考点8.1 空间点、线、面的位置关系专项训练-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学二模新题分类速递 考点8.1 空间点、线、面的位置关系 考点8.1 空间点、线、面的位置关系 1 一、平行关系的判定与证明 1 （一）线面平行的性质定理应用 1 （二）线面平行的判定-平行四边形法 2 （三）线面平行的判定-中位线法 3 （四）面面平行的判定 3 二、垂直关系的判定与证明 4 （一）线线垂直-勾股定理逆定理法 4 （二）线线垂直-三垂线定理法 5 （三）线线垂直-线面垂直性质法 5 （四）线面垂直的判定与性质 7 （五）面面垂直的判定 7 三、几何体中的空间角 8 （一）异面直线所成角-建系坐标法 8 （二）异面直线所成角-几何综合法 9 （三）线面角 9 四、点、线、面位置关系的动态问题与截面 10 （一）动点与最值 10 （二）翻折问题 11 （三）概念辨析与截面 11 参考答案 12 第一部分：答案速查表 12 第二部分：逐题答案与详解 12 第三部分：试题来源表 19 一、平行关系的判定与证明 （一）线面平行的性质定理应用 1.（2026·安徽华师联盟·联考） 如图，在四棱锥 中，底面ABCD为菱形， 是正三角形，，， 为 的中点.证明：平面PAC⊥平面ABCD. （二）线面平行的判定-平行四边形法 2.（2026·安徽A10联盟·联考）（母题：翻折背景 证平行四边形得线线平行） 已知等腰梯形 与等腰梯形 如图1所示，其中 ，过点 作 ，垂足为 .现沿 进行翻折，使得点 在平面 内的投影为点 ，连接 ，得到的图形如图2所示.求证：平面 平面 . 3.（2026·安徽合肥·二模）（变式：翻折背景 综合法证线面平行） 如图，在面积为 的梯形ABCD中，，BC//AD， 为AD的中点.将 沿 翻折至 .证明：. （三）线面平行的判定-中位线法 4.（2026·湘豫联盟·联考）（母题：圆锥背景 中位线法） 如图，在圆锥 中， 为底面圆周上的四个点，且四边形ABCD为正方形， 为母线 的中点，在线段 上取一点 ，过 和 作一平面与线段 交于点 .证明：. 5.（2026·长望浏宁·二模）（变式：四棱柱背景 中位线法） 如图，在四棱柱 中，底面ABCD是菱形， 为 中点.求证： 平面 . （四）面面平行的判定 6.（2026·毕节·二模）（母题：几何证明法） 如图，平行六面体 的底面 是正方形，，且 ，，，， 分别是 ，，， 的中点.求证：平面 平面GHA. 7.（2026·台州·二模）（变式：正方体棱上判断法） 如图，四棱台 中，上、下底面均为正方形， 底面 ，，，， 为 中点.求证： 平面BDE. 二、垂直关系的判定与证明 （一）线线垂直-勾股定理逆定理法 8.（2026·河南许昌·二模）（母题：三棱锥背景 证垂直） 如图，在三棱锥 中，等边三角形 的边长为2，，，点 为 的中点，设二面角 ， 的平面角分别为 ，.证明：. 9.（2026·新八校·二模）（变式1：翻折背景 证垂直） 如图，菱形BCDE的边长为2，.现将 沿BD折起，得到四面体ABCD，设二面角 等于 .求证：BD⊥AC. 10.（2026·绍兴·二模）（变式2：四棱锥背景 证垂直） 如图，在三棱柱 中，侧面 是边长为 的正方形， 为 的中点，，平面 平面 .证明： 平面 . （二）线线垂直-三垂线定理法 11.（2026·呼和浩特·二模） 如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是边长为1的菱形， 是正四面体.证明：SA⊥BD. （三）线线垂直-线面垂直性质法 12.（2026·甘肃·二模）（母题：三棱柱背景 标准证明） 如图，在多面体ABCD- EFG中，ABCD为矩形，AE,CF,DG分别与平面ABCD垂直，，M,N分别是BD,EF的中点.求证：MN//平面DCFG. 13.（2026·郑州·二模）（变式1：四棱锥背景 常规证明） 如图，在四棱锥 中， 底面 ，平面 平面 ，四棱锥 的体积为2.求证：. 14.（2026·安徽江淮十校·联考）（变式2：三棱柱背景 作辅助线法） 如图，在三棱柱 中，平面 上平面ABC，平面 ⊥平面ABC.求证： ⊥平面ABC. 15.（ii））（2026·江西·联考）（变式3：正三棱锥背景 证线段相等） 如图，四棱锥 中， 上平面 ，平面 上平面ABCD，，.点 为线段 上一点（ 与 不重合）.是否存在点 ，使得 四点共球且该球心位于平面ABCD内，若存在，指出点 位置；若不存在，请说明理由. 16.（2026·南京鼓楼·二模）（变式4：异面直线公垂线背景 动态存在性探究） 已知 是异面直线 、 的公垂线段，且 ，，，直线 上有两个不同的动点 ，直线 上有两个不同的动点 .若 分别为 的中点.是否存在点 使得 ，， 同时成立？若存在，找出这样的点，若不存在请说明理由. （四）线面垂直的判定与性质 17.（2026·深圳·二模） 已知直线 ，平面 ，满足 ，则下列命题一定正确的是（ 　　） A.存在直线 ，使得 相交 B.存在直线 ，使得 C.存在直线 ，使得 所成角为 D.存在直线 ，使得 18.（2026·安徽A10联盟·联考） 已知平行六面体 中，，，则下列说法正确的是（ 　　） A. B. C.该平行六面体的体积为 D.二面角 的正弦值为 （五）面面垂直的判定 19.（2026·安徽合肥·二模）（母题：平行四边形背景） 在平行六面体 中，，，， 分别为棱 ， 的中点，则（ 　　） A. B. 平面 C. D.直线 与 所成角的余弦值为 20.（2026·杭州·二模）（变式1：正方体截面背景） 正四棱台 的高为2，，点 均在平面 内，且直线 与 夹角的正切值的最小值为 ，则（ 　　） A.点 的轨迹的长度为 B.直线 与 所成角的正切值的最小值为 C.线段 的长度的最小值为 D.点 到直线 的距离大于 21.（2026·重庆·二诊）（变式2：菱形背景 综合法） 如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的菱形，.若 是棱 的中点，证明： 面ACM. 三、几何体中的空间角 （一）异面直线所成角-建系坐标法 22.（2026·宁波·二模）（母题：正方体背景 向量坐标法） 正四棱台 的高为2，，点 均在平面 内，且直线 与 夹角的正切值的最小值为 ，则（ 　　） A.点 的轨迹的长度为 B.直线 与 所成角的正切值的最小值为 C.线段 的长度的最小值为 D.点 到直线 的距离大于 23.（2026·济宁·二模）（变式：四棱锥背景 向量坐标法） 如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， 为 的中点，且平面 平面 .求平面 与平面 夹角的余弦值. （二）异面直线所成角-几何综合法 24.（2026·宁德·二模）（母题：多面体背景 补体法） 在正方体 中， 分别为 的中点，则（ 　　） A. B. 平面 C. D. 平面 25.（2026·宝鸡·二模）（变式：正方体背景 位置关系综合判断） 在正方体 中，， 分别为 的中点，则（ 　　） A.平面 平面 B.平面 平面 C.平面 平面 D.平面 平面 （三）线面角 26.（2026·昆明·二模）（母题：常规计算） 如图，直角 ，斜边 为 的中点，将 沿 翻折到 ，设二面角 的大小为 ，满足 .求直线 与平面ABC所成角的大小. 27.（2026·孝感·二模）（变式：概念辨析） 如图，四面体 中， 平面 ，垂足为 ，垂足为 ，则下列说法正确的是（ 　　） A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 平面 D.若 ，则 四、点、线、面位置关系的动态问题与截面 （一）动点与最值 28.（2026·湖南·二模）（母题：四棱锥动点最值） 已知四棱锥 的体积为24，底面ABCD是平行四边形， 是 上靠近点 的一个三等分点，经过直线 的平面与侧棱 分别交于点 （均不与 重合），设 ，则下列说法正确的是（ 　　） A.当 平面CMN时， B.当 时， C.四面体 的体积的最小值为 D.四棱锥 的体积的最小值为4 29.（2026·广州·二模）（变式：正方体动点轨迹） 在棱长为1的正方体 中，点 在线段 （包括两端点）上运动，点 为线段 的中点，则（ 　　） A.存在点 ，使得 B.存在点 ，使得 平面 C.当 时，经过点 的平面截正方体所得截面为梯形 D.当 的面积为 时，三棱锥 的外接球表面积为 （二）翻折问题 30.（2026·绍兴·二模）（母题：菱形翻折 轨迹与最值） 在矩形 中， 为线段 上动点， 绕 翻折至 ，记二面角 的平面角为 ，则下列说法正确的是（ 　　） A.当 时， B.当 时，且 为 中点，则 C.不存在 与 ，使得 D.当 时，则 最小值为 31.（2026·安徽蚌埠·二模）（变式：梯形翻折 证垂直） 在五棱锥 中，，底面五边形 中，，.求证：. （三）概念辨析与截面 32.（2026·浙江·二模）（母题：截面形状判断） 已知正方体 ， 为棱 的中点，则下列与直线 不互为异面直线的是（ 　　） A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 33.（2026·嘉兴·二模）（变式：正方体截面面积计算） 已知正方体 的棱长为2，若球 同时满足条件：①与球CD面，平面 均相切，②与棱 相切（即与棱 仅有一个公共点），则球 的半径的最小值为____. 参考答案 第一部分：答案速查表 序号 1 2 3 4 5 6 答案 证明见解析 证明见解析 证明见解析 证明见解析 证明见解析 证明见解析 序号 7 8 9 10 11 12 答案 证明见解析 证明见解析 证明见解析 证明见解析 证明见解析 证明见解析 序号 13 14 15 16 17 18 答案 证明见解析 证明见解析 证明见解析 证明见解析 D ACD 序号 19 20 21 22 23 24 答案 ABD ACD 证明见解析 ACD AD 序号 25 26 27 28 29 30 答案 A BC ACD BCD ABD 序号 31 32 33 答案 证明见解析 C 第二部分：逐题答案与详解 1. 详解：如图，记 ，连接 .因为四边形 为菱形，所以 ，，因为 是正三角形，所以 ，所以 ，因为 ， 平面 ，，故 平面 ，又 平面 ，因此平面 平面 . 2. 详解：（1）因为 平面ABCD， 平面ABCD，所以 .又翻折前后都有 ，又 ，所以 平面 .因为 ，所以 平面 .因为 平面 ，所以平面 平面 . 3. 详解：（1）连 ，则四边形 为菱形，设 ，则 .因此，. 4. 详解：（1）如图，连接 .因为四边形ABCD为正方形， 为底面圆的圆心，所以 ，从而 是对角线 与 的交点.连接 ，则 是 的中位线，所以 .又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .又 平面SMNA，平面 平面SMNA ，所以 . 5. 详解：（1）连接 .因为 且 ，则 为平行四边形，可得 .又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 6. 详解：（1）因为 分别是 的中点，所以 是 的中位线，得 .又因为 分别是 的中点，所以 .在平行六面体中，，因此 平面 ， 平面 ，故 平面 .由 是 中点， 是 的中点，结合平行六面体的性质可得 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，得 .因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .因为 ，且 平面 ，因此平面 平面 . 7. 详解：（1）证明：连接AC交BD于O点，如图所示.由ABCD是正方形得O为AC的中点，因为E为 的中点，所以 为 的中位线，于是 .又因为 平面BDE， 平面BDE，所以 平面BDE. 8. 详解：（1）设AB的中点为O，连接PO，OE.因为 为等边三角形，O为AB的中点，则 .又因为 ，O，E分别为AB，BC的中点，，所以 ， 平面POE，则 平面POE， 平面POE，所以 . 9. 详解：（1）由题意可知 ， 为等边三角形，如图所示取 的中点 ，连接 ，.所以 ，因为 ，所以 平面 ，所以 . 10. 详解：（1）连接 交 于 ，则 .又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 11. 详解：（1）连接AC，交BD于点O，作S在底面的投影H，由S-BCD是正四面体可知CH=2HO.四边形ABCD是菱形，所以 .又SA在平面ABCD内的投影是AH，由三垂线定理可知SA⊥BD. 12. 详解：（1）连接AC.因为ABCD是矩形，M是AC的中点.又EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，所以EA//FC，N是EF的中点，所以 .因为MN⊄平面DCFG， 平面DCFG，所以MN//平面DCFG. 13. 详解：（1）设 ，在平面 内过点 作 ，垂足为 .因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 .又 平面 ，所以 .因为 平面 ， 平面 ，所以 .因为 ，， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 . 14. 详解：（1）平面ABC内取一点 ，作 于点 ，作 于点 .平面 平面ABC，平面 平面 平面ABC，PE⊥AB，所以 平面 .又 平面 ，所以 .同理 ，所以 平面ABC. 15. 详解：（2）（ii）设 ，则 .设过 四点的球的球心为 ，半径为 ，则 ，令 解得 满足条件，即 时点 使得 四点共球且该球心位于平面ABCD内. 16. 详解：以 为原点， 所在直线为 轴， 在平面 上的投影为 轴正方向， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则 .设 ，其中 由 的方向向量确定.由 为中点可表示出各点坐标.由 得 ，由 得 ，由 得 .通过向量运算可证上述三式不能同时成立，故不存在这样的点. 17. 答案：D 详解：对于选项A，若 ，任意直线 ，， 不相交，矛盾；对于选项B，若 与 相交，不存在直线 ，使得 ，矛盾；对于选项C，若 ，任意直线 ，，矛盾；对于选项D，若 ，任意直线 ，.若 ，存在直线 ，，令 ，则 .若 与 相交，存在平面 ，，，令 ，则 ，D正确. 18. 答案：ACD 详解：由题意得，六面体 的6个面均为边长为2，且有一个角为 的菱形.设 ，则 ，则 ，所以 ，故A正确.四边形ABCD的面积为 ，点 到平面ABCD的高为 ，所以平行六面体的体积为 ，故C正确.取 的中点 连接 ，易得 ，所以 为二面角 的平面角，可求得 ，则 ，故 ，故D正确.，故B错误. 19. 答案：ABD 详解：对于A， 在平行六面体中，可以通过向量法或几何法证明 成立，故A正确.对于B，利用正投影或向量法可以证明 平面 ，故B正确.对于C， 的长度可以通过空间向量模长计算得 ，故C错误.对于D，建立空间直角坐标系，求出异面直线所成角的余弦值为 ，故D正确. 20. 答案：ACD 详解：因为直线 与直线 所成角正切值最小时，直线 与直线 所成角最小，此时，直线 与直线 所成角为直线 与平面 所成角，设直线 与平面 所成角为 ，则 .计算得点 轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，所以 点轨迹长度 ，A正确.直线 与 所成角即 ，计算得其余弦值 ，则 取最小值时 取最大值，得 ，B错误. 的模长表达式计算得 最小值为 ，C正确.点 到直线 的距离的最小值为 ，D正确. 21. 详解：（1）设 与 的交点为 ，连接 ，因为 是菱形，所以 ，又 ，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 22. 答案：ACD 详解：因为直线 与直线 所成角正切值最小时，直线 与直线 所成角最小，此时，直线 与直线 所成角为直线 与平面 所成角，设直线 与平面 所成角为 ，则 .计算得点 轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，所以 点轨迹长度 ，A正确.直线 与 所成角即 ，计算得其余弦值 ，则 取最小值时 取最大值，得 ，B错误. 的模长表达式计算得 最小值为 ，C正确.点 到直线 的距离的最小值为 ，D正确. 23. 答案： 详解：由条件知 .以 为坐标原点， 为 轴建系..平面PCD的一个法向量 ，平面PDE的一个法向量 ，则 . 24. 答案：AD 详解：对于A，利用正方体的性质可证 ，故A正确.对于B， 与平面 不垂直，故B错误.对于C， 与 不平行，故C错误.对于D，利用线面平行的判定， 平面 ，故D正确. 25. 答案：A 详解：在正方体 中， 平面 ，所以 ，因为 分别为 的中点，所以 ，所以 ，又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ，故 A 正确. 26. 答案： 详解：以点 为原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，由二面角的定义可得 ，则 .由于 ，则 ，故 ，.设平面 的法向量 ，设 与平面 所成角为 ，则 ，故 与平面 所成角为 ，即直线 与平面 所成角为 . 27. 答案：BC 详解：对于A，BE与 异面，不正确.对于B，若 ，易得 ，又 ，，则 ，所以 ，故B正确.对于C，由 平面 ，得 ，又 ，，所以 平面ABC，又 平面ABC，故 ，又 ，，所以 平面ACD，又 平面ACD，故 ，又 ，，所以 平面BEF，故C正确.对于D，由C知 平面BEF，故 ，若 与 也垂直，由 、 与 共面，则 与 重合，故D不正确. 28. 答案：ACD 详解：由题意，当 平面CMN时，由面面平行的性质可得 ，A正确.当 时，利用向量法可得 不一定成立，B错误.通过三棱锥体积公式和均值不等式，可证四面体 的体积的最小值为 ，C正确.四棱锥 的体积的最小值为4，D正确. 29. 答案：BCD 详解：建立空间直角坐标系，通过向量运算验证.A选项，存在点E使得 与坐标运算不符，错误.B选项，存在点E使得 平面 ，正确.C选项，当 时，经过点 的平面截正方体所得截面为梯形，正确.D选项，当 的面积为 时，三棱锥 的外接球表面积为 ，正确. 30. 答案：ABD 详解：A：当 时，由已知公式，得 ，正确.B：当 为 中点，可证 平面 ，计算得 ，所以 ，正确.C：假设存在 与 ，使得 ，推导出 ，存在，错误.D：当 时，利用余弦定理和基本不等式可求 最小值为 ，正确. 31. 详解：连接 ，设 相交于点 ，连接 .由 ，知 ，同理 ， 底面 ，因此 底面 .取 中点 ，以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系.易得 ，则 ，，所以 . 32. 答案：C 详解：结合正方体空间结构，A. 直线 与直线 异面； B. 直线 与直线 异面；C. 直线 与直线 平行；D. 直线 与直线 异面. 33. 答案： 详解：球 与平面 和平面 均相切，故球心 在二面角 的角平分面上.通过几何分析，设 在平面 的投影为 ，则 即为半径 .由球与棱 相切，可得约束关系.通过计算可得半径的最小值为 . 第三部分：试题来源表 序号 来源 题号 1 2026·安徽华师联盟·联考 第17（1）题 2 2026·安徽A10联盟·联考 第15（1）题 3 2026·安徽合肥·二模 第18（1）题 4 2026·湘豫联盟·联考 第17（1）题 5 2026·长望浏宁·二模 第17（1）题 6 2026·毕节·二模 第17（1）题 7 2026·台州·二模 第16（1）题 8 2026·河南许昌·二模 第18（1）题 9 2026·新八校·二模 第17（1）题 10 2026·绍兴·二模 第16（1）题 11 2026·呼和浩特·二模 第17（1）题 12 2026·甘肃·二模 第17（1）题 13 2026·郑州·二模 第16（1）题 14 2026·安徽江淮十校·联考 第17（1）题 15 2026·江西·联考 第17（2）（ii）题 16 2026·南京鼓楼·二模 第17（2）题 17 2026·深圳·二模 第6题 18 2026·安徽A10联盟·联考 第10题 19 2026·安徽合肥·二模 第10题 20 2026·杭州·二模 第11题 21 2026·重庆·二诊 第16（1）题 22 2026·宁波·二模 第11题 23 2026·济宁·二模 第17（2）题 24 2026·宁德·二模 第9题 25 2026·宝鸡·二模 第5题 26 2026·昆明·二模 第18（2）题 27 2026·孝感·二模 第9题 28 2026·湖南·二模 第6题 29 2026·广州·二模 第11题 30 2026·绍兴·二模 第11题 31 2026·安徽蚌埠·二模 第16（1）题 32 2026·浙江·二模 第3题 33 2026·嘉兴·二模 第14题 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $