23.2 一次函数的图象与性质（讲义）数学新教材人教版八年级下册

第二十三章 一次函数 23.2 一次函数的图象与性质 知识点一 正比例函数的图象与性质 表达式 自变量的取值范围 全体实数 图像 形状 过原点的一条直线 k的取值 k＞0 k＜0 示意图 经过的位置 第一、三象限 第二、四象限 趋势 从左到右呈上升趋势 从左到右呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大， 即当， y随x增大而减小， 即当， 【补充】 1）正比例函数图像的位置和增减性由k决定. 2）正比例函数中，|k|越大，直线越靠近y轴；|k|越小，直线越靠近x轴， 【小技巧】通常画正比例函数的图像时只需取一点(1，k)，然后过原点和这一点画直线即可. 即学即练 1．（25-26八年级下·北京西城·期中）下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 2．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数的图象和正比例函数的图象在同一个坐标系内，那么可能是（    ） A．B．C． D． 3．（25-26八年级下·北京·月考）对于正比例函数，当自变量x的值减小2时，函数y的值减小6，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 知识点二 一次函数的图象与性质 表达式 自变量的取值范围 全体实数 图像 形状 过(0，b)，的一条直线 k，b的 取值 k＞0 k＜0 b＞0 b＜0 b＞0 b＜0 示意图 经过的位置 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大， 即当， y随x增大而减小， 即当， 【补充说明】一次函数中k，b的意义 （1）k的符号决定直线的倾斜方向和函数的增减性，当k＞0时，直线从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线从左向右下降，y随x的增大而减小 （2）直线与y轴交于点（0，b），所以b就是直线与y轴交点的纵坐标，b 叫做直线在y轴上的截距. 即学即练 1．（24-25八年级下·重庆·期中）若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A．B．C．D． 2．（25-26八年级下·四川广安·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与轴交于负半轴 C．当时， D．图象过点，，若，则 3．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）已知，均在直线上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 知识点三 待定系数法求函数解析式 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 即学即练 1．（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数的图象由直线平移得到且过点．则______ 2．（25-26八年级下·全国·单元测试）若三点，，在同一直线上，则的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级下·四川攀枝花·期中）已知一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，写出一个满足条件的一次函数的表达式为______________． 知识点四 一次函数图象的平移 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 平移口诀：左加右减（只改变x），上加下减（只改变y）. 【总结】一次函数图像平移后，k值不变因此可求出原函数图像上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后的解析式. 即学即练 1．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移单位长度后恰好经过点，则的值为（   ） A．3 B．5 C．8 D．10 2．（25-26八年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，直线可以看作由直线（   ） A．向上平移4个单位长度得到 B．向上平移2个单位长度得到 C．向下平移4个单位长度得到 D．向下平移2个单位长度得到 3．（25-26八年级下·四川眉山·期中）在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与x轴的交点坐标是_________． 题型01 正比例函数的性质 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·广西崇左·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（  ） A．该函数的图象经过第二、第四象限 B．y随x的增大而增大 C．原点在该函数的图象上 D．y随x的增大而减小 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·山东泰安·期末）若正比例函数经过第二、四象限，则的值不可能是（   ） A． B．0 C．2 D．5 2．（23-24八年级上·上海金山·期中）如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)点，在该函数图象上，比较，的大小，并说明理由． 题型02 画一次函数图像 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知函数． (1)画出该函数图象； (2)若点在函数图象上，求点的坐标． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知一次函数的图象经过和． (1)求关于的函数解析式； (2)在图中画出该函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）【感悟研究路径】 函数是描述客观世界运动变化的重要模型，我们在学习一次函数时，是按照现实问题→函数概念→函数的图象与性质→函数的应用，这样的研究路径对一次函数展开研究的． 其中，“一次函数的性质”采用由特殊到一般的研究思路，首先研究特殊的一次函数（k为常数，），通过画出具体函数的图象，数形结合，归纳出这类特殊函数的图象特征（形状、位置）和性质（增减性），从中初步习得了研究函数的思路、内容和方法，进而推广到研究一般的一次函数（k，b为常数，），然后再综合运用相关的知识解决实际问题． 例如，在研究正比例函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到结论：函数的图象是一条经过原点的直线；图象经过第____________象限；的值随着值的增大而________． 【迁移研究路径】 小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下，请完成相应题目． （1）根据函数表达式列表如下，则表中____________； … 0 1 … … 3 m 1 0 1 2 3 … （2）在如图1所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象； （3）观察（2）中的图象，写出关于该函数的两条结论： 结论1：___________________________________； 结论2：___________________________________； （4）写出方程的解，并说明此方程的解是如何得到的． 题型03 一次函数的性质 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·上海·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图像与轴的交点 B．随着的增大而增大 C．图像经过第一、二、四象限 D．其图像可由的图像向上平移5个单位长度得到 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·河南南阳·期中）一次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（   ） A．函数y随自变量x的增大而减小 B．， C．， D．图象与x轴的交点坐标为 2．（25-26八年级下·河北保定·期中）若正比例函数经过第二、四象限，则函数的图象经过第______象限． 3．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）当时，一次函数的最大值是________． 题型04 一次函数的性质与含参问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如果一次函数的函数值随着的值增大而减小，那么取值范围是_________． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，是直线上的相异两点，若，则的取值范围是____________． 3．（25-26八年级下·河北衡水·期中）已知一次函数，回答下列问题： (1)若函数图像经过点，求的值； (2)若函数随的增大而减小，求的取值范围． 题型05 比较一次函数值的大小 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知两点在直线上，下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26八年级上·广东深圳·月考）已知一次函数的自变量x满足，则y的取值范围是________． 3．（25-26八年级上·江苏南京·周测）点，是一次函数（k，b为常数，且）的图象上的两点，且，则k的值为______． 题型06 待定系数法求一次函数解析式 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值是（   ） x 0 2 3 y m 9 A．4 B．5 C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026七年级下·山东·专题练习）若一次函数的图象经过，，三点，则m的值为________． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位得到点，若点在直线上，则k的值为________． 3．（25-26八年级下·山西临汾·期中）我们知道，弹簧挂上重物后会伸长．如果一根弹簧在弹性限度内，弹簧的长度与所挂重物的质量之间的关系如下表，下表是他们试验时记录的数据（在一定的弹性限度内）： 所挂重物的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 (1)弹簧不挂重物时的自然长度为______；当弹簧的长度为时，所挂重物的质量是______． (2)根据所测量的数据，求该弹簧长度y与所挂重物的质量x之间的函数关系式． 题型07 一次函数与平移问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将直线平移后，得到直线，则下列平移方法正确的是（    ） A．将直线b向左平移3个单位长度得到直线a B．将直线b向右平移6个单位长度得到直线a C．将直线b向上平移1个单位长度得到直线a D．将直线b向下平移6个单位长度得到直线a 变｜式｜巩｜固 1．（2026·陕西咸阳·一模）若一次函数的图象向下平移3个单位长度后经过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）一次函数与没有交点，且过点，则此函数解析式为________． 3．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，直接写出的取值范围． 题型08 识别一次函数图像 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·北京·期中）直线经过一、二、四象限，则直线的图象是（   ） A．B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·甘肃张掖·开学考试）已知一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大，则函数（）在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·开学考试）一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A．B．C．D． 题型09 比较正比例系数大小 典｜例｜精｜析 1．（山西省运城市闻喜县部分学校2025-2026学年上学期期末测试卷八年级数学试卷）四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（浙江台州市玉环市2025学年第一学期期末教学质量监测八年级数学试卷）如图是通过甲，乙，丙，丁四个不同电阻（）的电流（）与其两端电压（）变化的关系图象，根据图象及电学知识，可判断甲，乙，丙，丁中电阻最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2025-2026学年八年级上学期期末适应性监测数学试卷）如图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数表达式分别为，，则下列关于与的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型10 一次函数的图像与性质综合 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）按要求完成下列各题． (1)已知一次函数当时，当时． ①求这个一次函数的解析式； ②当 时，函数值y的取值范围是_______． (2)在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当时，y随x的增大而增大．它的函数图象从左向右上升．我们可以证明这一性质的正确性．我们知道，要比较a、b两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则．反之也正确． 请根据这一事实，补充完以下对上述结论中，当时，y随x的增大而增大的结论的证明． 证：设一次函数，当自变量x分别取x1、x2，且时，对应的函数值分别为， ．………… 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）已知函数（是常数），回答下列问题： (1)当取何值时，该函数为正比例函数； (2)当取何值时，随的增大而增大； (3)若该函数为一次函数，且函数图象经过第二、三、四象限，求的取值范围． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大； (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)当m为何值时，函数图象经过原点； (4)当m为何值时，图象经过第二、三、四象限． 3．（25-26八年级下·北京·期中）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个一次函数，将原函数中的自变量x替换为，从而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的“镜像函数”．例如，函数的“镜像函数”是，请探究“镜像函数”的相关性质． (1)自变量x的取值范围是___________； (2)用描点法画出函数图象． x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … m 0 2 4 2 n … 其中，___________，___________； 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象． (3)请根据图象解决问题： ①当时，x的值是___________； ②当时，y随x的增大而___________； ③图象关于___________对称，函数有最___________值为___________． 4．（25-26八年级下·江苏南通·月考）小明在学习一次函数后，对形如（其中k，m，n为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下： 【特例探究】 (1)如图所示，小明分别画出了函数，，的图象．请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数的图象． 【深入探究】 (2)通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是 ． 【得到性质】 (3)函数（其中k、m、n为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是 ． 【实践运用】 (4)已知一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若的面积为2，求k的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数 23.2 一次函数的图象与性质 知识点一 正比例函数的图象与性质 表达式 自变量的取值范围 全体实数 图像 形状 过原点的一条直线 k的取值 k＞0 k＜0 示意图 经过的位置 第一、三象限 第二、四象限 趋势 从左到右呈上升趋势 从左到右呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大， 即当， y随x增大而减小， 即当， 【补充】 1）正比例函数图像的位置和增减性由k决定. 2）正比例函数中，|k|越大，直线越靠近y轴；|k|越小，直线越靠近x轴， 【小技巧】通常画正比例函数的图像时只需取一点(1，k)，然后过原点和这一点画直线即可. 即学即练 1．（25-26八年级下·北京西城·期中）下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数的自变量可以取任意实数，图象是过原点的一条直线， ∴A选项自变量取值范围是的说法错误；B选项图象是经过原点的射线的说法错误； ∵该函数的比例系数， ∴函数图象经过第一，三象限，且随的增大而增大，因此C选项图象不经过第三象限的说法错误，D选项说法正确． 2．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数的图象和正比例函数的图象在同一个坐标系内，那么可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质． 根据一次函数和正比例函数的图象分别判断出每个选项中，的符号，即可判断． 【详解】解：A、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过二、三、四象限，则，，矛盾，不符合题意； B、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过一、二、三象限，则，，符合题意； C、由图象可得，正比例函数经过二、四象限，则，， 一次函数经过一、三、四象限，则，，矛盾，不符合题意； D、由图象可得，正比例函数经过一、三象限，则，， 一次函数经过一、二、四象限，则，，矛盾，不符合题意； 3．（25-26八年级下·北京·月考）对于正比例函数，当自变量x的值减小2时，函数y的值减小6，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意列出变化前后的函数值等式，即可求出的值． 【详解】解：设原来的自变量为，对应函数值为， 当减小后，新自变量为，对应函数值， 的值减小， ， 解得． 知识点二 一次函数的图象与性质 表达式 自变量的取值范围 全体实数 图像 形状 过(0，b)，的一条直线 k，b的 取值 k＞0 k＜0 b＞0 b＜0 b＞0 b＜0 示意图 经过的位置 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大， 即当， y随x增大而减小， 即当， 【补充说明】一次函数中k，b的意义 （1）k的符号决定直线的倾斜方向和函数的增减性，当k＞0时，直线从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线从左向右下降，y随x的增大而减小 （2）直线与y轴交于点（0，b），所以b就是直线与y轴交点的纵坐标，b 叫做直线在y轴上的截距. 即学即练 1．（24-25八年级下·重庆·期中）若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】由，则，从而一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∴一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限， ∴选项B、C、D均不符合题意，选项A符合题意． 2．（25-26八年级下·四川广安·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与轴交于负半轴 C．当时， D．图象过点，，若，则 【答案】C 【分析】根据一次函数的图像与性质判断象限、交点位置和增减性，再通过解不等式判断选项C的正误，即可得到错误结论． 【详解】解：对于一次函数，可得，． ∵，， ∴函数图象经过第二、三、四象限，A结论正确． ∵一次函数与轴交点为，即交点为，纵坐标为负， ∴图象与轴交于负半轴，B结论正确． 若，可得不等式，移项得，解得，即当时，因此C结论错误． ∵，随的增大而减小，∴若，则，D结论正确． 3．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）已知，均在直线上，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据直线的解析式判断一次函数的增减性，再结合两个点横坐标的大小关系，即可得到，的大小关系． 【详解】解：∵在直线中，， ∴y随x的增大而减小， ∵，均在直线上，且， ∴． 知识点三 待定系数法求函数解析式 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 即学即练 1．（25-26八年级下·上海·月考）已知一次函数的图象由直线平移得到且过点．则______ 【答案】 【分析】先根据直线平移时k的值不变得出，再将点代入，即可求出b的值． 【详解】解：∵一次函数的图象由直线平移得到， ∴， ∴， 代入点，得， 解得． 2．（25-26八年级下·全国·单元测试）若三点，，在同一直线上，则的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】三点共线说明三个点都在同一条直线上，先根据两个已知点坐标求出直线解析式，再将第三个点代入解析式即可求出的值． 【详解】解：设过点和的直线解析式为， 将两点坐标代入解析式得， 解得， 直线解析式为， 点在该直线上， 将代入得：． 3．（25-26八年级下·四川攀枝花·期中）已知一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，写出一个满足条件的一次函数的表达式为______________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据y随x的增大而减小得到，再将代入进行计算即可． 【详解】解：y随x的增大而减小， ， 假设，故， 将代入，即可得到， ． 知识点四 一次函数图象的平移 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 平移口诀：左加右减（只改变x），上加下减（只改变y）. 【总结】一次函数图像平移后，k值不变因此可求出原函数图像上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后的解析式. 即学即练 1．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移单位长度后恰好经过点，则的值为（   ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象的平移规律得到平移后的函数解析式，再将已知点的坐标代入解析式求解的值即可． 【详解】解：将向下平移个单位长度后，得到的函数解析式为： ∵平移后的图象经过点， ∴将，代入解析式得： ， 整理得 ， 解得 ． 2．（25-26八年级下·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，直线可以看作由直线（   ） A．向上平移4个单位长度得到 B．向上平移2个单位长度得到 C．向下平移4个单位长度得到 D．向下平移2个单位长度得到 【答案】A 【分析】根据一次函数图象的平移规律，利用上下平移“上加下减”的规则，即可判断平移方向和平移距离. 【详解】解：原直线解析式为 ，平移后的直线为 ，相当于在原解析式整体加了， ∴是向上平移个单位长度得到的. 3．（25-26八年级下·四川眉山·期中）在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与x轴的交点坐标是_________． 【答案】 【分析】根据一次函数的平移规律，得到平移后新直线的解析式，令求解的值，即可得到新直线与轴的交点坐标． 【详解】解：将直线沿轴向下平移个单位， ∴新直线的解析式为 轴上的点纵坐标为，令，得 解得 因此该新直线与轴的交点坐标是． 题型01 正比例函数的性质 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·广西崇左·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（  ） A．该函数的图象经过第二、第四象限 B．y随x的增大而增大 C．原点在该函数的图象上 D．y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】根据正比例函数的性质，结合系数的符号判断各选项正误即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数，系数， ∴该函数的图象经过第二，第四象限，且随的增大而减小，因此A，D说法正确，B说法错误； 当时，， ∴函数图象经过原点，原点在该函数图象上，C说法正确； 综上，说法错误的是B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·山东泰安·期末）若正比例函数经过第二、四象限，则的值不可能是（   ） A． B．0 C．2 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握正比例函数的图象和性质． 根据函数的图象得出比例系数的取值范围，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：∵ 函数是正比例函数，且经过第二、四象限， ∴ 比例系数，即， 选项 A:，符合； 选项 B:，符合； 选项 C:，符合； 选项 D:，不符合； ∴ k的值不可能是5， 故选：D． 2．（23-24八年级上·上海金山·期中）如果正比例函数的图象经过点，，，且，那么和，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能比较 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数的性质是解题的关键． 通过点坐标求出正比例函数解析式，再计算和比较和的大小即可． 【详解】解：∵ 正比例函数图象经过点， ∴ 设函数为，代入得， ∴， ∴ 函数解析式为， ∵ 点和点在图象上， ∴，， ∵， ∴，即 ． 故选：B． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)点，在该函数图象上，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】（1）根据正比例函数的定义，设，运用待定系数法即可求解； （2）根据正比例函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设， 将，代入得：， 解得：， 解析式为：； （2）解：， 随的增大而减小， ， ． 题型02 画一次函数图像 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知函数． (1)画出该函数图象； (2)若点在函数图象上，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据列表、描点、连线的步骤画出函数的图象即可； （2）把点代入，求出的值即可得点的坐标． 【详解】（1）解：列表如下： x ⋯ 0 1 ⋯ y ⋯ 0 2 4 ⋯ 描点，连线得： （2）解：把点代入，得： ， 解得， ∴点． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知一次函数的图象经过和． (1)求关于的函数解析式； (2)在图中画出该函数的图象，并判断说明点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)作图见解析，点不在函数图象上 【分析】（1）将两个点的坐标代入关系式得出二元一次方程组，求出解即可得出答案； （2）根据列表，描点，连线得出函数图象，再将代入关系式验证即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：列表： x 0 1 y 1 4 描点，连线如下图： 当时，， ∴点不在一次函数的图象上． 2．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）【感悟研究路径】 函数是描述客观世界运动变化的重要模型，我们在学习一次函数时，是按照现实问题→函数概念→函数的图象与性质→函数的应用，这样的研究路径对一次函数展开研究的． 其中，“一次函数的性质”采用由特殊到一般的研究思路，首先研究特殊的一次函数（k为常数，），通过画出具体函数的图象，数形结合，归纳出这类特殊函数的图象特征（形状、位置）和性质（增减性），从中初步习得了研究函数的思路、内容和方法，进而推广到研究一般的一次函数（k，b为常数，），然后再综合运用相关的知识解决实际问题． 例如，在研究正比例函数的图象时，通过列表、描点、连线等步骤，得到结论：函数的图象是一条经过原点的直线；图象经过第____________象限；的值随着值的增大而________． 【迁移研究路径】 小亮借鉴研究一次函数时积累的经验和方法，对新函数展开探究，过程如下，请完成相应题目． （1）根据函数表达式列表如下，则表中____________； … 0 1 … … 3 m 1 0 1 2 3 … （2）在如图1所示的坐标系中描点、连线，画出函数的图象； （3）观察（2）中的图象，写出关于该函数的两条结论： 结论1：___________________________________； 结论2：___________________________________； （4）写出方程的解，并说明此方程的解是如何得到的． 【答案】【感悟研究路径】 一、三；增大 【迁移研究路径】 （1）2；（2）图见解析， （3）函数的图象是经过点的两条射线；函数的图象经过第一、二象限；当时，y的值随着x值的增大而增大，当时，y的值随着x值的增大而减小． （4）或 【分析】感悟研究路径：根据正比例函数的图象和性质，进行作答即可； （1）把代入函数解析式，进行求解即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据函数图象进行作答即可； （4）解绝对值方程即可． 【详解】解：感悟研究路径：函数的图象是一条经过原点的直线；图象经过第一、三象限；的值随着值的增大而增大． （1）当时，； （2）由题意，画图如下： （3）由图象可知， 结论1：函数的图象是经过点的两条射线；函数的图象经过第一、二象限； 结论2：当时，y的值随着x值的增大而增大；当时，y的值随着x值的增大而减小． （4）， ∴或， 解得或． 题型03 一次函数的性质 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·上海·期中）关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图像与轴的交点 B．随着的增大而增大 C．图像经过第一、二、四象限 D．其图像可由的图像向上平移5个单位长度得到 【答案】C 【分析】根据一次函数的交点坐标求法、增减性、图象象限判断规律、平移规律，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．令，得，解得，因此图象与轴交点为，A错误，不符合题意． B． 一次函数中，随的增大而减小，B错误，不符合题意． C． ，，图象经过第一、二、四象限，C正确，符合题意． D． 的图象向上平移个单位长度得到，不是，D错误，不符合题意． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·河南南阳·期中）一次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（   ） A．函数y随自变量x的增大而减小 B．， C．， D．图象与x轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像及性质，结合一次函数的性质一一判断各选项是否符合题意即可． 【详解】解：由函数图像可知，直线从左往右呈下降的趋势，因此函数y随自变量x的增大而减小，A选项不符合题意； 由函数图像可知，图像经过一、二、四象限，所以，，故B选项不符合题意，C选项符合题意； 令，即，解得，因此图像与x轴的交点为，D选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·河北保定·期中）若正比例函数经过第二、四象限，则函数的图象经过第______象限． 【答案】一、二、四 【分析】根据正比例函数经过的象限确定的取值范围，再判断一次函数的一次项系数与常数项的符号，即可确定一次函数图象经过的象限． 【详解】解：∵正比例函数经过第二、四象限， ∴． ∴ ，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限． 3．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）当时，一次函数的最大值是________． 【答案】/ 【分析】根据可知一次函数中，随的增大而减小，因此取最小值时，取得最大值，代入计算即可得到结果. 【详解】解：, 一次函数中，随的增大而减小. , 当时，取得最大值. 此时. 题型04 一次函数的性质与含参问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一次函数中，当，时，函数图象经过原点和第一、三象限；当，时，函数的图象经过一、三、四象限，据此解答即可． 【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限， ， ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如果一次函数的函数值随着的值增大而减小，那么取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，当函数值随着的值增大而减小时，一次项系数小于，据此列不等式求解即可. 【详解】解：∵一次函数 的函数值随着的值增大而减小， ∴，移项得，不等式两边同乘，不等号方向改变，得. 故答案为：. 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，是直线上的相异两点，若，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先将直线解析式整理为一次函数的一般形式，再根据已知条件判断随的变化趋势，利用一次函数的增减性得到关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围. 【详解】解：首先整理直线解析式：， ∵，是直线上的相异两点， ∵， ∴当时，，当时，， 即随的增大而增大， 根据一次函数的性质，一次项系数大于，可得， 解得． 3．（25-26八年级下·河北衡水·期中）已知一次函数，回答下列问题： (1)若函数图像经过点，求的值； (2)若函数随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数解析式，求出m的值即可； （2）根据一次函数y随x的增大而减小，列出关于m的不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的图像经过点， ∴ ， 解得； （2）解：∵函数随的增大而减小， ∴， 解得． 题型05 比较一次函数值的大小 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知两点在直线上，下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的增减性，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次函数解析式判断增减性，当时，随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：对于直线，一次项系数. ∵， ∴随的增大而增大. 已知，横坐标满足， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】将三个点的横坐标代入直线解析式，得到三个关于参数的表达式，再结合给定条件分析乘积的符号，即可判断选项． 【详解】∵ 点，，在直线上 将分别代入解析式得 分情况讨论： ①. 若，即 解得 ∵ ， ∴ ，故A正确，B错误 ②. 若，即 解得 或 当或时，与同号， 当时，与异号， 因此的符号不确定，故C，D错误 综上，答案选A． 2．（25-26八年级上·广东深圳·月考）已知一次函数的自变量x满足，则y的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据一次函数的解析式及自变量的取值范围，利用一次函数的增减性求解的取值范围． 【详解】解：∵一次函数中，比例系数， ∴随的增大而减小， 当时，， 当时，， 又∵， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏南京·周测）点，是一次函数（k，b为常数，且）的图象上的两点，且，则k的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数的性质．将，代入得，的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：将，代入得， ，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 题型06 待定系数法求一次函数解析式 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值是（   ） x 0 2 3 y m 9 A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】利用已知的x与y的对应值求出一次函数解析式，再将代入解析式即可求出m的值． 【详解】解：设该一次函数解析式为， 由表可知，当时，，可得， 将代入解析式得， 解得， 因此该一次函数解析式为， 将代入解析式得， 即． 变｜式｜巩｜固 1．（2026七年级下·山东·专题练习）若一次函数的图象经过，，三点，则m的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，将已知坐标的两点代入一次函数解析式，得到二元一次方程组，求解得到和的值，再将点代入解析式即可求出. 【详解】解：将，代入可得： 解方程组得： 因此一次函数解析式为， 将代入得： 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位得到点，若点在直线上，则k的值为________． 【答案】 【分析】先根据平面直角坐标系中点的平移规律求出平移后点的坐标，再将的坐标代入一次函数解析式，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：根据点的平移规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标不变， 可得点向右平移个单位后，点的坐标为 ，即 点在直线上 将代入 得 移项得 解得：． 3．（25-26八年级下·山西临汾·期中）我们知道，弹簧挂上重物后会伸长．如果一根弹簧在弹性限度内，弹簧的长度与所挂重物的质量之间的关系如下表，下表是他们试验时记录的数据（在一定的弹性限度内）： 所挂重物的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 (1)弹簧不挂重物时的自然长度为______；当弹簧的长度为时，所挂重物的质量是______． (2)根据所测量的数据，求该弹簧长度y与所挂重物的质量x之间的函数关系式． 【答案】(1)12，8 (2) 【分析】（1）根据表格可得弹簧不挂重物时的自然长度为，所挂重物的质量每增加，弹簧的长度增加，由此计算即可得出结果； （2）由表格分析可得，随的变化是均匀的，即是的一次函数，设，利用待定系数法计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由表格可得：弹簧不挂重物时的自然长度为，所挂重物的质量每增加，弹簧的长度增加， 当弹簧的长度为时，所挂重物的质量是； （2）解：由表格分析可得，随的变化是均匀的，即是的一次函数， 设， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴弹簧长度y与所挂重物的质量x之间的函数关系式为． 题型07 一次函数与平移问题 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将直线平移后，得到直线，则下列平移方法正确的是（    ） A．将直线b向左平移3个单位长度得到直线a B．将直线b向右平移6个单位长度得到直线a C．将直线b向上平移1个单位长度得到直线a D．将直线b向下平移6个单位长度得到直线a 【答案】D 【分析】用到一次函数平移规律“左加右减，上加下减”，计算不同平移方式得到的解析式，和目标直线对比即可得到正确结果 【详解】解：∵一次函数图象平移规律为“左加右减，上加下减”，原直线，目标直线， 若沿x轴平移， 设平移个单位，得平移后解析式为， 令， 解得，即直线向右平移3个单位得到直线，选项A、 B均不符合； 若沿y轴平移，设平移个单位，得平移后解析式为 令， 解得，即直线向下平移6个单位得到直线，符合选项D 变｜式｜巩｜固 1．（2026·陕西咸阳·一模）若一次函数的图象向下平移3个单位长度后经过点，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题利用一次函数图象的平移规律得到平移后的解析式，再将已知点代入即可求出k的值． 【详解】解：∵一次函数向下平移3个单位长度， ∴平移后所得函数的解析式为 ， ∵平移后的图象经过点， ∴将代入得，， 解得． 2．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）一次函数与没有交点，且过点，则此函数解析式为________． 【答案】 【分析】两个一次函数没有交点，说明两条直线平行，平行一次函数的一次项系数相等，由此得到k的值，再利用待定系数法代入已知点坐标求出b的值，即可得到所求函数解析式． 【详解】解：∵一次函数与没有交点， ∴两条直线平行，即， 又∵一次函数经过点， ∴， 解得：， ∴此一次函数的解析式为． 3．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若函数与一次函数的图象的交点位于直线的右侧，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）平移，得到，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当函数过时，，然后分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 把代入上式，得：，解得：， ∴； （2）解：当时，， 则当函数过时，， 当时，两个函数图象交点在直线的右侧； 当时，直线与直线平行， 当且时，两个函数图象交点在直线的右侧； ∴m的取值范围为：或或． 题型08 识别一次函数图像 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·北京·期中）直线经过一、二、四象限，则直线的图象是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直线经过一、二、四象限判断出k、b的符号，进而可得出直线经过的象限． 【详解】解：∵直线过第一、二、四象限， ∴，， ∴，， ∴直线经过第一、二、三象限． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·甘肃张掖·开学考试）已知一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大，则函数（）在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数图象性质判断出的取值范围，继而根据一次函数的性质进行判断即可. 【详解】解：∵一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大， ∴， ∴， ∴一次函数（）的图象经过二、三、四象限． 2．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质，并能根据函数图象准确判断、的正负是解题的关键． 根据一次函数与的图象位置，可得，，，，然后逐一判断即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象过一、二、四象限， ∴，， ∵一次函数的图象过二、三、四象限， ∴，，且， ∴A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·开学考试）一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否符合，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： 对于A、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于B、由一次函数图象可知，则； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意； 对于C、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； 对于D、由一次函数图象可知，； 正比例函数的图象可知，故此选项不符合题意． 题型09 比较正比例系数大小 典｜例｜精｜析 1．（山西省运城市闻喜县部分学校2025-2026学年上学期期末测试卷八年级数学试卷）四个正比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据对于正比例函数，当时，图象经过第一、三象限，k越大，图象越靠近y轴；当时，图象经过第二、四象限，越大，图象越靠近y轴，然后根据函数图象可进行求解． 【详解】解：由图象可知： 的图象都经过第一、三象限，所以，且的图象更靠近y轴，所以； 的图象都经过第二、四象限，所以，且的图象更靠近y轴，所以，所以 综上所述：； 故选D． 变｜式｜巩｜固 1．（浙江台州市玉环市2025学年第一学期期末教学质量监测八年级数学试卷）如图是通过甲，乙，丙，丁四个不同电阻（）的电流（）与其两端电压（）变化的关系图象，根据图象及电学知识，可判断甲，乙，丙，丁中电阻最大的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，由得，，如图，取， 则是关于的正比例函数，而，则随着的增大而增大，据此即可求解． 【详解】解：由得，， 如图，取， 则是关于的正比例函数， 而， ∴随着的增大而增大， ∴甲，乙，丙，丁中电阻最大的是丁， 故选：D． 2．（2025-2026学年八年级上学期期末适应性监测数学试卷）如图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数表达式分别为，，则下列关于与的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质，函数值大小比较；由图象知，正比例函数图象在第二、四象限，则均为负数，当时，，由此即可确定答案． 【详解】解：由图象知，均为负数， 当时，， ∴， 故选：C． 题型10 一次函数的图像与性质综合 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）按要求完成下列各题． (1)已知一次函数当时，当时． ①求这个一次函数的解析式； ②当 时，函数值y的取值范围是_______． (2)在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当时，y随x的增大而增大．它的函数图象从左向右上升．我们可以证明这一性质的正确性．我们知道，要比较a、b两个数的大小，可以先求出它们的差．若，则；若，则；若，则．反之也正确． 请根据这一事实，补充完以下对上述结论中，当时，y随x的增大而增大的结论的证明． 证：设一次函数，当自变量x分别取x1、x2，且时，对应的函数值分别为， ．………… 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）①一次函数的一般形式为，将已知的两组值代入，即可解出； ②由①得函数，其中，根据一次函数性质，y随x的增大而增大，因此只需计算区间端点对应的y值，再结合不等号方向即可得到取值范围； （2）根据题目给出的 “作差法”，计算，通过判断差的符号来比较的大小，从而证明单调性． 【详解】（1）解：①设一次函数的解析式为，得：， 解得：，                                     ；                     ②由①得函数，其中，根据一次函数性质，y随x的增大而增大，因此只需计算区间端点对应的y值， 故 时，函数值y的取值范围为． （2）解：设一次函数， 当自变量x分别取x1、x2，且时，对应的函数值分别为， ，                  ， ， ，                     当时， ，即，         ， y随x的增大而增大． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）已知函数（是常数），回答下列问题： (1)当取何值时，该函数为正比例函数； (2)当取何值时，随的增大而增大； (3)若该函数为一次函数，且函数图象经过第二、三、四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据y是x的正比例函数列方程，即可得到结论． （2）根据随的增大而增大，可得，进一步可得答案． （3）根据y是x的一次函数，且图象经过二、三、四象限列不等式组，即可得到结论． 【详解】（1）解：对于y关于x的函数， ∵y是x的正比例函数， ∴且， 解得：． （2）解：∵随的增大而增大， ∴， 解得：． （3）解：∵该函数为一次函数，且函数图象经过第二、三、四象限， ∴， 解得：， 故m的取值范围为． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大； (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)当m为何值时，函数图象经过原点； (4)当m为何值时，图象经过第二、三、四象限． 【答案】(1) (2)且 (3) (4) 【详解】（1）解：随x的增大而增大， ，解得； （2）解：函数图象与y轴的交点在x轴的下方， 且，解得且； （3）解：函数图象经过原点， ，解得； 检验：当时，，符合题意； （4）解：函数图象经过第二、三、四象限， ， 解得． 3．（25-26八年级下·北京·期中）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个一次函数，将原函数中的自变量x替换为，从而形成一个新的函数，这个新函数叫做原函数的“镜像函数”．例如，函数的“镜像函数”是，请探究“镜像函数”的相关性质． (1)自变量x的取值范围是___________； (2)用描点法画出函数图象． x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … m 0 2 4 2 n … 其中，___________，___________； 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象． (3)请根据图象解决问题： ①当时，x的值是___________； ②当时，y随x的增大而___________； ③图象关于___________对称，函数有最___________值为___________． 【答案】(1)任意实数 (2)；； (3)①或；②减小；③轴；大，4 【分析】（1）根据题意即可得到自变量x的取值范围是任意实数； （2）补全表格，利用描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据图象即可解答． 【详解】（1）解：自变量x的取值范围是任意实数； （2）解：当时，； 当时，； 描点，连线，函数图象如图： ； （3）解：根据图象得： ①当时，x的值是或； ②当时，y随x的增大而减小； ③图象关于轴对称，函数有最大值为4． 4．（25-26八年级下·江苏南通·月考）小明在学习一次函数后，对形如（其中k，m，n为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下： 【特例探究】 (1)如图所示，小明分别画出了函数，，的图象．请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数的图象． 【深入探究】 (2)通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是 ． 【得到性质】 (3)函数（其中k、m、n为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是 ． 【实践运用】 (4)已知一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若的面积为2，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或． 【分析】（1）列表，描点、连线画出直线即可； （2）观察图象即可得到结论； （3）根据（2）的规律即可求得一定会经过的点的坐标； （4）求得定点坐标与y轴的交点A，然后利用三角形面积即可得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 1 y 4 2 描点、连线，画出直线，如图： （2）解： 通过对上述几个函数图象的观察、思考，发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是． （3）解： 将代入函数，得 ， ∴（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是； （4）解：将代入一次函数，得 ， ∵一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N， ∴， ∵一次函数与y轴相交于点A， ∴将代入，得 ， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $