数学（湖南长沙卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 立足中考冲刺，以AI科技、漏刻计时等真实情境为载体，融合代数、几何与统计，注重推理能力与创新意识考查 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数运算、中心对称图形、统计量|第2题结合AI品牌图标考中心对称，体现科技前沿| |填空题|6/18|因式分解、科学记数法、圆锥侧面积|第15题通过圆锥构造考扇形面积，强化空间观念| |解答题|9/72|函数综合、几何证明、实际应用|第23题以中国鼓模型考解三角形，融合文化传承；第25题几何变换探究，发展创新思维|

2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D C D B B B C D A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．2026 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 【解析】解：， ，（2分） ，（4分） ．（6分） 18．（6分） 【解析】解：原式 （2分） （3分） ，（4分） 将代入得：原式．（6分） 19．（6分） 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，（1分） ∵， ∴， ∴，（2分） ∵在和中， ， ∴， ∴；（3分） （2）解：， ∴，（4分） ∵，， ∴．（6分） 20．（8分） 【解析】（1）解：由题意可知，，（1分） ，即，（2分） 每月参与家庭劳动次数中人数最多的是7次， 众数是7，（3分） 将这组数据按从小到大的顺序排列，第25、26个数据分别为6，7， 中位数是．（4分） （2）解：，（6分） 被调查学生参加家庭劳动次数的平均数是6.48； （3）（人），（8分） 答：估计该校学生每月家庭劳动次数是7次的人数为360人． 21．（8分） 【解析】（1）解：设1套“优电”充电桩的单价是x万元，则1套“安心”充电桩的单价是万元， 由题意得：，（1分） 解得：，2 经检验，是原方程的解，且符合题意，（3分） ∴，（4分） 答：1套“优电”充电桩的单价是6万元，1套“安心”充电桩的单价是4万元； （2）解：设购买“安心”充电桩的数量为m套，则购买“优电”充电桩的数量为套， 由题意得：，（5分） 解得：，（6分） 设所需费用为w元， 由题意得：，（7分） ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，（8分） ∴w取得最小值为140万元， 答：采购“安心”充电桩20套时，所需总资金最少，最少资金是140万元． 22．（9分） 【解析】（1）解：选择甲方案，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，（1分） 又∵， ∴， ∴，（3分） ∴， ∴， ∴；（4分） 选择乙方案，证明如下： ∵，， ∴，（1分） ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，（3分） ∴四边形是平行四边形， ∴；（4分） （2）证明：如图所示，在方案甲中， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴，（5分） 又∵， ∴， ∴，（6分） ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，（7分） 又∵， ∴， ∴；（9分） 如图所示，在方案乙中，由（1）可得， ∴， ∴同理可证明． 23．（9分） 【解析】（1）解：∵，为等腰三角形， ∴，（2分） 根据三角形内角和为， ，（4分） 答：的度数为； （2）解：如图 ，过点作于点， 在中，∵，， ∴， ，（6分） ∵， ∴，（7分） 在中，根据勾股定理：，（9分） 答：鼓的厚度约为． 24．（10分） 【解析】（1）；（2分） （2）解：当时，， 当时，， ∵点在一次函数的关联函数的图象上， ∴当时，则，解得，符合题意，此时点P的坐标为；（3分） 当时，则，解得，符合题意，此时点P的坐标为；（4分） 综上所述，点P的坐标为或；（5分） （3）解：不存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，理由如下：（6分） 当时，， ∴此时函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而增大， 当时，， ∴当时，；（7分） 当时，， ∴此时函数的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，； 在中，当时，， 解得或；（8分） ∵当时，该二次函数的关联函数的取值范围是， ∴当时，函数的最大值为5，最小值为； 当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为， ∴， ∴（舍去，）； 当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为处的函数值， ∴， 解得（舍去，）或（舍去）； 综上所述，不存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是；（9分） （4）或或．（10分） 25．（10分） 【解析】（1）．（1分） （2）解：①，理由如下：（2分） ∵，， ∴是等边三角形， ∴，，（3分） ∵， ∴在中，， 由旋转有，， ∴是等边三角形， ∴．（4分） ②．（6分） （3）解：分两种情况讨论： ①如图，若点P在线段的上方，四边形是平行四边形， 则，， ∴，即旋转角， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，（7分） ∵， ∴在中，， ∴， ∴．（8分） ②如图，若点P在线段的下方，四边形是平行四边形， 则， ∴，即旋转角， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 同（1）可证， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴在中，， ∴．（9分） 综上所述，的值为或．（10分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．年3月，十四届全国人大四次会议在北京胜利召开，为“十五五”开局擘画蓝图．若一个数与的和为0，则这个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：与的和为0的数是的相反数，即为． 2．一个可预见的AI时代正在到来．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对称图形是指绕某一点旋转后能够与自身重合的图形．根据定义对各选项图形进行判断即可． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形沿中间竖直直线折叠后两旁的部分能重合，是轴对称图形；绕中心旋转后不能与自身重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； D、该图形绕中心旋转后能与自身重合，是中心对称图形；找不到任何一条直线使折叠后两旁部分重合，不是轴对称图形，故符合题意． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．∵ ， ∴A计算错误． B．∵与不是同类二次根式，不能合并， ∴B计算错误． C．∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ， ∴C计算正确． D．∵， ∴D计算错误． 4．某年级组织数学单元检测，随机抽取60名学生的成绩进行统计分析，如图所示．关于这60名学生的成绩，下列说法正确的是（   ） A．中位数是12 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是85 【答案】D 【分析】一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可． 【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85； 把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，而，故中位数是． 5．若点，，都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限，再根据点的横坐标范围判断点所在象限，结合同一象限内随的变化规律即可比较大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限，可得， ∵， ∴点，都在第一象限，可得， 综上可得． 6．如图，在中，，绕点A顺时针方向旋转，到，连接，交于点P，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点．由勾股定理得，证明是等腰直角三角形，进而证明是等腰直角三角形，可得．然后证明，利用相似三角形的性质得，则可求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点． ， ． 将绕点顺时针方向旋转得到， ， 是等腰直角三角形， ； 又， 是等腰直角三角形， ． ， ， ，即， ∴． 又， ， ∴， ． 7．定义新运算：，如果，那么的值为（   ） A．或4 B．6或 C．3或6 D．3或 【答案】B 【分析】分类讨论：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【详解】解：①当时， ， ∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； ②当时， ， ∵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解； ∴x的值为或6． 8．如图，已知正八边形的边长为4，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，得，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作，垂足为M，求出，再利用弧长公式即可求出答案． 【详解】解：如图，过点E作，垂足为M， 正八边形的每一个内角, 由题意可得四边形是矩形，与均为等腰直角三角形， ，，， ， 即所求弧的半径为， 的长为． 9．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【分析】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各选项的正确性即可. 【详解】解：选项A：当时，，符合表格数据，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第4次数据是不准确的；选项B不符合题意 选项C：修正第4次数据后，每2分钟水位仍增加，第7次对应，水位为，选项C不符合题意； 4. 选项D：由题意可得水位与时间的函数关系式为， 当时，，而非，选项D符合题意； 故选：D 10．如图，在平面直角坐标系中，A是函数图象上的动点，点B在x轴上，，以为边的平行四边形的边交该函数的图象于点D，连接． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形； ②的面积始终等于4； ③点D可能是的中点； ④不可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】A 【分析】可能等于，当时，是等边三角形，平行四边形是菱形，故①正确；平行线间的距离处处相等，和为同底等高的三角形，面积相等，过点A作轴于点E，可得，由，即可判断②正确；假设点D是的中点，则，过点D作轴于点F，证明，得，设点A的坐标为，得点D的坐标为，将点D的横坐标代入中，得，即可判断点D不在函数的图象上，得③错误；通过画图得④错误 【详解】解：①是等腰三角形，， ∵点A是函数图象上的动点， 可能等于，当时，是等边三角形， ， 平行四边形是菱形，故①正确； ②四边形是平行四边形， ， ；（平行线间的距离处处相等，和为同底等高的三角形．） 如图，过点A作轴于点E， ， ， ， 点A在函数的图象上， ， ，故②正确； ③如图，假设点D是的中点，则， 过点D作轴于点F， 四边形是平行四边形， ，， ，， 轴，轴， ， ， ， 设点A的坐标为， ，， ，，， ， 点D的坐标为，将点D的横坐标代入中，得， ， 点D不在函数的图象上，（点的坐标不满足函数解析式，则点不在函数图象上，反之在函数图象上．） 点D不可能是的中点，故③错误； ④在中，不可能为直角，在点A运动的过程中，可能为直角， 如图， 当在直线下方时，为钝角， 如图， 当在直线上方时，为钝角，则是锐角， 可能为直角，即可能为直角三角形， 故④错误，综上所述，正确的结论序号为①②． 故选A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：_____． 【答案】 【详解】解：． 12．2025年中国国内生产总值（）约为元，预计2026年将比2025年增长，那么预计2026年比2025年增长________元．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】求出2026年比2025年增长的钱数，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：由题意可得，增长的为： ． 13．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】2026 【分析】根据一元二次方程根的定义得到的值，再整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， 将代入方程得， 整理得， ． 14．如图，将的边分别延长至点D，E，F，使得，，，再连接．现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是________． 【答案】 【分析】连接，根据三角形的中线等分三角形的面积以及几何概率公式求解即可． 【详解】解：连接， 设， ∵ ∴， ∵ ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴． 15．如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理可知母线的长度，再根据弧长公式可知圆心角，进而可知扇形的面积． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， 则， ∵圆锥的底面周长等于扇形的弧长， 则， ∴， 解得：， 则． 16．如图，某社区快递员从配送站出发，需要先到y轴上的P处投递一个包裹，然后到x轴上的Q处取出一个退件，再沿x轴向右骑行2个单位到充电桩R给电动车充电，最后前往下一个配送点．快递员沿折线骑行，若P，Q的位置满足使总骑行路径最短，则这条最短路径的总长度为________． 【答案】12 【分析】作点关于y轴的对称点G，将点向x轴的负半轴平移两个单位至点E，作点关于x轴的对称点F，连接，，，分别交y、x轴于点P、Q，结合轴对称的性质可得、、的坐标，进而可得，再证明四边形是平行四边形，根据两点直线线段最短可得出最短骑行路线，问题随之得解． 【详解】解：作点关于y轴的对称点G，将点向x轴的负半轴平移两个单位至点E，作点关于x轴的对称点F，连接，，，分别交y、x轴于点P、Q，如图， 即有，，， ∴， ∴， 根据平移有：，轴， 又∵， ∴，即四边形是平行四边形， ∴， 根据轴对称的性质有：，， 根据两点之间线段最短，即此时的骑行路线为最短， 且为：． 【点睛】根据轴对称的特点构造出辅助线，确定最短骑行路线是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算分式的减法，再将的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 19．（6分）如图，在矩形中，点是上一点，于，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，进一步即可得到结论； （2）根据线段的和差计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∵，， ∴． 20．（8分）教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要试行》指出，学生要承担一定的家庭劳动．某学校为了解全校学生每月参与家庭劳动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为_____，图①中的值为_____，被调查学生每月参与家庭劳动的次数的统计中，众数和中位数分别为_____和_____； (2)求被调查学生参加家庭劳动次数的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参与家庭劳动的次数是7次的人数为多少？ 【答案】(1)50，16，7，6.5； (2)平均数是6.48； (3)360人． 【分析】（1） 观察条形统计图①，将各组人数相加得被调查学生总数 ；读扇形统计图②，"7次"对应扇形的百分比即为 的值；众数是出现次数最多的数据，对应条形图中人数最多的劳动次数；中位数是将50个数据从小到大排列后，第25、26个数据的平均数； （2） 用加权平均数公式：以每组数据的组中值为代表，乘以对应人数，求和后除以总人数； （3） 用样本估计总体的思想：先求样本中劳动7次的人数占比，再用该比例乘以全校学生总数1000． 【详解】（1）解：由题意可知，， ，即， 每月参与家庭劳动次数中人数最多的是7次， 众数是7， 将这组数据按从小到大的顺序排列，第25、26个数据分别为6，7， 中位数是． （2）解：， 被调查学生参加家庭劳动次数的平均数是6.48； （3）（人）， 答：估计该校学生每月家庭劳动次数是7次的人数为360人． 21．（8分）南宁作为面向东盟的国际门户枢纽，本土物流与新能源产业发展迅速，某企业计划投入资金采购“安心”和“优电”两种型号的新能源充电桩．已知1套“安心”比1套“优电”充电桩便宜2万元，用20万元购买“安心”充电桩的数量与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等． (1)求购买1套“安心”充电桩和1套“优电”充电桩各需要多少万元； (2)若该企业计划采购“安心”、“优电”两种型号的充电桩共30套，其中采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，当采购“安心”充电桩多少套时，所需总资金最少，最少资金是多少万元？ 【答案】(1) 购买1套“安心”充电桩需要4万元，购买1套“优电”充电桩需要6万元 (2) 采购“安心”充电桩20套时，所需总资金最少，最少资金是140万元 【分析】（1）设1套“优电”充电桩的单价是x万元，则1套“安心”充电桩的单价是万元，根据用20万元购买“安心”充电桩与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买“安心”充电桩的数量为m套，则购买“优电”充电桩的数量为套，根据采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w万元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 【详解】（1）解：设1套“优电”充电桩的单价是x万元，则1套“安心”充电桩的单价是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：1套“优电”充电桩的单价是6万元，1套“安心”充电桩的单价是4万元； （2）解：设购买“安心”充电桩的数量为m套，则购买“优电”充电桩的数量为套， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时， ∴w取得最小值为140万元， 答：采购“安心”充电桩20套时，所需总资金最少，最少资金是140万元． 22．（9分）在平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点、（且点、分别与点、不重合），使，甲、乙、丙分别提出方案（如图）． 甲：使． 乙：作，，垂足分别为、． 丙：在上任取一点，连接，再以为圆心、以长为半径作弧，交于点． (1)选择其中一种正确的方案进行证明：； (2)根据你在（1）中选择的方案，延长交边于点，若，求证：． 【答案】(1)选择方案甲或方案乙，证明见解析 (2)见解析 【分析】（1）选择甲方案，证明，得到，则可证明，得到；乙方案，证明如下：先证明，再证明，得到，则可证明四边形是平行四边形，得到； （2）在方案甲中，证明，得到，证明，得到，再证明，证明；在方案乙中，由（1）可得，则，同理可证明． 【详解】（1）解：选择甲方案，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择乙方案，证明如下： ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：如图所示，在方案甲中， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图所示，在方案乙中，由（1）可得， ∴， ∴同理可证明． 23．（9分）【问题情境】中国鼓是中华民族的传统乐器，承载着千年的文化底蕴与精神力量，图1是使用打印完成的中国鼓模型． 【问题提出】小明根据图1画出了该模型的主视图，如图2所示，由于鼓的厚度不可测量，需要设计一个可以得到值的方案，以检测该鼓的质量是否达标． 【方案设计】小明所在的数学兴趣小组经过合作研究，提出了等腰三角形测量法．如图3，在主视图内部取一点，连接，使，用带有刻度的直尺量出或的长度，用量角器量出任一内角的度数． 【问题解决】若． (1)求的度数； (2)求该鼓的厚度．（精确到1，参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用等腰三角形性质和三角形内角和，算出的度数； （）通过三角函数和勾股定理，构造直角三角形求出线段的长度． 【详解】（1）解：∵，为等腰三角形， ∴， 根据三角形内角和为， ， 答：的度数为； （2）解：如图 ，过点作于点， 在中，∵，， ∴， ， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理：， 答：鼓的厚度约为． 24．（10分）在平面直角坐标系中，是自变量的函数，爱好创新的小鸣构建一个新函数：当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的关联函数．例如：一次函数的关联函数为 (1)直接写出二次函数的关联函数的函数表达式； (2)若点在一次函数的关联函数的图象上，求点的坐标； (3)对于二次函数，是否存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (4)二次函数的表达式为（），点、的坐标分别为，，连接，若线段与的关联函数的图象只有一个公共点，直接写出的值或取值范围 ． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，理由见解析 (4)或或 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）根据定义求出，再利用待定系数法求解即可； （3）当时，，可求出当时，；当时，，可求出当时，；在中，当时，可求出；当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为，则，解得（舍去，）；当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为处的函数值，则，解得（舍去，）或（舍去）；据此可得结论； （4）当时，，当时，，分别求出函数和函数与线段只有一个交点时a的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， 当时，， 综上所述，； （2）解：当时，， 当时，， ∵点在一次函数的关联函数的图象上， ∴当时，则，解得，符合题意，此时点P的坐标为； 当时，则，解得，符合题意，此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：不存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，理由如下： 当时，， ∴此时函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而增大， 当时，， ∴当时，； 当时，， ∴此时函数的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，； 在中，当时，， 解得或； ∵当时，该二次函数的关联函数的取值范围是， ∴当时，函数的最大值为5，最小值为； 当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为， ∴， ∴（舍去，）； 当时，在满足时，函数的最大值为5，最小值为处的函数值， ∴， 解得（舍去，）或（舍去）； 综上所述，不存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是； （4）解：当时，， 当时，； 如图所示，当恰好经过点M时，则， 解得； 如图所示，当，时，则 ∴当时，函数与线段只有一个公共点； 如图所示，当函数的顶点恰好在线段上时，则； 如图所示，当函数恰好经过点N时，则， 解得； 在中，当时，， 解得或， ∴当时，函数的顶点在直线下方，且在对称轴右侧一定与线段只有一个交点，即此时满足函数与线段只有一个交点； 综上所述，或或． 25．（10分）【综合与实践】 直线是线段的垂直平分线，点为直线上一动点，连接，，线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为．连接． (1)【观察发现】：如图1，当点在线段上方时，连接，则__（选填“”，“”或“”）． (2)【深入探究】：如图2，当点在线段下方时，与交于点，连接． ①若，判断与的数量关系，并说明理由． ②若，则_____（用含，的式子表示）． (3)【拓展应用】：点在运动过程中，若以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①．理由见解析；② (3)或 【分析】（1）由，得到，再由，证明，得到，根据垂直平分线的定义得到，即可证得； （2）①由，，得到等边，从而，因此在中，，证明是等边三角形，得到． ②由等腰三角形的“三线合一”得到，由旋转有，，因此，同理有，，从而在中，，在中，，即可解答； （3）分两种情况讨论：①点P在线段的上方，四边形是平行四边形；②点P在线段的下方，四边形是平行四边形，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵， 又由旋转有， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． （2）解：①，理由如下： ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴在中，， 由旋转有，， ∴是等边三角形， ∴． ②∵，，是的垂直平分线， ∴， ∵由旋转有，， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∴． （3）解：分两种情况讨论： ①如图，若点P在线段的上方，四边形是平行四边形， 则，， ∴，即旋转角， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． ②如图，若点P在线段的下方，四边形是平行四边形， 则， ∴，即旋转角， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 同（1）可证， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴在中，， ∴． 综上所述，的值为或． / 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1,答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 正确填涂■ 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 错误填涂×！1[/1 4保持卡面而清洁.不要折叠.不要玉破 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A]IB]ICIIDI 5.1AJIBIIC]ID] 9.1AJIBIICIID] 2.JAlIBIICIDI 6.1AIIBIICIIDI 10.[AJIBIICIID] 3.JAlIBIICIIDI 7.JAlBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 8AlIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12. 13. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题甲的答题区域内作答，超山黑色矩形边框限定区域的答来无效 三、（本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) D F Q B E 20.(8分) 5次 人薮 20 18 m 71 6次 8次 14% 15 34% 10 8 7次 36% 5 0 5 67 8 次数 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(9分) D M B M M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(9分) B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) 品 金 ■ ■ ■ ■ (1)'s o00000000 IIIIIIIIIIIIIII IIIIII DDDDDDDDDDDD ■ 100000000000a00100 0000a00000a0001a00 ■0000002026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1I/小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIIDI 9.AI[BIICIID] 2.IAIIBIICIIDI 6.IAlIBIICIIDI 10.IAIIBIICIIDI 3.IAIIBIICIIDI 7.AIIBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 8.1AlIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12. 13. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) D B 20.(8分) 5次 个人数 20 18 m 6次 8次 34% 14% 10 8 7次 5 36% 67 次数 图① 图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(9分) A D M M B M B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(9分) B B 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) IIIIII IIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIIIIIIIIII 25.109 零 100000L ■………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．年3月，十四届全国人大四次会议在北京胜利召开，为“十五五”开局擘画蓝图．若一个数与的和为0，则这个数是（   ） A． B． C． D． 2．一个可预见的AI时代正在到来．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．某年级组织数学单元检测，随机抽取60名学生的成绩进行统计分析，如图所示．关于这60名学生的成绩，下列说法正确的是（   ） A．中位数是12 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是85 5．若点，，都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，绕点A顺时针方向旋转，到，连接，交于点P，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．定义新运算：，如果，那么的值为（   ） A．或4 B．6或 C．3或6 D．3或 8．如图，已知正八边形的边长为4，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，得，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 10．如图，在平面直角坐标系中，A是函数图象上的动点，点B在x轴上，，以为边的平行四边形的边交该函数的图象于点D，连接． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形； ②的面积始终等于4； ③点D可能是的中点； ④不可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：_____． 12．2025年中国国内生产总值（）约为元，预计2026年将比2025年增长，那么预计2026年比2025年增长________元．（结果用科学记数法表示） 13．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为______． 14．如图，将的边分别延长至点D，E，F，使得，，，再连接．现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是________． 15．如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 16．如图，某社区快递员从配送站出发，需要先到y轴上的P处投递一个包裹，然后到x轴上的Q处取出一个退件，再沿x轴向右骑行2个单位到充电桩R给电动车充电，最后前往下一个配送点．快递员沿折线骑行，若P，Q的位置满足使总骑行路径最短，则这条最短路径的总长度为________． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）如图，在矩形中，点是上一点，于，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 20．（8分）教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要试行》指出，学生要承担一定的家庭劳动．某学校为了解全校学生每月参与家庭劳动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为_____，图①中的值为_____，被调查学生每月参与家庭劳动的次数的统计中，众数和中位数分别为_____和_____； (2)求被调查学生参加家庭劳动次数的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参与家庭劳动的次数是7次的人数为多少？ 21．（8分）南宁作为面向东盟的国际门户枢纽，本土物流与新能源产业发展迅速，某企业计划投入资金采购“安心”和“优电”两种型号的新能源充电桩．已知1套“安心”比1套“优电”充电桩便宜2万元，用20万元购买“安心”充电桩的数量与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等． (1)求购买1套“安心”充电桩和1套“优电”充电桩各需要多少万元； (2)若该企业计划采购“安心”、“优电”两种型号的充电桩共30套，其中采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，当采购“安心”充电桩多少套时，所需总资金最少，最少资金是多少万元？ 22．（9分）在平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点、（且点、分别与点、不重合），使，甲、乙、丙分别提出方案（如图）． 甲：使． 乙：作，，垂足分别为、． 丙：在上任取一点，连接，再以为圆心、以长为半径作弧，交于点． (1)选择其中一种正确的方案进行证明：； (2)根据你在（1）中选择的方案，延长交边于点，若，求证：． 23．（9分）【问题情境】中国鼓是中华民族的传统乐器，承载着千年的文化底蕴与精神力量，图1是使用打印完成的中国鼓模型． 【问题提出】小明根据图1画出了该模型的主视图，如图2所示，由于鼓的厚度不可测量，需要设计一个可以得到值的方案，以检测该鼓的质量是否达标． 【方案设计】小明所在的数学兴趣小组经过合作研究，提出了等腰三角形测量法．如图3，在主视图内部取一点，连接，使，用带有刻度的直尺量出或的长度，用量角器量出任一内角的度数． 【问题解决】若． (1)求的度数； (2)求该鼓的厚度．（精确到1，参考数据：） 24．（10分）在平面直角坐标系中，是自变量的函数，爱好创新的小鸣构建一个新函数：当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的关联函数．例如：一次函数的关联函数为 (1)直接写出二次函数的关联函数的函数表达式； (2)若点在一次函数的关联函数的图象上，求点的坐标； (3)对于二次函数，是否存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (4)二次函数的表达式为（），点、的坐标分别为，，连接，若线段与的关联函数的图象只有一个公共点，直接写出的值或取值范围 ． 25．（10分）【综合与实践】 直线是线段的垂直平分线，点为直线上一动点，连接，，线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为．连接． (1)【观察发现】：如图1，当点在线段上方时，连接，则__（选填“”，“”或“”）． (2)【深入探究】：如图2，当点在线段下方时，与交于点，连接． ①若，判断与的数量关系，并说明理由． ②若，则_____（用含，的式子表示）． (3)【拓展应用】：点在运动过程中，若以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．年3月，十四届全国人大四次会议在北京胜利召开，为“十五五”开局擘画蓝图．若一个数与的和为0，则这个数是（   ） A． B． C． D． 2．一个可预见的AI时代正在到来．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．某年级组织数学单元检测，随机抽取60名学生的成绩进行统计分析，如图所示．关于这60名学生的成绩，下列说法正确的是（   ） A．中位数是12 B．中位数是75 C．众数是21 D．众数是85 5．若点，，都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，绕点A顺时针方向旋转，到，连接，交于点P，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．定义新运算：，如果，那么的值为（   ） A．或4 B．6或 C．3或6 D．3或 8．如图，已知正八边形的边长为4，连接，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，得，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 10．如图，在平面直角坐标系中，A是函数图象上的动点，点B在x轴上，，以为边的平行四边形的边交该函数的图象于点D，连接． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形； ②的面积始终等于4； ③点D可能是的中点； ④不可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：_____． 12．2025年中国国内生产总值（）约为元，预计2026年将比2025年增长，那么预计2026年比2025年增长________元．（结果用科学记数法表示） 13．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为______． 14．如图，将的边分别延长至点D，E，F，使得，，，再连接．现随机向内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是________． 15．如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 16．如图，某社区快递员从配送站出发，需要先到y轴上的P处投递一个包裹，然后到x轴上的Q处取出一个退件，再沿x轴向右骑行2个单位到充电桩R给电动车充电，最后前往下一个配送点．快递员沿折线骑行，若P，Q的位置满足使总骑行路径最短，则这条最短路径的总长度为________． 三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）如图，在矩形中，点是上一点，于，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 20．（8分）教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要试行》指出，学生要承担一定的家庭劳动．某学校为了解全校学生每月参与家庭劳动的次数，随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值为_____，图①中的值为_____，被调查学生每月参与家庭劳动的次数的统计中，众数和中位数分别为_____和_____； (2)求被调查学生参加家庭劳动次数的平均数； (3)根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参与家庭劳动的次数是7次的人数为多少？ 21．（8分）南宁作为面向东盟的国际门户枢纽，本土物流与新能源产业发展迅速，某企业计划投入资金采购“安心”和“优电”两种型号的新能源充电桩．已知1套“安心”比1套“优电”充电桩便宜2万元，用20万元购买“安心”充电桩的数量与用30万元购买“优电”充电桩的数量相等． (1)求购买1套“安心”充电桩和1套“优电”充电桩各需要多少万元； (2)若该企业计划采购“安心”、“优电”两种型号的充电桩共30套，其中采购“安心”充电桩的数量不多于“优电”充电桩数量的2倍，当采购“安心”充电桩多少套时，所需总资金最少，最少资金是多少万元？ 22．（9分）在平行四边形中，，为锐角．要在对角线上找点、（且点、分别与点、不重合），使，甲、乙、丙分别提出方案（如图）． 甲：使． 乙：作，，垂足分别为、． 丙：在上任取一点，连接，再以为圆心、以长为半径作弧，交于点． (1)选择其中一种正确的方案进行证明：； (2)根据你在（1）中选择的方案，延长交边于点，若，求证：． 23．（9分）【问题情境】中国鼓是中华民族的传统乐器，承载着千年的文化底蕴与精神力量，图1是使用打印完成的中国鼓模型． 【问题提出】小明根据图1画出了该模型的主视图，如图2所示，由于鼓的厚度不可测量，需要设计一个可以得到值的方案，以检测该鼓的质量是否达标． 【方案设计】小明所在的数学兴趣小组经过合作研究，提出了等腰三角形测量法．如图3，在主视图内部取一点，连接，使，用带有刻度的直尺量出或的长度，用量角器量出任一内角的度数． 【问题解决】若． (1)求的度数； (2)求该鼓的厚度．（精确到1，参考数据：） 24．（10分）在平面直角坐标系中，是自变量的函数，爱好创新的小鸣构建一个新函数：当时，，当时，，即，将变换后的函数称为原函数的关联函数．例如：一次函数的关联函数为 (1)直接写出二次函数的关联函数的函数表达式； (2)若点在一次函数的关联函数的图象上，求点的坐标； (3)对于二次函数，是否存在实数n满足当时，该二次函数的关联函数的取值范围是，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由； (4)二次函数的表达式为（），点、的坐标分别为，，连接，若线段与的关联函数的图象只有一个公共点，直接写出的值或取值范围 ． 25．（10分）【综合与实践】 直线是线段的垂直平分线，点为直线上一动点，连接，，线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为．连接． (1)【观察发现】：如图1，当点在线段上方时，连接，则__（选填“”，“”或“”）． (2)【深入探究】：如图2，当点在线段下方时，与交于点，连接． ①若，判断与的数量关系，并说明理由． ②若，则_____（用含，的式子表示）． (3)【拓展应用】：点在运动过程中，若以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出的值． / 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