （2）解：连接，将绕点逆时针旋转得，连接，，作于， 由旋转可得：，，， ，， ，， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， 的最小值为4， 故答案为：，． 三、解答题 17．（1）化简：． （2）解不等式组，并求出所有的整数解． 【答案】（1）；（2），整数解为，0 【分析】（1）先计算分式加法，然后计算分式除法； （2）先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出其整数解即可． 【详解】解：（1）原式， ； 解：（2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集为， ∴该不等式组的整数解为，0． 18．在元旦前夕，某小区的商品连锁店购进甲、乙两种预制菜，销售过程中发现甲种预制菜比乙种预制菜销售量大，店主决定将乙种预制菜每件降价3元促销，降价后顾客用200元购买乙种预制菜的数量是原售价购买乙种预制菜数量的1.3倍． (1)求降价后每件乙种预制菜的售价是多少元？ (2)春节之前，该店店主决定将乙种预制菜的售价恢复到元旦前夕降价前的售价，已知每件甲种预制菜的售价比每件乙种预制菜的售价多12元，甲种预制菜进价为10元/件，乙种预制菜进价为6元/件，若店主购进两种预制菜共500件而利润不少于5500元，问至少购进甲种预制菜多少件． 【答案】(1)10 (2)250 【分析】此题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列得方程或不等式是解题的关键． （1）通过设乙种预制菜原售价，根据降价后用200元购买乙种预制菜的数量是原售价购买数量的1.3倍列方程求解； （2）通过设甲种预制菜购进件数，根据利润不少于5500元，列不等式即可求解最小购进件数． 【详解】（1）解：设乙种预制菜原售价为元/件，则降价后售价为元/件，依题意得： 解并检验得：， 所以降价后售价为0元， 答：降价后每件乙种预制菜的售价是10元． （2）解：设购进甲种预制菜件，则购进乙种预制菜件 每件甲利润为元，每件乙利润为元 根据利润不少于5500元，得不等式： 解得： 所以至少购进甲种预制菜250件． 答：至少购进甲种预制菜250件． 19．信阳是河南省重要的粮食生产核心区，素有“中原鱼米之乡”的美誉，信阳的水稻产量占全省的以上．为了实现水稻连续增产，信阳某县农业部门考察了甲、乙两种水稻的长势，分别从中随机抽取了一些水稻，测得稻高（单位：）如表． 甲 7 8 10 11 11 12 13 13 14 14 14 14 15 16 16 18 乙 7 10 13 11 18 12 13 13 10 13 13 14 15 16 11 17 将数据整理分析，并绘制成以下的统计表和频数分布直方图 稻高分组 甲种水稻的频数 7 3 根据所给出的信息，解决下列问题： (1)________，________，甲种水稻的中位数是________，乙种水稻的众数是________； (2)甲种水稻高的方差为，乙种水稻高的方差为，则甲、乙两种水稻长势那种比较整齐？ (3)若从栽种乙种水稻的试验田中随机抽取2000株，试估计稻高在（单位：）的株数． 【答案】(1) (2)甲、乙两种水稻长势比较整齐的是乙种 (3)株数约625株 【分析】本题考查的是数据的整理，众数和中位数的定义，根据方差作决策，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据甲、乙种稻高的表格，即可直接得到、的值，以及甲种水稻的中位数，乙种水稻的众数； （2）根据方差的意义作出判断； （3）根据频数分布直方图得到乙种稻高在的占比，再利用总数乘以其占比，即可解题． 【详解】（1）解：由表可知：甲种稻高在的有，故； 甲种稻高在的有，故； 将甲种稻高从小到大排列得，故中位数为； 乙种稻高最多，为5次，故乙种水稻的众数是； （2）解：∵甲种水稻高的方差大于乙种水稻高的方差， ∴甲、乙两种水稻长势比较整齐的是乙种； （3）解：由频数分布直方图可知，随机抽取株乙种水稻中，稻高在的有株， ∴若从栽种乙种水稻的试验田中随机抽取2000株， 估计稻高在（单位：）的株数约为（株）． 20．如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌点C、D、E在同一直线上，且，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度（即），米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，，，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由． 【答案】(1)点B距水平地面的高度为5米 (2)该公司的广告牌符合要求，见解析 【分析】（1）过点B作，，垂足分别为M、N，利用特殊角的三角函数值求解即可； （2）根据仰角，俯角的意义，解直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作，，垂足分别为M、N， 由题意可知，，，，米，米． ∵， ∴， ∴（米）， 答：点B距水平地面的高度为5米． （2）解： 该公司的广告牌符合要求，理由如下： ，，， ∴四边形是矩形； 米，， 在中，（米）． ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，，米， ∴（米）， ∴， ∴符合要求． 21．抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C． (1)直接写出A，B，C三点的坐标； (2)如图（1），作直线，分别交x轴，线段，抛物线于D，E，F三点，连接，若与相似，求t的值； (3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于O，G两点，过的中点H作直线（异于直线）交抛物线于M，N两点，直线与直线交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)． (2)t的值为2或； (3)点P在一条定直线上． 【分析】（1）分别令x、y为0，解方程即可求得点A、B、C的坐标； （2）分两种情况：①若时，可得，由平行线的判定可得，即轴，点F与C的纵坐标相同，建立方程求解即可．②若时，过作轴于点T．可证得，，即，解方程即可求得答案； （3）由题意知抛物线，联立方程求解即可得．根据中点坐标公式可得．设 ，可得直线的解析式为，将点H的坐标代入可得．同理，直线的解析式为；直线的解析式为，联立方程组求解可得．代入，整理得，比较系数可得，故点P在定直线上． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 解得：， 当时，， ∴． （2）解：∵F是直线与抛物线的交点， ∴． ①如图，若时．则， ∴， ∵， ∴． 解得：（舍去）或． ②如图，若时． 过作轴于点T． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， 综上，符合题意的t的值为2或； （3）点P在一条定直线上． 由题意知抛物线， ∵直线的解析式为， 联立得， 解得或2 ∴ ∵H是的中点， ∴． 设，直线的解析式为 则， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵直线经过点， ∴． 同理，直线的解析式为，直线的解析式为． 联立，得， ∵直线与相交于点P， ∴． 解得：， ∵， ∴． 设点P在直线上，则， 整理得，， 比较系数，得， ∴． ∴当时，无论m，n为何值时，等式恒成立． ∴点P在定直线上． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，运用分类讨论思想思考解决问题． 22．阅读与思考 阅读下面材料，并按要求完成相应的任务 正方形的折叠正方形是日常生活中常见的一种基本几何图形，具有特殊平行四边形的一切性质，因此，平时做题时经常会遇到正方形的折叠问题，虽然折叠的形式多样，给同学们带来各种困惑，但我们只要把握它的两大特点：①折叠前后折痕两侧图形全等；②折叠前后对应点的连线被折痕所在的直线垂直平分；并且掌握解决折叠问题的两大方法：①利用勾股定理构建方程；②巧用“一线三直角”构建相似三角形解决问题，这类问题一般都能解决． 下面是创新学习小组利用折叠正方形纸片来探究折叠中的锐角三角函数问题： 如图，正方形边长，点E是边上的一个动点，沿着折叠，点B落在点F处．求的值． 【特例探究】 任务一： （1）如图1，创新学习小组发现在点E运动过程中，当点F恰好落在正方形的对角线上时，则______． 任务二： （2）如图2，当点E运动到边的中点时，点B落在点F处，求的值． 下面是该结论的部分解答过程： 在图2中，过点F作于M，延长交于N． 易证四边形为矩形，______， ∴设，则，，， 在中，根据勾股定理得 解得：（舍去）， 即 ∴在中，______ 仔细阅读上面的证明过程，按照上面的证明思路，请你将横线部分补充完整． 图1图2图3 【方法应用】 任务三： （3）如图3，当点E运动到边靠近点C的三等分点时（即），点B落在点F处，请你类比（2）中的方法求的值． 【答案】（1）1；（2）；；（3） 【分析】（1）根据是正方形，得出当点F恰好落在正方形的对角线上时，根据折叠可得，求出即可解答； （2）在图2中，过点F作于M，延长．交于N．证明四边形为矩形，根据折叠性质可得，证明，根据相似三角形的性质可得，设，则，，，在中，根据勾股定理可解得，求出和，在中，即可解答； （3）在图3中，过点F作于M，延长交于N．证明四边形为矩形，根据折叠性质可得，证明，根据相似三角形的性质可得，设，则，，，在中，根据勾股定理可解得，求出和，在中，即可解答； 【详解】（1）是正方形， 当点F恰好落在正方形的对角线上时， 根据折叠可得， 则． （2）下面是该结论的全部解答过程： 在图2中，过点F作于M，延长交于N． 是正方形， 四边形为矩形， 根据折叠可得， ， ， ∴设， 则，， 在中， 根据勾股定理得， 解得：（舍去），， 即， ， ∴在中， 故答案为：；； 图1                     图2                        图3 （3）如图3，当点E运动到边靠近点C的三等分点时（即）， 过点F作于M，延长交于N． 是正方形， 四边形为矩形， 根据折叠可得， ， ， ∴设， 则，，， 在中， 根据勾股定理得， 解得：（舍去），， 即， ， ∴在中， 【点睛】该题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理以及折叠的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $