2026年4月26日浙江省夏季“丁一杯”省级选拔赛A卷八年级数学试题

2026年夏季“丁一杯”数学活动省级选拔 八年级A参考答案 一、填空题（每题8分，共计64分） 1．。解析：（1）设x， 两边平方得，x2， ∴， ∴， ∵x＞0， ∴， ∴， 2． ＜ ＜ 。解析：由三角形三边关系得： ∵b＋c ≤ 2a，a＋c ≤ 2b ∴ 由①得：－2a ≤－b－c ＜－a ③ ②＋③得：b－2a ＜a－b ＜2b－a，∴3a ＞2b，2a ＜3b，∴ ＜ ＜ 3．﹣6。解析：设k， 则x＝﹣2k+3，y＝3k﹣2，z＝4k﹣5， ∵x，y，z均为非负实数， ∴，解得k， 于是W＝3x﹣2y+z＝3（﹣2k+3）﹣2（3k﹣2）+（4k﹣5）＝﹣8k+8， ∴﹣88≤﹣8k+8≤﹣88，即﹣4≤W≤﹣2． ∴W的最大值是﹣2，最小值是﹣4， ∴W的最大值与最小值的和为﹣6。 4．﹣1。解析：∵x1，y1， ∴xy+1＝y①，yz+1＝z② 把①代入②，得（xy+1）z+1＝z 即xyz+z+1＝z 所以xyz＝﹣1 5．0。解析：∵b﹣3a＝2 ∴b2﹣3ab＝2b，即3ab＝b2﹣2b ∵3ab+c2+5＝4c ∴b2﹣2b+c2+5﹣4c＝0 ∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0 ∴b﹣1＝0，c﹣2＝0 ∴b＝1，c＝2 ∴1﹣3a＝2 ∴3a＝﹣1 ∴6a+c＝﹣2+2＝0 6．13。解析：作CE⊥AB于E，延长AE使EA=EF，连结CF， 解直角三角形CDE，CE=，设∠ACD=，则∠B=60° ∠F=60°，∠FCB=60°， ∴BC=BF=x，， ∴2 ∴x=13 ∴BC=13 7．8。解析：设AC＝BC＝a， ∵S△ADF ＝ S△ABC － S四边形BCDF ， S△BEF ＝ S△DEC － S四边形BCDF ∴S△ADF － S△BEF ＝ S△ABC － S△DEC ＝ a 2－ ( a＋4)( a－4 )＝ a 2－ ( a 2－4 2 )＝ 8 8．135°。解析：作AE⊥DC于E， 在AE上取点F，使AF＝CF， 连接CF、DF 则∠ACF＝∠CAF＝90°－∠ACD＝∠BCD＝∠CBD 又AC＝BC， ∴△ACF≌△CBD，∴CF＝BD＝CD ∵AD＝AC，AE⊥DC， ∴∠DAF＝∠CAF 又AF＝AF，∴△ADF≌△ACF ∴DF＝CF，∴CF＝CD＝DF ∴△DCF是等边三角形， ∴∠DCF＝60° ∴∠BCD＝∠ACF＝15° ∴∠CBD＝15°，∠DAC＝2∠ACF＝30° ∴∠ABD＝30°，∠BAD＝15° ∴∠ADB＝135°。 二、计算题（每题10分，共计20分） 9．解：∵x2，y2， ∴x+y＝﹣2，xy＝﹣1， ∴原式． 10．解：∵， ∴x＝a2， x﹣2＝a，（x﹣2）2＝（a）2 即：x2﹣4x＝a22＝（a）2 ∴原式• （x﹣2）2 （a）2， ∵0＜a＜1，∴a0， ∴原式 ＝a2+2． 三、解答题（第11-13题各12分，第14-15题各15分，共计66分） 11．解：（1）∵4a+c＝2b， ∴c＝2b﹣4a， 把c＝2b﹣4a代入a+b+c＜0，得a+b+2b﹣4a＜0， ∴3b﹣3a＜0， ∴b﹣a＜0， ∴b＜a； （2）由（1）可知，c＝2b﹣4a， ∵b2﹣4ac＝1， ∴b2﹣4a（2b﹣4a）＝1， 去括号，得b2﹣8ab+16a2＝1，即（b﹣4a）2＝1， ∴b﹣4a＝±1． 12．解：（1）∵△ACD与△BCD的周长相等， ∴AC+AD＝BC+BD，即4+AD＝3+BD， 又AD+DB＝5， 解得：AD＝2． （2）设AB＝c，则c2＝a2+b2， ∵△ABE与△ACE的周长相等， ∴CE+AC＝BE+AB（AB+BC+AC）， 设CE＝x，∴x+b（a+b+c）， ∴x（a﹣b+c）， 设CF＝y，同理可得y+a（a+b+c）， ∴CE•CF（a﹣b+c）•（b+c﹣a）[c2﹣（a﹣b）2]， ∵c2＝a2+b2， ∴CE•CFab． 13．解：连接BE，取BE的中点M，连接MF、MG 则MF＝ BD＝4，MG＝ CE＝3，MF∥AB，MG∥AC ∴∠FME＝∠DBE，∠MGB＝∠C ∴∠FMG＝∠FME＋∠GME＝∠DBE＋∠MBG＋∠MGB ＝∠ABC＋∠C＝120° 过F作FH⊥MG于H，则∠FMH＝60° ∴MH＝2，FH＝2， ∴GH＝5 ∴FG＝ ＝ ∴FG＝ 14．解：∵， （2x+a）（x+b）＝2x2+（a+2b）x+ab， ， （x+a）（﹣x+b）＝﹣x2+（b﹣a）x+ab， ∴p＝a+2b，c＝ab，q＝b﹣a，m，，，， ①∵， ∴， ∵p+q＝12， ∴q＝12﹣p， ∴， ∴2m+6＝n；故正确； ②∵p＝q＝2， ∴，解得：， ∴，故错误； ③当m﹣n＝2，即， ∴p+2q＝﹣8， ∴a+2b+2（b﹣a）＝4b﹣a＝﹣8， ∴a＝4b+8， ∴c＝ab＝b（4b+8）＝4b2+8b＝4（b+1）2﹣4， ∵4（b+1）2≥0， ∴c＝4（b+1）2﹣4≥﹣4， ∴c的值不可能是﹣5，说法正确； 综上所述：正确的结论有①③． 15．解：在BD上取一点F，使BF＝BC，连接CF，如图， 设∠ADB＝x，则∠DBC＝2x， ∵∠ADC＝45°， ∴∠EDC＝45°﹣x． ∴∠CDB+∠CBD＝45°+x． ∴∠DCB＝180°﹣（∠CDB+∠CBD）＝135°﹣x． ∵∠ACB＝90°， ∴∠ECD＝45°﹣x． ∴∠EDC＝∠ECD． ∴ED＝EC． ∵BC＝BF，∠DBC＝2x， ∴∠FCB＝∠CFB＝90°﹣x． ∴∠FCE＝x． ∴∠FCD＝∠ECD+∠FCE＝45°． ∴∠ADC＝∠FCD＝45°． 在△ADC和△FCD中， ， ∴△ADC≌△FCD（ASA）． ∴AC＝DF． 设BC＝BF＝m，则DF＝AC＝7﹣m． ∵AC2+BC2＝AB2， ∴（7﹣m）2+m2＝52． 解得：m＝3或4． ∵AC＞BC， ∴m＝3． ∴BC＝3． ∴AC＝7﹣m＝4． 设CE＝DE＝y，则BE＝7﹣y． ∵CE2+BC2＝BE2， ∴y2+32＝（7﹣y）2． 解得：y． ∴EC． 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 2026年夏季奥林匹克“丁一杯”数学活动省级选拔 (2026年4月) 选手须知： 1.本卷共三部分，第一部分：填空题，共计64分；第二部分：计算题，共计20分；第三部分： 解答题，共计66分； 2.答题前请将自己的姓名、年级、教室编号、活动证号写在规定的位置； 3.测试时不能使用计算工具； 4.测试完毕时试卷和草稿纸将被收回。 如 题号 二 三 总分 核查人 得分 斟 八年级试题（A卷) (本试卷满分150分，考试时间90分钟) 得分 长 评卷人 一、 填空题（每题8分，共计64分） 女 1.计算V3-V5+V√3+V5的值是 O南O 2. 已知△ABC的三边长a,b,c满足b+c<2a,a+c<2b,则b的取值范围 数 3. 已知卡负数，：满无子-学草设W=3:,则炉的装大值与最小植的和为 2 1 杯 4.若x+二=1，y叶二=1，则xyz的值等于 V Z 5.若a,b,c是实数，且b-3a=2,3ab+c2+5=4c,则6a+c= 6.己知点D在△ABC的边AB上，连结CD,AB=9,CD=8,∠BDC=120°，且∠BCD=2∠ACD 細 则BC的长等于 E (第6题图) (第7题图) 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是边AC上一点，E是CB延长线上一点，连接DE交AB 于点F.若AC=BC=V37,AD=BE=4,则S△ADF-SABEF= 八年级 第1页 8.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D是△ABC内一点，且AD=AC,BD=CD,则 ∠ADB的度数= A D B (第8题图) 得分 二、计算题（每题10分，共计20分） 评卷人 V5-2'V5+2 x+y m已：V-+0,:62+哥 八年级 第2页 得分 评卷人 三、解答题（第11-13题各12分，第1415题各15分，共计66分） 11.已知实数a,b,c满足a+b+c<0,4a十c=2b. (1)求证：b<a; (2)若b2-4ac=1,求b-4a的值. 12.(1)如图1，在△ABC中，BC=3,AC=4,AB=5.D为AB边上一点，且△ACD与△BCD的周长 相等，求AD的长. (2)如图2，在△ABC中，BC=a,AC=b,AB2=BC2+AC2.E为BC边上一点，且△4BE与△ACE的 周长相等；F为AC边上一点，且△ABF与△BCF的周长相等，求CECF(用含a,b的式子表示). 图2 图1 (第12题图) I3.如图，等边三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，BD=8,CE=6,F、G分别是DE、 BC的中点，求FG的长. G (第13题图) 八年级 第3页 14.一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式22+px十c,一x2十gx十c（其中p,9,c均是不为 零的常数)及这两个代数式的一些信息，如表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 2x2+px+c (2x+a)x+b) 20-m}+ -x+qx+c (x+a(一x+b) -(x-n}2+2 (说明：a,b,m,n,,k2均为常数) 有学生探究得到以下结论：判断是否正确，说明理由： ①若p十g=12,则2m十6=：( 若=92，则=号⑧若mA=2,则e的能不可能是-5 圜 铷 斟 0 长 尽 15.如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°(AC>BC),∠ADC=45°，AC、BD交于点E,2∠ADB= ∠DBC,若BD=7,AB=5,求CE的长. 0 ☒ 帘 杯 77 (第15题图) 翔 八年级 第4页