天津市宝坻区第一中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学试卷

《宝坻一中2025~2026学年度第二学期期中检测高二数学》参考答案 题号 1 2 4 6 1 8 答案 D B D A D D D 1.D 【详解】由题可得f'(x)=2e2x+cosx,所以'(0)=2+1=3 2.B 【详解】因为X~N1,o2),由正态分布的对称性可知，关于x=1对称， 又因为P(X>2)=0.2,所以P(X≤0)=0.2， 则P(0<X≤2)=1-P(X>2)-P(X≤0)=0.6 所以P(0<X≤1)=P(0<X≤2)=0.3 3.C 【分析】根据二项式的定义，即可得答案。 【详解】由题意可知第6项的二项式系数为C. 故选：C 4.D 【详解】对于A:散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性；故A错误； 对于B:两个变量不具有线性相关性，故B错误； 对于C:两个变量之间的关系为负相关关系；故C错误； 对于D:两个变量之间的关系为正相关关系，且散点图中的点分布在一条直线附近，线性相 关程度较高；故D正确. 5.D 【分析】依题意，可知在[1，+∞)上，f'(x)≥0恒成立，再参变分离求解函数最值即可. 【详解】依题意，了()=-+1≥0在，四)上恒成立， 即a≤x2+x在[1，+o)上恒成立. 设y=+xxe,因y=+x=(e+分-}在[+o)上单调递增， 21 故y=x2+x在[1，+o)上的最小值为y=12+1=2,故a≤2. 故选：D 6.A 【详解】由题意得f'(x)=2(x+a)(x+1)+(x+a)=(x+a)(3x+a+2), 由题可知f'(1)=(1+a)(5+a)=0,解得a=-1或a=-5. 当a=-5时，f'(x)=(x-5)3x-3), 当f'(x)>0时，x>5或x<1,当f'(x)<0时，1<x<5, 即f(x)在(-o,1)和(5，+∞)上单调递增，在(1,5)上单调递减. 此时f(x)=(x+a)'(x+1)在x=1处取得极大值，不符合题意； 当a=-1时，f'(x)=(x-13x+1), 当>0时，>1或x< 3,当f)<0时， 即()在(m)和L+o)上单调递指，在（兮 上单调递减， 此时f(x)=（x+a)(x+1)在x=1处取得极小值，符合题意。 7.D 【详解】情况1：A中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：C,C=2×6=12, 情况2：A中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：CC4=1×4=4, 所以A中学至少需要安排1位数学老师的方式为：12+4=16（种）. 8.D 【分析】构造函数g)=f因， 求导结合题设条件判断其单调性，代值计算即可判断选项 正误。 f(x)Inx- f(x) 【详解】令g()=f Inx 函数的定义域为(0，)UL,+o),求导得g(x)= (Inx) 因/()>f四，0a>0,则g>0,故函数g9在(0.1，，+w)上均为增函数 因1<2<e,则g2<ge,即f2<f@,故可得f(2)<f⊙)h2,即C错误，D正确： In2 Ine 由f(2)<f(e)ln2可得f(2)n2<f(e)ln2,因f(e)n2-f(e)=f(e)ln2-), 显然n2-1<0,但由题设条件，无法推得f(e)的正负，故f(e)ln2与f(e)的大小无法比 较， 从而无法比较f(2)ln2与f(e)的大小，故A,B错误. 9.D 【分析】依题意将“方程2x-2a血x+口=0恰好有4个不同的实数根”转化为直线y 0 与函数g0=血，图象在(0，+∞)恰好有两个不同的交点”，数形结合可得0<。。，解之 21 即得a>2e2. 【详解】由题意知a≠0，所以2x2-2alnx+a=0台2x2-alnx2+a=0 2x2=amr2-)台2_n-1,令1=x>0,则得2-m-1 a x2 从而可转化为直线y=2与函数g0=(-一'图象在0，∞)恰好有两个不同的交点” 而80=2，当0<e时，g0>0,当1>2时，g0<0, 故g(t)在(0，e2)单调递增，在(e2,+o)单调递减， 又：g0)=0,8e）=；当1→*o时，g0→0， 1需使0<2<之，即a>2e2, 从而实数a的取值范围为2e2,+oo). 故选：D 10.-80 5-5r 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项T=2(-)少Cx?，结合通项，进而求得展 开式中的常数项. 【详解】由二项式 2- 展开式的适项为=C广（)-21Gx学。 令5-5”=0，可得，=1，故展开式中的常数项为，=-2C;=-80. 2 11.x+4y-1=0或2x-y-2=0 【分析】设切点为P(t,-t),利用导数的几何意义求出切线方程，将点M的坐标代入切线 方程，求出t的值，即可得出所求切线的方程. 【详解】设切点为P(,t3-t),对函数y=x3-x求导得y'=3x2-1,则切线斜率为32-1， 所以，曲线y=x-x在点P处的切线方程为y-(-t)=(32-1)(x-t), 因为切线过点M(1,0),则有t-t=(32-1)1-t),整理可得2r3-32+1=0, 即(2t+1)(t-1)2=0, 当1=方时，切线斜率为3× 4 切线方程为)y=x-小，即x+4y-1=0 当t=1时，切线斜率为3×12-1=2，切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0. 故答案为：x+4y-1=0或2x-y-2=0 12.1.2 【分析】通过样本中心点在回归直线上，代入数据即可求解 【详解】由己知数据得：-142+3+4+5-3，)243+4+5+742， 5 5 将x,)=(3,4.2)代入=+0.6， 得：4.2=3b+0.6, 解得：6-3.6=12 3 13.328 【详解】第一类：首位排奇数先排首位有C,种排法，接着排末位有C!种排法，再排中间位 有C种排法，故共有CCCg=5×5×8=200种排法： 第二类：首位排偶数.先排首位有C4种排法，接着排末位有C!种排法，再排中间位有C种 排法，故共有：CCC%=4×4×8-128种排法， 由分类加法计数原理满足条件的密码共有200+128=328个. 14. 16 2 7 【分析】①利用条件概率公式及全概率公式即可求解第一次也摸到红球的概率； ②由题意可得，根据二项分布的特征即可求解数学期望 【详解】①记第一次摸到红球为事件A,第二次摸到红球为事件B. Na=+a-0na0+利Pa1--子 43 -X- 所以P(A|B)= P(AB)_76_1 P(B) 42 故在第二次摸球时摸到红球的条件下，第一次摸球时摸到红球的概率为) ②由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为 记四次摸球活动中，摸到红球的次数为Y,则Y~B4,) .4 4 因为四次模球总得分为X,所以Y=X所以XB4, 所以X的数学期望是E(X)=4×4_16 771 故答奖为：1 15.4 【分析】等价变形给定不等式并构造函数()=x+xlnx, x>1,利用导数求出函数的最小值 x-1 即可得解。 【详解】当x∈(L,+oo)时，不等式x+xlnx<mx-m一 x+xmnx <m x-1 依题意，存在x∈C,o)使不等式+血x<m成立，令函数N=+xnx x-1 x-1>1, 求导得h(y=2+lnvx-)-c+xnx)_x-2-nx (x-1)2 x-1，令函数p)=x-2-lnx,x>1, 求导得p0)=1-1>0,函数p()在L,+0)上单调递增， 又p(3)=1-ln3<0,p(4)=2-n4>C,则存在x。∈(3,4)，使得p(x)=0,即x。-2=lnx, 当1<x<x时，p(x)<0,h'(x)<0;当x>时，p(x)>0,h(x)>0, 因此函数h(x)在(L,x)上单调递减，在(x,+∞)上单调递增， 则0m=,)=5+6h=5+-2）x3,4,于是m>, x0-1 -1 所以m的最小整数解为4. 16.(1)10 (2)0 (3)310 【分析】(1)由二项式系数的对称性，可知展开式的项数，即可得解； (2)分别赋值x=0,x=1即可求解： (3)根据二项展开式的通项公式，得到二项展开式中项的系数的正负，化简得到 1a+a+…+a,上a。-a,+…(-D”g,令x=-1,即可求解 【详解】(1)因为(2x-1)”的展开式中，只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式共11项，其中第6项是唯一中间项， 所以n=11-1=10 (2)由(2x-1)”=a。+ax+a2x2+…+anx", 可令x=1,得a+a+a2+…+an=(2-1)°=1， 再令x=0,可得a。=(-1)”=1, 所以a1+a2+…+am=1-a=1-1=0, (3)二项展开式的通项为T41=(-1)rC120-x0-,r=0,1,,10, 当r=1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为负： 当r=0,2,4,6,8,10时，展开式的项的系数为正， 所以|a|+|a,|+a2++a1o=a-a1+a2++ao 令x=-1,可得1al+a+|a,++|ao=a-a,+a2-4++a。=310, 即la+|a+a2+…+|g=3 17.(1)2 (2)[3-n2,3] 【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线斜率，根据两直线垂直的性质即可求得α的值； (2)利用求导，判断函数的单调性，结合给定区间即可求得函数的值域 【详解】由/闭=-+是求号得/)-1士 则f(x)在x=1处的切线的斜率为-a,因切线与x-2y=0垂直， 故-ax}-山，解得a=2. (2)由(1)可得f)=1-12=-x-2_x+1x-2)， x2 因x∈[1，e],则当1<x<2时，f"(x)<0,当2<x<e时，f'(x)>0, 故函数f(x)在1,2)上单调递减，在(2，e)上单调递增， 又f0=3,f2)=3-ln2,fe)=e-1+2 e 因3-e-1+ ）=4ee2-2c4e- e>o,即f()>f(e), e e 故f(x)在区间[1，e]上的值域为[3-n2,3]. 18.(1)432 (2)144 (3)72 【分析】(1)将三个舞蹈节目看成整体，先排剩下4个节目，再把三个舞蹈节目放入不含两 端的3个空中，据此可得答案： (2)将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，然后把小品放入舞蹈歌曲整体排布产生的空中可 得答案。 (3)将新增两个节目放入7个节目排布产生的空中，分放入同一个空和放入两个不同的空 两种情况，据此可得答案， 【详解】(1)将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有A=6种排法.再将剩下4个节目全 排列，有A=24种排法.最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端 的3个空中，有3种排法，故共有3AA=432种排法； (2)将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有24A=24种排法.再将小品分放入排布舞蹈， 歌曲时产生的三个空中，有A4种排法.则共有2AAA=144种排法. (3)将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中，若两个节目放入同一个空，有 84=16种排法，若两个节目不放入同一个空，有A=56种排法，故共有16+56=72种排 法。 19.(0()有极小值/0)=，无极大值： (2)答案见详解； (3)e 【分析】(1)利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值： (2)求得f=-1儿x-a,分a=1、0<a<1、a>1、a50四种情况讨论，分析导数 的符号变换，由此可得出函数∫(x)的增区间和减区间： (3)分a≥0，a<0两种情况分类求出最小值即可列式求参 【详解】1D当a=-1时，f(=之2-1m,x>0,则f)=x-1-c-1儿x+, 当0<x<1时，f'(x)<0,当x>1时，f'(x)>0, 所以，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以，当x=1时，f(四有极小值f0=号，无极大值。 (2)g=x-a++g--a+r+a6--a）e>0） x 若a≤0，则x∈(0,1)时f'(x)<0,f(x)单调递减，x∈(1，+o)时f'(x)>0,f(x)单调递增： 若0<a<1,则x∈(0，a)时f'(x)>0,f(x)单调递增， x∈(a,l)时'(x)<0,f(x)单调递减，x∈(1，+oo)时f'(x)>0,f(x)单调递增： 若a=1,则x∈(0，+oo)时f'(x)≥0，f(x)单调递增： 若a>1,则x∈(0,1)时f'(x)>0,f(x)单调递增，x∈(1，a)时f'(x)<0,f(x)单调递减， x∈(a,+o)时f'(x)>0,f(x)单调递增 (3)令a()=f+(a+lx=2r产+alhx, ()=x+9=+a,(x>0), 当a≥0时，h(x)≥0，函数h(x)在(0，+o)上单调递增，故无最小值 所以a<0,由h(x)=0得x=√-a, 所以x∈(0，√-a时h(x<0,h(x)单调递减，x∈(V-a,+∞)时H(x)>0,h(x)单调递增， 所以am=a回)=a+n√a=0, 所以n(-a=l,a=-e. 20.(1)x+y-1=0 20 ②证明见解析 【分析】(1)根据导数的几何意义求解： (2)①由/八)=0有两个不等实根，转化得a-兰有两个不等实根，然后令g()-己，利 用导数确定函数g(x)的性质，结合单调性，函数值的变化规律得出参数范围；②问题在于 转化，由①知2x=ae,2x2=ae.令t=e,t2=e,则 号-号， t 把要证不等式转化为关于k的不等式，然后引入新函数，由函数的单调性证明. 【详解】(1)当a=1时，f(x)=x2-e+2,f'(x)=2x-e, 所以f(0)=1,f'(0)=-1, 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y-1=-(x-0), 即为x+y-1=0 (2)①f'(x)=2x-ae. 函数/八有2个极值点，。，即方程Q=二有2根，七 令8()-2，g)-20,令g20-0,解得x-1. e 所以当x∈(-o,1)时，g(x)>0,g(x)单调递增； 当x∈(L,+o)时，g'(x)<0,g(x)单调递减. 当x<0时，g(x)<0,当x>0时，g(x)>0,当x=0时，g(0)=0, g=g0=2,当x→o时，g(y)→0， 所以实数a的取值范围是？。月 ②由题意得，2x=ae,2x2=ae. 令t=e,t2=e9,由①知0<x<x2,则1<t,<t2, 则2lnt=a吐，2lnt2=at2, 所以=业=g 462 令k=上>1，则 Int Ink +Int t 所以==n+- klnk 要证x+2x2>3,即证lnt+2nt>3, 即证当太>1时，2k+1k>3,即k-3k-0. k-1 2k+1 令-mwo- 2k+1 k(2k+)2, 当k∈(1，+o)时，h(k)>0,h(k)单调递增，h(k)>h(I)=0, 即当>1时，k-3k-0,不等式得证. 2k+1宝坻一中2025~2026学年度第二学期期中检测 高二数学 第1卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1.已知∫"(x)是函数f(x)的导函数，f(x)=e2“+six,则f'(o)=() A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知随机变量X~N(1,o2),且P(X>2)=0.2,则P(0<X≤1)=() A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 3.(y-2x)的展开式中的第6项的二项式系数是（) A.Cs B.C8(-2)3 C. D.C8(-2) 4.以下是由变量x与y所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的 是() y A B. C ● D 5.已知函数f()=x2-al血x+x在[，+o)上单调递增，则实数a的取值范围是{） A.（o,] B.(-o∞，1) C.(-o,2） D.（-∞，2] 6.已知函数f(x)=(x+a)2(x+1)在x=1处有极小值，则a=（) A.-1 B.-5 C.x1或-5 D.-1或5 7.城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到A,B两所乡村中学任教，要 求两个乡村中学各安排3位老师，其中A中学至少需要安排1位数学老师，那么 有()种不同的安排方式 高二数学第1页共3页 A.9 B.12 C.14 D.16 8.设f()为定义在R上的可导函数，e为自然对数的底数若∫'(x)x>∠巴，则 () A.f(2)n2<f(e) B.f(2)>f(e)in2 c.f(2)n2>f(e) D.f(2)<f(e)In2 9、关于x的方程2x2-2aln|x+a=0恰好有4个不同的实数根，则实数a的取值范 围为() A.(e,+o) B.(2e,+oo) C.(e2,+o D.(2e2,+oo) 第川卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，共30分） 10. 2- 展开式中的常数项为·（用数字作答） 11.过点M(1,0)且曲线y=x3-x相切的直线的方程为 12.已知y与x的成对数据如下表： 3 5 3 若y关于x的回归直线方程为)=x+0.6,则6= 13.一个三位数字密码锁，每一位上的数字均从0一9中选取，且各位数字互不 相同，已知密码的首位不能为0，末位必须是偶数，则满足条件的密码共有 个.（用数字作答) 14.某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球， 若不放回地连续摸两次球，则在第二次摸到红球的情况下，第一次也摸到红球的 概率是；若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸到红球记1分，摸到 绿球记0分，设四次摸球总得分为X,则X的数学期望E(X)= 15.存在x∈(（L,+o)使不等式x+xnx<mx-m成立，则m的最小整数解为， 高二数学第2页共3页 三、解答题（本题共5小题，共75分，16题14分；17题15分：18题15分； 19题15分：20题16分) 16.已知(2x-1)=a+ax+a2x2+…+a,x展开式中，只有第6项的二项式系数最 大 (I)求n的值： (2)求a+a2+…+an的值： (3)求al+a+al+…+a.的值 17.已知f(x)=x-lx+,()在x=1处的切线与x-2y=0垂直， (I)求实数a的值； (2)求f(x)在区间[1，e]上的值域. 18.某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2 个小品节目，需要制作节目单： (1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ (2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ (3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗 歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少 种排法？ 19.已知函数f()=方-(a+x+ahx,aeR (1)若a=-1,求函数f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)的单调性： (3)若函数y=∫(x)+(a+1)x的最小值为0，求a的值. 20.已知函数f(x)=x2-ae+2,aeR. (I)当a=1时，求曲线y=(x)在点(0，f(0)处的切线方程. (2)若函数f(x)有2个极值点x,x,且x<x2. ①求实数a的取值范围； ②求证：x1+2x2>3.