专题：几何法求空间距离讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

课后训一几何法求空间距离 班主任： 日期：2026 时长：40-60分钟/次 1.如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD//BC,AB=BC=1, AD=AS=2,M为SD的中点 (1)求证：MC//平面SAB: (2)求证：CD⊥平面SAC: (3)求点M到平面SAC的距离 S D 【答案】(1)证明见解析： (2)证明见解析； ⑧9 【分析】(1)取SA中点E,连接EM,EB,证明四边形BCME是平行四边形即可证明结论； (2)证明AC⊥CD,SA⊥CD即可证明结论； (3)利用等体积法求解即可； 【详解】(1)证明：取SA中点E,连接EM,EB, :M为SD的中点， :ME||AD,ME=专AD, :AD //BC,AD=2,BC=1, :ME//BC,ME=BC. :四边形BCME是平行四边形，即CM//BE, :CM中平面SAB,ME中平面SAB, :.MC//平面SAB 第1页 B (2)证明：：SA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, SA⊥CD AB L AD,AD //BC,AB=BC=1,AD=2. AC=CD=2, ·AC2+CD2=AD2,即AC⊥CD :ACnAS=A,ACC平面ACS,ASC平面ACS, ∴.CD⊥平面ACS, (3)解：设点M到平面SAC的距离为h, :AD//BC,ADc平面ACS,BCE平面ACS, :BC//平面ACS, :VM-ACS=VG-AMS=VB-AMS :·SA⊥平面ABCD,ABC平面ABCD, .SA⊥AB :AB⊥AD,AS∩AD=A,ASC平面ADS,ADC平面ADS, ·AB⊥平面ADS, :SAACS=号AS:AC=V2,S△4w=S△4Ds=×克×2×2=1， VM-Acs=×V2h,Vc-Aws=Vg-Aws=专×1×1， :h=号，即点M到平面SAC的距离为号 2.四棱锥P一ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，M是PD的中点， (I)证明：PB/平面MAC; (2)若M在底面ABCD上的投影为底面中心，求直线BP到平面MAC的距离. 第2页 【答案】(1)证明见解析 aif 【分析】(I)连接BD交AC于点O,证明OM/PB,根据线面平行判定定理证明结论： (2)由条件先证明MO⊥BD,再结合(1)将问题求直线BP到平面MAC的距离转化为求点B到平 面MAC的距离，证明BD⊥AC,根据线面垂直判定定理证明BD⊥平面MAC,由此可得结论 【详解】(1)证明：连接BD交AC于点O,连接OM 因为四边形ABCD是正方形，所以O是BD的中点 因为M是PD的中点，所以OM/PB 又因为OMc平面MAC,PB丈平面MAC, 所以PB/平面MAC; (2)因为M在底面ABCD上的投影为底面中心，所以MO⊥平面ABCD 因为BDC平面ABCD,所以MO⊥BD, 由(1)知，PB/平面MAC, 所以直线BP到平面MAC的距离等于点B到平面MAC的距离 因为ABCD为正方形，所以BD⊥AC 因为ACc平面MAC,MOC平面MAC,ACnMO=O, 所以BD⊥平面MAC, 所以点B到平面MAC的距离即线段BO的长度 在正方形ABCD中，AB=BC=3, 第3页 所以B0=BD=支×3N=-婆，所以直线BP到平面MAC的距离为9 3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中 点，点E在棱BB1上，且BC=2,CC1=4,EB1=1 (①)求证：B1D⊥平面ABD: (2)求证：平面EFG//平面ABD: (3)求平面EFG与平面ABD的距离. B B 【答案】(1)见解析 (2)见解析 8要 【分析】(1)利用勾股定理证得DB⊥DB1,证明AB1平面BCC1B1,根据线面垂直的性质证得 AB⊥DB1,再根据线面垂直的判定定理即可得证； (2)取BB1的中点M,连接MC1,可得E为B1M的中点，证明GF//AB,四边形BMCD是平行 四边形，可得EF//BD,再根据面面平行的判定定理即可得证； (3)设EF∩DB1=N,由(I)(2)可得DN即为平面EFG与平面ABD的距离，求出DN的长度， 即可得解 【详解】(1)证明：在直三棱柱ABC-AB1C1中， D为CC1的中点，BC=2,CC1=4, 故DB=DB1=22, 因为DB2+DB12=16=BB12, 所以DB⊥DB1, 第4页 又BB1⊥平面ABC,ABC平面ABC, 所以AB⊥BB1 又因AB⊥BC,BC∩BB1=B, 所以AB1平面BCC1B1, 又DB1C平面BCC1B1,所以AB⊥DB1, 又AB∩BD=B, 所以B,D⊥平面ABD: (2)证明：取BB1的中点M,连接MC1, 则E为BM的中点， 因为D,F,G分别为CC1,B1C1,AC1的中点， 所以EF//C1M,BM//C1D且BM=C1D, 所以四边形BMC1D是平行四边形， 所以MC1//BD,所以EF//BD, 又EF丈平面ABD,BDC平面ABD, 所以EF//平面ABD, 因为GF//AB1//AB,所以GF//AB, 又GF丈平面ABD,ABC平面ABD, 所以GF//平面ABD, 又因EFO GF=F,EFc平面EFG,GFC平面EFG, 所以平面EFG//平面ABD: (3)设EF∩DB1=N, 因为B1D⊥平面ABD,平面EFG//平面ABD,所以B1D⊥平面EFG, 所以DN即为平面EFG与平面ABD的距离， 因为EFC平面EFG,所以B1D⊥EF, 8N=9. 所以DN=DB1-B1N=35 即平面EFG与平面ABD的距离为号 第5页 A B C : M D E B C 第6页课后训一几何法求空间距离- 班主任： 日期：2026 时长：40-60分钟/次 1.如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD//BC,AB=BC=1, AD=AS=2,M为SD的中点 (1)求证：MC//平面SAB: (2)求证：CD⊥平面SAC: (3)求点M到平面SAC的距离 S A 第1页 2.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，M是PD的中点， (I)证明：PB/平面MAC; (2)若M在底面ABCD上的投影为底面中心，求直线BP到平面MAC的距离. A B 第2页 3.如图，在直三棱柱ABC-AB1C1中，∠ABC=90°，D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中 点，点E在棱BB1上，且BC=2,CC1=4,EB1=1. (1)求证：B1D⊥平面ABD: (2)求证：平面EFG//平面ABD: (3)求平面EFG与平面ABD的距离. D A G B F 第3页 专题：几何法求空间距离 知识梳理 1、 空间中的三种距离 空间中的距离 定义 求解思路 点面 1. 过一点作 垂直 于已知平面的直线，则该点与 垂足 间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度 叫做这个点到该平面的距离。 1. 定义法 利用定义，确定所求距离是哪一条线段，进而通过解三角形进行求解 2. 转化思想 （1） 常用：等体积法 （2） 线面距离、面面距离转化为点面距离 （3） 利用中点转化：如果条件中具有中点条件，一个点到平面的距离，可借助中点（等分点），转化为另一点到平面的距离 线面 2. 一条直线与一个平面平行时，这条直线上 任意一点 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。 面面 3. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 任意一点 到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。 典例剖析 【方法一 转化思想：等体积法等】 1．已知正方体的棱长为4，则点C到平面的距离等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等体积法，由求解. 【详解】， ， 则，设点C到平面的距离为h， 则， 又因为， 所以， 故选：A 【变式】已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由已知，结合即可求解； 【详解】（1）∵点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面，， 四边形为菱形，， ，平面， 平面． （2）由题意可得,与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ，， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 故点到平面的距离为． 2．如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)192； (3). 【分析】（1）利用线面垂直的判定及性质，结合圆锥的结构特征推理得证. （2）利用锥体的体积公式求解即可. （3）证明平面，再利用等体积法求出距离. 【详解】（1）在圆锥中，正方形内接于圆O，则，， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，而平面，所以. （2）由（1）得，由，得， 正方形的面积，而平面， 所以四棱锥的体积为. （3）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， 在中，，则边上的高， 的面积，由（2）得， 又，因此， 所以直线到平面的距离为. 【练习】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，利用中位线的性质易知，结合线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）因为平面，直线到平面的距离即点到平面的距离，取的中点，连接，分析可知平面，结合等体积法可求出点到平面的距离. 【详解】（1）连接，并交于点， 因为四边形为正方形，则为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，因此平面. （2）因为平面，直线到平面的距离即点到平面的距离， 取的中点，连接，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，， ， 因为平面，所以平面， 所以. 因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，则， 因为，、平面，故平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以，， 因为平面，平面，所以， 故， 所以， 设点到平面的距离为，则，解得， 因此，直线与平面的距离为. 3．如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为. (1)证明：平面 平面； (2)求平面与平面间的距离.    【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明; （2）将面面距转化为点面距，再由等体积法求出距离即可. 【详解】（1）在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. （2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为. 连接，则四面体的体积. 因为， ，， 所以，从而， 所以， 所以，即平面与平面间的距离为.    【方法二 定义法：先找再求】 4．如图，等腰三角形中，，D为上一点，且，将沿翻折至平面平面，连接，则点D到平面的距离为_____. 【答案】 【详解】由已知，可得，所以．又， 所以，取的中点M，则，且． 因为平面平面，平面平面， 所以平面，所以．又因为，，平面， 所以平面，所以就是点D到平面的距离， 所以点D到平面的距离为. 【变式】如图，已知四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，为中点， (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，先证四边形BCEF是平行四边形，可得CEBF，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）取PB的中点H，连接AH，利用线面垂直的判定定理与性质证明AH⊥平面PBC，确定点A到平面PBC的距离为AH，再求之即可． 【详解】（1）取PA的中点F，连接EF，BF， 因为E是PD的中点，所以EFAD，EFAD＝1， 又BC∥AD，AD＝2BC＝2，所以EFBC，EF＝BC， 则四边形BCEF是平行四边形，所以CEBF， 又CE⊄平面PAB，BF⊂平面PAB， 所以CE平面PAB． （2）取PB的中点H，连接AH， 因为PA＝AB，所以AH⊥PB， 因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BC， 因为BCAD，AB⊥AD，所以AB⊥BC，又PA∩AB＝A，PA、AB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB，又AH⊂平面PAB， 所以BC⊥AH，又PB∩BC＝B，PB、BC⊂平面PBC， 所以AH⊥平面PBC，即点A到平面PBC的距离为AH. 在等腰直角△PAB中，AHPB， 故点A到平面PBC的距离为． 5．如图，已知三棱锥中，平面 为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面 平面 (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用面面平行的判定定理直接证明即可； (2)根据线面间的距离转化为点面距离，即可得出答案. 【详解】（1）因为为中点，为中点，为中点. 所以，平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 因为，平面 所以平面 平面 （2）平面 平面， 平面 平面 所以，因为平面， 所以平面，由（1）可知平面 所以为直线到平面的距离， 因为为中点，则， 直线到平面的距离为. 【变式】已知三棱锥中，与底面所成角相等，，为中点，点在上且截面. (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离.    【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设在面上射影为，先证明是的外心，再证明点和点重合，由此证明结论； （2）方法一：根据线面垂直判定定理证明平面，由此证明点到平面的距离即，结合平面求结论. 方法二：由线面平行性质定理证明，再证明平面，利用等体积法求点到面的距离，结合平面可得结论. 【详解】（1）与底面成相等的角，设点在平面上射影为， 则有， ∴ 且， ∴是的外心. 是直角三角形，且是斜边的中点， ∴点和点重合， ∴平面. （2）法一：由（1）平面，平面，则， 又，，平面， ∴平面，又平面，则①. 且，又， 也是等腰直角三角形，，， 截面，过的平面与平面交于， ，则②， 由①②，都在面内，则平面， ∴点到平面的距离即， ，且由知是中点， ∴.点到平面的距离为. ∴平面， ∴到平面的距离即为点到面的距离，即为.    法二：截面，过的平面与平面交于， ∴，是中点，则是中点，故， 由（1）平面，又平面， ∴，又，，平面， ∴平面，平面， ，且， ， ∵， 因为是中点，平面， 所以点到平面的距离为， 设点到面的距离为， ， ∴，故， ∵平面， ∴到平面的距离即为C点到面的距离，即为. 6．如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件得平面，从而，又，由此能证明平面． （2）由已知条件推导出平面，平面，由此能证明平面平面．由已知条件推导出为平行平面与之间的距离，由此能求出结果． 【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， 在和中，， ，即， 又，平面 平面． （2）解：由题意知， 在中，， 又，， 平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，又， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面，， 平面平面． 平面，平面平面， 平面， 为平行平面与之间的距离， ， 即平面与之间的距离为． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $专题：几何法求空间距离 知识梳理 一、空间中的三种距离 空间中的距离 定义 P 1. 过一点作垂直于已知平面的 直线，则该点与垂足间的线 点面 段，叫做这个点到该平面的垂 线段，垂线段的长度叫做这 个点到该平面的距离。 2 一条直线与一个平面平行时， 这条直线上任意一点到这个 线面 平面的距离，叫做这条直线到 这个平面的距离。 面面 3 如果两个平面平行，那么其中 个平面内的任意一点到另 个平面的距离都相等，我们 把它叫做这两个平行平面间的 距离。 第1页 求解思路 1.定义法 利用定义，确定所求距离 是哪一条线段，进而通过 解三角形进行求解 2.转化思想 (1)常用：等体积法 (2)线面距离、面面距离 转化为点面距离 (3)利用中点转化：如果 条件中具有中点条件，一 个点到平面的距离，可借 助中点（等分点），转化 为另一点到平面的距离 典例剖析 【方法一转化思想：等体积法等】 1.已知正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长为4，则点C到平面DBC1的距离等于() 4V3 A. B.3 C.46 D.6 3 3 D A D C B 【变式】已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，平面ABCD外一点P在平面ABCD上的射影是 AC与BD的交点O,△PDB是等边三角形 (1I)求证：AC⊥平面PBD: (2)求点D到平面PBC的距离： D D B 第2页 2.如图，在圆锥SO中，底面圆心为O,母线SA=10,圆锥的高S0=8, ABCD为正方形， (I)证明：SA⊥BD: (2)求四棱锥S-ABCD的体积： (3)求直线CD到平面SAB的距离. S A、 第3页 底面圆O的内接四边形 【练习】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PD⊥底面ABCD, PD=CD,E是PC的中点. (I)求证：直线PA∥平面BDE: (2)求直线AP到平面BDE的距离. Dk------ B 第4页 3.如图所示，正六棱柱ABCDEF-A,B,C,D1E,F1的底面边长为1， (1)证明：平面ADF1/平面A1BC; (2)求平面ADF1与平面A1BC间的距离. F E D B E D B C 第5页 高为3. 【方法二定义法：先找再求】 4.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=2,∠BAC=120°，D为BC上一点，且AD⊥AB,将 △BAD沿AD翻折至平面ABD⊥平面ACD,连接BC,则点D到平面ABC的距离为· B D D 第6页 【变式】如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形， BC/AD,AB⊥AD,PA=AB=AD=2BC=4,E为PD中点， (1)求证：CE//平面PAB: (2)求点A到平面PBC的距离. A 】 B 第7页 5.如图，已知三棱锥P-ABC中，AB⊥AC,PA⊥平面ABC,PA=AB=3,AC=4,M为BC中 点，E为AC中点，F为PC中点 (1)证明：平面MEF/平面PAB; (2)求直线ME到平面PAB的距离. A- E B M 第8页 【变式】已知三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC与底面ABC所成角相等， AC=AB=PB=2,D为BC中点，E点在PB上且PC/截面EAD (I)求证：PD⊥平面ABC: (2)求直线PC到平面EAD的距离， E D 第9页 ∠CAB=90°， 6.如图在直三棱柱ABC-A1B,C1中，∠ABC=90°，BC=2,CC1=4,E是BB1上的一点，且 EB,=1,D、F、G分别是CC1、B,C1、A1C1的中点，EF与B1D相交于H. (I)求证：B1D⊥平面ABD: (2)求平面EGF与平面ABD的距离， G Ci E B 第10页