第10章 分式 单元复习（6大知识点+13大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年苏科版八年级数学下学期

该初中数学分式单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了分式的概念、性质、运算、分式方程及应用等核心内容，用表格归纳分式运算的法则与注意事项，按“概念辨析-性质应用-综合运算-实际建模”的逻辑呈现知识脉络，突出分式值为0的条件、分式方程验根等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如分式值为0的条件判断，通过“分子为零先求解，分母非零再排除”口诀培养运算能力；培优题型如分式方程增根问题，引导学生先求增根再代入整式方程求参数，发展推理意识；压轴题型结合新定义运算和跨学科应用，如“美好分式”探究，提升模型意识。每个题型配例题和变式题，帮助不同层次学生巩固提升，教师可据此实施精准复习教学。

第10章 分式 知识点1：分式的概念 1.定义：形如（、为整式，中含字母，且）的式子叫做分式。 2.分式有意义：分母；分式无意义：分母。 3.分式值为0：分子且分母（双条件，缺一不可）。 4.分式值为正/负：分子分母同号为正，异号为负。 知识点2：分式的基本性质 1.基本性质：（的整式）。 2.符号法则：分子、分母、分式本身，同时变两个符号，值不变；即。 3.约分：约去分子分母公因式，化为最简分式（分子分母无公因式）。 4.通分：化异分母为同分母，依据是最简公分母（各分母所有因式最高次幂的积）。 知识点3：分式的运算 运算类型 法则 注意事项 乘法 先因式分解再约分 除法 除式颠倒，变乘法 加减（同分母） 分母不变，分子加减 加减（异分母） 先通分，再按同分母计算 通分后勿忘分子整体运算 混合运算 先乘方→乘除→加减；有括号先算括号内 结果化为最简分式/整式 知识点4：整数指数幂 1.负整数指数幂：（，为正整数）。 2.零指数幂：（）。 3.运算：结果化为正整数指数幂形式。 知识点5：分式方程 1.定义：分母中含未知数的方程。 2.解法：去分母→解整式方程→检验（验根必写）。 3.增根：使最简公分母的根，不是原方程的根。 4.无解：①整式方程无解；②整式方程的解都是增根。 知识点6：分式的实际应用 1.常见模型：工程问题、行程问题、销售问题、平均问题。 2.步骤：审题→设元→列分式方程→求解→双检验（方程解+实际意义）→作答。 【基础必考题型】 【题型1】分式的概念辨析与有无意义判断 1.核心知识点: 分式定义：分母含字母、整式形式、 分式有意义：分母≠0；无意义：分母=0 2.解题方法技巧: 只看原式，不化简判断；π是常数不是字母 分母为多项式时，因式分解后令每个因式≠0 【例题1】.（25-26九年级下·江苏盐城·期中）下列各式中是分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列各式：①，②，③，④中，是分式的有（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．①③④ 【变式题1-2】.（25-26八年级下·山东济南·月考）根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 0 … A． B． C． D． 【变式题1-3】.（2026·云南昆明·模拟预测）要使分式有意义，x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型2】分式值为0的条件判断 1.核心知识点: 分子=0且分母≠0，两个条件必须同时满足 先求分子为0的解，再代入分母排除增根 2.解题方法技巧: 口诀：分子为零先求解，分母非零再排除 绝对不能只看分子，忽略分母不为0的前提 【例题2】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）当___________时，分式的值为0． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·河南周口·月考）分式的值为，则的值为 （    ） A． B． C．且 D． 【变式题2-2】.（2026·河南周口·一模）若分式的值为0，则________． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·山东济南·月考）关于x和y的值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 ※ ※ 无意义 ※ … 则y代表的分式是（   ） A． B． C． D． 【题型3】分式的基本性质与符号化简 1.核心知识点: 分式基本性质：同乘除非零整式，值不变 符号法则：变两个符号，值不变 2.解题方法技巧: 系数化整：小数同乘10ⁿ，分数同乘分母最小公倍数 符号统一：把负号提到分式最前面 【例题3】.（25-26八年级下·河北张家口·月考）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·山东德州·月考）若，等式成立，则x应满足的条件是_____． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）若、均不为0，将下列分式中的、的值都变为原来的2倍，则分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： （1）括号内填：______； （2）括号内填：______． 【题型4】分式的约分与最简分式判断 1.核心知识点: 约分：先因式分解，再约去公因式 最简分式：分子分母无公因式 2.解题方法技巧: 多项式必须先分解因式再找公因式 公因式：系数最大公因数×相同因式最低次幂 【例题4】.（2026·河南安阳·一模）计算、化简： (1)； (2)． 【变式题4-1】.（2026·河北沧州·二模）化简： (1)； (2)． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·四川乐山·月考）计算： (1) (2) 【变式题4-3】.（25-26九年级下·四川甘孜·月考）化简： (1)； (2)． 【题型5】分式的加减乘除运算 1.核心知识点: 乘除：先分解再约分，最后计算 加减：同分母直接算，异分母先通分 2.解题方法技巧: 除法先颠倒除式变乘法；减法分子要整体变号 结果必须化为最简分式或整式 【例题5】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）分式和的最简公分母为______． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）将下列分式化简 (1) (2) 【变式题5-3】.（25-26八年级下·江苏南京·期中）定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【培优高频题型】 【题型6】分式化简求值（常规/整体代入） 1.核心知识点: 先化简再代入，分式有意义前提下取值 整体代换：、ab、整体代入 2.解题方法技巧: 已知，用分式变形转化为与$ab$ 取值时排除使分母为0的数 【例题6】.（2026·北京·模拟预测）已知，求代数式的值． 【变式题6-1】.（2026·北京门头沟·二模）已知，求代数式的值． 【变式题6-2】.（2026·北京密云·二模）已知：，求代数式的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中从0，1，2中选一个恰当的数求值． 【题型7】解可化为一元一次方程的分式方程 1.核心知识点: 解法：去分母→整式方程→求解→检验 检验：代入最简公分母，≠0才是原方程根 2.解题方法技巧: 去分母不漏乘常数项；互为相反数的因式先提负号统一 检验步骤必须写，这是得分点 【例题7】.（北京市门头沟区2026年九年级综合练数学试卷）方程的解为_______． 【变式题7-1】.（福建省南平市2026年初中毕业班第二次适应性练习数学）解方程：． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·山东济南·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山东济南·阶段检测）解分式方程： (1)； (2)． 【题型8】分式方程的增根问题 1.核心知识点: 增根：最简公分母=0，是整式方程根但不是分式方程根 步骤：求增根→代入整式方程→求参数 2.解题方法技巧: 先令分母=0求增根，再把增根代入去分母后的整式方程 增根≠原方程根，千万不可直接当原方程解使用 【例题8】.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如果关于的方程有增根，那么增根是_____． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【变式题8-2】.（25-26八年级下·河南周口·月考）若关于的分式方程 有增根，则的值为 （    ） A．0 B．3 C． D．1 【变式题8-3】.（25-26八年级下·河南洛阳·期中）关于的分式方程． (1)当时，求此时方程的解； (2)若此方程有增根，求的值； (3)若此方程的解为正数，求的取值范围． 【题型9】根据分式方程解的情况求参数范围 1.核心知识点: 解为正数/负数/非负数：先表示解，再列不等式 必须排除增根，这是高频易错点 2.解题方法技巧: 三步走：解整式方程→列不等式→排除增根 如：解>0且解≠增根，联立求范围 【例题9】.（2026·上海静安·二模）如果关于x的分式方程的解为正数，求常数a的取值范围． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·江西宜春·期末）已知． (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 【压轴素养题型】 【题型10】分式规律探究与新定义运算 1.核心知识点: 分式序列：分子、分母、符号三方面找规律 新定义：按规则转化为常规分式运算 2.解题方法技巧: 符号：或控制 新定义严格照抄规则，注意定义域限制 【例题10】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）探究规律及应用 (1)【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． (2)【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·广东湛江·期末）探索发现：；；…根据你发现的规律，回答下列问题： (1)______，______； (2)利用你发现的规律计算：______； (3)灵活利用规律解方程：． 【变式题10-2】.（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·广东东莞·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：，则是“美好分式”． (1)下列分式中，属于“美好分式”的是___________；（只填序号） ①；②；③． (2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)判断的结果是否为“美好分式”，并说明理由． 【题型11】分式与代数式综合（最值、正负、整数解） 1.核心知识点: 分式值为整数：分子是分母倍数；分式正负：分子分母异号 分离常数法：化为整式+真分式 2.解题方法技巧: 分离常数简化分析；结合不等式求范围 整数解问题：分母为分子的约数，且分母≠0 【例题11】.（25-26八年级上·山东滨州·月考）【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ， ． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，分式都有意义． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·广东惠州·期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式 ； 即当时，的最小值为2 请根据上述材料解决下列问题： (1)因式分解： (2)当为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值； (3)若，求的值； 【变式题11-2】.（25-26八年级上·上海静安·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ． (2)当时，求代数式的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为12和27，求四边形面积的最小值． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·福建南平·期末）小明发现和为定值的两数积的规律：当两数和一定时，差的绝对值越小积越大． 证明：设两数和为，其中一数为，另一数为(a为定值)， 因为，显然当越小时，积越大． 所以当，即时，取最大值． （1）下列各式中，值最大的是_____(填序号）． ①，②，③，④； （2）判断代数式是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【实际应用】 洗衣机漂洗过程中，衣服每次脱水后都会残留1斤含有污物的水，漂洗后污物含量漂洗前污物含量×． 如果将脱水后的衣服放到20斤清水中去漂洗，那么连同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此时，污物将均匀分布在这21斤水里，再次脱水后，衣服上还会残留一斤含有污物的水，衣服上污物残存含量会变为原来的，污物去除量为原来的． 序号 第一次 第二次 用水量 污物残存量 用水量 污物残含量 1 5 15 2 8 12 3 10 10 4 11 9 5 14 6 小明对上述过程进行研究，将20斤水分为2次用，发现同样用20斤水漂洗衣服，分两次漂洗污物残存含量都少于一次漂洗（如右表，单位：斤）． （3）如果用20斤水分两次漂洗，该如何分配两次的用水量使得污物残存量最少，效果最好？请说明理由． 【题型12】分式方程跨学科/生活情境应用题 1.核心知识点: 工程：工作总量=效率×时间；行程：路程=速度×时间 销售：总价=单价×数量；平均：均价=总钱数÷总重量 2.解题方法技巧: 抓“相等时间”“相等工作量”“单价差”列方程 双检验：方程解正确+符合实际意义 【例题12】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 【变式题12-1】.（2026·广东河源·模拟预测）如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等、乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度． 可可：         琪琪： 根据以上信息，解答下列问题． (1)可可同学所列方程中的x表示________； 琪琪同学所列方程中的y表示________； (2)在可可和琪琪所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系：________； (3)利用（2）中你所选择的方程，解答该例题． 【变式题12-2】.（25-26八年级下·四川成都·期中）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上A型劳动工具的单价比B型劳动工具的单价低5元，用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同． (1)求A，B两种型号劳动工具的单价各是多少元？ (2)学校计划购买A，B两种型号的劳动工具共100把，且A型劳动工具的购买数量不超过B型劳动工具的购买数量的3倍，则如何购买花费最少？ 【变式题12-3】.（25-26九年级下·辽宁本溪·月考）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【题型13】分式复杂化简与对称式求值 1.核心知识点: 倒数法、设参法、拆项法、整体代换综合 对称式：、变形 2.解题方法技巧: 已知连比设；已知倒数和取倒数变形 高次幂用完全平方公式降次 【例题13】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：；再如：． (1)下列各式：；；；，是假分式的有 （填序号）． (2)将假分式化为带分式的形式． (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值． (4)一个三位数，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数． 【变式题13-1】.（25-26七年级上·上海·期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)若，，，，且，求的值． 【变式题13-2】.（25-26八年级上·江苏南通·月考）请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如： ，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设， 将等式右边通分，得，依据题意，得， 解得，所以． (1)①分式是_____________________（填“和谐分式”或“非和谐分式”） ②已知，则_________， _________． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． (3)如果，请用含有和的式子表示． 【变式题13-3】.（25-26八年级上·山东淄博·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)若，且，求的值． 易错点 1.分式值为0：只让分子=0，忘记分母≠0，导致增根。 2.分式基本性质：乘除时漏乘分子/分母，或乘0。 3.分式运算：减法分子未整体变号，通分后计算错误。 4.分式方程：忘记检验，把增根当成原方程解。 5.分式方程求参：解满足范围时，未排除增根。 6.实际应用：单位不统一、结果未取整数、未检验合理性。 重点 1.分式有意义、值为0的条件判断。 2.分式的基本性质、约分、通分。 3.分式加减乘除及混合运算、化简求值。 4.分式方程解法、增根与检验。 5.分式方程在工程、行程等实际问题中的应用。 难点 1.含参数分式方程的增根、无解、解的范围综合分析。 2.复杂分式化简、整体代换、对称式求值技巧。 3.实际问题中等量关系提炼与分式方程建模。 4.分式与整数、不等式、新定义、规律探究的综合。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列分式与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 2．使有意义的的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．且 3．某学校九年级学生去距学校的中国人民抗日纪念馆参观．一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍；设大巴的速度为．则根据题意可列出的方程为（） A． B． C． D． 二、填空题 4．若分式的值等于0，则的值为________． 5．若，则__________． 6．若分式的值为正，则的取值范围是_____． 三、解答题 7．解方程： (1)； (2) 8．先化简，再求值：，再从0，1，2三个中选一个适当的数作为的值代入求值． 9．若关于的分式方程无解，求的值． 10．已知解关于的方程时不会产生增根，求的取值范围． 11．在推进乡村振兴中，某村采用“线上直播＋线下批发”两种方式销售本地特色沃柑．据统计，每小时销售的沃柑数量线上直播比线下批发多千克，且线上直播销售千克所用时间与线下批发销售千克所用时间相等．求线下批发每小时销售沃柑多少千克． 12．已知关于的方程的两个解是，关于的方程的两个解是．小红认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于的方程的两个解是，并在老师的帮助下完成了严谨的证明． 请利用小红的这个结论解决以下几个问题： (1)求解关于的方程； (2)关于的方程的两个解分别为，求的值； (3)关于的方程的两个解是，若是正整数，求满足条件的整数的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 分式 知识点1：分式的概念 1.定义：形如（、为整式，中含字母，且）的式子叫做分式。 2.分式有意义：分母；分式无意义：分母。 3.分式值为0：分子且分母（双条件，缺一不可）。 4.分式值为正/负：分子分母同号为正，异号为负。 知识点2：分式的基本性质 1.基本性质：（的整式）。 2.符号法则：分子、分母、分式本身，同时变两个符号，值不变；即。 3.约分：约去分子分母公因式，化为最简分式（分子分母无公因式）。 4.通分：化异分母为同分母，依据是最简公分母（各分母所有因式最高次幂的积）。 知识点3：分式的运算 运算类型 法则 注意事项 乘法 先因式分解再约分 除法 除式颠倒，变乘法 加减（同分母） 分母不变，分子加减 加减（异分母） 先通分，再按同分母计算 通分后勿忘分子整体运算 混合运算 先乘方→乘除→加减；有括号先算括号内 结果化为最简分式/整式 知识点4：整数指数幂 1.负整数指数幂：（，为正整数）。 2.零指数幂：（）。 3.运算：结果化为正整数指数幂形式。 知识点5：分式方程 1.定义：分母中含未知数的方程。 2.解法：去分母→解整式方程→检验（验根必写）。 3.增根：使最简公分母的根，不是原方程的根。 4.无解：①整式方程无解；②整式方程的解都是增根。 知识点6：分式的实际应用 1.常见模型：工程问题、行程问题、销售问题、平均问题。 2.步骤：审题→设元→列分式方程→求解→双检验（方程解+实际意义）→作答。 【基础必考题型】 【题型1】分式的概念辨析与有无意义判断 1.核心知识点: 分式定义：分母含字母、整式形式、 分式有意义：分母≠0；无意义：分母=0 2.解题方法技巧: 只看原式，不化简判断；π是常数不是字母 分母为多项式时，因式分解后令每个因式≠0 【例题1】.（25-26九年级下·江苏盐城·期中）下列各式中是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式定义，判断式子的分母是否含有字母即可得出答案． 【详解】解：和分母不含字母，是整式； ，是整式； 分母为，含有字母，符合分式定义． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列各式：①，②，③，④中，是分式的有（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查分式的定义，根据分式定义逐一判断即可，需注意是常数不是字母. 【详解】解：∵ ① 的分母是字母，符合分式定义； ②的分母是常数，不符合分式定义； ③的分母含字母，符合分式定义； ④中是常数，分母不含字母，不符合分式定义； ∴ 是分式的是①③. 【变式题1-2】.（25-26八年级下·山东济南·月考）根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 0 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握分式无意义的条件和分式值为0的条件是解题关键，根据表格信息可得时分式无意义，时分式值为，结合两个条件即可判断选项． 【详解】解：根据表格信息可知：当时，分式无意义，即分母的值为，当时，分式的值为，即分子为且分母不为， 选项A、时，分子，不符合题意； 选项B、时，分母，分式无意义，时，分子，分母，分式值为，符合题意； 选项C、时，分母，分式有意义，不符合题意； 选项D、时，分母，分式无意义，不符合题意． 【变式题1-3】.（2026·云南昆明·模拟预测）要使分式有意义，x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0），求解的取值范围． 【详解】解：分式有意义， 分式的分母不能为，可得， 解得． 【题型2】分式值为0的条件判断 1.核心知识点: 分子=0且分母≠0，两个条件必须同时满足 先求分子为0的解，再代入分母排除增根 2.解题方法技巧: 口诀：分子为零先求解，分母非零再排除 绝对不能只看分子，忽略分母不为0的前提 【例题2】.（25-26八年级下·广东深圳·期中）当___________时，分式的值为0． 【答案】1 【分析】根据分式值为0时分子为零且分母不为零即可求解． 【详解】解：根据题意，要使分式的值为0，需满足， 由，解得， 当时，， ． 【变式题2-1】.（25-26八年级下·河南周口·月考）分式的值为，则的值为 （    ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据“分式的值为需同时满足分子为、分母不为两个条件”，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， 解得：． 【变式题2-2】.（2026·河南周口·一模）若分式的值为0，则________． 【答案】2 【分析】根据分式值为0的条件即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， ∴． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·山东济南·月考）关于x和y的值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 ※ ※ 无意义 ※ … 则y代表的分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件和分式值为0的条件，根据表格信息，利用分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，即可排除错误选项得到答案． 【详解】解：由表格可知，当时，无意义，即分母为， 将代入各选项分母，A选项分母，B选项分母，因此A、 B不符合题意， 又当时，， 将代入剩余C、D选项的分子， C选项分子，分母，符合要求； D选项分子，不符合要求， 故选：C． 【题型3】分式的基本性质与符号化简 1.核心知识点: 分式基本性质：同乘除非零整式，值不变 符号法则：变两个符号，值不变 2.解题方法技巧: 系数化整：小数同乘10ⁿ，分数同乘分母最小公倍数 符号统一：把负号提到分式最前面 【例题3】.（25-26八年级下·河北张家口·月考）下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分式分子分母因式分解，再找公因式约分验证． 【详解】解：A、的分子分母没有公因式，不能约分，选项约分错误； B、，分母为，可得，，选项约分错误； C、，分母为，可得，，选项约分正确； D、，选项约分错误． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·山东德州·月考）若，等式成立，则x应满足的条件是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质：分子和分母都乘以一个不等于0的数或整式，分式的值不变，解答即可． 【详解】解：分式的分子和分母都乘以x（），得， 所以x应满足的条件是. 故答案为：． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）若、均不为0，将下列分式中的、的值都变为原来的2倍，则分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将、都变为原来的倍，即新取值为、，分别代入验证： 选项A代入得：，与原式相等，分式值不变； 选项B代入得：，值改变； 选项C代入得：，值改变； 选项D代入得：，值改变． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数： （1）括号内填：______； （2）括号内填：______． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子和分母的各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）将分子和分母同乘以10，使系数化为整数； （2）将分子和分母同乘以20，消除分数系数，得到整数系数分式． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：． 【题型4】分式的约分与最简分式判断 1.核心知识点: 约分：先因式分解，再约去公因式 最简分式：分子分母无公因式 2.解题方法技巧: 多项式必须先分解因式再找公因式 公因式：系数最大公因数×相同因式最低次幂 【例题4】.（2026·河南安阳·一模）计算、化简： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解： ． （2） ． 【变式题4-1】.（2026·河北沧州·二模）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定最简公分母，再通分根据同分母分式相加减法则计算； （2）先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·四川乐山·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式先通分再合并分子化简后约分； （2）第二题先计算括号内的异分母分式加法，再将除法转化为乘法，约分得到最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·四川甘孜·月考）化简： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据分式的乘法法则计算，可得：原式，再根据分式的加法法则进行计算； （2）先根据分式的加法法则把括号里面的计算出来，可得：原式，再根据分式的乘法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型5】分式的加减乘除运算 1.核心知识点: 乘除：先分解再约分，最后计算 加减：同分母直接算，异分母先通分 2.解题方法技巧: 除法先颠倒除式变乘法；减法分子要整体变号 结果必须化为最简分式或整式 【例题5】.（25-26八年级下·河南南阳·期中）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义：分子分母不存在公因式，无法约分的分式是最简分式，将各选项整理变形，判断能否约分即可得到结果； 【详解】解：A、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； B、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； C、中，无法分解因式，分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式，符合题意； D、，可以约分，不是最简分式，不符合题意． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）分式和的最简公分母为______． 【答案】 【分析】最简公分母是取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，按照定义计算即可． 【详解】解：分式和的分母分别为和，系数和的最小公倍数为，字母的最高次幂是， 因此两个分式的最简公分母为． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）将下列分式化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）约去分子，分母的最大公因式即可； （2）先分解因式，然后约分计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 【变式题5-3】.（25-26八年级下·江苏南京·期中）定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 【分析】（1）直接把，代入所求式子中约分即可得到答案； （2）根据题意可证明，把式子变形为，再把代入化简即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴ ， ∴不论t取何值，分式化简后都为一个定值，且； 【培优高频题型】 【题型6】分式化简求值（常规/整体代入） 1.核心知识点: 先化简再代入，分式有意义前提下取值 整体代换：、ab、整体代入 2.解题方法技巧: 已知，用分式变形转化为与$ab$ 取值时排除使分母为0的数 【例题6】.（2026·北京·模拟预测）已知，求代数式的值． 【答案】6 【分析】对于括号内的分式减法，先通分，将其化为同分母分式再计算，用到分式加减法法则．把除法运算转化为乘法运算，用到分式除法法则，即除以一个分式等于乘以它的倒数．对化简后的式子进行因式分解，再约分，用到因式分解的方法．对进行变形，代入化简后的式子计算． 【详解】解： ∵， ∴， 代入化简结果：． 【变式题6-1】.（2026·北京门头沟·二模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先将代数式进行化简，再将已知条件变形得到，最后整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 【变式题6-2】.（2026·北京密云·二模）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简和整体代入求值．将分式分子分母因式分解后约分，完成化简，由得，整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中从0，1，2中选一个恰当的数求值． 【答案】，当时，原式 【分析】先把小括号内的式子通分，然后因式分解后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定m的值，然后代入求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∵从0，1，2中选一个恰当的数 ∴当时，原式． 【题型7】解可化为一元一次方程的分式方程 1.核心知识点: 解法：去分母→整式方程→求解→检验 检验：代入最简公分母，≠0才是原方程根 2.解题方法技巧: 去分母不漏乘常数项；互为相反数的因式先提负号统一 检验步骤必须写，这是得分点 【例题7】.（北京市门头沟区2026年九年级综合练数学试卷）方程的解为_______． 【答案】 【分析】先去分母将分式方程转化为一元一次方程，求解后检验即可得到原方程的解． 【详解】解：已知， ， ， 解得， 检验：当时，最简公分母， 故为原分式方程的解． 【变式题7-1】.（福建省南平市2026年初中毕业班第二次适应性练习数学）解方程：． 【答案】 【详解】解： ， ， ， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·山东济南·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验：当时，， 是原方程的解； （2）解：， ， ，即， 检验：当时， ， 是原方程的解． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·山东济南·阶段检测）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解． 【题型8】分式方程的增根问题 1.核心知识点: 增根：最简公分母=0，是整式方程根但不是分式方程根 步骤：求增根→代入整式方程→求参数 2.解题方法技巧: 先令分母=0求增根，再把增根代入去分母后的整式方程 增根≠原方程根，千万不可直接当原方程解使用 【例题8】.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如果关于的方程有增根，那么增根是_____． 【答案】 【分析】先确定最简公分母为，增根是使分式方程的最简公分母为的未知数的值，即，解得． 【详解】解：方程两边都乘， 得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【答案】 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·河南周口·月考）若关于的分式方程 有增根，则的值为 （    ） A．0 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】将分式方程化简为整式方程，根据方程有增根，得或，求出对应的的值，再进行检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘以， 得， 化简得， 若方程有增根，则， 故或， 当时，代入上式得， 检验，当时，方程有增根； 当时，代入上式得， 检验当时，方程无解； 综上，的值为． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·河南洛阳·期中）关于的分式方程． (1)当时，求此时方程的解； (2)若此方程有增根，求的值； (3)若此方程的解为正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】（1）原方程变为，两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，求得整式方程的解，再检验即可求解； （2）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值； （3）解分式方程得，根据方程的解为正数得出，且，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入方程，得， 去分母得， 整理得， 即， 解得， 检验：当时，， 分式方程的解为； （2）解：方程两边都乘以得， ， 分式方程有增根， ， 解得， ， 解得； （3）解：方程两边都乘以得， ， 解得， 方程的根为正数， ，且， ∴且． 【题型9】根据分式方程解的情况求参数范围 1.核心知识点: 解为正数/负数/非负数：先表示解，再列不等式 必须排除增根，这是高频易错点 2.解题方法技巧: 三步走：解整式方程→列不等式→排除增根 如：解>0且解≠增根，联立求范围 【例题9】.（2026·上海静安·二模）如果关于x的分式方程的解为正数，求常数a的取值范围． 【答案】且 【分析】先解分式方程得出，结合题意得出，即可得到，再结合分式方程分母不能为零，计算得出，即可得出结果． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 解得， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程分母不能为零，即， ∴， ∴， ∴， 综上所述，常数a的取值范围且． 【变式题9-1】.（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）将代入原方程得到关于b的方程求解即可； （2）先求得分式方程的解，然后再根据解是非负数列不等式求解即可． 【详解】（1）解：将代入方程，得，解得：． （2）解：， ， ， ， ． 分式方程的解是非负数， ，且，解得且． 【变式题9-2】.（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解： 方程两边乘，得：， 解得． ∵原分式方程的解是正数， ∴， ∴， 又， ∴， 解得． ∴且． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·江西宜春·期末）已知． (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了分式的化简，解分式方程． （1）根据分式的除法进行计算即可求解； （2）先解分式方程，根据分式方程的解是非负数，得出，根据分式有意义的条件得出，进而解不等式即可得出的范围． 【详解】（1）解： （2）， ， ， ， ， 分式方程的解是非负数， ，且， 且 解得且， 的取值范围且． 【压轴素养题型】 【题型10】分式规律探究与新定义运算 1.核心知识点: 分式序列：分子、分母、符号三方面找规律 新定义：按规则转化为常规分式运算 2.解题方法技巧: 符号：或控制 新定义严格照抄规则，注意定义域限制 【例题10】.（25-26八年级下·江苏泰州·月考）探究规律及应用 (1)【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． (2)【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；②88 【分析】（1）由题意给的规律即可通过分式的减法进行证明； （2）①根据裂项，每项拆分为两个分数之差，将所有项相加，中间项相互抵消即可求解； ②根据题目的意思，裂项合并后，得到分式方程即可求解． 【详解】（1）解：第n个等式为：； 证明如下： ； （2）解：① ； ②∵ ， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 的值为88． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·广东湛江·期末）探索发现：；；…根据你发现的规律，回答下列问题： (1)______，______； (2)利用你发现的规律计算：______； (3)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)方程的解为 【分析】本题考查找规律：数字的变化类、裂项相消法计算、解分式方程，熟练掌握有理数的混合运算法则，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）观察已知等式，写出所求即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）根据得出的规律化简方程，求出解即可． 【详解】（1）解：根据上述规律， 可得，， 故答案为：，． （2）解： ， 故答案为：． （3）解：化简： 故可得 解上述分式方程，化简得， 解得，经检验：当时，原方程各分母均不为0，故是原方程的解， 故方程的解为． 【变式题10-2】.（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·广东东莞·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：，则是“美好分式”． (1)下列分式中，属于“美好分式”的是___________；（只填序号） ①；②；③． (2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)判断的结果是否为“美好分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2) (3)是美好分式，理由见解析 【分析】本题考查“美好分式”的定义，分式的计算和化简，掌握分式的化简是解题的关键． （1）根据“美好分式”的定义，逐一转化判断即可； （2）根据题意，将分式转化即可； （3）先根据分式的运算法则，计算的结果，再根据“美好分式”的定义，转化判断即可． 【详解】（1）解：， 是“美好分式”； ， 不是“美好分式”； ， 是“美好分式”； 故选：① ③； （2）解：； （3）是美好分式，理由如下， ， 则原式， 故的结果为“美好分式”． 【题型11】分式与代数式综合（最值、正负、整数解） 1.核心知识点: 分式值为整数：分子是分母倍数；分式正负：分子分母异号 分离常数法：化为整式+真分式 2.解题方法技巧: 分离常数简化分析；结合不等式求范围 整数解问题：分母为分子的约数，且分母≠0 【例题11】.（25-26八年级上·山东滨州·月考）【阅读材料】 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用． 例：求代数式的最小值． 解：， ， ． 当时，的最小值为1． 【类比探究】 （1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值； 【灵活运用】 （2）试说明：无论取何实数，分式都有意义． 【答案】（1）5；（2）见解析. 【分析】本题考查了配方法的应用、分式有意义的条件，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）仿照题干所给例子求解即可； （2）仿照题干所给例子求出当时，的最小值为5，再根据分式有意义的条件判断即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，的最小值是5； （2）证明： ， ， 当时，的最小值为5． 又， 无论取何实数，分式都有意义． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·广东惠州·期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：．②求的最小值． 解：原式 解：原式 ； 即当时，的最小值为2 请根据上述材料解决下列问题： (1)因式分解： (2)当为何值时，多项式有最小值？请求出这个最小值； (3)若，求的值； 【答案】(1) (2)当时，代数式有最小值，最小值为3 (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，完全平方公式，分式的化简求值，正确理解题意是解题的关键． （1）利用题中所给配方法进行计算即可； （2）利用题中所给配方法进行计算即可； （3）根据题意可得，则可推出，，，把所求式子变形得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值为3； （3）解：当时，， ∴当时，， ∴，， ∴， ∴ ． 【变式题11-2】.（25-26八年级上·上海静安·期中）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当时，，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ；当时，的最大值为 ． (2)当时，求代数式的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，的面积分别为12和27，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)2， (2) (3) 【分析】本题考查了配方法在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键． （1）当时，直接根据公式计算即可；当时，先将变形为，再根据公式计算即可； （2）时，则，将原式变形为，继而得到，再由公式求解； （3）设，根据等高三角形的性质得到，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，，则， ∴的最小值为2， 当时，，， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为； （2）解：时，则 （3）解：设， ∵与等高，与同高， ∴， 由题知，， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最小值为． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·福建南平·期末）小明发现和为定值的两数积的规律：当两数和一定时，差的绝对值越小积越大． 证明：设两数和为，其中一数为，另一数为(a为定值)， 因为，显然当越小时，积越大． 所以当，即时，取最大值． （1）下列各式中，值最大的是_____(填序号）． ①，②，③，④； （2）判断代数式是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【实际应用】 洗衣机漂洗过程中，衣服每次脱水后都会残留1斤含有污物的水，漂洗后污物含量漂洗前污物含量×． 如果将脱水后的衣服放到20斤清水中去漂洗，那么连同衣服上原有那一斤水，一共21斤水．此时，污物将均匀分布在这21斤水里，再次脱水后，衣服上还会残留一斤含有污物的水，衣服上污物残存含量会变为原来的，污物去除量为原来的． 序号 第一次 第二次 用水量 污物残存量 用水量 污物残含量 1 5 15 2 8 12 3 10 10 4 11 9 5 14 6 小明对上述过程进行研究，将20斤水分为2次用，发现同样用20斤水漂洗衣服，分两次漂洗污物残存含量都少于一次漂洗（如右表，单位：斤）． （3）如果用20斤水分两次漂洗，该如何分配两次的用水量使得污物残存量最少，效果最好？请说明理由． 【答案】 （1）④；（2）存在最大值，最大值为16；（3）两次用水量各分配10斤使得污物残存量最少． 【分析】本题考查了平方差公式的应用，分式乘法的应用等知识，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意知当两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答； （2）根据两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答； （3）将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明：设第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤，从而可求出两次漂洗后，污物减少为原来的，根据两数和一定时，差的绝对值越小积越大即可解答． 【详解】解：∵两数和一定时，差的绝对值越小积越大，且，， ∴， ∴④的值最大， 故答案为：④； （2）∵为定值， ∴当与的差的绝对值越小积越大，即时，存在最大值， ∴时，存在最大值， ∴当，存在最大值，最大值为； （3）将20斤水分为两次漂洗，且两次用水量相同，每次用10斤清水使得污物残存量最少．证明如下： 设第一次用水量为斤，则第二次用水量为斤， 由题意得：第一次用水斤，使污物变为原来的， 第二次用水斤，污物减少为原来的， ∵为定值， ∴当时，的值最大，即的值最小， ∴时，的值最小， 答：两次用水量各分配10斤使得污物残存量最少． 【题型12】分式方程跨学科/生活情境应用题 1.核心知识点: 工程：工作总量=效率×时间；行程：路程=速度×时间 销售：总价=单价×数量；平均：均价=总钱数÷总重量 2.解题方法技巧: 抓“相等时间”“相等工作量”“单价差”列方程 双检验：方程解正确+符合实际意义 【例题12】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 【答案】“歼”战机的速度是每小时3600公里 【分析】设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为，根据题意“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地建立方程求解即可． 【详解】解：设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“歼”战机的速度是每小时3600公里． 【变式题12-1】.（2026·广东河源·模拟预测）如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等、乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度． 可可：         琪琪： 根据以上信息，解答下列问题． (1)可可同学所列方程中的x表示________； 琪琪同学所列方程中的y表示________； (2)在可可和琪琪所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系：________； (3)利用（2）中你所选择的方程，解答该例题． 【答案】(1)甲队每天修路的长度；甲队修路700米所用时间 (2)选择可可的方程：甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等；选择琪琪的方程：乙队每天比甲队多修30米； (3)见解析 【分析】（1）根据所列方程，结合题意即可解答； （2）根据所列方程，结合题意即可解答； （3）解分式方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，可可同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；琪琪同学所列方程中的y表示甲队修路700米所用时间． （2）解：选择可可的方程：甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等； 选择琪琪的方程：乙队每天比甲队多修30米； （3）解：①选择可可的方程， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 经检验，是原方程的解． 答：甲队每天修路70米． ②选择琪琪的方程， 去分母得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 经检验，是原方程的解， ． 答：甲队每天修路70米． 【变式题12-2】.（25-26八年级下·四川成都·期中）某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，现需要采购一批劳动工具开展种植活动．据了解，市场上A型劳动工具的单价比B型劳动工具的单价低5元，用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同． (1)求A，B两种型号劳动工具的单价各是多少元？ (2)学校计划购买A，B两种型号的劳动工具共100把，且A型劳动工具的购买数量不超过B型劳动工具的购买数量的3倍，则如何购买花费最少？ 【答案】(1)A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元 (2)购买A型劳动工具75把，B型劳动工具25把时花费最少 【分析】（1）设B型劳动工具单价为元，则A型劳动工具单价为元，根据“用400元购买A型劳动工具的数量和用500元购买B型劳动工具的数量相同”建立方程求解； （2）设购买A型劳动工具把，则购买B型劳动工具把，总花费为元，先列不等式求出的取值范围，再列出关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设B型劳动工具单价为元，则A型劳动工具单价为元 根据题意，得 解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：A型劳动工具单价为20元，B型劳动工具单价为25元； （2）解：设购买A型劳动工具把，则购买B型劳动工具把，总花费为元， 根据题意，得 ， 解得， 总花费 ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时， 取得最小值， 此时 ， （元） 答：购买A型劳动工具75把，B型劳动工具25把时花费最少． 【变式题12-3】.（25-26九年级下·辽宁本溪·月考）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】(1)甲种滑动变阻器的单价为45元/个，乙种滑动变阻器的单价为50元/个 (2)最少可以购买40个甲种滑动变阻器 【分析】（1）列分式方程解决问题； （2）列一元一次不等式解决实际问题． 【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x元/个， 由题意得， 解得， 经检验：是原方程的根，并符合题意， 元/个， 答：甲种滑动变阻器的单价为45元/个，乙种滑动变阻器的单价为50元/个； （2）解：设购买甲种滑动变阻器m个， 由题意得， 解得， 答：最少可以购买40个甲种滑动变阻器． 【题型13】分式复杂化简与对称式求值 1.核心知识点: 倒数法、设参法、拆项法、整体代换综合 对称式：、变形 2.解题方法技巧: 已知连比设；已知倒数和取倒数变形 高次幂用完全平方公式降次 【例题13】.（25-26八年级下·福建泉州·期中）定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：；再如：． (1)下列各式：；；；，是假分式的有 （填序号）． (2)将假分式化为带分式的形式． (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值． (4)一个三位数，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数． 【答案】(1) (2) (3)或或或或或或或 (4)满足条件的两位数为 【分析】（1）根据“假分式”的定义直接进行求解即可； （2）根据分式的性质进行化简即可； （3）由题意可把原分式化简为，然后根据是整数进行求解即可； （4）设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为，则有，进而根据，，且，均为整数，进行分类求解即可． 【详解】（1）解：根据“假分式”的定义可知：①③④都为假分式； （2）解：； （3）解：， 是整数，分式的值也是整数， 是整数， 或或或或或或或． （4）解：设的百位数字为，十位数字为，则的个位数字为，的十位数字为，个位数字为， ，， = = ． 由题意可得，，，且，均为整数． 这个三位数的平方能被这个两位数整除， 为整数，即为整数， 当时，，没有满足题意的值， 当时，，没有满足题意的值， 当时，，， 当时， ，没有满足题意的值， 综上，满足条件的两位数为． 【变式题13-1】.（25-26七年级上·上海·期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)若，，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)34 (3)8 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键． （1）仿照材料二，设，则，，，代入所求式子即可； （2）仿照材料一，取倒数，再约分，利用完全平方公式性质求解即可； （3）令，求得，，，代入求解，得，据此求解可得结论． 【详解】（1）解：设，则，，， ； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴令， ∴， 解得：∴， ∴，，， 将其代入中得：， ∴（，，，） ∴，，， ∴， ∴． 【变式题13-2】.（25-26八年级上·江苏南通·月考）请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如： ，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设， 将等式右边通分，得，依据题意，得， 解得，所以． (1)①分式是_____________________（填“和谐分式”或“非和谐分式”） ②已知，则_________， _________． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． (3)如果，请用含有和的式子表示． 【答案】(1)①非和谐分式　②， (2)，，， (3) 【分析】（1）①根据“和谐分式”的定义，通过分式拆分进行验证；②将分式拆分后的形式通分，通过“左右两边分子对应项的系数相等”建立二元一次方程组，求解得到待定系数； （2）先将分式变形为“整式+分子为常数的分式”，再利用“分子为常数时，分式值为整数则分母是分子的因数”，找出分母的所有可能取值，列方程求解整数； （3）对已知分式进行因式分解与变形，将、转化为只含和数字的式子，通过代数运算，最终得到与、的关系式． 【详解】（1）解：①由， 可知原式无法表示为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，是非和谐分式． 故答案为：非和谐分式； ②已知， 右边通分： ， 对比分子可得， 解得， 故，． 故答案为：，． （2）解：， 为整数，若分式为整数，则为整数，即是的因数， ， 解得， 故的值为，，，． （3）解：化简变形： ， ， ， ，即； 化简变形： ， ，即， 故， 即， 可得． 【点睛】本题考查分式的运算与变形，因式分解，整数性质应用，代数恒等变换，理解“和谐分式” 的定义是解题关键． 【变式题13-3】.（25-26八年级上·山东淄博·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键． （1）仿照材料二，设，则，代入所求式子即可； （2）仿照材料一，取倒数，再约分，利用完全平方公式性质求解即可； （3）取倒数得：，拆项得，从而得，代入已知可得结论． 【详解】（1）解：设，则， ； （2）， ； （3）      ， 将其代入中得： ， ， ， ． 易错点 1.分式值为0：只让分子=0，忘记分母≠0，导致增根。 2.分式基本性质：乘除时漏乘分子/分母，或乘0。 3.分式运算：减法分子未整体变号，通分后计算错误。 4.分式方程：忘记检验，把增根当成原方程解。 5.分式方程求参：解满足范围时，未排除增根。 6.实际应用：单位不统一、结果未取整数、未检验合理性。 重点 1.分式有意义、值为0的条件判断。 2.分式的基本性质、约分、通分。 3.分式加减乘除及混合运算、化简求值。 4.分式方程解法、增根与检验。 5.分式方程在工程、行程等实际问题中的应用。 难点 1.含参数分式方程的增根、无解、解的范围综合分析。 2.复杂分式化简、整体代换、对称式求值技巧。 3.实际问题中等量关系提炼与分式方程建模。 4.分式与整数、不等式、新定义、规律探究的综合。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列分式与一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质可判断A；根据当时，式子无意义可判断B；根据当时，，可判断C、D． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、当时，式子无意义，故此选项不符合题意； C、当时，，，此时，故此选项不符合题意； D、当时，，，此时，故此选项不符合题意； 2．使有意义的的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件，即分式的分母不为零，同时除法运算中除数不为零，列出不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， ∴且． 3．某学校九年级学生去距学校的中国人民抗日纪念馆参观．一部分学生乘大巴先出发，过了，其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达．已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍；设大巴的速度为．则根据题意可列出的方程为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两车时间差建立等量关系，利用“大巴行驶时间减早出发时间等于中巴行驶时间”列方程即可． 【详解】设大巴的平均速度为，则中巴的平均速度为， 大巴行驶全程的时间为，中巴行驶全程的时间为， ∵大巴先出发，两车同时到达， ∴列方程得． 二、填空题 4．若分式的值等于0，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了分式值为零的条件，根据分式值为的条件，分式值为需要分子为且分母不为，据此列条件求解即可得到的值,． 【详解】解：∵分式的值等于0， ∴ ∴解得且， 因此． 5．若，则__________． 【答案】23 【分析】把已知等式两边平方，再利用完全平方公式展开即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 6．若分式的值为正，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为正，且， ∴， ∴． 故答案为 ． 三、解答题 7．解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程． （1）找到两个分母的最简公分母后，统一分母，去分母化为整式方程，解整式方程，最后检验：将解得的根代入原分式方程的最简公分母验证，确保分母不为． （2）首先因式分解，找到最简公分母，统一分母，去分母化为整式方程，解整式方程，最后检验，此时分母为，所以原分式方程无解． 【详解】（1）解：， 等式两边同时乘，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为：； （2）解：， ， 等式两边同时乘，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 检验，当时，， ∴原分式方程无解． 8．先化简，再求值：，再从0，1，2三个中选一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式的值为 【详解】解： ． 当或2时，原分式无意义， ． 当时，原式． 9．若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，掌握分式方程无解包含整式方程无解和整式方程的解为增根两种情况是解题的关键． 分式方程无解分两种情况，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，先去分母转化为整式方程，再分情况讨论． 【详解】解：方程两边同乘，得， 化简，得， 即． 原分式方程无解， 当去分母后所得的整式方程无解时，， 解得； 当整式方程的解为增根时，， 解得， 综上所述，的值为或． 10．已知解关于的方程时不会产生增根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程的增根是使分母为零的根，且满足整式方程是解题的关键． 先确定分式方程的最简公分母，找到可能的增根，将增根代入整式方程求出对应的值，从而确定的取值范围． 【详解】解：解分式方程， 变形右边： ​两边同乘 去分母： 解得． 当，即时，分式方程有增根． 把代入，得． 分式方程不会产生增根， ． 11．在推进乡村振兴中，某村采用“线上直播＋线下批发”两种方式销售本地特色沃柑．据统计，每小时销售的沃柑数量线上直播比线下批发多千克，且线上直播销售千克所用时间与线下批发销售千克所用时间相等．求线下批发每小时销售沃柑多少千克． 【答案】千克 【分析】设线下批发每小时销量为千克，根据“线上线下销售时间相等”列分式方程，求解并检验后得到结果． 【详解】解：设线下批发每小时销售沃柑千克，则线上每小时销售千克， 根据题意可得，， 解得， 当，，则是原方程的解， 故线下批发每小时销售沃柑千克． 12．已知关于的方程的两个解是，关于的方程的两个解是．小红认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于的方程的两个解是，并在老师的帮助下完成了严谨的证明． 请利用小红的这个结论解决以下几个问题： (1)求解关于的方程； (2)关于的方程的两个解分别为，求的值； (3)关于的方程的两个解是，若是正整数，求满足条件的整数的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了分式方程的解，完全平方公式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题干方法求方程的解即可； （）由题意可知，利用完全平方公式变形计算即可； （）由，变形为，所以，，则，，得，从而求解． 【详解】（1）解：， ， ∴关于的方程的解为； （2）解：由题意可知：， ∴； （3）解：， ， ∵关于的方程的两个解是， ∴，， ∴，， ∴， ∵是正整数， ∴或． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $