数学（辽宁卷）学易金卷：2026 年中考考前最后一卷

2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 日 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1I/小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIIDI 9.AI[BIICIID] 2.IAIIBIICIIDI 6.IAlIBIICIIDI 10.IAIIBIICIIDI 3.IAIIBIICIIDI 7.AIIBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 8.1AlIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 12. 13. 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(10分) 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) B 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) D B D B 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(13分) 1 2-2x+6 2 Bly=2x 2x+brtc 1 y2= 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题3分）如图，它是1988年出土的新石器时代的仰韶文化几何纹彩陶钵，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）2026马年央视春晚中，机器人表演的节目《武BOT》中展示了单腿连续后空翻、扫堂腿等高难度动作．若机器人做前空翻8个记作个，则做后空翻12个记作（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（本题3分）一个可预见的AI时代正在到来．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）2025年11月27日，国务院第73次常务会议通过了《全民阅读促进条例》．数学李老师响应国家号召，为班级推荐了以下四本数学读物，希望同学们从中任选一本作为本学期的数学课外阅读读物．小明和小红同时选择《从一到无穷大》的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知二次函数 则下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴交点坐标是 B．当时，y随x增大而增大 C．当和时，函数值相等 D．由 向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到 7．（本题3分）在中，连接，过点A作交于点E．若且，则（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）一次函数与正比例函数在同一直角坐标系内的图像可能为（    ） A．B．C．D． 10．（本题3分）如图，取直线l上一点A，与直线外一点B相连．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交、l于点C、D，以点B为圆心，长为半径作弧，交于点E，以点E为圆心，长为半径作弧，交前弧于点F，连接并延长；再以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于点G，分别以点E、G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长交l于点K．若，则（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）3月29日扬州半程马拉松鸣枪开跑，23000名跑者穿越“世界运河之都、世界美食之都、东亚文化之都”的千年画卷，将23000用科学记数法表示为_____________． 12．（本题3分）因式分解______． 13．（本题3分）一同学发现能打出正方形孔洞的钻头（如图1）截面是一个近似于三角形的图形，他查阅了资料后找到了这个图形的精确作法：分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画圆，三个圆的重合部分就是钻头截面的图形（图2中实线围成的图形），如果，那么这个图形的周长是_______．（结果保留） （第13题） （第14题） 14．（本题3分）七巧板是由可以错综分合的案几（即“燕几”）演化而来，它是一种拼板玩具，体现我国古代劳动人民的智慧，图2是由图1拼成的风车形状，则的值为______． 15．（本题3分）如图，中，，点在轴正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象与交于点，连接，若的面积为，则的值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题10分）计算： (1)； (2)． 17．（本题8分）探究性教学模式是对传统教学的一种创新，以学生的“自主、探究、合作”学习为特征．某校对探究性教学和传统教学两种模式进行了评教，采用由同一位教师给相同的学生上这两种类型的同一节课，并从参加的学生中随机抽取了部分学生对这两种教学模式进行评分（分数用x表示，x为整数），评分结果分为四个等级：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息． a．抽取的探究性教学评分C等级的数据：83，82，85，n，84，89； b．抽取的传统教学评分D等级的数据：90，93，94，95，95，95，95，95，97； c．探究性教学评分的条形统计图（图1）和传统教学评分的扇形统计图（图2）． 探究性教学评分条形统计图        传统教学评分扇形统计图 平均数 中位数 众数 探究性教学 86 96 传统教学 84.2 87.5 b 根据以上信息解答以下问题： (1)求此次随机抽取的总人数； (2)直接写出a，b的值； (3)若探究性教学评分的中位数比传统教学评分的中位数大，求n的最小值． 18．（本题8分）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某快递配送中心为优化配送服务，计划采购A，B两种型号的送餐箱，用于配送不同路线的餐食． 素材一 采购2个A型送餐箱和3个B型送餐箱共需140元． 素材二 采购3个A型送餐箱和2个B型送餐箱共需130元． 素材三 配送中心计划一次性采购这两种送餐箱共100个，用于优化区域内的配送服务．经预算，采购B型号送餐箱的数量不少于A型号送餐箱数量的． 请完成下列任务： (1)任务一：A，B两种型号送餐箱的单价分别是多少元？ (2)任务二：给出最节省费用的采购方案． 19．（本题8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移，使直线经过点，交轴于点．连接，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 20．（本题8分）如图，是的直径，交的边于点，连接，已知，，． (1)求证：是的切线． (2)①用圆规和无刻度的直尺在图中作出的角平分线交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． ②在①的条件下，求的长． 21．（本题8分）【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 (1)任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 (2)任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 (3)任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） (4)任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 22．（本题12分）在“融学课堂”的实践中，李老师经常让学生以“问题”为中心进行自主合作探究学习． 【课堂提问】李老师在课堂上提出这样的问题：如图1，在中，，，那么和有怎样的数量关系? 【互动生成】经小组合作交流后，各小组派代表发言． （1）小华代表第3 小组发言：．请你补全下面小华的证明过程． 证明：如图1，把沿着翻折，得到， ， ， 即点 B，C，D 共线． ……… （2）受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言：如图 2，在中，如果把条件“”改为“”保持“”不变，且，求 的长． 【能力迁移】我们发现，利用翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面的问题． （3）如图 3，点 D 是内一点，，，，求、、三者之间的数量关系． 【课后拓展】 （4）如图4，在四边形中，，，，且，请求出的周长． 23．（本题13分）定义；如果二次函数图象的顶点在直线上，我们称这样的二次函数为“双正二次函数”．如图，二次函数的顶点为A，二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A（点A与点B不重合）． (1)判断二次函数是否为“双正二次函数”，并说明理由； (2)求二次函数的解析式； (3)点M在二次函数的图象上，过点M作轴交二次函数的图象于点N（点M与点N不重合），直线交直线于点Q，设点M的横坐标为m． ①求证：点Q是线段的中点； ②当时，求线段的最大值． (4)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值为，最小值为，求n的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[AJ[BJ[C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）》 11. 12 13 14 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(10分) 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 0 A C 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) A A D C A C D B 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(13分) 2-2+6 yI BVy=2x y'2= 1 +bric 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题3分）如图，它是1988年出土的新石器时代的仰韶文化几何纹彩陶钵，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据主视图的定义，从物体的正面观察，确定看到的平面图形，再与选项进行比对． 【详解】 解：由图可得仰韶文化几何纹彩陶钵，它的主视图是，与选项A 所示图形一致． 2．（本题3分）2026马年央视春晚中，机器人表演的节目《武BOT》中展示了单腿连续后空翻、扫堂腿等高难度动作．若机器人做前空翻8个记作个，则做后空翻12个记作（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：因为做前空翻个记作个， 所以做后空翻个记作个． 3．（本题3分）一个可预见的AI时代正在到来．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对称图形是指绕某一点旋转后能够与自身重合的图形．根据定义对各选项图形进行判断即可． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形沿中间竖直直线折叠后两旁的部分能重合，是轴对称图形；绕中心旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； D、该图形绕中心旋转后能与自身重合，是中心对称图形；找不到任何一条直线使折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形，故符合题意． 4．（本题3分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A ∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴A错误； 选项B ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴B错误； 选项C ∵积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变，指数相乘 ， 等式成立，∴C正确， 选项D ， ∴D错误. 5．（本题3分）2025年11月27日，国务院第73次常务会议通过了《全民阅读促进条例》．数学李老师响应国家号召，为班级推荐了以下四本数学读物，希望同学们从中任选一本作为本学期的数学课外阅读读物．小明和小红同时选择《从一到无穷大》的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到同时选择《从一到无穷大》的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示《数学传奇》、《神奇的数学》、《啊哈，灵机一动》、《从一到无穷大》，列表如下： 由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中同时选择《从一到无穷大》的结果数有1种， ∴小明和小红同时选择《从一到无穷大》的概率为． 6．（本题3分）已知二次函数 则下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴交点坐标是 B．当时，y随x增大而增大 C．当和时，函数值相等 D．由 向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，平移的特性，依次判断即可 【详解】解：A、当时，， ∴图象与y轴交点坐标是，选项错误，不符合题意； B、， 对称轴为， ∵， ∴开口向下， 当时，y随x增大而减小，选项错误，不符合题意； C、时，， 时，，故选项正确，符合题意； D、向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到的函数解析式为：，选项错误，不符合题意； 故选：C 7．（本题3分）在中，连接，过点A作交于点E．若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据于点，可求出，再求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 8．（本题3分）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“A，B两个物体的密度之比为”，列方程求解即可； 【详解】解：∵A体积为，B体积比A大，因此B体积为， 由得： A的密度， B的密度， ∵， 即， ∴． 9．（本题3分）一次函数与正比例函数在同一直角坐标系内的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图像经过的象限判断 、的符号，进而确定 ​ 的符号，再验证正比例函数图像是否与之匹配． 【详解】解：选项中，一次函数图像过一、二、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，符合描述； 选项中，一次函数图像过一、三、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，但图中正比例函数过一、三象限，不符合描述； 选项中，一次函数图像过一、三、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，但图中正比例函数过一、三象限，不符合描述； 选项中，一次函数图像过一、二、三象限，，，则 ，正比例函数应过一、三象限，但图中正比例函数过二、四象限，不符合描述． 10．（本题3分）如图，取直线l上一点A，与直线外一点B相连．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交、l于点C、D，以点B为圆心，长为半径作弧，交于点E，以点E为圆心，长为半径作弧，交前弧于点F，连接并延长；再以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于点G，分别以点E、G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长交l于点K．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图可知：，平分，然后根据角平分线的定义及平行线的性质可进行求解． 【详解】解：由作图可知：，平分， ∴， ∴． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）3月29日扬州半程马拉松鸣枪开跑，23000名跑者穿越“世界运河之都、世界美食之都、东亚文化之都”的千年画卷，将23000用科学记数法表示为_____________． 【答案】 【详解】解：． 12．（本题3分）因式分解______． 【答案】 【详解】解：． 13．（本题3分）一同学发现能打出正方形孔洞的钻头（如图1）截面是一个近似于三角形的图形，他查阅了资料后找到了这个图形的精确作法：分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画圆，三个圆的重合部分就是钻头截面的图形（图2中实线围成的图形），如果，那么这个图形的周长是_______．（结果保留） 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质和弧长公式进行解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 由题意可得，图形的周长是． 14．（本题3分）七巧板是由可以错综分合的案几（即“燕几”）演化而来，它是一种拼板玩具，体现我国古代劳动人民的智慧，图2是由图1拼成的风车形状，则的值为______． 【答案】 【分析】根据七巧板的几何特征及图2所示的风车形状，设图1中正方形的边长为，从而求得图2中的相关线段的表达式，进而求得正切值． 【详解】解：标注点F，P，Q如解图， 设题图1中正方形的边长为， 根据七巧板的性质可得，， ∴， ∴． 15．（本题3分）如图，中，，点在轴正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象与交于点，连接，若的面积为，则的值为___________． 【答案】 【分析】过点作于，过点作于，可证明，设点的坐标为，根据的面积和的面积关系可得，结合相似三角形的性质可表示出点的坐标，再代入反比例函数中即可求得的值． 【详解】解：过点作于，过点作于， 反比例函数的图象经过点， 设点的坐标为，则，， 点是轴上一点，且 ， ， 点的坐标是，， 的面积为， ，即， ， ，， ， ， ， ，， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题10分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 17．（本题8分）探究性教学模式是对传统教学的一种创新，以学生的“自主、探究、合作”学习为特征．某校对探究性教学和传统教学两种模式进行了评教，采用由同一位教师给相同的学生上这两种类型的同一节课，并从参加的学生中随机抽取了部分学生对这两种教学模式进行评分（分数用x表示，x为整数），评分结果分为四个等级：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息． a．抽取的探究性教学评分C等级的数据：83，82，85，n，84，89； b．抽取的传统教学评分D等级的数据：90，93，94，95，95，95，95，95，97； c．探究性教学评分的条形统计图（图1）和传统教学评分的扇形统计图（图2）． 探究性教学评分条形统计图        传统教学评分扇形统计图 平均数 中位数 众数 探究性教学 86 96 传统教学 84.2 87.5 b 根据以上信息解答以下问题： (1)求此次随机抽取的总人数； (2)直接写出a，b的值； (3)若探究性教学评分的中位数比传统教学评分的中位数大，求n的最小值． 【答案】(1)20人 (2)， (3)n的最小值为87 【分析】（1）根据传统教学D等级的评分的个数和占比即可计算此次随机抽取的总人数； （2）A等级的占比等于1减去其他等级的所占百分比；由在D等级中出现了5次，比其他等级的人数都多即可得出， （3）根据随机抽取的总人数为20人，中位数是将评分按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后第10，11个数据的平均数，结合C等级数据进行讨论比较，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵传统教学D等级的评分数据有个，在扇形统计图中所占比例为， ∴此次随机抽取的总人数为（人）． （2）解：由扇形统计图可知，故； 由（1）得随机抽取总人数为20人， ∴传统教学A等级人数为（人）， B等级人数为（人）， C等级人数为（人）， 在D等级中出现了5次，出现的次数最多， ∴众数． （3）解：∵随机抽取的总人数为20人， ∴中位数是将评分按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后第10，11个数据的平均数． ∵由条形统计图可知A等级有3人，B等级有2人，且C等级有6人， ∴中位数位于C等级． ∵C等级数据为82，83，84，85，n，89，且探究性教学评分的中位数比87.5大， ∴当时，中位数为，不符合题意， 当时，中位数为，解得，即． ∵评分为整数，∴n的最小值为87． 18．（本题8分）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某快递配送中心为优化配送服务，计划采购A，B两种型号的送餐箱，用于配送不同路线的餐食． 素材一 采购2个A型送餐箱和3个B型送餐箱共需140元． 素材二 采购3个A型送餐箱和2个B型送餐箱共需130元． 素材三 配送中心计划一次性采购这两种送餐箱共100个，用于优化区域内的配送服务．经预算，采购B型号送餐箱的数量不少于A型号送餐箱数量的． 请完成下列任务： (1)任务一：A，B两种型号送餐箱的单价分别是多少元？ (2)任务二：给出最节省费用的采购方案． 【答案】(1) A型送餐箱单价为22元，B型送餐箱单价为32元 (2) 最节省费用的采购方案为采购A型送餐箱66个，采购B型送餐箱34个 【分析】（1）设A，B两种型号送餐箱的单价分别是元，元，根据采购2个A型送餐箱和3个B型送餐箱共需140元，采购3个A型送餐箱和2个B型送餐箱共需130元，建立二元一次方程组求解即可； （2）设采购A型号送餐箱个，则采购B型号送餐箱个，采购费用为，根据采购B型号送餐箱的数量不少于A型号送餐箱数量的．列出一元一次不等式，求出的范围，再求出费用的表达式，利用一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设A，B两种型号送餐箱的单价分别是元，元， 根据题意，得， 解得， 答：A型送餐箱单价为22元，B型送餐箱单价为32元； （2）解：设采购A型号送餐箱个，则采购B型号送餐箱个，采购费用为， 根据题意，得，解得， ∵是非负整数， ∴， 由（1）知A型送餐箱单价为22元，B型送餐箱单价为32元， 则， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时，最节省费用， 则（个） 答：最节省费用的采购方案为采购A型送餐箱66个，采购B型送餐箱34个． 19．（本题8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移，使直线经过点，交轴于点．连接，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入求出的反比例函数解析式，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可； （2）由平行求出直线的解析式为过点作交于 ，设直线与轴的交点为，与轴的交点为, 可推导出, 再由 ，求出，即可求出的面积； （3）数形结合求出答案即可. 【详解】（1）解：将代入双曲线， ∴, ∴双曲线的解析式为， 将点代入， ∴, ∴, 将代入, ， 解得， ∴直线解析式为； （2）∵直线向下平移至,    ∴, 设直线的解析式为将点代入 ∴解得 ∴直线的解析式为 ∴ 过点作交于, 设直线与轴的交点为，与轴的交点为, ∴, ∵, ∴, ∵, ， ， ∵， ， ， ∴的面积 （3）由图可知或时, 20．（本题8分）如图，是的直径，交的边于点，连接，已知，，． (1)求证：是的切线． (2)①用圆规和无刻度的直尺在图中作出的角平分线交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． ②在①的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①图见解析② 【分析】（1）利用等腰三角形性质、圆周角定理与外角性质，推导出，结合切线判定定理证明是的切线； （2）先由勾股定理求出，再利用等腰三角形三线合一证，结合平行线性质证，最后通过相似三角形对应边成比例求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴是的切线． （2）①解：如图，为的角平分线，交于点． ②解：∵，，， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴． 21．（本题8分）【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 (1)任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 (2)任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 (3)任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） (4)任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 【答案】(1) (2)拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线，理由见解析； (3)横向限高杆离水面距离为米 (4)光线与抛物线之间的最小距离为米 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质，可得，，由已知可得，可得，由三角形的内角和定理，即可得的度数； （2）假设该拱桥轮廓线是圆弧，设圆心为，设圆的半径为，在图1中，连接、，根据勾股定理可得，在图2中，连接、、，由三角形的内角和定理可得，可得，解，可得，可判断拱桥的轮廓线不是圆弧，是抛物线，以为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法即可得抛物线的解析式； （3）设横杆长度和竖杆长度分别为、，点，将点的坐标代入抛物线的解析式，可得，即可得横向限高杆离水面的距离； （4）作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点），交轴于点，过点，作，垂足为，设直线的解析式为，与抛物线的解析式联立，整理为关于的一元二次方程，由可得，可得直线的解析式，可得点的坐标，可得，结合已知解三角形即可得光线与拱桥之间的距离． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：假设该拱桥轮廓线是圆弧， 在图1中，设圆心为，设圆的半径为，连接、， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得； ∴， 在图2中，设圆心为设圆的半径为，连接、、， 则， 则劣弧所对圆心角度数为， 即， 则， ∴拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线： 如图，以为轴，的垂直平分线为轴建立如下的坐标系， 则点、， 设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 解得， 则抛物线的表达式为； （3）解：如图，设横杆长度和竖杆长度分别为、， 则点， 将点的坐标代入得， 解得或（舍去）， ∴（米） ∴横向限高杆离水面距离为米． （4）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点）， 交轴于点，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，解得， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， 光线与抛物线之间的最小距离为米． 22．（本题12分）在“融学课堂”的实践中，李老师经常让学生以“问题”为中心进行自主合作探究学习． 【课堂提问】李老师在课堂上提出这样的问题：如图1，在中，，，那么和有怎样的数量关系? 【互动生成】经小组合作交流后，各小组派代表发言． （1）小华代表第3 小组发言：．请你补全下面小华的证明过程． 证明：如图1，把沿着翻折，得到， ， ， 即点 B，C，D 共线． ……… （2）受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言：如图 2，在中，如果把条件“”改为“”保持“”不变，且，求 的长． 【能力迁移】我们发现，利用翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面的问题． （3）如图 3，点 D 是内一点，，，，求、、三者之间的数量关系． 【课后拓展】 （4）如图4，在四边形中，，，，且，请求出的周长． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）；（4） 【分析】 （1）根据翻折的性质和等边三角形的判定：是等边三角形，可得结论； （2）如图2，同理把沿着翻折，得到，证明是等边三角形，根据勾股定理得：的长，可得的长； （3）如图2，把沿着翻折，得到，连接，先证明是等边三角形，得，根据四边形的内角和定理计算，利用勾股定理可得结论； （4）如图4，同理作辅助线，先证明、、三点共线，再证明、、三点共线，得是等腰三角形，可得的长，从而得结论． 【详解】 解：（1），补全小华的证明过程． 证明：把沿着翻折，得到． ， ， 即：点、、共线， 由翻折得：，，， ， 是等边三角形， ； （2）如图2，把沿着翻折，得到． 由翻折得：，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （3）、、三者之间的数量关系是：； 理由是：如图2，把沿着翻折，得到，连接， ，，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ∴； （4）如图4，把沿着翻折，得到， ，，，， ， ∵，，， ， ，， 、、三点共线， 把绕点逆时针旋转得到，过点C作于点F，如图， ，，， ∴， 、A、、都在同一直线上， ， ， ∴， ，即， 则的周长为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、折叠的性质、旋转的性质等知识，解题的关键是学会利用翻折添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 23．（本题13分）定义；如果二次函数图象的顶点在直线上，我们称这样的二次函数为“双正二次函数”．如图，二次函数的顶点为A，二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A（点A与点B不重合）． (1)判断二次函数是否为“双正二次函数”，并说明理由； (2)求二次函数的解析式； (3)点M在二次函数的图象上，过点M作轴交二次函数的图象于点N（点M与点N不重合），直线交直线于点Q，设点M的横坐标为m． ①求证：点Q是线段的中点； ②当时，求线段的最大值． (4)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值为，最小值为，求n的取值范围． 【答案】(1)二次函数是“双正二次函数”，理由见解析 (2) (3)①见解析；②5 (4) 【分析】（1）求出二次函数的顶点A的坐标，再判断点A是否在直线上，即可求解； （2）求出点B的坐标，再利用待定系数法解答即可； （3）①用m表示出点M，N，Q的坐标，可得到的长，即可解答；②用m表示出的长度，再结合二次函数的性质解答即可； （4）根据题意可得当时，二次函数的最大值为12，可得到当时，函数的最大值为22，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：二次函数是“双正二次函数”，理由如下： ∵， ∴点A的坐标为， 对于，当时，， ∴点A在直线上，即二次函数是“双正二次函数”； （2）解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为点， ∵二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A， ∴，解得：或（舍去）， ∴二次函数的解析式为； （3）解：①∵点M的横坐标为m， ∴点， ∵轴， ∴点，， ∴，， ∴，即点Q是线段的中点； ② 当时，随m的增大而减小，当时，随m的增大而增大，当时，随m的增大而减小， ∵当时，，当时，，当时，， ∴当时，线段的最大值为5； （4）解：如图， 由（2）得二次函数的图象的顶点坐标为， 即当时，二次函数的最大值为12， 对于，当时，y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，函数的最大值为22， ∵函数的最大值为， ∴，即， ∴此时函数的最小值为， 对于，当时， ，解得：， ∴，即， ∴n的取值范围为． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C D C D D A D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 12． 13． 14． 15． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分） 【详解】（1）解：， ，……………………3分 ， ；………………………………………………5分 （2）解：， ，………………8分 ， ．………………………………………………10分 17．（8分） 【详解】（1）解：∵传统教学D等级的评分数据有个，在扇形统计图中所占比例为， ∴此次随机抽取的总人数为（人）．……………………2分 （2）解：由扇形统计图可知，故；………………3分 由（1）得随机抽取总人数为20人， ∴传统教学A等级人数为（人）， B等级人数为（人）， C等级人数为（人）， 在D等级中出现了5次，出现的次数最多， ∴众数．…………………………………………4分 （3）解：∵随机抽取的总人数为20人， ∴中位数是将评分按照从小到大（或从大到小）的顺序排列后第10，11个数据的平均数． ∵由条形统计图可知A等级有3人，B等级有2人，且C等级有6人， ∴中位数位于C等级．…………………………………………6分 ∵C等级数据为82，83，84，85，n，89，且探究性教学评分的中位数比87.5大， ∴当时，中位数为，不符合题意， 当时，中位数为，解得，即． ∵评分为整数，∴n的最小值为87．………………………………8分 18．（8分） 【详解】（1）解：设A，B两种型号送餐箱的单价分别是元，元， 根据题意，得，…………………………2分 解得， 答：A型送餐箱单价为22元，B型送餐箱单价为32元；………………4分 （2）解：设采购A型号送餐箱个，则采购B型号送餐箱个，采购费用为， 根据题意，得，解得， ∵是非负整数， ∴，………………………………6分 由（1）知A型送餐箱单价为22元，B型送餐箱单价为32元， 则，…………………………7分 ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时，最节省费用， 则（个） 答：最节省费用的采购方案为采购A型送餐箱66个，采购B型送餐箱34个．………………8分 19． （8分） 【详解】（1）解：将代入双曲线， ∴,………………………………1分 ∴双曲线的解析式为， 将点代入， ∴, ∴,…………………………2分 将代入, ， 解得， ∴直线解析式为；…………3分 （2）∵直线向下平移至,    ∴, 设直线的解析式为将点代入 ∴解得…………………………4分 ∴直线的解析式为 ∴ 过点作交于, 设直线与轴的交点为，与轴的交点为, ∴,……………………………………5分 ∵, ∴, ∵, ， ， ∵， ， ， ∴的面积…………………………6分 （3）由图可知或时,…………………………8分 20．（8分） 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴，…………………………2分 ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的直径， ∴是的切线．……………………………………4分 （2）①解：如图，为的角平分线，交于点．………………6分 ②解：∵，，， ∴，………………………………7分 ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∴．…………………………………………8分 21．（8分） 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴，………………………………1分 ∴， ∴．……………………2分 （2）解：假设该拱桥轮廓线是圆弧， 在图1中，设圆心为，设圆的半径为，连接、， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得；……………………………………3分 ∴， 在图2中，设圆心为设圆的半径为，连接、、， 则， 则劣弧所对圆心角度数为， 即， 则， ∴拱桥的轮廓线不是圆弧，应为抛物线： 如图，以为轴，的垂直平分线为轴建立如下的坐标系， 则点、， 设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得， 解得， 则抛物线的表达式为；………………………………4分 （3）解：如图，设横杆长度和竖杆长度分别为、， 则点， 将点的坐标代入得， 解得或（舍去），……………………………………5分 ∴（米） ∴横向限高杆离水面距离为米．………………………………6分 （4）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切（此时抛物线与直线只有一个交点）， 交轴于点，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， 整理得，……………………………………7分 直线与抛物线相切， 方程有两个相等的实数根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，解得， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， 光线与抛物线之间的最小距离为米．………………………………8分 22．（12分） 【详解】 解：（1），补全小华的证明过程． 证明：把沿着翻折，得到． ， ， 即：点、、共线， 由翻折得：，，， ， 是等边三角形， ；………………………………2分 （2）如图2，把沿着翻折，得到． 由翻折得：，，， ， 是等边三角形，………………………………3分 ， ， ， ， ；………………………………4分 （3）、、三者之间的数量关系是：； 理由是：如图2，把沿着翻折，得到，连接， ，，， ， 是等边三角形，………………………………6分 ， ，， ， ， ∴；………………………………8分 （4）如图4，把沿着翻折，得到， ，，，， ，……………………………………9分 ∵，，， ，…………………………10分 ，， 、、三点共线， 把绕点逆时针旋转得到，过点C作于点F，如图， ，，， ∴， 、A、、都在同一直线上， ， ，………………………………11分 ∴， ，即， 则的周长为．…………………………………………12分 23． （13分） 【详解】（1）解：二次函数是“双正二次函数”，理由如下： ∵， ∴点A的坐标为，………………………………1分 对于，当时，， ∴点A在直线上，即二次函数是“双正二次函数”；……………………2分 （2）解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为点，………………………………3分 ∵二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A， ∴，解得：或（舍去）， ∴二次函数的解析式为；…………………………4分 （3）解：①∵点M的横坐标为m， ∴点， ∵轴， ∴点，，…………………………………………5分 ∴，， ∴，即点Q是线段的中点；…………………………………………6分 ② ………………………………………………7分 当时，随m的增大而减小，当时，随m的增大而增大，当时，随m的增大而减小， ∵当时，，当时，，当时，， ∴当时，线段的最大值为5；…………………………8分 （4）解：如图， 由（2）得二次函数的图象的顶点坐标为，……………………9分 即当时，二次函数的最大值为12，………………………………10分 对于，当时，y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，函数的最大值为22，…………………………………………11分 ∵函数的最大值为， ∴，即， ∴此时函数的最小值为， 对于，当时， ，解得：，………………………………………………12分 ∴，即， ∴n的取值范围为．…………………………………………………………13分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（本题3分）如图，它是1988年出土的新石器时代的仰韶文化几何纹彩陶钵，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）2026马年央视春晚中，机器人表演的节目《武BOT》中展示了单腿连续后空翻、扫堂腿等高难度动作．若机器人做前空翻8个记作个，则做后空翻12个记作（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（本题3分）一个可预见的AI时代正在到来．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）2025年11月27日，国务院第73次常务会议通过了《全民阅读促进条例》．数学李老师响应国家号召，为班级推荐了以下四本数学读物，希望同学们从中任选一本作为本学期的数学课外阅读读物．小明和小红同时选择《从一到无穷大》的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知二次函数 则下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴交点坐标是 B．当时，y随x增大而增大 C．当和时，函数值相等 D．由 向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到 7．（本题3分）在中，连接，过点A作交于点E．若且，则（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）一次函数与正比例函数在同一直角坐标系内的图像可能为（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，取直线l上一点A，与直线外一点B相连．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交、l于点C、D，以点B为圆心，长为半径作弧，交于点E，以点E为圆心，长为半径作弧，交前弧于点F，连接并延长；再以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于点G，分别以点E、G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长交l于点K．若，则（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．（本题3分）3月29日扬州半程马拉松鸣枪开跑，23000名跑者穿越“世界运河之都、世界美食之都、东亚文化之都”的千年画卷，将23000用科学记数法表示为_____________． 12．（本题3分）因式分解______． 13．（本题3分）一同学发现能打出正方形孔洞的钻头（如图1）截面是一个近似于三角形的图形，他查阅了资料后找到了这个图形的精确作法：分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画圆，三个圆的重合部分就是钻头截面的图形（图2中实线围成的图形），如果，那么这个图形的周长是_______．（结果保留） 14．（本题3分）七巧板是由可以错综分合的案几（即“燕几”）演化而来，它是一种拼板玩具，体现我国古代劳动人民的智慧，图2是由图1拼成的风车形状，则的值为______． 15．（本题3分）如图，中，，点在轴正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象与交于点，连接，若的面积为，则的值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题10分）计算： (1)； (2)． 17．（本题8分）探究性教学模式是对传统教学的一种创新，以学生的“自主、探究、合作”学习为特征．某校对探究性教学和传统教学两种模式进行了评教，采用由同一位教师给相同的学生上这两种类型的同一节课，并从参加的学生中随机抽取了部分学生对这两种教学模式进行评分（分数用x表示，x为整数），评分结果分为四个等级：A．，B．，C．，D．，下面给出了部分信息． a．抽取的探究性教学评分C等级的数据：83，82，85，n，84，89； b．抽取的传统教学评分D等级的数据：90，93，94，95，95，95，95，95，97； c．探究性教学评分的条形统计图（图1）和传统教学评分的扇形统计图（图2）． 探究性教学评分条形统计图        传统教学评分扇形统计图 平均数 中位数 众数 探究性教学 86 96 传统教学 84.2 87.5 b 根据以上信息解答以下问题： (1)求此次随机抽取的总人数； (2)直接写出a，b的值； (3)若探究性教学评分的中位数比传统教学评分的中位数大，求n的最小值． 18．（本题8分）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某快递配送中心为优化配送服务，计划采购A，B两种型号的送餐箱，用于配送不同路线的餐食． 素材一 采购2个A型送餐箱和3个B型送餐箱共需140元． 素材二 采购3个A型送餐箱和2个B型送餐箱共需130元． 素材三 配送中心计划一次性采购这两种送餐箱共100个，用于优化区域内的配送服务．经预算，采购B型号送餐箱的数量不少于A型号送餐箱数量的． 请完成下列任务： (1)任务一：A，B两种型号送餐箱的单价分别是多少元？ (2)任务二：给出最节省费用的采购方案． 19．（本题8分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移，使直线经过点，交轴于点．连接，求的面积； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 20．（本题8分）如图，是的直径，交的边于点，连接，已知，，． (1)求证：是的切线． (2)①用圆规和无刻度的直尺在图中作出的角平分线交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． ②在①的条件下，求的长． 21．（本题8分）【项目主题】 某研学小组在研究拱桥的过程中发现拱桥的轮廓线（图中的桥下沿虚线部分）为抛物线或圆弧，于是他们根据所学知识分组测量数据来确定某一拱桥的轮廓线，并解决相关问题． 【实验操作】 如图1，第一小组在线段的垂直平分线与轮廓线的最高点的交点处通过测量获得以下数据（单位：米）： 小组 线段1 线段2 线段3 第一小组 (1)任务：请根据第一小组的数据求的度数． 【建立模型】 如图2，第二小组在轮廓线段上选取点（不与、重合），在河边和处分别测量点的仰角，测量获得以下数据： 小组 测仰角 测仰角 第二小组 (2)任务：根据所获得的数据，判断该拱桥轮廓线是抛物线还是圆弧，请说明理由． 如果轮廓线是圆弧，请求出圆的半径；如果轮廓线是抛物线，请建立适当的直角坐标系求抛物线的解析式． 【解决问题】 (3)任务：由于安全通行需要，现需要在拱桥上安装倒型的限高杆（如图中虚线部分），若横杆长度和竖杆长度之比为，那么此时横向限高杆离水面的距离为多少米？（限高杆的宽度忽略不计） (4)任务：在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点处米的地面、处分别安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图4所示，光线交汇点在点的正上方，求光线与拱桥之间的距离． 22．（本题12分）在“融学课堂”的实践中，李老师经常让学生以“问题”为中心进行自主合作探究学习． 【课堂提问】李老师在课堂上提出这样的问题：如图1，在中，，，那么和有怎样的数量关系? 【互动生成】经小组合作交流后，各小组派代表发言． （1）小华代表第3 小组发言：．请你补全下面小华的证明过程． 证明：如图1，把沿着翻折，得到， ， ， 即点 B，C，D 共线． ……… （2）受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言：如图 2，在中，如果把条件“”改为“”保持“”不变，且，求 的长． 【能力迁移】我们发现，利用翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面的问题． （3）如图 3，点 D 是内一点，，，，求、、三者之间的数量关系． 【课后拓展】 （4）如图4，在四边形中，，，，且，请求出的周长． 23．（本题13分）定义；如果二次函数图象的顶点在直线上，我们称这样的二次函数为“双正二次函数”．如图，二次函数的顶点为A，二次函数是“双正二次函数”，其顶点为B，且图象过点A（点A与点B不重合）． (1)判断二次函数是否为“双正二次函数”，并说明理由； (2)求二次函数的解析式； (3)点M在二次函数的图象上，过点M作轴交二次函数的图象于点N（点M与点N不重合），直线交直线于点Q，设点M的横坐标为m． ①求证：点Q是线段的中点； ②当时，求线段的最大值． (4)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最大值为，最小值为，求n的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $