题号猜押03 湖北武汉中考数学第15题（填空题）（武汉专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押03 湖北武汉中考数学第15题（填空题） 考点1 旋转综合 1．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在矩形中，，将绕点D逆时针旋转得到，点E落在对角线上，，分别交于点G，H，若，则矩形的面积为_____． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知，如图，，，为中点，是 上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为_______． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，是等边三角形，，点D在上，，E是中点，将线段绕点B旋转，点D的对应点为F，连接、，当为直角三角形时，的长是______． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形是正方形，对角线与相交于点，是由绕点逆时针旋转得到的．若，当三点共线时，的长为_________． 考点2 圆综合 5．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在的内接中，，，过作的垂线交于另一点，垂足为，设是上异于的一个动点，射线交直线于点，连接，交于点．在点运动过程中，设，，则与之间的函数关系式为___________． 6．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）已知中，，，，点D为边上一动点，点E是点B关于的对称点，则的最小值是________． 7．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图， 等边中． 点为边中点，点为边上一点，且 ，将绕点在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为___． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，半圆的直径，点在半径上且，点为半圆上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到，点是半圆的中点，连接，若，则_____． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，是的直径，，点C为上一点，连接，，点D是线段延长线上一点，且，连接并延长交于点P．当点C绕运动一周时，点P运动的路径长为_________． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，，是的内切圆，连接，，则的面积为_________． 考点3 三角形四边形综合 11．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，，点D是上一点，作的垂直平分线交于点E，延长交延长线于点F，若，，，则______． 12．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，，，P是内一点．若，，则______． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，若在正六边形内有一点P，且，，，则正六边形的面积为_______． 考点4 最值 14．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，，，，是线段上一动点（不与端点，重合），连接，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点，则线段的最大值为______． 15．（25-26九年级上·湖北武汉·月考），，，，点P在射线上运动，的外接圆交于Q，的最小值为_____． 16．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在和中，，，，连接，，将绕点旋转，当最大时，的长为 ________． 17．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在菱形中，，M，N分别是边，上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在对角线上的点E处，下列结论．①；②若，则；③若M是的中点，则四边形是菱形；④若菱形边长为6，M是的中点，去掉点A落在对角线上的条件，则的最小值为．其中所有正确结论的序号是_____．    1．（2026·江苏泰州·一模）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角和为，，则的面积为_____． 2．（2026·陕西咸阳·一模）如图，线段的长为10，点B、D分别在线段的下方和上方，连接、、、，，则四边形面积的最大值为______． 3．（2026·四川广元·二模）短边与长边之比等于的矩形称为“黄金矩形”．如图，四边形是黄金矩形，且．以为边作正方形，点F，E分别在边上，得到黄金矩形；以为边作正方形，点H，G分别在边上，得到黄金矩形．分别以F，H为圆心作，，则曲线称为“黄金螺线”若，则“黄金螺线”的长为_____（结果保留π） 4．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和正方形．延长交以为直径的半圆于点，连接．若，则的值为______． 5．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图，是的直径，弦于点．以，为邻边构造平行四边形，连接交于点，过点作交于点，垂足为点．若，，则的长度为________． 6．（2026·重庆渝中·二模）如图，的直径，点C是上一点，平分交于点交的延长线于点交于点F，则的长为______，的长为_____． 7．（2026·河南南阳·一模）定义：底角为的等腰三角形叫做“琥珀三角形”．如图，与相切于点，交于点，点为线段上一点，若为“琥珀三角形”，则的长为______________． 8．（2026·江苏宿迁·一模）在矩形中，，，某一时刻，动点E从点D出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点C匀速运动；同时，动点F从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接、，交于点M，在上取一点P，使得，在这一运动过程中，点P所经过的路径长是___________． 9．（2026·陕西渭南·模拟预测）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，等腰直角绕点B旋转，，点P、Q在内部，，连接、，点M是的中点，连接，则的值为______． 10．（2026·天津宁河·二模）如图，在中，对角线相交于点O，E为的中点，连接． （1）的值为________； （2）若为的平分线，交于点G，交于点F．若，，，则边的长为________． 11．（2026·河北保定·二模）如图，在中，是边上的中线，F是的中点，连接并延长交于点E，则的值为______． 12．（2026·河南周口·模拟预测）如图，在中，，，．动点从点出发沿线段运动，连接，以点为直角顶点在上方构造等腰直角三角形，连接，则的最小值为___________；点的运动路径长是___________． 13．（2026·黑龙江牡丹江·一模）如图，中，，点为边上一点，若，，则的最小值是_____． 14．（2026·山东济南·二模）如图，正方形不动，正方形绕点逆时针旋转，旋转角，，连接，，，，，，在旋转过程中，当点，，在同一直线上时，则线段的长为__________． 15．（2026·海南海口·一模）如图，点P是边长为2的正方形内部一点，且，点E是边的中点，将线段以点D为中心逆时针旋转得到线段，连接，，则________，线段长度的最大值为________． 16．（2026·江苏淮安·一模）如图，在中，，是中点，点在上，连接．若，，，则______． 17．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为______． 18．（2026·黑龙江鸡西·二模）如图在矩形中，，P为矩形内一点，且，E为上一动点，则的最小值为________．    19．（2026·四川成都·二模）如图，在中，，点D、E分别在边、上，且．点A关于直线对称的点F恰好在边上，连接、，分别交、于P、Q两点．若，，则线段的长为________． 20．（2026·四川绵阳·二模）如图，矩形，点分别在上，，连接，点是线段上的动点，且，则的最小值为___________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押03 湖北武汉中考数学第15题（填空题） 考点1 旋转综合 1．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在矩形中，，将绕点D逆时针旋转得到，点E落在对角线上，，分别交于点G，H，若，则矩形的面积为_____． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，，，由矩形的性质可得，从而得出，进而证得，得到，取的中点，连接，利用等腰三角形三线合一的性质可得，再证明，利用相似三角形的性质求出与的数量关系，进而求出的长，最后利用勾股定理求出的长，即可求得矩形的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由旋转的性质可知，， ， 点落在对角线上， ， ∵， ， ， 即， ∴， 取的中点，连接， ，为的中点， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 解得， ， 在中，由勾股定理得：， 矩形的面积为． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知，如图，，，为中点，是 上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆的轨迹动点问题，全等三角形的判定和性质，圆上点的最值问题等，能够作出辅助线并判断出点E的运动轨迹是解题的关键． 先通过旋转的性质得到，，再连接，过点作，，连接，证明，推出点的运动轨迹是在半径为的上运动，然后以为圆心，为半径作，延长，作交于点，连接与交于点，当三点共线时，有最小值，此时为所在位置，最后证明四边形为正方形，得到，，根据勾股定理求解，即可解出的最小值． 【详解】解：∵，，为中点， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得线段， ∴，， 如图，连接，过点作，，连接， ∵， ∴， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴随着点的运动，，那么，即点是上的动点， 如图，以为圆心，为半径作，延长，作交于点，连接与交于点， ∵， 即当三点共线时，，有最小值，此时为所在位置， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵中， ∴， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，是等边三角形，，点D在上，，E是中点，将线段绕点B旋转，点D的对应点为F，连接、，当为直角三角形时，的长是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的性质，旋转的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 分两种情形，当点在内时，，此时点、、三点共线，且在、之间；当点在外时，，此时点、、三点共线，且在、之间，分别通过勾股定理求的长即可． 【详解】解：是等边三角形，是中点， ， 由题意可得， 当点在内时，，此时点、、三点共线，且在、之间， ， ， ； 当点在外时，，此时点、、三点共线，且在、之间，此时，， ， 故答案为：或． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，四边形是正方形，对角线与相交于点，是由绕点逆时针旋转得到的．若，当三点共线时，的长为_________． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，注意分类讨论．分两种情况考虑：点Q在线段上；点Q在线段的延长线上；利用正方形的性质、旋转的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，；， 由勾股定理得：， ∴； 由旋转性质得：，； 当点Q在线段上，如图1所示； 则， ∴； 点Q在线段的延长线上，如图2所示； ∵， ∴； 综上，的长为或； 故答案为：或． 考点2 圆综合 5．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在的内接中，，，过作的垂线交于另一点，垂足为，设是上异于的一个动点，射线交直线于点，连接，交于点．在点运动过程中，设，，则与之间的函数关系式为___________． 【答案】 【分析】连接，可证明为的直径，则；由垂径定理和已知条件可证明，即；可证明，得到；证明，，得到，即，则，即与之间的函数关系式为． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在的内接中，， ∴为的直径， ∴， ∴； ∵与直线垂直，即， ∴垂直平分，， ∴，， ∵， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴，即 ∵，即， ∴ ∴与之间的函数关系式为． 6．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）已知中，，，，点D为边上一动点，点E是点B关于的对称点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】利用点E是点B关于的对称点，得出点的轨迹为以为圆心，为半径的圆上部分，过点作于点，得出，可知当最大时，的值最小，可知当与相切时最大，此时点为切点，再进行计算即可． 【详解】解：∵点E是点B关于的对称点， ∴， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆上部分， 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当最大时，的值最小， 由圆心到直线的距离，且与有交点（E是上的点），可知当与相切时，最大， 此时为切点，如图， 则， ∴， ∴， 即的值最小为． 7．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图， 等边中． 点为边中点，点为边上一点，且 ，将绕点在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为___． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定，圆相关知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，在等边中， 点为边中点，得出，勾股定理求出，根据题意可得点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，若为直角三角形，根据题意可知只有一种情况，此时，点在上或延长线上，分情况分别根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，在等边中． 点为边中点， ∴， ∴， 根据题意可得点在以点为圆心，1为半径的圆上运动， 若为直角三角形，根据题意可知只有一种情况， 此时，点在上或延长线上， 当点在上时，如图， 则， ∴； 当点在延长线上时，如图， 则， ∴； 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，半圆的直径，点在半径上且，点为半圆上的一动点，将线段绕点逆时针旋转得到，点是半圆的中点，连接，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，圆的基本性质，勾股定理．将绕点C逆时针旋转得，则，延长，作于点T，延长交于点M、交于点N，连接，证明四边形为矩形，求得，，由勾股定理可得，再证明，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：将绕点C逆时针旋转得，则，延长，作于点T，延长交于点M、交于点N，连接，如图所示， ∵D为半圆中点， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵半圆的直径，， ∴，， 由旋转可得， ∴，，， ∴即，， 连接，由勾股定理可得， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，是的直径，，点C为上一点，连接，，点D是线段延长线上一点，且，连接并延长交于点P．当点C绕运动一周时，点P运动的路径长为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图，过O点作于E，过A点作交的延长线于E，取的中点Q，连接，先利用圆的性质、平行线的性质证明可得，再证明四边形是平行四边形可得，再根据中位线的性质可得，即，则点P的运动轨迹为以为直径，的中点为圆心的圆上；再求出，最后求出点P在直径为的圆周上面运动一周的周长即可解答． 【详解】解：如图，过O点作于E，过A点作交的延长线于E，取的中点Q，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P的运动轨迹为以为直径，的中点为圆心的圆上， 又∵， ∴当点C绕运动一周时，点P在直径为的圆周上面运动一周，运动的路径长为． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，中，，，，是的内切圆，连接，，则的面积为_________． 【答案】18 【分析】本题考查勾股定理，三角形内切圆的性质，切线的性质，三角形面积的计算，构造辅助线求圆的半径是解题的关键．连接，设与切于三点，连接，求出，根据三角形面积公式求得的面积即可． 【详解】解：连接，设与切于三点，连接，则 是的内切圆， ， 在中，，，， ， ， ， ， 令 ，即， 解得，， ， 故答案为：18. 考点3 三角形四边形综合 11．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，，点D是上一点，作的垂直平分线交于点E，延长交延长线于点F，若，，，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理；解题的关键是过点作，由得，结合对顶角相等推出平分，再作构造全等三角形求出，最后利用两组相似三角形列比例式求出． 【详解】解：过点作于点，则, 是的垂直平分线与的交点， ， ， 三点共线，三点共线， (对顶角)， 又， (内错角)， ， 过点作于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， ， （舍去） ， 设， ， ， ， 即 ， ， ， , ， ， 即, ， ， ， ， 即. 12．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，，，P是内一点．若，，则______． 【答案】 【分析】过点P作于点D，于点E，证明四边形为矩形，得出，，设，则，求出，根据，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点P作于点D，于点E，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， 在中，， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ∴． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，若在正六边形内有一点P，且，，，则正六边形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识；将绕点B逆时针旋转得到，过点B作交的延长线于点N，则得P、B、N三点共线，设，则可求得，利用勾股定理建立方程求得a的值，再求得即可求解． 【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，过点B作交的延长线于点N， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴P、B、N三点共线， 设， 在中，，由勾股定理得， 在中，，， 在中，， 由勾股定理得：， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴， 在中，， 设正六边形的中心为O，连接，过O作于点H， 则，， ∴， ∴正六边形的面积为， 故答案为：． 考点4 最值 14．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，在中，，，，是线段上一动点（不与端点，重合），连接，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点，则线段的最大值为______． 【答案】 【分析】过点作于点，由三角函数可求得的值，证明，得，由 ，判断出有最小值时，最大，由此可求出的最大值． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中，，，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当有最小值时，有最大值， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值，即有最小值，此时点与点重合， ∴最小值为， ∴的最小值为, ∴的最大值为． 【点睛】此题重点考查解直角三角形、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 15．（25-26九年级上·湖北武汉·月考），，，，点P在射线上运动，的外接圆交于Q，的最小值为_____． 【答案】 【分析】先解，得到，由四点共圆，得到，则，作的外接圆，，连接，则，可得为等边三角形，那么，过点作交于点，交于点，则四边形为矩形，那么，，根据等腰三角形的性质以及勾股定理得到则，故，而，则当点落在上时，取得最小值，即为． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵的外接圆交于Q， ∴四点共圆， ∴， ∴， 作的外接圆，，连接，如图： ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点落在上时，取得最小值，即为， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度较大，解题的关键是正确确定动点的轨迹． 16．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图，在和中，，，，连接，，将绕点旋转，当最大时，的长为 ________． 【答案】 【分析】先确定点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，过作的垂线交延长线于，由分析出当最大时，最大，再由直角三角形斜边大于直角边得在旋转过程中，即时，取得最大值，再通过取中点，连接并延长至，使得，利用勾股定理可求出、的长度，再证明即可． 【详解】解：如图，将绕点旋转一周，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，过作的垂线交延长线于， ∵， ∴当最大时，最大， 在旋转过程中，， ∴， 即时，取得最大值， 此时在直角三角形中， ， ∴， 如图，取中点，连接并延长至，使得， ∴在直角三角形中， ，； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，难度较大，掌握相关知识是解题关键． 17．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在菱形中，，M，N分别是边，上任意一点，将菱形沿翻折，点A落在对角线上的点E处，下列结论．①；②若，则；③若M是的中点，则四边形是菱形；④若菱形边长为6，M是的中点，去掉点A落在对角线上的条件，则的最小值为．其中所有正确结论的序号是_____．    【答案】①②③ 【分析】本题利用菱形的性质和折叠的性质，结合相似三角形的判定定理和性质，以及点到直线的距离等知识进行解答．对于①，通过菱形的性质，折叠的性质及三角形内角和定理得到，再由证得；对于②，由①的结论结合三角形内角和定理求得的度数，最后利用折叠的性质即可判断；对于③，利用线段中点的性质，折叠的性质证得和是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，最后利用平行四边形邻边相等即可判断；对于④，通过折叠的性质可得点E的轨迹是以点M为圆心，为半径的圆上，当C，E，M三点共线时，取得最小值，通过构造辅助线，利用解含30度直角三角形的性质及勾股定理即可求得目标线段的长度进行判断． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴，结论①正确； ∵， 由①可知，， 在中，， 由折叠可知，， ∴， ∴，结论②正确； ∵M是的中点， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 同理可得是等边三角形， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形，结论③正确；    ∵菱形边长为6，M是的中点， ∴， 由折叠可知，， ∴点E的轨迹是以点M为圆心，为半径的圆上， 当C，E，M三点共线时，取得最小值， 此时， 如图，过点M作交延长线于点F，    ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴，结论④错误， 综上，正确结论序号是①②③． 1．（2026·江苏泰州·一模）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角和为，，则的面积为_____． 【答案】12 【分析】延长交于点，连接，可得，那么，故，然后结合勾股定理以及完全平方公式求解即可． 【详解】解：延长交于点，连接， 则是直径，， ∴， ∴ 由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·陕西咸阳·一模）如图，线段的长为10，点B、D分别在线段的下方和上方，连接、、、，，则四边形面积的最大值为______． 【答案】50 【分析】取的中点，连接、，则，由直角三角形的性质可得，，从而得出，进而可得点、、、四点共圆，再结合四边形面积，得出当，时，和的面积最大，此时四边形面积也最大，计算即可得出结果． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 则， ∵， ∴，， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∵四边形面积， ∴当，时，和的面积最大，此时四边形面积也最大， ∴四边形面积的最大值为． 3．（2026·四川广元·二模）短边与长边之比等于的矩形称为“黄金矩形”．如图，四边形是黄金矩形，且．以为边作正方形，点F，E分别在边上，得到黄金矩形；以为边作正方形，点H，G分别在边上，得到黄金矩形．分别以F，H为圆心作，，则曲线称为“黄金螺线”若，则“黄金螺线”的长为_____（结果保留π） 【答案】 【分析】根据黄金矩形的性质求出各边的长度，再依据弧长公式分别计算两段弧的长度，最后将两段弧长相加得到“黄金螺线”的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴“黄金螺线”的长为． 4．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形和正方形．延长交以为直径的半圆于点，连接．若，则的值为______． 【答案】 【分析】设直角三角形的长直角边为，短直角边为，得到，连接，根据圆周角定理结合等弧对等弦得到，，进而推出四点共圆，得到，求出，将绕点旋转，得到，推出三点共线，得到，三线合一，得到，进而得到，得到，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为， 由题意，， 连接， ∵为半圆的直径，， ∴，， ∴，， ∴四点共圆， ∴，， ∴， 将绕点旋转，得到，则，，， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 5．（2026·重庆沙坪坝·一模）如图，是的直径，弦于点．以，为邻边构造平行四边形，连接交于点，过点作交于点，垂足为点．若，，则的长度为________． 【答案】 【分析】先证明，得到，求出线段长度，再根据等面积法算出，再根据算出半径，最后根据算出即可． 【详解】解：连接，，过作交于， ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设圆的半径为，则， 在中， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， 又∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 6．（2026·重庆渝中·二模）如图，的直径，点C是上一点，平分交于点交的延长线于点交于点F，则的长为______，的长为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，先推导出，，证明，再根据勾股定理，得到，求出，继而推导出，得到，求出，即可解答． 【详解】解：过点作于点，连接，如图， ， 是的直径， ， ， ， 平分， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ，， ， ， ， ， ， 即， 解得． 7．（2026·河南南阳·一模）定义：底角为的等腰三角形叫做“琥珀三角形”．如图，与相切于点，交于点，点为线段上一点，若为“琥珀三角形”，则的长为______________． 【答案】或 【分析】先利用切线的性质结合已知条件求出的长度和的度数，再根据琥珀三角形的定义分情况讨论等腰三角形的构造，分别计算的长度即可． 【详解】解：因为与相切于点，所以，即， 设的半径为，由，得， 又， 所以， 在中，由勾股定理得：， 代入已知条件得：， 整理得， 解得， 所以，且，因此， 因为是底角为的等腰三角形，分两种情况讨论： 情况：和为底角，即， 由等角对等边得，， 过点作于点， 在中，， 由等腰三角形三线合一得， 情况：和为底角，即， 由等角对等边得，， 过点作于点， 由等腰三角形三线合一得， 在中，， 所以， 两种情况的点都在线段上，符合题意， 8．（2026·江苏宿迁·一模）在矩形中，，，某一时刻，动点E从点D出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点C匀速运动；同时，动点F从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接、，交于点M，在上取一点P，使得，在这一运动过程中，点P所经过的路径长是___________． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值，求出，设运动时间为秒，则，，进而证明，推出，再证明，得出，即点在以为圆心，半径长为的圆上运动，路径为，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ，，， ， ， 设运动时间为秒，则，， ， 又， ， ， ， ， 如图，当点在点位置时，此时点、、重合， ， ， 当点在点位置时，此时点、重合，， ，即， 又， ， ， 取中点，以为圆心，长为半径作圆，则， 点在以为圆心，半径长为的圆上运动，即路径为， ， ， 的长为， 点P所经过的路径长是 9．（2026·陕西渭南·模拟预测）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，等腰直角绕点B旋转，，点P、Q在内部，，连接、，点M是的中点，连接，则的值为______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得出是等腰直角三角形，从而得到，；根据等腰直角三角形的性质得出，；利用角的和差关系证明，进而证明，得到；利用三角形中位线定理得到，从而求出比值． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形，是的中点， ∴，，， ∴在中，，即， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴在中，，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵O是的中点，是的中点， ∴是的中位线 ， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·天津宁河·二模）如图，在中，对角线相交于点O，E为的中点，连接． （1）的值为________； （2）若为的平分线，交于点G，交于点F．若，，，则边的长为________． 【答案】 /0.125 8 【分析】由题可知，，则，又E为的中点，则，进而可求；先证为等边三角形，再取的中点为，连接，设，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线相交于点O， ∴，， ， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴，即； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形． ∵为的平分线， ∴，，． 如图，取的中点为，连接， ∵E为的中点，H为的中点， ∴，， ∴，， ∴，． 又∵，， ∴， 设，则． ∵，， ∴． ∵， ∴．在中，由勾股定理得， ∴，解得，（舍去）， ∴， ∴． 11．（2026·河北保定·二模）如图，在中，是边上的中线，F是的中点，连接并延长交于点E，则的值为______． 【答案】 【分析】过点D作的平行线，得到中点G，再用平行线分线段成比例定理得到，然后求出的值． 【详解】解：如图，过点D作交于点G， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·河南周口·模拟预测）如图，在中，，，．动点从点出发沿线段运动，连接，以点为直角顶点在上方构造等腰直角三角形，连接，则的最小值为___________；点的运动路径长是___________． 【答案】 / / 【分析】首先在中利用锐角三角函数和勾股定理求出和的长；然后过点作交的延长线于点，证明，从而得到；设，用含的式子表示点的坐标，进而确定点的运动轨迹为一条线段，利用勾股定理计算路径长，最后构建关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：在中，， 设，则， 由勾股定理得，即， 解得：（负值舍去）， ， 过点作于点，如图： ， ， ， 又， ， ， 在和中 , ， ， 设，则， 点到直线的距离为，点到直线的距离为， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，点的坐标为，如图： 点从点出发沿线段运动， 点的运动路径是一条线段当时，点的坐标为， 当时，点的坐标为， 点的运动路径长为， ， 点的运动路径长为， ， ， 当时，有最小值， ， 的最小值为， 的最小值为， 的最小值为． 13．（2026·黑龙江牡丹江·一模）如图，中，，点为边上一点，若，，则的最小值是_____． 【答案】13 【分析】根据题意可变形为在线段下方，构造以点为顶点、为边作射线，使得，过点P作于点D，过点C作于点E，交于点，在中，，进而得到，当点C、、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，利用三角形内角和定理求出，设，则，根据勾股定理求出长，利用，求出的值，进而求出的值，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：， 在线段下方，构造以点为顶点、为边作射线，使得， 过点P作于点D，过点C作于点E，交于点， ， 在中，， ， 当点C、、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， 解得：或（舍去） 、、， 在中，， ， 解得：， ， ， 即的最小值是13． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握锐角三角函数的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 14．（2026·山东济南·二模）如图，正方形不动，正方形绕点逆时针旋转，旋转角，，连接，，，，，，在旋转过程中，当点，，在同一直线上时，则线段的长为__________． 【答案】/ 【分析】先证明，，可得三点共线，，进一步可得答案． 【详解】解：∵正方形，正方形， ∴，，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴． 15．（2026·海南海口·一模）如图，点P是边长为2的正方形内部一点，且，点E是边的中点，将线段以点D为中心逆时针旋转得到线段，连接，，则________，线段长度的最大值为________． 【答案】 90 【分析】证明，即可得出；取的中点，连接、，则，由，得出点在以为直径的圆上运动，求出，再结合，计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由旋转的性质可得，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ∵点E是边的中点， ∴， 如图，取的中点，连接、，则， ∵， ∴点在以为直径的圆上运动， ∴，， ∵， ∴当点、、在同一直线上时，的长度取得最大值，为． 16．（2026·江苏淮安·一模）如图，在中，，是中点，点在上，连接．若，，，则______． 【答案】 【分析】根据中点的定义及勾股定理得，，继而得到，证明得，求得，，可得答案． 【详解】解：∵是中点， ∴， ∵，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为______． 【答案】 【分析】设与交于点，作点，使得且，连接，可得 四边形是平行四边形，得到，即得，作点关于直线的对称点，连接、， 得，即得，根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 过点作垂直过点且平行于的直线，垂足为，利用平移的性质可得，， 最后利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：设与交于点， ∵四边形是菱形，，， ，，， ∵四边形是平行四边形， ，， 作点，使得且，连接， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， 作点关于直线的对称点，连接、， ， ， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， ，， ∴点可看作由点沿方向平移得到， ∵，， 又∵点到的距离为，点到的距离为，且在的左侧， ∴点在点的左侧个单位，下方个单位处， ∵点在下方个单位处，且在上， ∴点在下方个单位处，且在过点并垂直于的直线上， ∵点与点关于对称， ∴点在上方个单位处，且在过点并垂直于的直线上， 过点作垂直过点且平行于的直线，垂足为， ，， 在中，， 的最小值为． 18．（2026·黑龙江鸡西·二模）如图在矩形中，，P为矩形内一点，且，E为上一动点，则的最小值为________．    【答案】 【分析】根据P为矩形内一点，且，为定值，得出点P在一个圆上运动，设点P在上，过点O作于点F，，交的延长线于点G，连接，，延长，取，连接，，交于点，交于点，说明垂直平分，得出，说明，根据两点之间线段最短，得出当、、P三点共线时，最小，即最小，说明当点E在点，点P在点处时，最小，求出其最小值即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵P为矩形内一点，且，为定值， ∴点P在一个圆上运动， 如图，设点P在上，过点O作于点F，，交的延长线于点G，连接，，延长，取，连接，，交于点，交于点，    ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当、、P三点共线时，最小，即最小， ∴当点E在点，点P在点处时，最小， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 19．（2026·四川成都·二模）如图，在中，，点D、E分别在边、上，且．点A关于直线对称的点F恰好在边上，连接、，分别交、于P、Q两点．若，，则线段的长为________． 【答案】 【分析】过点作、的垂线，垂足为、，根据折叠和角平分线的性质定理，得出四边形是正方形，则，根据三线合一的性质，得出，设，利用的正切值，求出，则，，，，，过点作，延长、、分别交与点、、，利用相似三角形对应边成比例的性质，推出，，则，再利用勾股定理，求出，即可得解． 【详解】解：如图，过点作、的垂线，垂足为、， ， 四边形是矩形， 由折叠的性质可知，，， 平分， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，， ， 设，则， ，, ， , 解得：， ，，，， ， 如图，过点作，延长、分别交与点、， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 20．（2026·四川绵阳·二模）如图，矩形，点分别在上，，连接，点是线段上的动点，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出、等线段长，再通过构造点使且，利用相似三角形证明，从而将转化为，最后由“两点之间线段最短”求出最小值． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴在矩形内部作点，使，且， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴设，则， ∴， ∴在中，， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴作点关于的对称点，连接交于点， ∴， ∴， 当且仅当点与点重合时取等号， ∵点与点关于对称， ∴，且， 过点作，交延长线于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴的最小值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $