3.2 《2、5的倍数的特征》（导学案）-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

苏教版数学五年级下册第三单元因数和倍数 ——苏教版数学五年级下册 第三单元 第2课时《2、5的倍数的特征》导学案 【学习内容】 苏教版五年级数学下册教材第32～34页，例3、例4及相关练习。 【学习目标】 1. 经历探索2和5的倍数特征的过程，掌握2和5的倍数的特征，能正确判断一个数是不是2或5的倍数。 2. 认识奇数和偶数，能正确区分奇数和偶数。 3. 在探索规律的过程中，进一步培养观察、分析、归纳和概括的能力，感受数学的严谨和趣味。 【学习重点】 掌握2和5的倍数的特征，理解奇数和偶数的含义。 【学习难点】 能灵活运用2和5的倍数特征解决实际问题，准确判断既是2又是5的倍数的数。 【学法指导】 1. 自主探究：在百数表中圈出2的倍数和5的倍数，观察它们的特征。 2. 小组合作：交流发现的规律，互相提问检验。 3. 生活联系：找一找生活中的电话号码、门牌号码等，哪些是奇数，哪些是偶数。 一、课前预习 预习要求：阅读教材P32～34，在百数表上按要求圈数，并回答以下问题。 预习思考题： 1. 个位上是哪些数字的数是2的倍数？个位上是哪些数字的数是5的倍数？ 2. 什么样的数既是2的倍数，又是5的倍数？ 3. 整数中，什么样的数是偶数？什么样的数是奇数？0是偶数吗？ 二、新知讲授 知识点一：2的倍数的特征 知识要点： 1. 2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。 2. 偶数和奇数：是2的倍数的数叫做偶数（如2、4、6、8、10……）；不是2的倍数的数叫做奇数（如1、3、5、7、9……）。 3. 0是2的倍数，所以0也是偶数。 4. 自然数按是不是2的倍数，可以分为偶数和奇数两大类。 5. 相邻的两个自然数，一定是一个奇数和一个偶数。 例题 1（基础）——判断2的倍数及奇偶数 题目：（2025·南京栖霞区期末）下面的数中，是2的倍数的有哪些？哪些是偶数？哪些是奇数？ 48　　75　　106　　239　　510　　1234 【解析】 数 个位数字 是2的倍数？ 是偶数还是奇数？ 48 8 √ 偶数 75 5 × 奇数 106 6 √ 偶数 239 9 × 奇数 510 0 √ 偶数 1234 4 √ 偶数 2的倍数：48、106、510、1234。 偶数：48、106、510、1234；奇数：75、239。 变式训练 1-1 在35、40、62、78、91、106中，偶数有（　　），奇数有（　　）。 【答案】 偶数：40、62、78、106；奇数：35、91 【解析】个位是0、2、4、6、8的为偶数，个位是1、3、5、7、9的为奇数。 变式训练1-2 （2024·济南市中区）三个连续偶数的和是36，这三个偶数从小到大依次是（　　）、（　　）、（　　）。 【答案】 10，12，14 【解析】中间偶数：36÷3＝12，前一个12－2＝10，后一个12＋2＝14。 变式训练1-3 下列说法中，正确的是（　　）。 A. 自然数中不是奇数就是偶数　　B. 个位上是0的数一定是奇数　　C. 偶数都是2的倍数 【答案】 A、C 均正确（题目为单选时，选择 A 或 C 均可，最全面的为 A） 【解析】A：自然数按是否2的倍数分为奇数和偶数，正确。B：个位0是偶数，错误。C：偶数定义，正确。若单选，选A。 知识点二：5的倍数的特征 知识要点： 1. 5的倍数的特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。 2. 判断一个数是不是5的倍数，只看个位，不需要看其他数位。 3. 一个数如果是5的倍数，它的个位要么是0，要么是5。 例题 2（基础）——判断5的倍数 题目：下面各数中，哪些是5的倍数？ 35　　48　　50　　72　　95　　1000 【解析】 5的倍数看个位：个位是0或5就是5的倍数。35（个位5，是），48（个位8，不是），50（个位0，是），72（个位2，不是），95（个位5，是），1000（个位0，是）。 【答案】 5的倍数：35、50、95、1000。 变式训练 2-1 下面各数中，是5的倍数的数有哪些？ 18　　25　　40　　66　　105　　2000 【答案】 25、40、105、2000 【解析】25个位5，40个位0，105个位5，2000个位0。 变式训练2-2 一个两位数，是5的倍数，十位上的数字是8，这个两位数可能是（　　）或（　　）。 【答案】 80，85 【解析】5的倍数个位是0或5，十位是8，所以是80或85。 变式训练2-3 从0、3、5、8这四张数字卡片中任意抽出两张组成一个两位数，是5的倍数的两位数有（　　）个。 A. 4　　B. 5　　C. 6 【答案】B 【解析】5的倍数个位为0或5。个位为0：30、50、80；个位为5：35、85；共5个。 知识点三：既是2的倍数又是5的倍数的特征 知识要点： 1. 既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上是0的数。 2. 个位上是0的数，既是2的倍数，也是5的倍数，还是10的倍数。 3. 100以内的数中，既是2的倍数又是5的倍数的数有：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100。 例题 3（中等）——同时是2和5的倍数 题目：在下面的□里填上合适的数字，使这个数既是2的倍数，又是5的倍数。 （1）35□　　（2）2□0　　（3）12□ 【解析】 既是2的倍数又是5的倍数，个位必须是0。 （1）35□→个位填0，即350。 （2）2□0→个位已经是0，无论十位□填什么（0～9），这个数都是2和5的倍数。□可填0～9。 （3）12□→个位填0，即120。 【答案】 （1）0；（2）0～9均可；（3）0。 变式训练 3-1 下面各数中，既是2的倍数，又是5的倍数的数是（　　）。 A. 45　　B. 60　　C. 82　　D. 95 【答案】B 【解析】个位为0的只有60。 变式训练3-2 一个三位数，百位上是最大的一位数，十位上是最小的质数，这个数既是2的倍数又是5的倍数，这个三位数是（　　）。 【答案】 920 【解析】最大一位数9，最小质数2，个位0，即920。 变式训练3-3 （2024·南京江宁区）从下面四张卡片中选出三张组成三位数，按要求写数。 3　　4　　0　　5 （1）是2的倍数的最大三位数是（　　）。 （2）是5的倍数的最小三位数是（　　）。 （3）既是2的倍数又是5的倍数的最大三位数是（　　）。 【答案】 （1）540；（2）305；（3）540 【解析】（1）2的倍数，按从大到小排：5、4、3、0，是2的倍数个位为0或4。最大三位数：百位5，个位0，十位4→540；也可个位4，百位5，十位0→504，540>504。所以540。 （2）5的倍数个位0或5，最小三位数：百位3，个位5，十位0→305。 （3）既是2又是5的倍数，个位0，最大：百位5，十位4，个位0→540。 知识点四：奇偶性在生活中的应用 知识要点： 1. 奇数＋奇数＝偶数；偶数＋偶数＝偶数；奇数＋偶数＝奇数。 2. 奇数×奇数＝奇数；偶数×偶数＝偶数；奇数×偶数＝偶数。 3. 连续自然数中奇偶排列规律：每隔一个数出现一个偶数（或奇数）。 4. 生活中的奇偶数：楼层编号、座位号、门牌号等经常用到奇偶性。 例题 4（中等）——奇偶数的运算规律 题目：下列说法中，错误的是（　　）。 A. 奇数＋奇数＝偶数　　B. 偶数×奇数＝偶数 C. 奇数＋偶数＝奇数　　D. 奇数×奇数＝奇数，所以两个奇数的和还是奇数 【解析】 A、B、C均正确。D前半句“奇数×奇数＝奇数”正确，但“两个奇数的和还是奇数”错误，如1＋3＝4，和是偶数。 【答案】D 变式训练 4-1 一个奇数与一个偶数的积一定是（　　）。 A. 奇数　　B. 偶数　　C. 无法确定 【答案】B 【解析】奇数×偶数＝偶数。 变式训练 4-2 两个奇数的和是28，积是195，这两个奇数分别是（　　）和（　　）。 【答案】13，15 【解析】13＋15＝28，13×15＝195。 变式训练 4-3 一张写字台，有4个抽屉，每个抽屉的拉手都可以左右移动。拉手向左拉时抽屉锁住，向右拉时打开。如果当前每个抽屉都处于锁住状态，小明将1号、3号拉手向右拉了一下，又将2号拉手向右拉了一下，那么此时抽屉处于打开状态的有（　　）个。 【答案】3 【解析】初始：全锁。1号右拉→开；3号右拉→开；2号右拉→开。最终1、2、3号都开，共3个打开。注意是否连续拉？题目叙述“将1号、3号拉手向右拉了一下，又将2号拉手向右拉了一下”，每次拉都改变状态。所以1号开，3号开，2号开，共3个打开。 知识点五：探索2、5倍数特征的综合应用 知识要点： 1. 能综合运用2、5倍数特征及奇数、偶数知识，按要求写数或组数。 2. 能解决与生活相关的问题，例如根据编码规则判断某数是否满足条件。 3. 在数表中探索2和5倍数的排列规律。 例题 5（提优）——综合运用特征解决问题 题目：用0、1、2、5四张数字卡片按要求组成四位数（各小题答案不唯一）。 （1）是2的倍数，但不是5的倍数：__________ （2）是5的倍数，但不是2的倍数：__________ （3）既是2的倍数，又是5的倍数，且最小：__________ 【解析】 （1）2的倍数个位为偶数，但不能是5的倍数即个位不能是0和5。可用数字0,1,2,5。个位只能2（唯一偶数且不是0、5）。所以个位2，其余位排列0、1、5组成最大等：如1052。（答案不唯一） （2）5的倍数个位0或5，但不是2的倍数即不能是偶数，即个位不能是0（0是偶数），只能5。所以个位5，其余排列0、1、2：如1025。 （3）既是2又是5的倍数个位0。最小四位数：千位取最小的非零数字1，百位0，十位2，个位0，得1020。但卡片只有一张0？四张卡片0,1,2,5，可以重复使用吗？组成四位数，卡片各一张，所以数字不能重复。要组成四位数，必须用四个数字，有个位为0。最小：千位1，百位0，十位2，个位0，但0只能用一个，不可能两个0。所以不能重复数字，卡片就四个数字0,1,2,5，必须全用。既是2又是5的倍数，个位必须是0。剩余1,2,5组成千、百、十位，最小三位数是125。所以最小的四位数是1250。 【答案】 （1）1052（答案不唯一）；（2）1025（答案不唯一）；（3）1250。 变式训练 5-1 有一个四位数“5□2□”，它既是2的倍数，又是5的倍数，这个四位数最小是（　　），最大是（　　）。 【答案】5020；5920 【解析】既是2又是5的倍数，个位填0。千位5，百位□最小填0得5020；最大填9得5920。 变式训练 5-2 小可的密码锁密码是一个四位数，千位上的数字既是偶数又是质数，百位上的数字是最小的合数，十位上的数字是奇数但不是5的倍数，个位上的数字是5的倍数但不是2的倍数。这个密码是（　　）。 【答案】2435 【解析】千位：既是偶数又是质数的只有2。百位：最小合数是4。十位：奇数但不是5的倍数，1,3,7,9均可，选最小的1或常见的3？没要求最小，可选3。个位：5的倍数但不是2的倍数，即个位是5。所以密码可以是2435（或2415等，题目若唯一，常取最小）。通常答案2435。 变式训练 5-3 亮亮一家四口的年龄是四个连续奇数，他们的年龄和是24，亮亮是最小的，亮亮的年龄是多少岁？ 【答案】3岁 【解析】四个连续奇数的和是中间两个数的和的2倍，平均年龄为6，但奇数……四个连续奇数可设为x, x+2, x+4, x+6。和4x+12=24，4x=12，x=3。 所以年龄为3,5,7,9。亮亮最小3岁。 三、巩固练习（共15题） 基础巩固 1. 下面哪些数是2的倍数？哪些数是5的倍数？哪些数既是2的倍数，又是5的倍数？ 18　　25　　30　　46　　75　　90　　124　　205 2的倍数：______________________ 5的倍数：______________________ 既是2的倍数又是5的倍数：______________________ 2. 填空。 （1）个位上是（　　）的数，都是2的倍数。 （2）个位上是（　　）或（　　）的数，都是5的倍数。 （3）整数中，是2的倍数的数叫做（　　），不是2的倍数的数叫做（　　）。 3. 下面各数中，哪些是偶数？哪些是奇数？ 39　　56　　87　　104　　230　　1001 偶数：（　　）　　奇数：（　　） 4. 在15、24、30、47、55、60中，5的倍数有（　　）；2的倍数有（　　）。 5. 判断：一个自然数不是奇数就是偶数。（　　） 能力提升 6. 四张卡片1、2、3、5，从中选出三张组成三位数。是2的倍数的最大三位数是（　　），是5的倍数的最小三位数是（　　）。 7. 在2□0的□里填一个数字，使它同时是2和5的倍数，有（　　）种填法。 8. 从0、1、5、7四个数字中任选三个，组成是5的倍数的三位数，共可以组成（　　）个不同的三位数。 9. 三个连续偶数的和是54，其中最大的数是（　　）。 10. 一个两位数，既是2的倍数，又是5的倍数，十位上的数字是6，这个两位数是（　　）。 提优拓展 11. 一个四位数“3□4□”，它既是2的倍数，又是5的倍数，这个四位数最大是（　　），最小是（　　）。 12. 算式1＋2＋3＋…＋2024的和是奇数还是偶数？请写出你的理由。 13. （2024·广州天河区）某班有45人，期末考试成绩全班总分是A分，A是奇数，那么全班平均分是奇数还是偶数？为什么？ 14. 明明家的电话号码是七位数，从高到低依次是：第一位：一位数中最大的偶数；第二位：最小的合数；第三位：5的最小倍数；第四位：既是2的倍数又是5的倍数；第五位：最小的奇数；第六位：最小偶质数；第七位：是一位数中最大的奇数。明明家的电话号码是（　　）。 15. 有41个同学参加跳绳比赛，如果每支队伍由3人组成，能正好分完吗？由5人组成呢？由2人组成呢？请说明理由。 四、课堂小结 请同学们回顾并填写： 1. 的倍数的特征：个位上是（　　）的数。 2. 5的倍数的特征：个位上是（　　）或（　　）的数。 3. 既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上是（　　）的数。 4. 整数中，是2的倍数的数叫（　　），不是2的倍数的数叫（　　）。 【我的收获】 今天的学习，我学会了： 【我的疑问】 五、答案解析 基础巩固 1. 2的倍数：18、30、46、90、124；5的倍数：25、30、75、90、205；既是2的倍数又是5的倍数：30、90。 2. （1）0、2、4、6、8；（2）0、5；（3）偶数，奇数。 3. 偶数：56、104、230；奇数：39、87、1001。 4. 5的倍数：15、30、55、60；2的倍数：24、30、60。 5. √ 能力提升 6. 532；125 【解析】2的倍数最大：数字选5,3,2，个位2，得532。5的倍数最小：数字选1,2,5，个位5，得125。 7. 10 【解析】个位已是0，十位□可填0～9，共10种。 8. 10 【解析】5的倍数个位0或5。个位0：从1,5,7选两个作百位十位，百位不能是0，共6种（105,107,150,170,501,507,510,570,701,705,710,750）——个位0时，百位可取1,5,7（3种），十位取剩余两个（2种），3×2=6种。个位5：百位不能是0，可取1,7（2种），十位取剩余两个包括0（2种），2×2=4种。共10个。 9. 20 【解析】中间偶数54÷3=18，最大18+2=20。 10. 60 提优拓展 11. 3940；3040 【解析】既是2又是5的倍数，个位填0。千位3，百位最大9，十位4，个位0→3940；最小百位0→3040。 12. 偶数 【解析】1到2024共有2024个连续自然数，其中偶数1012个，奇数1012个。偶数个奇数的和是偶数（1012是偶数，奇数个奇数和为奇数，偶数个奇数和为偶数）。所有偶数的和是偶数。偶数＋偶数＝偶数。所以总和是偶数？等等，1到2024：奇数个数2024÷2=1012（偶数个），奇数之和为偶数；偶数之和为偶数；偶数+偶数=偶数。所以和为偶数。答案偶数，理由是偶数个奇数相加得偶数。 13. 奇数 【解析】平均分＝A÷45，A是奇数，45是奇数，奇数÷奇数有可能是小数，但平均分可能是小数，不一定是奇数偶数。题目可能问：全班总分A是奇数，人数45是奇数，平均分无法判断奇偶性，若平均分是整数，则奇数÷奇数＝奇数？如45×奇数＝奇数，45×偶数＝偶数，所以总分奇数，则平均分必须是奇数。理由：因为平均分×人数＝总分，人数45是奇数，若平均分是偶数，则总分是偶数，与A是奇数矛盾。所以平均分是奇数。 14. 8450129 【解析】一位数最大偶数：8；最小合数：4；5的最小倍数：5；既是2的倍数又是5的倍数：0；最小的奇数：1；最小偶质数：2；一位数最大奇数：9。所以8450129。 15. 不能正好分完（3人组：41÷3＝13…2，不能；5人组：41÷5＝8…1，不能；2人组：41÷2＝20…1，不能）。理由：41不是2、3、5的倍数。 学科网（北京）股份有限公司 $