福建厦门英才创美2025-2026学年高三下学期第四次模拟考试卷

**基本信息** 立足高三模拟预测，融合进博会统计、大衍数列等时代与文化素材，通过广义坐标等创新情境考查数学抽象、逻辑推理与数据应用能力，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数、集合、椭圆离心率、函数单调性、统计概率|第6题广义坐标创新考查向量基本定理，第10题大衍数列传承数学文化| |填空题|3题/15分|函数图像、数列求和、排列组合|第14题毕业照合影概率贴近生活，考查实际应用| |解答题|5题/77分|统计与概率（进博会）、解三角形、数列、立体几何、解析几何|第15题以进博会为背景，综合考查分层抽样与方差计算，体现数据观念|

创美高三第四次模拟考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数 为纯虚数，则实数 （     ） A. B.1 C.3 D. 或1 2. 已知集合 ，，则 （     ） A. B. C. D. 3. 已知焦点在x轴上的椭圆 ，其右焦点F与上顶点A和左顶点B构成的三角形中 ，则椭圆的离心率为（     ）. A. B. C. D. 4. 函数 ，若 的一个单调递增区间为 ，且 ，下面说法正确的是（     ） A. B. C. 在 上有2个零点 D. 5. 若函数 ，在 上单调递增，则m的取值范围是（     ） A. B. C. D. 6. 向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量 ， 是平面 内的一组基向量，O为 内的定点．对于 内任意一点P，若 ，则称有序实数对 为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为 ，，关于下列命题正确的（     ） A. 点关于点的对称点不一定为 B. ，两点间的距离为 C. 若向量平行于向量，则的值不一定为 D. 若线段的中点为，则点的广义坐标为 7. 函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（     ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，，则（     ） A.34 B.35 C.36 D.37 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列说法正确的是（     ） A. 样本相关系数越大，则线性相关性越强 B. ，，，，，，，的上四分位数是 C. 随机变量的方差，期望，则16 D. 某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为 10. 大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用。已知大衍数列满足，，则正确的有（     ） A. B. C. D. 数列的前20项和为 11. 在平行六面体中，，，则（     ） A. B. 平面 C. 直线与直线所成角为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知点在函数的图象上，则点到直线的距离的最小值为            。 13. 已知数列满足，若，表示的前项和，则            。 14. 某班级要拍毕业照，现有3名女生、2名男生要与班主任进行合影，则3名女生中有且只有2位相邻的概率为            。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的、、三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表：（单位：个） 产品 产品 产品 普通装 180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的产品中抽取100个，其中款产品有30个。 （1）求的值； （2）用分层抽样的方法在款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率； （3）对抽取到的款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2，精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的款产品的某种指标的总体方差（精确到0.01）。 16. 记的内角，，的对边分别为，，，已知。 （1）若，求； （2）求的最小值。 17. 在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列， （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和。 18. 如图，四棱锥中，底面，，，。 （1）若点为的重心，求； （2）若，证明：平面； （3）若，且二面角的正弦值为，求。 19. 已知动圆过定点，且与直线相切。 （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）过点作倾斜角为，（            ）的两条直线交轨迹于，两点，若，求证： 直线恒过定点。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $