江西新余市第四中学2025-2026学年九年级下学期数学阶段测试（四）

数学周练 一、（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1.下列交通标志牌中，是中心对称图形的是（ 2.下列运算正确的是( A.2a+3a=5a2B.a3b÷2ab=-a2C.（-2ab2)3=8abD.(m+n2=m2+n2 2 3.如图，中国科学院国家天文台的观测部分主体是一个圆柱体底座与可开合的半球形穹顶组成，其示意图的 俯视图是( 4甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是：s=1.3,s2=1.5, s编=0.7，子=0.9，则射击成绩最稳定的是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 5.为了保障城市物资供应，货车要从仓库运送一批新鲜蔬菜到市区.仓库到市区的路程为100千米.如果用 普通货车运送，比预定时间晚2小时到达；如果用高速货车运送，比预定时间早1小时到达.已知高速货车 的速度是普通货车的2倍.设预定时间为x小时，则可列分式方程为( 4.100 =2×100 B. 100=2x100 C.2×100=100 D.2×100 100 X-1 X+2 X+2 X-1 X+1X-2 x-2×+1 NP 6如图1是一个立方体纸盒的示意图，图2是该立方体纸盒的表面展开图，连接MN,GH交于点P,则 MP 的值为( A. B.1 c.1 D. 5 图 图2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7.因式分解：3x2-12x=一 8.近年来，仙女湖风景名胜区依托得天独厚的江湖山水风光，大力发展文旅产业，旅游经济蓬勃发展，交出 了一份亮眼的成绩单.据统计，2025年仙女湖风景名胜区共接待游客673.5万人次，实现旅游总收入46.6 第1页共4页 亿元.数据46.6亿用科学记数法表示为 9.已知关于x的一元二次方程(a-2)x2-3x+a2-4=0有一个根为×=0，则a=一 10.如图，小明用计算机软件绘制函数y=x3-6x2+12×-8的图象，发现它关于点(2,0)中心对称.若点 A。(0,y。),A(0.2,y1),A2(0.4,y2),A3(0.6,y3)…A,(3.8,y,)都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始 依次增加0.2，则y。+y+y2+…+y,的值是 y D A 第12题 第11题 第10题 11.如图，正八边形ABCDEFGH的边长为1，⊙0与正八边形的边AH和EF分别相切于点A和点E,则 劣弧AE的长为一· 12.已知四边形ABCD是正方形，P（不与点A重合)为射线AD上的动点，点A关于直线BP的对称点为 E,连接PE、BE、CE、DE,当△CDE是等腰三角形时，∠ABP的度数为 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13.（1)计算： h-+ 3x-2>2x 2sin60°； (2)解不等式组： 2(1-2x)≤4x+10 14.化简并求值： 15.甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉.小明 在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B,C,D表示，正面文字依 次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同)，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好 (1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为一： (2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片， D 请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片上的文字恰好可以组成 “文明”或“自由”的概率 16.如图，锐角△ABC是⊙0内接三角形，E为边BC的中点，D O. O 在边CA的延长线上.请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹。 E (1)在图1中，作出一条与弦BC垂直的直径； 图1 图2 第2页共4页 (2)在图2中，作出∠BAD的平分线AG. 17.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A(-4,0),D(-1,4), 反比例函数y=《的图象经过点C, X (1)求此反比例函数的解析式； (2)在x轴的下方作矩形ABMN,使S矩形ABMN=S菱形ABcD，1 请你通过计算说明 点N在反比例函数y=长的图象上： 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.为落实教育部2026年人工智能进中小学课标、教学、评价的部署，推进探究式科学教育，激发学生好奇心与创新实践能力， 某校计划采购A、B两类A科学实验套装，助力学生在实践中提升科技素养.已知购买1件A种实验器材与2件B种 实验器材共需要500元，购买2件A种实验器材与3件B种实验器材共需要850元. (1)求A种实验器材和B种实验器材的单价； (2)该学校计划购买A种实验器材和B种实验器材共180件，总费用不超过30000元，那么最多能购买A 种实验器材多少件？ 19.2026年马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武B0T》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度 动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作.如图，图1是某型号的机器人在展示时的精彩瞬间，图2是 其瞬间的几何示意图，机器人的一腿AB直立于地面MN,小腿部CD刚好与地面MN平行，上身AP垂直 于大腿AC,即AB⊥MN于点B,CD∥MN,AP⊥AC于点A.CE是机器人小腿CD上踢后与大腿 AC在同一直线的瞬间.（这里的小腿CD,CE都包括脚面部分，上身AP包括头部部分）.已知AB=100cm, AP=80cm,∠CAB=140°，求： (1)∠DCE=-； (2)若小腿部CD长40cm,求PC的长； (3)点P距离地面的高度.（结果精确到1cm，参考数据： M N 7777mmn 图 图2 sin40°≈0.643，c0s40°≈0.766，tan40°≈0.839， sin50°≈0.766，c0s50°≈0.643，tan50°≈1.192.) 20.如图，△ABC为等腰三角形，0是底边BC的中点，腰AC与半圆0相切于点D,底边BC与半圆0交 于E,F两点. (1)求证：AB与半圆O相切； (2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sin∠OAC的值. 第3页共4页 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来.某校为了解九年级学生对时事热点的 掌握程度，特举办了一场“中国事，我知道”的调研.随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20 人，把学生掌握情况分为5类：其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌 握”记为3分，“应用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程 如下： 平均数 众数 中位数 【数据整理】 第1小组得分条形统计图 第2小组得分扇形统计图 第3小组得分折形统计图 人数 个人数 第1组 a 4 3 10 8765 4分 0分 3分 30% 第2组 1.65 b 1 43 10 2分/1分 15% 25% 第3组 2.25 01 4得分/分 01 3 4得分1分 【数据分析】 （1)请补全第1小组得分条形统计图. （2)第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为_ （3)根据上述图表填空：a=,b= C= (4)若该校九年级有1200名学生参加此次调研，请估算九年级学生掌握情况是“应用”的人数. (5)结合上述数据，请你分析对于时事热点哪组掌握程度最弱，并说明原因. 22.问题背景：如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与×轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这 两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，【a,b,c]称为“抛物线三角形系数”.某数学 兴趣小组围绕该定义，结合抛物线的性质进行了相关探究. 探究条件： 已知抛物线L与x轴的交，点从左到右依次为A,B(1,0),且“抛物线三角形系数”为[1，-2m,2m-1]. 初步探究：(1)求m的取值范围. （2)若抛物线L的顶点与点A,B组成的“抛物线三角形”为等腰直角三角形，求m的值， 深入探究：(3)在（2)条件下，现将抛物线L向右平移，平移后得到的抛物线L'与×轴的交点从左到右依 次为C,D,且Bc=二AD,求抛物线L'的解析式 3 第4页共4页九年级数学周练答案 一、DBDCA C 6.【答案】C 【详解】解：如图，记MN与BC交于点A, H ,BM∥CN,BM=CN, ∴.∠AMB=∠ANC,∠ABM=∠ACN, 在ABM和△ACN中， [∠AMB=∠ANC BM =CN ∠ABM=∠ACN ∴.ABM≌ACN(ASA), .AB=AC,AN=AM, 设NH=2a,则AG=3a, ,NH∥AG, .△NPH∽△APG, .NP-NH 2 AP AG 3' 设NP=2k,AP=3k,则AN=NP+AP=5k, ∴.AM=AN=5k, ∴.MP=AM+AW-NP=8k, :P2k1 MP 8k 4 二、7.3x(x-4) 8.4.66×10 9.-2 10.-8 1.【答案】32 解：如图所示，连接AO,EO,BE,延长EO交AB或其延长线于一点N. A B(N) C ,O与正八边形的边AH和EF分别相切于点A和点E, .OA⊥AH,OE⊥EF. ∴.∠OAH=∠OEF=90°. ,八边形ABCDEFGH为正八边形， 六∠H=∠G=∠F=(8-2x180 =135°. 8 ,六边形AOEFGH的内角和=(6-2)×180°=720°， .∠AOE=720°-∠OAH-∠OEF-∠H-∠G-∠F=135°. ∴.∠AON=180°-∠AOE=45°. ,八边形ABCDEFGH为正八边形， BE⊥FE. 又，NE⊥FE,同一平面内，过一点只有一条直线与己知直线垂直， ∴直线BE与直线NE为同一条直线， 点B与点N重合. ∴.∠AB0=90°. ·AO=AB sin 450 =√2. ·劣弧AE的长=135元 0A=135 180 πxV2=3V2 18 12.【答案】15°或30°或75° 【详解】解：由折叠的性质知BE=AB,PE=AP, 如图1，当CE=CD,且点P在射线AD上时， A P 图1 .CE=CD=BE=BC, ∴.eBEC为等边三角形， .∠EBC=60°， .∠ABE=30°， ∠ABP=∠PBE=15°： 如图2，当CE=CD,且点P在线段AD的延长线上时， A D P 图2 由题意知，BCE为等边三角形， :∠A=∠BEP=90°，∠ABE=∠ABC+∠EBC=150°， .∠ABP=∠EBP=75o: 如图3，当ED=EC,且点E在CD的垂直平分线上，也在AB的垂直平分线上， A 图3 :AE=BE, 又AB=EB, ∴.ABE为等边三角形， .∠ABE=60°， ∴.∠ABP=∠EBP=30°， 综上所述，∠ABP的度数为15°或30°或75°. 13.【答案】(1)1 (2)x>2 【解析】 【小问1详解】 解：1-+)-2sn60 =V3-1+2-2x3 =V5+1-5 =1: 【小问2详解】 解： 3-2>2① 2(1-2)≤4+10②1 解①得：x>2, 解②得：x≥-1， .原不等式组的解集为x>2. x+1 x-1(x+1)(x-1) 14.解：原式= (x-1(x+1）(x-10(x+ =x+1-x+1 (x+1)(x-1) （x+1)(x-1) 2 (x+1)(x-1) (x-1)(x+1) 把x=2026°-3=1-3=-2代入上式，原式=2=-1. -2 15.【小问1详解】 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，小明从中随机抽取一张卡片， :抽取卡片上的文字是“文”的概率为4， 故答案为：子： 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 开始 个。个。个 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”或“自由”的 结果有4种， 41 ∴P(两人抽取的卡片恰好组成“文明”或“自由”) =123 16.【小问1详解】 解：如图，直径GF即为所求； G E 【小问2详解】 解：如图，射线AG即为所求： D 17.【小问1详解】 解：如图，过点D作DH⊥AB,过点C作CG⊥AB, :四边形ABCD是菱形，A(-4,0),D(-1,4), ·AD∥BC,AD=AB=BC=[-4-(-I]+42=5,A0=4,DH=4,0H=1, .∠DAH=∠CBG,OB=1,AH=4-1=3, ∠DAH=∠CBG,∠DHA=∠CGB=90°，AD=BC, .DAH≌CBG(AAS), ∴.CG=DH=4,BG=AH=3, .B(1,0),C(4,4), 点C(4,4)在反比例函数y= 的图象上， 4 4 .k=16, .反比例函数解析式为y= 16 【小问2详解】 解：D(-1,4),AB=5, .S菱形BCD=5×4=20, ∴.S矩形ABN=S菱形ABCD=20, ∴.AN=4, ∴N(-4,-4), -4×(-4)=16, “点N在反比例函数y=16的图象上. 18.【小问1详解】 解：设A种实验器材单价为x元，B种实验器材单价为y元， x+2y=500 根据题意得 2x+3y=850 x=200 解得： y=150 答：A种实验器材单价为200元，B种实验器材单价为150元： 【小问2详解】 解：设购买A种实验器材a件，则购买B种实验器材(I80-a)件， 根据题意得200a+150180-a)≤30000， 化简得50a≤3000， 解得a≤60 答：最多能购买A种实验器材60件. 19.【小问1详解】 解：如图所示，过点A作AH∥CD, E Q D H----- A 女 B 777777777777777771777777 ,AB⊥MN, .∠ABN=90°， .CD∥MN,AH∥CD, ∴.AH∥CD∥MN, ∴.∠EAH=∠DCE,∠BAH=∠ABN=90°， .∠CAB=140°， ∴.∠DCE=∠EAH=140°-90°=50°. 【小问2详解】 解：如图，连接PC, Q D y ammmmmmi 由题意得，CE=CD=40cm, ,机器人两条腿长度一致， .AB=AE=AC+CE=100cm, ∴.AC=AE-CD=100-40=60cm, AP⊥AC, ∴.∠PAC=90°， .PC=VAC2+AP2=V602+802=100cm 答：PC的长为100cm: 【小问3详解】 解：如图，过点P作PT⊥HA交HA的延长线于T, D D A M B 77777777777777777777777777 :AP⊥AC, ∴.∠PAC=90°， ∴.∠PAT=180°-90°-50°=40°， ∴.PT=AP.sin∠PAT=80×sin40°≈51cm, .AB+PT=100+51=151cm, 答：点P距离地面的高度约为151cm. 20.【小问1详解】 证明：连接OA、OD,作ON⊥AB交AB于N,如图 B E ○ F :ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点 ∴.AO⊥BC,AO平分∠BAC :AC与半圆O相切于点D .OD⊥AC 由.ON⊥AB ∴.ON=OD .∴，AB是半圆O的切线 【小问2详解】 解：由(1)可知AO⊥BC,OD⊥AC ∴.∠AOC=90°，∠ODC=90° ∴.∠OAC+∠OCA=180°-∠AOC=90°，∠COD+∠OCA=180°-∠ODC=90° ∴.∠OAC=∠COD sin∠OAC=sin/COD=CD Oc 又.OF=OD,CF=2 ∴.在Rt△ODC中，CD=4,OC=OF+FC=OD+2 .OC2 =CD2+OD2, .(0D+2)2=42+0D2 解得：OD=3 ÷sin∠OAC=sim∠CoD=CD CD44 COD+23+25 21.【小问1详解】 解：，随机调查的总人数为20人，“0”分的人数为1人，“1”分的人数为2人，“2” 分的人数为3人，“4”分的人数为8人， .“3”分的人数为：20-1-2-3-8=6（人）， 补全第1小组得分条形统计图如图所示： 第1小组得分条形统计图 人数 10 87 6 0 34 得分/分 【小问2详解】 解：：第2小组得分扇形统计图中“得分为4分”所占的百分数为 100%-30%-25%-15%-10%=20%, .“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为360°×20%=72°； 【小问3详解】 解：，根据扇形统计图可知“得分为0分”的人数最多， .第2组的众数为0分， .b=0, 根据第1小组得分条形统计图可知，“0”分的人数为1人，“1”分的人数为2人， “2”分的人数为3人，“3”分的人数为6人，“4”分的人数为8人， :第1组的平均数为x0+1×2+2×3+3×6+4×8=2.9, 20 ∴.a=2.9, 第3组的折线图可知中位数第10和第11个分数：2,2， .第3组的中位数 2+2=2, .c=2. 【小问4详解】 解：，第1组得分为“4分”的人数为8人，第2组得分为“4分”的人数为 20×20%=4人，第3组得分为“4分”的人数为2人， .三组得4分的总人数为14人， .三组总人数为60人， ∴.该校九年级有1200名学生参加此次调研，掌握情况是“应用”的人数有1200 14=280 60 (人) 【小问5详解】 解：第2组掌握程度最弱， 原因：三组平均数分别为2.91.65、2.25，第2组平均数最低，且0分占比最高，中位数最 小，整体得分最低，因此掌握程度最弱. 22.【小问1详解】 解：抛物线L的“抛物线三角形系数”为1，-2m,2-1, .抛物线L的解析式为y=x2-2mx+2m-1, 令y=0,则x2-2mx+2m-1=0, .抛物线L与x轴的交点坐标为A(2m-1,0),B(1,0), .2m-1<1, 即m<1: 【小问2详解】 由(1)知抛物线L的解析式为y=x2-2mx+2m-1,开口向上， ,抛物线L与x轴的交点坐标为(1,0)，（2m-1,0), 顶点坐标为(m,-m2+2m-1), B(1,0),A在B的左边， .A(2m-1,0), .AB=1-（2m-1）=2-2m, “抛物线三角形”为等腰直角三角形， .2-2m=2-m2+2m-1, 抛物线L开口向上， .-m2+2m-1<0, .2-2m=2m2-4m+2, 解得m=0或m=1（舍去)， ∴m的值为0： 【小问3详解】 由(2)知抛物线L的解析式为y=x2-1,A(-1,0),B(1,0), 设将抛物线L向右平移n个单位长度， ∴.C(-1+n,0),D(1+n,0),抛物线L'的解析式为y=（x-n)-1, .BC=1-(-1+n=|2-n,AD=1+n-(-1)=2+n, :ac-0, 2-小-2+m, ∴.n=1或n=4, .抛物线L'的解析式为y=x2-2x或y=x2-8x+15 23.【小问1详解】 解：EF=A'F; 证明：：A'D⊥AC, ∴.∠A'EC+∠A'CE=90°， .△ABC≌△A'B'C', ∴.∠B=∠B'=90°，∠C'=∠A'CE, 根据旋转的性质，得∠B'=∠O=90°，∠D=∠C', .∠D=∠C=∠ACE, ∴.∠D+∠EA'F=90°， ∴.∠A'EC=∠EA'F, ∴.EF=AF. 【小问2详解】 解：四边形AAOB是菱形. 证明：在Rt ABC中，：A是边AC的中点，∠A=60°， ..AA'=A'B, .∠A=∠ABA'=60°， .△ABA是等边三角形， .AB=AA', .△ABC≌△AB'C', .∠A=∠BAC,AB=AB, 根据旋转的性质，得∠BAC'=∠BAO,AB'=AO, ,∠A'BA=∠BA'O,AB=AO, .AB∥AO, .四边形AAOB是平行四边形， AB=AA', .平行四边形AAOB是菱形： 【小问3详解】 解：①当A'O⊥AC时， AB=6,BC=8, 根据勾股定理，得AC=V6?+82=10, A是AC的中点， .A'C=-AC=5, 2 在RABC中，tan∠ACB=4B_3 BC 4 tan∠ACB=ArG_3 A'C 4 4G= 4 由旋转的性质得AO=AB'=AB=6, 9 ..GO=AO-A'G= .:∠GAC=∠O=90°， .AC∥OD, .∠GHO=∠ACB, ian∠GH0=tan∠ACB=G0_3 H04 9 H0=号=3， 4 AH=VA02+0H2=V62+32=35. ②当OD⊥AC时，如图，设AD交BC于点，点G与点C重合， B 1 C(G) D ∠A=∠CA'D, AB∥AD, .A'IC∽ABC, :4"4c1c AB AC BC :4为4C的中点，则4C=}4C=5, 1-4B=301-c1-8c=44G=Ac-24c-5, ∴.OG=AO-AG=1, AB∥AD, ∴.∠B=∠A'IG=90°， OD⊥AC, ∴.∠HOG=∠AIG=90°， ·∠HGO=∠A'GI, ∴.HGO∽A'GI, HO GO A1G1' 即H0=G0A1=1x3_3 GI 44 365